đvđ sách khóa học imo 2k6 tập 1

HỆ THỐNG CÁC KHÓA HỌC IMO MÔN TOÁN DÀNH CHO 2K6 Khóa I – Nền tảng mức 7-9 điểm • Hiểu sâu bản chất • Nắm vững kiến thức cơ bản • Phát huy khả năng sáng tạo Khóa M – Vận Dụng Cao mức 9+ •

HỆ THỐNG CÁC KHÓA HỌC IMO MÔN TOÁN DÀNH CHO 2K6

Khóa I – Nền tảng (mức 7-9 điểm)

• Hiểu sâu bản chất

• Nắm vững kiến thức cơ bản • Phát huy khả năng sáng tạo

Khóa M – Vận Dụng Cao (mức 9+)

• Học các kiến thức nâng cao • Tiếp cận đa dạng các dạng toán • Mục tiêu 9+

Khóa O – Tổng ôn luyện đề

SƠ LƯỢC VỀ THẦY ĐỖ VĂN ĐỨC

• Huy chương Bạc Olympic toán Hà Nội mở rộng 2007

• Cực học sinh chuyên Toán – THPT chuyên Khoa Học Tự Nhiên

• Nhiều năm kinh nghiệm đào tạo các thế hệ học sinh và cổng trường Đại Học

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 5

1 MỞ ĐẦU VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 7

2 MỞ ĐẦU VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 16

3 MỞ ĐẦU VỀ MIN MAX CỦA HÀM SỐ 28

4 CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM 35

5 ĐƠN ĐIỆU HÀM HỢP KHÔNG THAM SỐ 40

6 LUYỆN TẬP ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ, MIN MAX CƠ BẢN 47

7 ĐƠN ĐIỆU HÀM PHÂN THỨC 50

8 ĐƠN ĐIỆU HÀM BẬC BA 62

9 CỰC TRỊ HÀM BẬC BA 70

10 CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG 77

11 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐƯỜNG CONG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ 83

12 ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM HỢP, HÀM LIÊN KẾT 92

13 ĐƠN ĐIỆU HÀM HỢP CÓ THAM SỐ 104

14 CỰC TRỊ HÀM HỢP CÓ THAM SỐ 110

15 ỨNG DỤNG MIN MAX TRONG GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 116

16 MỞ ĐẦU VỀ TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 119

17 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ 130

18 CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, HÀM |F(X)| 141

19 CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, DẠNG F(|X|) 146

20 CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, DẠNG KHÔNG MẪU MỰC 151

21 MIN MAX HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 156

22 MIN MAX HÀM HỢP CÓ YẾU TỐ ĐỒ THỊ 165

23 NHẬN BIẾT VÀ PHÂN TÍCH ĐỒ THỊ 171

24 MỞ ĐẦU VỀ TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM SỐ 178

25 PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC 185

26 ĐỊNH LÝ VIET BẬC BA 198

27 KỸ NĂNG HÀM ĐẶC TRƯNG 201

28 TIỆM CẬN ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ THAM SỐ 206

29 ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 212

30 HÀM NGƯỢC – TRUY NGƯỢC HÀM 215

LỜI NÓI ĐẦU Các em học sinh và quý độc giả thân mến!

Để phục vụ cho khóa học ONLINE môn Toán dành cho học sinh 2K6 – năm học 2024, thầy Đức soạn cuốn sách này để giúp các em hệ thống hóa tài liệu khóa học Đây là cuốn sách bài tập của khóa học, tập trung vào chủ đề Hàm Số lớp 12

2023-Đây là sách khóa học, nên toàn bộ bài tập trong sách được live chữa chi tiết hoặc quay video chi tiết trong

• Group kín Facebook của khóa học • Website: hocimo.vn (hoặc thayduc.vn)

Thầy mong rằng đây sẽ là tài liệu quan trọng giúp các bạn học sinh đăng kí học toán thầy Đức tham khảo trong suốt năm học lớp 12, phục vụ cho mục tiêu đậu Nguyện Vọng 1

Mặc dù đã làm việc với tinh thần cầu thị cao, tỉ mỉ và chi tiết, tuy nhiên không thể tránh khỏi những sai sót Rất mong quý độc giả và các em học sinh đóng góp ý kiến để cuốn sách này hoàn thiện hơn

Mọi ý kiến đóng góp, độc giả vui lòng gửi trực tiếp tác giả cuốn sách

Đỗ Văn Đức

Email: ducdv91@outlook.com Facebook: http://fb.com/thayductoan

Mã QR-CODE của FanPage Mã QR-CODE của kênh Youtube xem bài giảng

BÀI 1 – MỞ ĐẦU VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ PHẦN 1 – KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I – TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1 Nhắc lại định nghĩa

Kí hiệu K là khoảng, hoặc đoạn, hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số y f x= ( ) xác định trên

Hàm tăng trên (a b; ) Hàm giảm trên (a b ; )

2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

II – QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

 Quy tắc

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Tính đạo hàm f x′( ), tìm các điểm x ii ( =1,2, ,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

Bước 3: Sắp xếp các điểm x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên i

Bước 4: Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

 Nếu hàm số u x nghịch biến trên ( )[ ]a b thì hàm số ; f u x đồng biến (nghịch (( ))

biến) trên [ ]a b; khi và chỉ khi hàm số f x( ) nghịch biến (đồng biến) trên ( ) ( );

u b u a

PHẦN 2 – BÀI TẬP CƠ BẢN

1 Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thị như hình vẽ sau:

Hàm số f x( ) nghịch biến trên khoảng nào?

A (−2;0 ) B ( )0;2 C (2;+ ∞) D (−∞ −; 2 )

2 Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm f x′( ) (=x x−1)(x−2 ) Hỏi hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau:

A (−∞ −; 1 ) B (−1;0 ) C ( )0;2 D (2;+ ∞).

3 Cho hàm số y f x= ( ), hàm số y f x= ′( ) có đồ thị như hình vẽ sau:

Hàm số y f x= ( ) nghịch biến trên khoảng nào?

  B (−∞;0 ) C 1 ; 2

+ D y=tan x

7 Hàm số nào trong các hàm số sau đây đồng biến trên  ?

A y=tan x B y x x= 4+ +2 1 C y x= +3 1 D 4 1.2

8 Hàm số nào trong các hàm số sau nghịch biến trên  ?

A y=sinx x− B y= − +x3 3 x2 C 2 3.1

+ D y =2222.

9 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a) y=2x3+3x2+1 b) y= 4−x2.

10 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: a) y x 3

= −

11 Chứng minh rằng hàm số y=sinx x+ đồng biến trên ?

12 Chứng minh rằng hàm số y= − +xx2+8 nghịch biến trên  ?

13 Chứng minh rằng hàm số f x( )= +x cos2x đồng biến trên  ?

14 Cho hàm số 21

− có đồ thị ( )C

a) Lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng 1.

15 Cho hàm số 2 32

+ có đồ thị ( )C

a) Lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng ( )d y x: = +2m cắt đồ thị ( )C tại

2 điểm phân biệt

16 Cho hàm số

a) Lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

b) Tìm m để phương trình x4−2x m2+ =0 có 4 nghiệm phân biệt?

19 Cho hàm số y= −2x3+3x2+1 có đồ thị ( )C

a) Lập bảng biến thiên của hàm số đã cho, từ đó tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình f x′′( )=0.

a) Lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

b) Tìm m để đường thẳng y mx= cắt ( )C tại ba điểm phân biệt

22 Cho hàm số y=2x3+6x2−4 có đồ thị ( )C .

a) Lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng ,

:15 2 0

dx− y= và tiếp điểm có hoành độ dương

PHẦN 3 – BÀI TẬP NÂNG CAO

1 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

3 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

a) y= 4−x2; b) y= 2x x− 2.

4 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

a) y=2sinx+cos 2x với x∈[ ]0; π b) y=sin 2x−2cosx−2x với ; 2 2

6 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số a) 1 1

7 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

xx> − ∀ ≠x

11 Chứng minh rằng: a) sin 3 0;

x x> − ∀ >x b) sin 3 0.6

xx x< − ∀ <x

12 Với các giá trị nào của m thì hàm số y mx x= − 3 nghịch biến trên ?

13 Với giá trị nào của m thì hàm số 1 32 4 33

A −4 B −2 C 0 D 2.

17 Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm trên  và f x′( )>0 ∀ ∈x (0;+ ∞) Biết f ( )1 2.=Khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?

A f ( )2 1.= B f ( )22 > f (2222 ) C f − =( )1 2 D f ( )2 + f ( )3 4.=

18 Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm f x′( )=x2−2 ,x x∀ ∈  Hàm số y= −2f x( ) đồng biến trên khoảng

a) Chứng minh rằng hàm số f đồng biến trên nửa khoảng [2;+ ∞).

b) Chứng minh rằng phương trình 2x x − = có một nghiệm duy nhất 2 2 11

26 Cho hàm số f x( )=sin2x+cos x

a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên 0;3

  

  và nghịch biến trên ; 3

π π

   

b) Chứng minh rằng với mọi m∈ −( 1;1 ,) phương trình sin2x+cosx m= có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn [0; π]

27 Cho hàm số f x( )=2sinx+tanx−3 x

a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; 2

  b) Chứng minh rằng 2sin tan 3 0;

x+ x> x x∀ ∈ π  

28 Chứng minh rằng hàm số f x( )=tanx x− đồng biến trên nửa khoảng 0; 2

  

29 Chứng minh rằng tan 33

x x> + với mọi 0; 2

x∈ π

30 Tìm tất cả giá trị của m để hàm số f x( )=x mx3+ đồng biến trên ?

31 Tìm tất cả giá trị của m để hàm số f x( )=sinx mx+ nghịch biến trên ?

34 [Đề chính thức 2018] Cho hai hàm số y f x= ( ), y g x= ( ) Hai hàm số f x′( ) và g x′( )có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y g x= ′( ).Hàm số ( )( 6) 2 5

h x = f x+ −g x + 

  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A 21; 5

BÀI 2 – MỞ ĐẦU VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PHẦN 1 – KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I – KHÁI NIỆM 1 Các khái niệm

 Khái niệm điểm cực đại, giá trị cực đại

Cho hàm số f x xác định trên tập ( ) D x, 0∈D x được gọi là điểm cực đại của 0

f xf xxa bx

< ∀ ∈

 Khi đó f x( )0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số  Khái niệm điểm cực tiểu, giá trị cực tiểu

Cho hàm số f x xác định trên tập ( ) D x, 0∈D x được gọi là điểm cực tiểu của 0

f xf xxa bx

> ∀ ∈

 Khi đó f x( )0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số  Lưu ý tên gọi

 Điểm cực đại, điểm cực tiểu: điểm cực trị  Giá trị cực đại, giá trị cực tiểu: cực trị

 Nếu x là một điểm cực trị của hàm số 0 y f x= ( ) thì điểm (x f x0; ( )0 ) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x= ( ).

2 Mối quan hệ với đạo hàm

 Nếu hàm số f x có đạo hàm trên khoảng ( )( )a b và đạt cực trị tại ; x0∈( )a b; thì ( )0 0.

f x′ =

 Nếu f x′( ) có đạo hàm trên khoảng ( )a b; và đổi dấu khi x đi qua điểm x0∈( )a b;thì x là một điểm cực trị của hàm số 0 y f x= ( ).

II – ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

Giả sử hàm số f x liên tục trên khoảng ( )( )a b chứa điểm ; x và có đạo hàm trên các khoảng 0

(a x; 0) và (x b0; )

 Nếu f x′( ) đổi dấu từ âm sang dương khi x

qua x thì 0 x là điểm cực tiểu của hàm số 0

 Nếu f x′( ) đổi dấu từ dương sang âm khi x

qua x thì 0 x là điểm cực đại của hàm số 0

III – MỐI QUAN HỆ VỚI ĐẠO HÀM CẤP HAI

 Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng ( )a b; chứa điểm x f x0, ′( )0 =0 và f

có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0.

a) Nếu f x′′( )0 <0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x 0.b) Nếu f x′′( )0 >0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x 0. Lưu ý:

 Nếu f x′′( )0 =0, ta chưa thể kết luận được x có là điểm cực trị của hàm số 0 f x( ) hay không Ví dụ hàm f x( )=x4 có f x′( )=4 ;x f x3 ′′( )=12 ,x2 ta có f′( )0 = f′′( )0 =0. Với hàm đa thức bậc ba f x( )=ax bx cx d a3+ 2+ + ( ≠0 ,) nếu f x′( )0 = f x′′( )0 =0 thì

x x= không phải là điểm cực trị của f x ( ).

PHẦN 2 – BÀI TẬP LUYỆN TẬP Cực trị hàm số tường minh

1 Đồ thị hàm số 12 1

+ có bao nhiêu điểm cực trị?

5 Hàm số y x 1x

= + có bao nhiêu điểm cực trị?

= ++

9 Hàm số 21

− +=

x my

+ có 2 điểm cực trị x x thỏa mãn 1, 2 2212 16.

16 Tìm m để hàm số yx2 2mx mx m

≥ ≤ −

> < −

PHẦN 3 – BÀI TẬP NÂNG CAO (tiếp phần bài 1) 35 Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

37 Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) f x( )=x 4−x2 b) f x( )= 8−x2

38 Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) f x( )= −x sin 2x+2 b) f x( )= −3 2cosx−cos 2x

39 Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) f x( )= x x2−3x b) f x( )=x3−3x

40 Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

53 Hàm số ( ) 21

xf x

56 Cho hàm số y x= 3−3(m+1)x2+3 7( m−3 )x Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên

của tham số m để hàm số không có cực trị Số phần tử của S bằng

57 Biết a là 1 số nguyên dương và hàm số ( ) ( 1) (2 1)a

f x = x− x+ đạt cực đại tại điểm 2 3

+ có hai điểm cực trị Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến

đường thẳng qua hai điểm cực trị bằng

f xxx

60 Tìm các điểm cực trị thuộc [0;π] của các hàm số sau:

a) y=sin2x− 3 cosx b) y=2sinx+cos 2x

61 Tìm các hệ số a b c, , sao cho hàm số f x( )=x ax bx c3+ 2+ + đạt cực tiểu tại điểm x =1,

63 Cho hàm số y f x= ( ) liên tục trên  và có đạo hàm f x′( ) (= x+1) (2022 x−1) (2021 2−x).

Hàm số f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị?

xf x

xf x

xf x

72 Biết đồ thị hàm số bậc ba y f x= ( )=ax bx cx d3+ 2+ + có hai điểm cực trị ( ) (1;3 , 3; 1 )

AB − Tính giá trị f ( )2

A f ( )2 = −1 B f( )2 1.= C f ( )2 =2 D f ( )2 =0.

73 Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Nếu f x′( )0 =0 và f x′′( )0 >0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.

B. Nếu f x′( )0 =0 và f x′′( )0 <0 thì hàm số đạt cực đại tại x0.

C. Nếu f x′( ) đổi dấu khi x qua điểm x0 và f x liên tục tại ( ) x0 thì hàm số y f x= ( ) đạt cực trị tại điểm x0.

D Hàm số y f x= ( ) đạt cực trị tại x0 khi và chỉ khi x0 là nghiệm của đạo hàm

74 Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm trên  Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

( )i : Nếu f x′( )>0 trên khoảng (x h x0 − ; 0) và f x′( )<0 trên khoảng (x x h0; 0+ )(h >0)thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0.

( )ii Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm : x0 thì tồn tại các khoảng (x h x0− ; 0), (x x h0; 0+ )(h > sao cho 0) f x′( )>0 trên khoảng (x h x0− ; 0) và f x′( )<0 trên khoảng (x x h0; 0 + ).

A. Cả ( )i và ( )ii cùng sai B. Mệnh đề ( )i đúng, mệnh đề ( )ii sai

C Mệnh đề ( )i sai, mệnh đề ( )ii đúng D. Cả ( )i và ( )ii cùng đúng

75 Tìm các điểm cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

a) y= x+ x2− +x 1 b) 4 4

Chứng minh rằng f ′( )0 =0 nhưng hàm số f x( )không đạt cực trị tại điểm 0

78 Đồ thị hàm số nào trong 4 hàm số được liệt kê dưới đây có đúng 1 điểm cực trị?

A y x= 3−3x2+x B y x= 4+2x2−3 C y= − −x3 4x+5 D 2 3.1

84 Với giá trị nào của m thì hàm số y x= 3−3(m−1)x2+3 2( m−4)x m+ có cực trị?

85 Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y mx= 3−2mx2+(m−2)x+1 không có cực trị

86 Tìm m để hàm số y x= 4+mx2 đạt cực tiểu tại x = 0.

A m ≤0 B m =0 C m ≥0 D m >0.

87 Tìm m để hàm số yx2 mx 1x m

+ đạt cực tiểu tại x = 1.

88 Tìm m để hàm số yx2 (m 1)x 3 2mx m

+ đạt cực đại tại x = − 1.

89 Để hàm số yx2 mx 1x m

+ đạt cực đại tại x = thì 2 m thuộc khoảng nào?

A (2;4 ) B ( )0;2 C (− −4; 2 ) D (−2;0 )

90 Biết đồ thị hàm số y x= 4+ax2+b nhận điểm A −( 1;4) làm điểm cực tiểu Tổng 2a b+ bằng

+ có hai điểm cực trị A B, và AB = Mệnh đề 5.nào sau đây là đúng?

99 Tìm số thực dương m để hàm số yx2 m x2 2m2 5m 3x

101 Cho hàm số y x= 3−3(m+1)x2+3 7( m−3 )x Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên

của tham số m để hàm số không có cực trị Số phần tử của tập hợp S bằng

BÀI 3 – MỞ ĐẦU VỀ MIN MAX CỦA HÀM SỐ PHẦN 1 – KIẾN THỨC CẦN NHỚ

II – QUY TẮC TÌM MIN MAX CỦA HÀM SỐ

 Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [ ]a b; và có đạo hàm trên khoảng ( )a b; , có thể trừ đi một số hữu hạn điểm Nếu f x′( )=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc ( )a b; thì ta có quy tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f x( ) như sau:

1 Tìm các điểm x x1, , ,2 x thuộc ( )ma b mà tại đó hàm số ; f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

2 Tính f x( ) ( )1 , f x2 , , f x( ) ( ) ( )m , f a f b , 3 So sánh các giá trị vừa tìm được

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của f trên đoạn [ ]a b; , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn [ ]a b;

3 Giá trị lớn nhất của hàm số y x= 3+2x2−7x−3 trên đoạn [−1;2] bằng

+ trên đoạn [ ]0;3 Tính giá trị M m−

A 9 4

M m− = − C M m− =3 D 1 4

M m− =

8 Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số , f x( )=2x4+4x2+10trên đoạn 1;2

2  

  Tính P M m= −

A P =6 B P =18 C P =2 D P = −5.

9 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) f x( )=x2+2x−5 trên [−2;3] b) ( ) 3 2 2 3 43

15 Cho hàm số y x= 3−3x m+ (m là tham số thực), thỏa mãn [ ]0;2

miny = Mệnh đề nào đúng? 3.

A 7< <m 20 B m >20 C − < <10 m 6 D m < −10.

PHẦN 3 – BÀI TẬP NÂNG CAO (Tiếp phần bài 2) 104 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) f x( )=sin4 x+cos2x+2 b) y=2sin2x+2sinx−1

105 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) f x( )= −x sin 2x trên ;

π π

− 

  b) y=cos 22 x−sin cosxx+4

106 Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng 40cm, hãy xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

107 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )=sin4x+cos4 x

108 Cho parabol ( )P y x: = 2 và điểm A −( 3;0) Xác định M ∈( )P sao cho khoảng cách AM

110 Một người nuôi cá thí nghiệm trong hồ Người đó thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích

của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P n( )=480 20− n

(gam) Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

111 Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G x( )=0,025x2(30−x),

trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam) Tính

liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó

112 Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km Vận tốc dòng nước là

6 km/h Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong thời gian t giờ được cho bởi công thức E v( )=cv t3 , trong đó c là 1 hằng số, E

được tính bằng jun Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đừng yên để năng lượng tiêu hao là ít

nhất

113 Một sợi dây có chiều dài 3m được cắt thành hai đoạn để làm thành một hình tam giác đều và một hình tròn sao cho tổng diện tích của hình tam giác đều và hình tròn là nhỏ nhất Khi đó chiều dài (theo đơn vị mét) của đoạn dây làm thành hình tam giác đều được cắt ra bằng

A 9

3 π+ B 21

3π +6 C 27

3π +9 D 21 3 3π+

114 Cho hai hàm số f x( )= 2x x− 2 +2 và g x( )= −(m2+1)x2+4x m+ +2 Biết rằng trên đoạn [ ]0;2 , hai hàn số đã cho cùng đạt giá trị lớn nhất bằng y đồng thời giá trị này đạt 0,được cùng tại x Hãy tính giá trị 0 P mx= 0+y0

+ + Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ,của hàm số đã cho Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A 3 2

Tìm M .

A M =1 B 129 250

M =

121 Gọi m M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số , y x= − 4−x2 Tính

123 Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số , f x( ) (= x−6) x2+4

trên đoạn [ ]0;3 Biết M m a b c+ = + , với a b c, , ∈,c<20. Giá trị của a b c+ + bằng

128 Cho hàm số f x( )=m x− ( m là tham số thực khác 0) Gọi 1 m m là hai giá trị của 1, 2 m

thỏa mãn [ ] ( ) [ ] ( ) 22;52;5

min f x +max f x =m −10 Giá trị của m m1+ 2 bằng

A 3 B 5 C 10 D 2.

129 Cho hàm số ( 3 )2

y= x − x m+ + Tổng tất cả các giá trị của m sao cho giá trị nhỏ nhất

của hàm số trên đoạn [−1;1] bằng 1 là

A −2 B 4 C −4 D 0

130 Cho hàm số f x( )=x ax bx6+ 2+ +2a b+ với a b∈ Biết hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại , 0 1.

x = Giá trị nhỏ nhất có thể của f ( )3 bằng bao nhiêu?

A 128 B 243 C 81 D 696.

131 Cho y f x= ( )= x2−5x+ +4 mx. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m

sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số f x lớn hơn 1 Tính số phần tử của ( ) S

BÀI 4 – CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM PHẦN 1 – KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 BĐT AM-GM

 BĐT AM-GM (hay còn gọi là BĐT Cô-Si) được phát biểu như sau: Cho a a1, , ,2 an là n số không âm Khi đó 12

1 2 nn

2 Trường hợp đặc biệt và hệ quả

• n =2: Cho x y ≥ , khi đó: , 0 x y+ ≥2 xy; 2

x yxy≤  + 

• n =3: Cho x y z ≥ , khi đó: , , 0 x y z+ + ≥33 xyz; 3

x y zxyz≤  + +  Tổng quát: a a1, , ,2 a ≥n 0, ta có: 12

 ⇒ + + +a b c 3 abc≥2( ab+ c abc3 ) Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số: ab+ c abc.3 ≥2 ab c abc .3 =23 abc

⇒ + + + ≥ ⇒ + + ≥ , điều phải chứng minh

3 Một số hệ quả của BĐT AM-GM với 3 ẩn

PHẦN 2 – BÀI TẬP LUYỆN TẬP 135 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

P xx

136 Cho x ∈( )0;1 Giá trị lớn nhất của biểu thức P x= 2(1−x) là a

= , trong đó a b∈ và nguyên tố cùng nhau Khi đó a b, + bằng

a b∈ và nguyên tố cùng nhau Giá trị của a b+ là

A 100 B 53 C 103 D 200

142 Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh bằng a Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng

nhau, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ để được một cái hộp không nắp Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất

= +

d) ( ) 239

f xxx

= + e) f x( ) x 92x

= +

+ f) ( ) 329

f xxx

= +

g) ( ) 2 93 1

f x =x −x trên ( )0;2 e) ( )()3

f x =x −x trên ( )0;2 f) ( ) 2()52

148 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 1x

P x

x y y

= +

− + đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của x+2y bằng

154 Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là 2πm3.

Hỏi bán kính đáy R thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất ?

A R=1m B R=12m C R=2m D R= 32m

155 Ông Bình đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được nước Biết tỉ lệ giữa chiều cao và chiều rộng của bể bằng Xác định diện tích đáy của bể cá để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất

3220500 cm3

2220 cm 1880 cm2 2100 cm2 2200 cm2

156 Gọi x x là các điểm cực trị của hàm số 1, 2 1 3 1 2 4

BÀI 5 – ĐƠN ĐIỆU HÀM HỢP KHÔNG THAM SỐ PHẦN 1 – KIẾN THỨC CẦN NHỚ

 

=    Đáp số: i) y f 12

 

=    Đáp số: k) y f x= ( ) Đáp số: l) y f x= ( +1) Đáp số: