MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

Biểu Mẫu - Văn Bản - Kinh tế - Quản lý - Kỹ thuật UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN ---------- HỒ VĂN DŨNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Sinh viên thực hiện HỒ VĂN DŨNG MSSV: 2114010105 CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN KHÓA 2014 – 2018 Cán bộ hướng dẫn ThS. HUỲNH THỊ MAI TRÂM MSCB: Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, tôi xin chân thành cảm ơn đế n các thầy, cô giáo và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong thời gian qua. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong khoa Toán trường Đại họ c Quảng Nam đã cho tôi nhiều kiến thức trong thời gian học tập và đã tạo điều kiệ n cho tôi học tập và phát triển để hoàn thành tốt bài khóa luận của mình. Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến cô giáo Huỳnh Thị Mai Trâm, cô đã trực tiếp hướng dẫn để tôi hoàn thành bài khóa luận tốt nghiệ p. Tôi xin cảm ơn cô đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ góp ý kiế n trong quá trình nghiên cứu và làm bài để tôi hoàn thành khóa luận tốt hơn. Mặc dù đã cố gắng trong quá trình nghiên cứu khóa luận được hoàn chỉnh, nhưng do thời gian và khả năng cũng như còn hạn chế về kiến thứ c và kinh nghiệm nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự quan tâm và đóng góp quý báu từ các thầy cô và các bạn để bài khóa luận đượ c hoàn chỉnh hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 Sinh viên Hồ Văn Dũng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học độc lập của tôi dưới sự hướng dẫn của Th.S Huỳnh Thị Mai Trâm. Các kết quả nghiên cứ u trong khóa luận tốt nghiệp do chúng tôi tự tìm hiểu, thực hiện khách quan. Các kết quả này chưa từng được công bố trong bất kỳ nghiên cứu nào khác. Quảng Nam, tháng 5 năm 2018 Sinh viên Hồ Văn Dũng MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1 1. Lí do chọn đề tài ................................................................................................. 1 2. Mục tiêu của đề tài ............................................................................................. 1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ...................................................................... 1 4. Phương pháp nghiên cứu.................................................................................... 1 5. Đóng góp của đề tài............................................................................................ 2 6. Cấu trúc của đề tài .............................................................................................. 2 NỘI DUNG ............................................................................................................ 3 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................................... 3 1.1. Phương trình .................................................................................................... 3 1.1.1. Định nghĩa phương trình .............................................................................. 3 1.1.2. Điều kiện xác định của phương trình ........................................................... 3 1.1.3. Nghiệm và khoảng tách nghiệm của phương trình ...................................... 3 1.1.3.1. Nghiệm của phương trình một ẩn ............................................................. 3 1.1.3.2. Ý nghĩa hình học của nghiệm ................................................................... 5 1.1.3.3. Khoảng phân ly nghiệm ............................................................................ 6 1.1.4. Tính chất nghiệm của phương trình ............................................................. 7 1.1.4.1. Định lý Franscois Viete ............................................................................. 7 1.1.4.2. Định lý Michel Rolle ................................................................................. 8 1.1.4.3. Tiêu chuẩn Eisenstein ............................................................................... 8 1.1.4.4. Định lý về sự tồn tại nghiệm (định lý Bolzano-Cauchy thứ nhất) ............ 8 1.2. Phương trình đại số ....................................................................................... 10 1.2.1. Định nghĩa .................................................................................................. 10 1.2.2. Các loại phương trình đại số ...................................................................... 10 1.2.2.1. Phương trình bậc nhất một ẩn ................................................................. 10 1.2.2.2. Phương trình bậc hai một ẩn ................................................................... 11 1.2.2.3. Phương trình bậc ba ................................................................................ 11 1.2.2.4. Phương trình bậc bốn .............................................................................. 13 1.2.2.5. Phương trình bậc cao............................................................................... 14 1.2.2.6. Phương trình chứa tham số ..................................................................... 15 1.2.2.7. Phương trình chứa trị tuyệt đối ............................................................... 16 1.3. Một số bất đẳng thức thường dùng để giải phương trình .............................. 16 1.3.1. Bất đẳng Auguste Louis Cauchy ................................................................ 16 1.3.2. Bất đẳng thức Victor Iakovlevitch Bouniakovski ...................................... 18 1.3.3. Bất đẳng thức vectơ.................................................................................... 19 1.4. Phương pháp lặp đơn .................................................................................... 19 1.4.1. Mô tả về phương pháp ............................................................................... 19 1.4.2. Sự hội tụ ..................................................................................................... 20 1.4.3. Đánh giá sai số ........................................................................................... 21 1.5. Phương pháp Isaac Newton........................................................................... 22 1.5.1. Mô tả phương pháp .................................................................................... 22 1.5.2. Điểm Fourier .............................................................................................. 23 1.5.3. Sự hội tụ ..................................................................................................... 24 1.5.4. Đánh giá sai số ........................................................................................... 25 Chương 2. ............................................................................................................. 27 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ ....... 27 2.1. Phương pháp “điểm không” .......................................................................... 27 2.1.1. Phương pháp giải ....................................................................................... 27 2.1.2. Một số bài toán ........................................................................................... 27 2.2. Phương pháp sử dụng lượng giác để giải phương trình ................................ 33 2.2.1. Phương pháp giải ....................................................................................... 33 2.2.2. Một số bài toán ........................................................................................... 34 2.3. Phương pháp sử dụng đồ thị để giải và biện luận phương trình ................... 41 2.3.1. Phương pháp giải ....................................................................................... 41 2.3.2. Một số bài toán ........................................................................................... 42 2.4. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức ............................................................. 48 2.4.1. Phương pháp giải ....................................................................................... 48 2.4.2. Một số bài toán ........................................................................................... 48 2.5. Phương pháp lặp đơn .................................................................................... 52 2.5.1. Phương pháp giải ....................................................................................... 52 2.5.2. Một số bài toán ........................................................................................... 52 2.6. Phương pháp Isaac Newton........................................................................... 59 2.6.1. Phương pháp giải ....................................................................................... 59 2.6.2. Một số bài toán ........................................................................................... 59 KẾT LUẬN .......................................................................................................... 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 66 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Khi nói tới phương trình thì chắc hẳn đây là một mảng kiến thức không hề xa lạ với từng học sinh trung học. Phương trình gồm rất nhiều lo ại như phương trình đại số, phương trình lượng giác, phương trình mũ... mỗi loại đề u có cách tiếp cận và phương pháp giải khác nhau. Những bài toán về phương trình thườ ng xuyên xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, kì thi Olympic, kì thi tốt nghiệ p trung học phổ thông và tuyển sinh đại học cao đẳng,…Đây cũng là một phần làm khó khăn trong việc giải đề thi của các em. Việc tìm ra cách giải, hướng đi đúng cho bài giải không phải học sinh nào cũng có thể làm được. Trong quá trình học tập cũng như trong thời gian tôi đi làm gia sư, tôi nhậ n thấy rằng việc giải phương trình còn khó khăn đối với nhiều học sinh kể cả tôi khi gặp những phương trình mới và lạ đặc biệt là những phương trình không mẫ u mực. Tôi luôn đặt câu hỏi làm thế nào để có phương pháp giả i chung cho các bài toán khó về phương trình này hay không? Học sinh gặp khó khăn gì trong việ c giải phương trình của mình? Phương pháp giả i hay là có sai sót gì trong cách trình bày? Vấn đề đặt ra là làm thế nào để giúp học sinh giải thành thạo các loại phương trình đại số này? Và khi gặp các bài toán này thì các em cũng có thể tìm ra cách giải phù hợp nhất. Là một sinh viên chuyên ngành toán tôi nhận thấy việ c tìm ra một phương pháp giải cho một bài toán là vô cùng quan trọng. Vậ y nên tôi quyết định chọn đề tài “Một số phương pháp đặc biệt giải phương trình đại số” để làm khóa luận tốt nghiệp cho mình. 2. Mục tiêu của đề tài Nghiên cứu nội dung lý thuyết về phương trình đại số. Trình bày có hệ thống các phương pháp giải phương trình đại số. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Phương trình đại số và phương pháp giải phương trình. Phạm vi nghiên cứu: Phương trình đại số một ẩn. 4. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết. 2 Phương pháp nghiên cứu tài liệu. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. 5. Đóng góp của đề tài Đề tài đóng góp thiết thực cho việc nâng cao chất lượng dạy học từ các chuyên đề toán cho học sinh, đem lại niềm say mê sáng tạo từ những bài toán cơ bản nhất. Khóa luận có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo để các giáo viên, học sinh nghiên cứu, bồi dưỡng chuyên môn, nâng cao kiến thức. 6. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, kiến nghị và tài liệu tham khảo, khóa luậ n gồm có hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số phương pháp đặc biệt giải phương trình đại số 3 NỘI DUNG Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Phương trình 1.1.1. Định nghĩa phương trình Cho hai hàm sốn biến phức1 2, ,..., nx x x là 1 2, ,..., nf x x x và 1 2, ,..., ng x x x . Ta gọi tập hợpn số phức 1 2, ,..., n n x x x x  là một điể m trong không gian phứcn chiềun . Khi đó các hàm số 1 2, ,..., nf x x x và 1 2, ,..., ng x x x được xem là các hàm một biến   ,f x g x trongn . Giả sử f x có miền xác định là1 n D  , g x có miền xác định là2 n D  . Ta định nghĩa phương trình   " "f x g x (1) là kí hiệu của hàm mệnh đề “giá trị của hai hàm số f x và g x là bằng nhau”. Ta gọix là ẩn của phương trình (1), nếu coif vàg là hàm củan biến1 2, ,..., nx x x trong không gian phức thì (1) là phương trình củan ẩn1 2, ,..., nx x x . Phương trình ẩnx là mệnh đề chứa biến có dạng   f x g x . Trong đó f x và g x là những biểu thức củax . Ta gọi f x là vế trái, g x là vế phải của phương trình. 1.1.2. Điều kiện xác định của phương trình Điều kiện xác định của phương trình tức là điều kiện để phương trình có nghĩa. Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu thì mẫu phải khác 0. Còn đối với phương trình chứa căn bậc chẵn thì biểu thức dưới căn lớn hơn hoặc bằng 0. 1.1.3. Nghiệm và khoảng tách nghiệm của phương trình 1.1.3.1. Nghiệm của phương trình một ẩn Xét phương trình một ẩn:( ) 0f x  (1) Với 1 1 1 0( ) ... , 0n n n n nf x a x a x a x a a        4 Nghiệm thực của phương trình (1) là số thực0x thỏa mãn phương trình  0f x  tức là khi thayx bởi0x vào vế trái ta được: 0 0f x  (2) Nếu0x được gọi là nghiệm bộin (1n  ) của phương trình  P f x x nếu     0 . n f x x x g x  ,2n  và g x không nhận0x làm nghiệm. Khi2n  thì0x gọi là nghiệm kép của  0f x  . Nếu0x là một nghiệm nhưng không phải là nghiệm bội của  0f x  thì khi cần ta sẽ nói nó là nghiệm đơn. Để xem một nghiệm có phải là nghiệm bội hay không, ta có thể sử dụng định lý sau. Định lý. Phương trình( ) 0f x  có bậc1n  trên trường số P đều có không quán nghiệm phân biệt trên P. Chứng minh. Giả sử phương trình( ) 0f x  có1n  nghiệm phân biệt1 2 1, ,..., ,n nx x x x  . Khi đó     1 2 1( ) ... n nf x x x x x x x x x     Do đó       1 2 1( ) ... .Qn nf x x x x x x x x x x     với  0Q x  . Suy ra  deg 1f x n  (Trái giả thiết). Vậy suy ra điều cần chứng minh. Định lý. Giả sử0x là một nghiệm của phương trình( ) 0f x  . Khi đó0x là nghiệm bội của( ) 0f x  nếu và chỉ nếu0x là nghiệm của đạo hàm''''( ) 0f x  . Chứng minh. Nếu0x là nghiệm bội của phương trình( ) 0f x  thì2n  sao cho     0 . n f x x x g x  với  0g x  . Suy ra 0'''' 0f x  . Ngược lại,0x là nghiệm của( ) 0f x  nên ta có:     0 . m f x x x g x  với  0g x  , g x không chia hết cho 0x x tức là 0 0g x  . Cần chứng minh nếu0x là nghiệm của đạo hàm 0'''' 0f x  thì2m  . 5 Thật vậy, nếu1m  thì       0 0'''' . ''''f x x x g x g x   Do đó   0 0'''' 0f x g x  (trái giả thiết) Vậy suy ra điều cần chứng minh. 1.1.3.2. Ý nghĩa hình học của nghiệm Ta vẽ đồ thị hàm số y f x trong hệ trục tọa độ vuông gócOxy (như hình vẽ). Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại một điểmM thì điểmM này có tung độ0y  và hoành độ0x x . Thay chúng vào y f x ta được 00 f x . Vậy hoành độ0x của giao điểmM chính là nghiệm của phương trình( ) 0f x  .x y f(x) O x0 M Hình 1.1 Trước khi vẽ đồ thị ta có thể thay phương trình( ) 0f x  bằng phương trình tương đương   g x h x rồi vẽ đồ thị của hai hàm số 1y g x và 2y h x (như hình vẽ). Giả sử hai đồ thị cắt nhau tại điểmM có hoành độ0x x thì ta có   0 0g x h x .x y h(x) g(x) Ox0 Hình 1.2 6 Vậy hoành độ0x của giao điểmM của hai đồ thị 1y g x và 1y h x chính là một nghiệm của phương trình   g x h x , tức là nghiệ m của phương trình( ) 0f x  . 1.1.3.3. Khoảng phân ly nghiệm Định nghĩa. Khoảng ,a b nào đó được gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương trình (1) nếu nó chỉ chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó. Định lý. Nếu ,a b là một khoảng trong đó hàm số f x liên tục và đơn điệu, đồng thời f a và f b trái dấu tức là   . 0f a f b  thì ,a b là mộ t khoảng phân ly nghiệm của phương trình (1). Ta có thể mô tả định lý bằng đồ thị như sau:x y ba O B A Hình 1.3 Đồ thị của hàm số y f x cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm ở trong ,a b chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình (1). Nếu f x có đạo hàm thì điều kiện đơn điệu có thể thay bằng điều kiện không đổi dấu của đạo hàm vì đạo hàm không đổi dấu thì hàm số đơn điệu. Ta có định lý sau: Định lý. Nếu ,a b là một khoảng trong đó hàm f x liên tục, đạo hàm ''''f x không đổi dấu và f a , f b trái dấu thì ,a b là một khoảng phân ly nghiệ m của phương trình (1). Ví dụ. Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình2 3 0x   . 7 Giải Xét phương trình  2 3 0f x x   Ta có hàm số f x là hàm sơ cấp nên liên tục. Ta có '''' 2f x x . Xét trên 1, 2 ta có   1 3; 2 1f f   Do đó   1 . 2 0f f  . Hàm số f x liên tục và đơn điệu vì '''' 2 0f x x  trên đoạn 1, 2. Vậy đoạn 1, 2 là khoảng phân ly nghiệm của phương trình đã cho. 1.1.4. Tính chất nghiệm của phương trình 1.1.4.1. Định lý Franscois Viete - Đối với phương trình bậc hai2 0, ( 0)ax bx c a    . Nếu1 2,x x là hai nghiệm (phân biệt hoặc trùng nhau) của phương trình bậ c hai2 0,( 0)ax bx c a    thì1 2 b x x a    ,1 2. c x x a  . - Đối với phương trình bậc ba3 2 0,( 0)ax bx cx d a     . Nếu1 2 3, ,x x x là ba nghiệm của phương trình3 2 0,ax bx cx d   ( 0)a  thì1 2 3 b x x x a     ,1 2 1 3 2 3. . . c x x x x x x a    ,1 2 3. . d x x x a   . - Tổng quát ta xét phương trình bậc n: 1 1 1 0( ) ... 0, 0n n n n nf x a x a x a x a a         Khi đó ta có định lý Viet cho phương trình bậcn 1 1 1 2 1... n n a S x x x a      2 1 2 1 3 1 2 3 2 4 2 3 4 3 2 1 . . ... . . . ... . . ... . ... . n n n n n n n S x x x x x x x x x x x x x x x x a x x a                  83 1 2 3 1 2 4 1 2 1 3 4 1 3 5 1 3 3 2 3 4 2 3 5 2 3 . . . . ... . . . . . . ... . . ... . . . . ... . . ... n n n n n S x x x x x x x x x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x a                  0 1 2...x ( 1) . n n n n a S x x a    Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp tổng quát của định lý Viet cho trường hợp phương trình bậcn . Do1 2, ,..., nx x x làn nghiệm của phương trình  0f x  nên:           1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 3 1 1 2 ... ... ( ... ... ) ... 1 ... n n n n n n n n n n n n f x a x x x x x x a x x x x x x x x x x x x x x x x x                       So sánh các hệ số tương ứng của các lũy thừa củax ở hai vế, ta đượ c các hệ thức phải chứng minh. 1.1.4.2. Định lý Michel Rolle Định lý. Nếu hàm f x liên tục trên đoạn ,a b , khả vi trong khoảng ,a b và   f a f b thì tồn tại một điểm ,c a b sao cho '''' 0f c  . 1.1.4.3. Tiêu chuẩn Eisenstein Giả sử 1 1 1 0( ) ... 0, 0n n n n nf x a x a x a x a a         là một đa thức vớ i hệ số nguyên. Nếu tồn tại một số nguyên tốp không phải là ước củana nhưngp là ước của các hệ số còn lại và2 p không phải là ước của các số hạng tự do0a . Thế thì đa thức f x bất khả quy trên . 1.1.4.4. Định lý về sự tồn tại nghiệm (định lý Bolzano-Cauchy thứ nhất) Nếu có hai số thựca vàb a b sao cho f a và f b trái dấu tức là   . 0f a f b  đồng thời f x liên tục trên ,a b thì có ít nhất một điểm ,c a b sao cho  0f c  . Chứng minh. Giả sử( ) 0, ( ) 0f a f b  9 Chia đoạn a, b thành hai phần bằng nhau bởi điểm chia2 a b . Nếu 0 2 a b f       thì định lý được chứng minh với2 a b c   . Nếu 0 2 a b f       thì có hai khả năng: + 0 2 a b f       . Khi đó ta gọi1 1 , = , 2 a b a b b      + 0 2 a b f       . Khi đó ta gọi1 1 , = , 2 a b a b a      (để cho giá trị của của hàm sốf ở hai đầu vẫn trái dấu) Lại chia đoạn1 1a , b thành hai phần bằng nhau bởi điểm chia1 1 2 a b . Nếu1 1 0 2 a b f       thì định lý được chứng minh với1 1 2 a b c   . Nếu1 1 0 2 a b f       lại có hai khả năng: +1 1 0 2 a b f       , ta gọi1 1 2 2 1 , , 2 a b a b b       +1 1 0 2 a b f       , ta gọi1 1 2 2 1 , , 2 a b a b a       Tiếp tục mãi quá trình trên ta được dãy vô hạn các đoạn ,n n na b  có tính chất: +   0, 0n nf a f b  +1n n   + lim lim 2 n n nn n b a b a      Ta sẽ áp dụng bổ đề về dãy các đoạn thắt vào đẳng thức trên. Trước hết ta nhắc lại bổ đề về dãy các đoạn thắt: 10 Bổ đề về dãy các đoạn thắt Giả sử , , 1,2,3,...n n na b n   Nếu n là dãy các đoạn thắt, tức là1n n   1,2,3,...n  và lim 0n n x b a    thì tồn tại một điểm duy nhất thuộc mọi đoạn của dãy.  1 1 lim 0 n n n n n nx b a               Áp dụng bổ đề về dãy các đoạn thắt, tồn tại một điểm ,b ,n nc an  suy ralim limn n n n a b c     Vì f x liên tục tại , c a b cho nên: Từ     0 suy ra lim 0n n n f a f a f c     Từ     0 suy ra lim 0n n n f b f b f c     Suy ra  0f c  là điều phải chứng minh. 1.2. Phương trình đại số 1.2.1. Định nghĩa Phương trình   f x g x gọi là phương trình đại số nếu cả hai vế củ a biểu thức f x và g x đều là biểu thức đại số. 1.2.2. Các loại phương trình đại số 1.2.2.1. Phương trình bậc nhất một ẩn Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng0, 0ax b a   với,a b là hai số đã cho,x được gọi là ẩn. - Nếu0a  thì phương trình0ax b  có nghiệm duy nhất b x a   . - Nếu0a  và0b  thì phương trình0ax b  vô nghiệm. - Nếu0a b  thì phương trình0ax b  nghiệm đúng với mọix (hay vô số nghiệm). 11 1.2.2.2. Phương trình bậc hai một ẩn Phương trình bậc hai một ẩn có dạng2 0, 0ax bx c a    với, ,a b c là các số đã cho vàx gọi là ẩn. - Với0a  thì phương trình2 0ax bx c   Vô nghiệm khi2 4 0b ac    (hoặc2 '''' '''' 4 0b ac    ) Và có nghiệm '''' 2 b b x a a         nếu0  (hoặc'''' 0  ). - Phương trình2 0ax bx c   suy biến thành bậc nhất khi0a  . Khi0a b c   thì phương trình có nghiệm đúng với mọix . - Phương trình2 0, 0ax bx c a    : Vô nghiệm khi0a  ,0  hoặc0a b  và0c  . Có nghiệm khi0a  và0  hoặc0a  ,0b  hoặc0a b c   . Có nghiệm đúng khi0a b c   . Có nghiệm kép khi1 2 '''' 2 b b x x a a      khi0, 0a   ('''' 0, 0a   ). Có nghiệm đơn khi0a  ,0b  . Có hai nghiệm phân biệt khi0, 0a    . 1.2.2.3. Phương trình bậc ba Phương trình bậc ba một ẩn có dạng tổng quát là:3 2 0, 0ax bx cx d a     trong đó, , ,a b c d là các số cho trước vàx gọi là ẩn. Khi giải ta thường đưa phương trình bậc ba về dạng3 2 0x ax bx c    (1) Để giải phương trình (1), ta đặt:3 a y x  hay3 a x y  12 Khi đó thay vào phương trình (1), ta được:3 2 (y ) ( ) ( ) 0 3 3 3 a a a a y b y c       Hay2 3 3 2 ( ) 0 3 27 3 a a ab y b y c       Đặt2 3 2 , 3 27 3 a a ab p b q c      Ta được phương trình3 0, ,y py q p q    (2) Dạng (2) gọi là dạng thu gọn của phương trình bậc ba. Ta chỉ xét,p q khác 0 vì0p  hay0q  thì đưa về trường hợp đơn giản. Đặty u v  thay vào phương trình (2) ta được      3 3 3 0 3 0u v p u v q u v uv p u v q            (3) Chọn,u v sao cho3 0uv p  4 Như vậy, để tìmu vàv , từ (3) và (4) ta có hệ phương trình:3 3 3 3 3 27 u v q p u v           Theo định lý Franscois Viete,3 u và3 v là nghiệm của phương trình: 3 2 0 27 p X qX   (5) Đặt2 3 4 27 q p    + Khi0  thì phương trình (5) có nghiệm:3 3 , 2 2 q q u v        Như vậy, phương trình (2) sẽ có nghiệm thực duy nhất:3 3 2 2 q q y         + Khi0  thì phương trình (5) có nghiệm kép:3 2 q u v   Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm thực, trong đó có một nghiệm kép: 133 3 1 2 32 , 2 2 q q y y y    + Khi0  thì phương trình (5) có nghiệm phức. Gọi 3 0u là một nghiệm phức của phương trình (5), 3 0v là giá trị tương ứ ng sao cho0 0 3 p u v   . Khi đó phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt:1 0 0y u v  , 2 2 0 0y u v    , 2 3 0 0y u v    với 2 3 1, , 1   là các căn bậc ba đơn vị, cụ thể là:21 3 1 3 , 2 2 2 2 i i        . 1.2.2.4. Phương trình bậc bốn Dạng tổng quát của phương trình bậc bốn là 4 3 2 '''' '''' '''' '''' 0, '''' 0a x b x c x d x e a      Dạng tổng quát của phương trình bậc bốn là 4 3 2 '''' '''' '''' '''' 0, '''' 0a x b x c x d x e a      Không mất tính tổng quát (bằng cách chia hai vế của phương trình cho hệ số của4 x là''''a ) ta đưa phương trình về dạng4 3 2 0x ax bx cx d    4 3 2 x ax bx cx d      Thêm2 2 4 a x vào cả hai vế, ta được2 2 2 2 2 4 ax a x x b cx d                . Cộng vào hai vế của phương trình này cho tam thức 2 2 2 4 ax y x y        vớiy là hằng số2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 ax y a ay y x b y x c x d                                (1) Chọny sao cho tam thức bậc hai ở vế phải có nghiệm kép, hay 142 2 2 4 0 2 4 4 ay a ay c b y d                         3 2 2 2 4 4 0y by ac d y d c b c        (2) Đây là một phương trình bậc ba và ta đã biết cách giải. Đặt  2 2 22 4 2 4 a ay y b y x c d Ax B                         Giả sử0y là một nghiệm của phương trình (2). Khi đó thay0y vào phương trình (1) có dạng  2 2 2 2 2 2 . 0 2 2 2 2 ax y x Ax B ax y ax y x Ax B x Ax B                              2 2 0 0 2 2 2 2 ax y ax y x Ax B x Ax B            Như vậy, việc giải phương trình bậc bốn quy về giải hai phương trình bậ c hai và một phương trình bậc ba. 1.2.2.5. Phương trình bậc cao Ta xét các phương trình có bậc lớn hơn bốn Xét phương trình bậc năm dạng 5 0, ,x ax b a b    Định lý 1. Nếu 1 mod 2a b  thì phương trình không được giải bằng căn thức. Định lý 2. Nếua là số nguyên tốa không trùng 1(mod5) và , 1a b  thì phương trình không được giải bằng căn thức. Định lý 3. Xét phương trình  0f x  , trong đó f x là đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 5. Nếuf là đa thức bất khả quy trên và có đúng hai nghiệm phức trong thì phương trình không được giải bằng căn thức. Để minh họa cho định lý 3, ta xét ví dụ sau. Ví dụ. Phương trình  5 2 9 3f x x x   không được giải bằng căn thức. 15 Thật vậy, theo tiêu chuẩn Eienstein, thì đa thức  5 2 9 3f x x x   là đa thức bất khả quy với số nguyên tố3p  . Do đó ta chỉ cần ch ứng minh phương trình có đúng hai nghiệm phức hay chứng minh phương trình có đúng ba nghiệ m thực. Với  5 2 9 3f x x x   Ta có  4 '''' 5 18f x x x  Khi đó '''' 0f x  có hai nghiệm0x  và3 18 5 x  . Theo định lý Rolle thì  0f x  chỉ có tối đa ba nghiệm thực. Ta lại có       1 7, 0 3, 2 1, 3 165f f f f       và f x là hàm số liên tục nên đổi dấu khi đồ thị cắt trục hoành nên f x có ít nhất ba nghiệ m thực. Vậy  5 2 9 3f x x x   có đúng ba nghiệm thực. Suy ra điều phải chứng minh. 1.2.2.6. Phương trình chứa tham số Cho hàm số f x ngoài biến ra còn có các chữ cái, , ,a b c  gọ i là các tham số. Giả sử, ,...,a b c      là tập hợp các giá trị bằng số nào đó củ a các chữ cái, , ,a b c . Nếu thay các giá trị đó vào hàmf thì ta được( , , ,..., )f x    xác định một hàm số nào đó của biếnx thì, ,...,   được gọ i là hệ thống giá trị thừa nhận được của các tham số. Nếu( , , ,..., )f x    không có nghĩa với giá trị bằng số củax trên trường số đã cho thì, ,...,   là một hệ thống giá trị không thừa nhận được của các tham số. Phương trình( , , ,.., )f x a b c vớix là ẩn và các tham số, , ,a b c được gọi là phương trình chứa tham số. Giải phương trình chứa tham số là xác định tất cả các nghiệm của nó vớ i mỗi hệ thống giá trị thừa nhận của các tham số. 16 1.2.2.7. Phương trình chứa trị tuyệt đối a. Phương trình dạng f x a ,( 0)a  Cách giải: f x a ,( 0)a     f x a f x a      ( 0)a  b. Phương trình dạng   f x g x Cách giải:   f x g x            0 0 f x g x g x f x g x g x              c. Phương trình dạng f x a Cách giải: f x a    0 0 f x a x f x a x            d. Phương trình dạng   f x g x Cách giải:   f x g x        0 0 f x g x x f x g x x            e. Phương trình dạng   f x g x Cách giải:   f x g x        f x g x f x g x       1.3. Một số bất đẳng thức thường dùng để giải phương trình 1.3.1. Bất đẳng Auguste Louis Cauchy Cho1 2 3, ,a a a là các số không âm. Khi đó: 171 2 1 2 2 a a a a   ,1 2 3 3 1 2 3 3 a a a a a a    . Tổng quát. Chon số thực không âm bất kỳ1 2 ,, ,..., na a a thế thì trung bình cộ ng củan số đó lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.1 2 1 2 ... ...n n n a a a a a a n     Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi1 2 ... na a a   Bất đẳng thức Auguste Louis Cauchy còn gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân. Chứng minh. Hiển nhiên bất đẳng thức đúng với2n  tức là1 2 1 2 2 a a a a   . Giả sử bất đẳng thức đúng vớin k tức là1 2 1 2 ... ...k k n a a a a a a k     . Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với1n k  . Giả sử1 2 1... k ka a a a     thì1 2 1 ... k k a a a a k      . Đặt1 2 ... ka a a x k     thì0x  , ta có1ka x y   với0y  và1 2...k nx a a a (theo giả thiết quy nạp). Ta có1 1 1 2 1 ... 1 1 k k k ka a a a kx x y k k                    =1 1 ( 1). . 1 1 k k ky y x x k x k k            =1 1 2 1( ) ...k k k k kx x y x x y a a a a     Suy ra1 2 1 1 1 2 ... ... 1 k k n a a a a a a k        . Vậy bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên2n  . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi1 2 ... na a a   18 1.3.2. Bất đẳng thức Victor Iakovlevitch Bouniakovski Cho hai bộ số, ,a b c và, ,x y z . Khi đó:2 2 2 2 2 ( )( ) (ax+by)a b x y  2 2 2 2 2 2 2 ( c )( z ) (ax+by+cz)a b x y     Tổng quát. Cho hai bộ số:1 2( , ,..., )na a a và1 2( ,b ,..., )nb b . Ta có    22 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2... ... ...n n n na a a b b b a b a b a b          Hay 2 2 2 1 1 1 . n n n i i i i i i i a b a b                              Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi1 2 1 2 ... n n aa a b b b    với quy ước rằng mẫu bằng không thì tử bằng không. Chứng minh. Đặt2 2 2 1 2 ... nA a a a   2 2 2 1 2 ... nB b b b   1 1 2 2 ... n nC a b a b a b    . Cần chứng minh2 AB C Nếu0A  thì1 2 ... a 0na a    thì bất đẳng thức được chứng minh. Cũng tương tự nếu0B  . Do đó ta chỉ xét trường hợpA vàB khác không. Với mọix ta có:2 2 2 2 1 1 1 1 1 1( ) 0 2 0a x b a x a b x b     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 0 2 0a x b a x a b x b      …………………………………….2 2 2 2 ( ) 0 2 0n n n n n na x b a x a b x b      . Cộng vế theo vế của bất đẳng thức trên ta được: 192 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2( ... ) 2( ... a ) ( ... ) 0n n n na a a x a b a b b x b b b            tức là2 2 0Ax Cx B   (1) Vì (1) đúng với mọi x nên thay C x A  vào (1) Ta được2 2 2 2 2 2 . 2 0 0 0 . C C C A B B AB C AB C A AA            Hay2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2( ... )( ... ) ( ... a )n n n na a a b b b a b a b b          Dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi1 1,a x b2 2 ,...,a x bn na x b tức là1 2 1 2 ... n n aa a b b b    với quy ước mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0. 1.3.3. Bất đẳng thức vectơ Cho ,u a b ,   , , ,v x y m n   Khi đó:u v u v   . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi,u v cùng chiềua b x y  u v u v   . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi,u v cùng chiềua b x y  . .u v u v . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi,u v cùng chiềua b x y  u v u v       . Dấu “=” xảy raa x m b y n    1.4. Phương pháp lặp đơn 1.4.1. Mô tả về phương pháp Xét phương trình  0f x  (1) có khoảng phân ly nghiệm là , a b Ta biến đổi phương trình (1) về dạng tương đương x x  (2) Với giá trị ban đầu 0 ,x a b ta xây dựng dãy  0,n n x   dựa vào hệ thức 1 , 1,2,...n nx x n   (3) 20 Quá trình này có tính lặp đi lặp lại nên phương pháp ở đây gọi là phương pháp lặp đơn với là hàm lặp. Chú ý. Việc chọn0x làm giá trị lặp ban đầu phải thỏa mãn các điều kiện sau: Giả sử '''' 1x q   . Nếu '''' 0x  ta có thể chọn 0 ,x a b một cách bất kỳ. Nếu '''' 0x  thì phải chọn0x theo quy tắc:  0 khi 2 a b x a a       0 khi 2 a b x b b      Muốn biết thuộc khoảng nào thì ta chỉ việc tính2 a b f       rồ i so sánh dấu của nó với dấu của f a . 1.4.2. Sự hội tụ Định nghĩa. Nếu dãynx   khin   thì ta nói phương pháp lặp (2), (3) hộ i tụ. Khi phương pháp lặp hội tụ thìnx càng gần nếun càng lớ n. Cho nên ta xemnx vớin xác định là giá trị gần đúng của . Vì vậy chỉ có phương pháp lặ p hội tụ mới có giá trị. Để kiểm tra một phương pháp lặp có hội tụ không ta có định lý sau: Định lý. Xét phương pháp lặp (2), (3) giả sử)i ,a b là khoảng phân ly nghiệm của phương trình  0f x  tứ c là của phương trình x x  .)ii Mọinx tính theo (2), (3) đều thuộc ,a b .)iii Hàm x có đạo hàm thỏa mãn '''' 1x q   ,a x b  trong đóq là một hằng số. Thế thì phương pháp (2), (3) hội tụ:nx   khin   21 Chứng minh. Vì là nghiệm của phương trình x x  nên ta có     Trừ vế theo vế của biểu thức này cho biểu thức 1n nx x   ta được:   1n nx x        Áp dụng công thức Lagrange vào hai vế của đẳng thức trên ta được:  1''''n nx c x       với   1 ,nc a x a b      . Ta có: '''' 1x q   ,a x b  Khi đó:  1 1''''n n nx c x q x          Vậy có:1n nx q x      . Bất đẳng này đúng với mọin . Do đó ta có:1n nx q x     1 2 ................................... n nx q x     2 1x q x    1 0x q x     Nhân các bất đẳng thức này vế theo vế ta được:0 n nx q x     Vì0x và đã xác định,0n q  khin   do0 1q  nên vế phải dầ n về không và ta có:0nx   khin   Vậy định lý được chứng minh. 1.4.3. Đánh giá sai số Ta có thể áp dụng một trong hai công thức sau đây để đánh giá sai số cho phương pháp lặp: 22 Công thức 1:1 1 n n n q x x x q      ,0 1q  Công thức 2:  n n f x x m    Trong đóm là số dương xác định bởi '''' 0f x m  tại ,x a b 1.5. Phương pháp Isaac Newton 1.5.1. Mô tả phương pháp Ý chủ đạo của phương pháp Isaac Newton là cách thay phương trình  0f x  , phi tuyến tính đối vớix , bằng một phương pháp gần đúng, tuyến tính đối vớix . Đầu tiên ta nhắc đến định lý về khai triển Taylor của một hàm như sau: Định lý. Cho hàm số f x xác định và có đạo hàm cấp1n  tại0x và lân cậ n của0x . Giả sửh là một giá trị sao cho0x h cũng thuộc lân cậ n này. Ta có công thức sau đây được gọi là khai triển Taylor bậcn của f x tại0x :        2 0 0 0 0'''' '''''''' ... 1 2 h h f x h f x f x f x      +          1 1 0 1 n n n nh h f x f c n n     Trong đó 0 0,c x x h  Dựa vào khai triển Taylor, ta sẽ xác định một hàm x và tìm nghiệm của phương trình (1) bằng phép lặp: 1n nx x   Giả sửx là nghiệm của phương trình (1), cònnx là nghiệm xấp xỉ tại bướ c thứn . Ta đặtn nx x x   . Theo khai triển Taylor ta có:          2 '''' '''''''' 0 2 n n n n n n x f x f x x f x x f x f c          Nếunx đủ nhỏ thì ta có công thức gần đúng: 23     '''' 0n nf x x f x f x    Từ đây   '''' n n n f x x f x    Vìn nx x x   , do đó   '''' n n n f x x x f x   Khi đó ta suy ra công thức lặp đơn cho phương pháp Isaac Newton   1 '''' n n n n f x x x f x    Về ý nghĩa hình học thì1nx  chính là giao điểm của tiếp tuyến đường cong y f x tại điểm  ,n nx f x với trục hoành. Do đó phương pháp này còn gọi là phương pháp tiếp tuyến. 1.5.2. Điểm Fourier Định nghĩa. Giả sử ,a b là khoảng phân ly nghiệm của phương trình  0f x  và f x có đạo hàm   '''' , ''''''''f x f x đồng thời ''''f x , ''''''''f x liên tục và không đổi dấu trên ,a b với0 , x a b sao cho   0 0. '''''''' 0f x f x  thì0x được gọi là điểm Fourier. Chú ý)i Phương pháp Isaac Newton cũng thuộc loại phương pháp lặp vớ i hàm lặp     '''' f x x x f x   )ii Về mặt hình học thì 0''''f x là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại0x . Xét một trường hợp cụ thể. Ta có đồ thị 24 .x y Pα M ba O B A Hình 1.4 CungAB cắt trục hoành tại điểmM có hoành độ chính là nghiệm .Để tính gần đúng ta thay một cách gần đúng cungAB bởi tiếp tuyến tạiB ,B có hoành độ0x , tiếp tuyến này cắt trục hoành tạiP ,P có hoành độ1x và ta xem1x là giá trị gần đúng của . Để tính1x ta viết phương trình tiếp truyến tạiB với0x b ta có:    0 0 0''''Y f x f x X x   TạiP ta có1, 0X x Y  nên ta có :    0 0 1 0''''f x f x x x   Từ đó suy ra   1 0 '''' f x x x f x   . Cho nên phương pháp Isaac Newton còn được gọi là phương pháp tiếp tuyến. 1.5.3. Sự hội tụ Định lý. (Điều kiện đủ để phương pháp Isaac Newton hôi tụ) Giả sử ,a b là khoảng phân ly nghiệm của phương trình (1), f x có đạo hàm   '''' , ''''''''f x f x đồng thời ''''f x , ''''''''f x liên tục và không đổi dấu trên ,a b . Xấp xỉ đầu0x chọn làa hayb sao cho   0 0. '''''''' 0f x f x  . Khi đónx tính bởi   1 '''' n n n n f x x x f x    với 0 ,x a b hội tụ về khin   , cụ thể hơn ta cónx đơn điệu tăng tới nếu   '''' '''''''' 0f x f x  ,nx đơn điệu giảm tới nếu   '''' '''''''' 0f x f x  . 25 Dừng lại ở bước tính thứn xác định, ta đượcnx và xemnx là giá trị gần đúng của . Về sai số ta có  n n f x x m    với 0 '''' ,m f x a x b    . Chứng minh. (Ta chứng minh định lý bằng cách sử dụng bốn hình vẽ sau để minh họa)x y x y Hình 1.5bHình 1.5a f'''' < 0, f'''''''' 0, f''''''''>0 x2 x1 a bα A OO B A Bx y x y Hình 1.5dHình 1.5c f'''' < 0, f'''''''' > 0f'''' > 0, f'''''''' < 0 x2x1a α α b a x1 x2 OO A B A B Hình 1.5 1.5.4. Đánh giá sai số Ngoài công thức đánh giá sai số  n n f x x m    , nếu thêm...

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN

- -

HỒ VĂN DŨNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5 năm 2018

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: TOÁN

- -

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Tên đề tài:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

Sinh viên thực hiện

HỒ VĂN DŨNG

MSSV: 2114010105

CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN

KHÓA 2014 – 2018 Cán bộ hướng dẫn

ThS HUỲNH THỊ MAI TRÂM MSCB:

Quảng Nam, tháng 5 năm 2018

Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến cô giáo Huỳnh Thị Mai Trâm, cô đã trực tiếp hướng dẫn để tôi hoàn thành bài khóa luận tốt nghiệp Tôi xin cảm ơn cô đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ góp ý kiến trong quá trình nghiên cứu và làm bài để tôi hoàn thành khóa luận tốt hơn

Mặc dù đã cố gắng trong quá trình nghiên cứu khóa luận được hoàn chỉnh, nhưng do thời gian và khả năng cũng như còn hạn chế về kiến thức và kinh nghiệm nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự quan tâm và đóng góp quý báu từ các thầy cô và các bạn để bài khóa luận được hoàn chỉnh hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Quảng Nam, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Hồ Văn Dũng

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học độc lập của tôi dưới sự hướng dẫn của Th.S Huỳnh Thị Mai Trâm Các kết quả nghiên cứu trong khóa luận tốt nghiệp do chúng tôi tự tìm hiểu, thực hiện khách quan Các kết quả này chưa từng được công bố trong bất kỳ nghiên cứu nào khác

Quảng Nam, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Hồ Văn Dũng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu của đề tài 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

1.1.2 Điều kiện xác định của phương trình 3

1.1.3 Nghiệm và khoảng tách nghiệm của phương trình 3

1.1.3.1 Nghiệm của phương trình một ẩn 3

1.1.3.2 Ý nghĩa hình học của nghiệm 5

1.1.3.3 Khoảng phân ly nghiệm 6

1.1.4 Tính chất nghiệm của phương trình 7

1.1.4.1 Định lý Franscois Viete 7

1.1.4.2 Định lý Michel Rolle 8

1.1.4.3 Tiêu chuẩn Eisenstein 8

1.1.4.4 Định lý về sự tồn tại nghiệm (định lý Bolzano-Cauchy thứ nhất) 8

1.2.2.7 Phương trình chứa trị tuyệt đối 16

1.3 Một số bất đẳng thức thường dùng để giải phương trình 16

1.3.1 Bất đẳng Auguste Louis Cauchy 16

1.3.2 Bất đẳng thức Victor Iakovlevitch Bouniakovski 18

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 27

2.1 Phương pháp “điểm không” 27

2.6 Phương pháp Isaac Newton 59

1

MỞ ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài

Khi nói tới phương trình thì chắc hẳn đây là một mảng kiến thức không hề xa lạ với từng học sinh trung học Phương trình gồm rất nhiều loại như phương trình đại số, phương trình lượng giác, phương trình mũ mỗi loại đều có cách tiếp cận và phương pháp giải khác nhau Những bài toán về phương trình thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, kì thi Olympic, kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh đại học cao đẳng,…Đây cũng là một phần làm khó khăn trong việc giải đề thi của các em Việc tìm ra cách giải, hướng đi đúng cho bài giải không phải học sinh nào cũng có thể làm được

Trong quá trình học tập cũng như trong thời gian tôi đi làm gia sư, tôi nhận thấy rằng việc giải phương trình còn khó khăn đối với nhiều học sinh kể cả tôi khi gặp những phương trình mới và lạ đặc biệt là những phương trình không mẫu mực Tôi luôn đặt câu hỏi làm thế nào để có phương pháp giải chung cho các bài toán khó về phương trình này hay không? Học sinh gặp khó khăn gì trong việc giải phương trình của mình? Phương pháp giải hay là có sai sót gì trong cách trình bày? Vấn đề đặt ra là làm thế nào để giúp học sinh giải thành thạo các loại phương trình đại số này? Và khi gặp các bài toán này thì các em cũng có thể tìm ra cách giải phù hợp nhất Là một sinh viên chuyên ngành toán tôi nhận thấy việc tìm ra một phương pháp giải cho một bài toán là vô cùng quan trọng Vậy nên tôi

quyết định chọn đề tài “Một số phương pháp đặc biệt giải phương trình đại số”

để làm khóa luận tốt nghiệp cho mình

2 Mục tiêu của đề tài

Nghiên cứu nội dung lý thuyết về phương trình đại số

Trình bày có hệ thống các phương pháp giải phương trình đại số

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Phương trình đại số và phương pháp giải phương trình

Phạm vi nghiên cứu: Phương trình đại số một ẩn

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết

2 Phương pháp nghiên cứu tài liệu Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

5 Đóng góp của đề tài

Đề tài đóng góp thiết thực cho việc nâng cao chất lượng dạy học từ các chuyên đề toán cho học sinh, đem lại niềm say mê sáng tạo từ những bài toán cơ bản nhất

Khóa luận có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo để các giáo viên, học sinh nghiên cứu, bồi dưỡng chuyên môn, nâng cao kiến thức

6 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, kiến nghị và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm có hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Một số phương pháp đặc biệt giải phương trình đại số

Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f x  g x 

Trong đó f x và   g x là những biểu thức của x Ta gọi   f x là vế trái,   

g x là vế phải của phương trình

1.1.2 Điều kiện xác định của phương trình

Điều kiện xác định của phương trình tức là điều kiện để phương trình có nghĩa Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu thì mẫu phải khác 0 Còn đối với phương trình chứa căn bậc chẵn thì biểu thức dưới căn lớn hơn hoặc bằng 0

1.1.3 Nghiệm và khoảng tách nghiệm của phương trình

1.1.3.1 Nghiệm của phương trình một ẩn

Với f x( )a xnnan1xn1  a x1 a0, an 0

n thì x gọi là nghiệm kép của 0 f x 0 Nếu x là một nghiệm nhưng 0

không phải là nghiệm bội của f x 0 thì khi cần ta sẽ nói nó là nghiệm đơn Để xem một nghiệm có phải là nghiệm bội hay không, ta có thể sử dụng định lý sau

Định lý Phương trình ( ) 0f x  có bậc n1 trên trường số P đều có không quá

n nghiệm phân biệt trên P

Chứng minh

Giả sử phương trình ( )f x 0 có n1 nghiệm phân biệt x1, , ,x2 xn, xn1 Khi đó f x( ) xx1xx2 xxnxxn1

Do đó f x( )xx1xx2 xxnxxn1  .Q x với Q x 0 Suy ra degf x  n 1 (Trái giả thiết)

Vậy suy ra điều cần chứng minh

Định lý Giả sử x là một nghiệm của phương trình 0 f x( )0 Khi đó x là 0

nghiệm bội của f x( )0 nếu và chỉ nếu x là nghiệm của đạo hàm 0 f x'( )0

Chứng minh

Nếu x là nghiệm bội của phương trình 0 f x( )0 thì n2 sao cho

  0  n.

f x  xxg x với g x 0 Suy ra f ' x0 0

Ngược lại, x là nghiệm của 0 f x( )0 nên ta có: f x xx0m.g x  với g x 0, g x không chia hết cho  xx0 tức là g x 0 0

Cần chứng minh nếu x là nghiệm của đạo hàm 0 f ' x0 0 thì m2

5

Thật vậy, nếu m1 thì f'  x0  xx0     'g x g x Do đó f ' x0 g x 0 0 (trái giả thiết)

Vậy suy ra điều cần chứng minh

1.1.3.2 Ý nghĩa hình học của nghiệm

Ta vẽ đồ thị hàm số y f x  trong hệ trục tọa độ vuông góc Oxy (như hình vẽ) Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại một điểm M thì điểm M này có tung

độ y0 và hoành độ x x0 Thay chúng vào y f x  ta được 0 f x 0 Vậy hoành độ x của giao điểm M chính là nghiệm của phương trình ( )0 f x 0.

O x0M

1.1.3.3 Khoảng phân ly nghiệm

Định nghĩa Khoảng a b nào đó được gọi là khoảng phân ly nghiệm của , phương trình (1) nếu nó chỉ chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó

Định lý Nếu a b là một khoảng trong đó hàm số ,  f x liên tục và đơn điệu,  

đồng thời f a và   f b trái dấu tức là   f a f b     0 thì a b là một , khoảng phân ly nghiệm của phương trình (1)

Ta có thể mô tả định lý bằng đồ thị như sau:

Nếu f x có đạo hàm thì điều kiện đơn điệu có thể thay bằng điều kiện  

không đổi dấu của đạo hàm vì đạo hàm không đổi dấu thì hàm số đơn điệu Ta có định lý sau:

Định lý Nếu a b là một khoảng trong đó hàm ,  f x liên tục, đạo hàm   f ' x

không đổi dấu và f a ,   f b trái dấu thì  a b là một khoảng phân ly nghiệm , của phương trình (1)

Ví dụ Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình x2 3 0

Hàm số f x liên tục và đơn điệu vì   f ' x 2x0 trên đoạn [1, 2] Vậy đoạn [1, 2] là khoảng phân ly nghiệm của phương trình đã cho

1.1.4 Tính chất nghiệm của phương trình

1.1.4.1 Định lý Franscois Viete

- Đối với phương trình bậc hai ax2bx c 0, (a0)

Nếu x1, x là hai nghiệm (phân biệt hoặc trùng nhau) của phương trình bậc 2

- Đối với phương trình bậc ba ax3bx2cx d 0,(a0)

Nếu x1, , x2 x là ba nghiệm của phương trình 3 ax3bx2cx d 0,(a0) thì 1 2 3 b

.

             

8

31 231 241 21 341 351 3

.

             

So sánh các hệ số tương ứng của các lũy thừa của x ở hai vế, ta được các

hệ thức phải chứng minh

1.1.4.2 Định lý Michel Rolle

Định lý Nếu hàm f x liên tục trên đoạn   a b , khả vi trong khoảng ,  a b và ,

  

f a  f b thì tồn tại một điểm ca b,  sao cho f ' c 0

1.1.4.3 Tiêu chuẩn Eisenstein

Giả sử f x( )a xnnan1xn1  a x1 a0 0, an 0 là một đa thức với

hệ số nguyên Nếu tồn tại một số nguyên tố p không phải là ước của a nhưng np là ước của các hệ số còn lại và p không phải là ước của các số hạng tự do 2

a Thế thì đa thức f x bất khả quy trên  

1.1.4.4 Định lý về sự tồn tại nghiệm (định lý Bolzano-Cauchy thứ nhất)

Nếu có hai số thực a và b a  b sao cho f a và   f b trái dấu tức là      0

f a f b  đồng thời f x liên tục trên  a b thì có ít nhất một điểm , 

 , 

c a b sao cho f c 0

Chứng minh

Giả sử f a( )0, ( )f b 0

  thì định lý được chứng minh với 2

abc 

abf    

  thì có hai khả năng:

abf   

  Khi đó ta gọi [ , ] = 1 1 , 2

  

(để cho giá trị của của hàm số f ở hai đầu vẫn trái dấu)

Lại chia đoạn [a , b ] thành hai phần bằng nhau bởi điểm chia 1 1 1 12

Ta sẽ áp dụng bổ đề về dãy các đoạn thắt vào đẳng thức trên Trước hết ta nhắc lại bổ đề về dãy các đoạn thắt:

  

     

Áp dụng bổ đề về dãy các đoạn thắt, tồn tại một điểm c[an, b ],n n 

suy ra lim n lim n

với a b là hai số đã cho, x được gọi là ẩn ,

- Nếu a  0 thì phương trình ax b 0có nghiệm duy nhất bx

  - Nếu a  0 và b  0 thì phương trình ax b 0 vô nghiệm

- Nếu a  b  0 thì phương trình ax b 0 nghiệm đúng với mọi x (hay

vô số nghiệm)

* Có hai nghiệm phân biệt khi a0,  0

trong đó , , , a b c d là các số cho trước và x gọi là ẩn

Khi giải ta thường đưa phương trình bậc ba về dạng

x3ax2bx c 0 (1) Để giải phương trình (1), ta đặt:

ay x hay

ax y

12 Khi đó thay vào phương trình (1), ta được:

p  b q  c

Ta được phương trình y3py q 0, , p q (2) Dạng (2) gọi là dạng thu gọn của phương trình bậc ba

Ta chỉ xét , p q khác 0 vì p0 hay q0 thì đưa về trường hợp đơn giản Đặt y  u  v thay vào phương trình (2) ta được

pu v

   

 

Theo định lý Franscois Viete, u và 3 v là nghiệm của phương trình: 3

Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm thực, trong đó có một nghiệm kép:

+ Khi  0 thì phương trình (5) có nghiệm phức

Gọi u03 là một nghiệm phức của phương trình (5), v là giá trị tương ứng 03

sao cho 0 03

    

Định lý 3 Xét phương trình f x 0, trong đó f x là đa thức hệ số nguyên  

có bậc lớn hơn hoặc bằng 5 Nếu f là đa thức bất khả quy trên và có đúng hai nghiệm phức trong thì phương trình không được giải bằng căn thức

Để minh họa cho định lý 3, ta xét ví dụ sau

Ví dụ Phương trình   52

f x  x  x  không được giải bằng căn thức

15

Thật vậy, theo tiêu chuẩn Eienstein, thì đa thức f x x59x23 là đa thức bất khả quy với số nguyên tố p3 Do đó ta chỉ cần chứng minh phương trình có đúng hai nghiệm phức hay chứng minh phương trình có đúng ba nghiệm thực

1.2.2.6 Phương trình chứa tham số

Cho hàm số f x ngoài biến ra còn có các chữ cái , , ,  a b c gọi là các tham số Giả sử a , b , , c  là tập hợp các giá trị bằng số nào đó của các chữ cái a b, ,, c Nếu thay các giá trị đó vào hàm f thì ta được

( , , , , )

f x    xác định một hàm số nào đó của biến x thì , , ,    được gọi là hệ thống giá trị thừa nhận được của các tham số Nếu f x( , , , , )   không có

nghĩa với giá trị bằng số của x trên trường số đã cho thì , , ,    là một hệ

thống giá trị không thừa nhận được của các tham số

Phương trình ( , , , , )f x a bc với x là ẩn và các tham số , ,a b, c được gọi là phương trình chứa tham số

Giải phương trình chứa tham số là xác định tất cả các nghiệm của nó với mỗi hệ thống giá trị thừa nhận của các tham số

16

1.2.2.7 Phương trình chứa trị tuyệt đối

a Phương trình dạng f x  a, (a0)Cách giải: f x  a, (a0)  

 

  

   

 

  

 

   

 

d Phương trình dạng f x g x 

Cách giải: f  x g x 

    

   

 

e Phương trình dạng f x   g x 

Cách giải: f x   g x     

  

 

1.3 Một số bất đẳng thức thường dùng để giải phương trình

1.3.1 Bất đẳng Auguste Louis Cauchy

Cho a1, a2, a là các số không âm 3

Khi đó:

Tổng quát Cho n số thực không âm bất kỳ a1, a2, , a thế thì trung bình cộng n,

của n số đó lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng

   

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1a2   an

Bất đẳng thức Auguste Louis Cauchy còn gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân

a aak

  

 Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n k 1

a aak

               

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2

Nếu A  0 thì a1a2  an 0thì bất đẳng thức được chứng minh Cũng tương tự nếu 0B  Do đó ta chỉ xét trường hợp A và B khác không

(a x bn  n)  0 a xn 2a b x bn n  n 0 Cộng vế theo vế của bất đẳng thức trên ta được:

Xét phương trình f x 0 (1) có khoảng phân ly nghiệm là [ , ]a b

Ta biến đổi phương trình (1) về dạng tương đương x  x (2) Với giá trị ban đầu x0 a b, ta xây dựng dãy  xn n 0, dựa vào hệ thức

 1, 1, 2,

nn

Khi phương pháp lặp hội tụ thì x càng gần n  nếu n càng lớn Cho nên ta

xem x với nn xác định là giá trị gần đúng của  Vì vậy chỉ có phương pháp lặp hội tụ mới có giá trị

Để kiểm tra một phương pháp lặp có hội tụ không ta có định lý sau:

21

Chứng minh

Vì  là nghiệm của phương trình x  x nên ta có     

Trừ vế theo vế của biểu thức này cho biểu thức xn  xn1 ta được:

Khi đó:  xn  ' c  xn1   qxn1 Vậy có:  xn   qxn1

Bất đẳng này đúng với mọi n Do đó ta có:

  

Trong đó m là số dương xác định bởi f ' x  m 0 tại x a b,

1.5 Phương pháp Isaac Newton

Đầu tiên ta nhắc đến định lý về khai triển Taylor của một hàm như sau:

Định lý Cho hàm số f x xác định và có đạo hàm cấp   n1 tại x và lân cận 0

của x Giả sử h là một giá trị sao cho 0 x0h cũng thuộc lân cận này Ta có công thức sau đây được gọi là khai triển Taylor bậc n của f x tại   x : 0

Giả sử x là nghiệm của phương trình (1), còn x là nghiệm xấp xỉ tại bước n

thứ n Ta đặt xxn xn Theo khai triển Taylor ta có:

f xx

  

Vì   xnxxn, do đó   

f xxx

 

Khi đó ta suy ra công thức lặp đơn cho phương pháp Isaac Newton

  

nnn

24

Định lý (Điều kiện đủ để phương pháp Isaac Newton hôi tụ)

Giả sử  a b là khoảng phân ly nghiệm ,  của phương trình (1), f x có  

đạo hàm f '   x , ''fx đồng thời f ' x , f '' x liên tục và không đổi dấu trên

 a b Xấp xỉ đầu , x chọn là a hay b sao cho 0 f x   0 ''fx0 0 Khi đó x n

Hình 1.5bHình 1.5a

f' < 0, f'' <0

Hình 1.5dHình 1.5c

f' < 0, f'' > 0f' > 0, f'' < 0

a x1x2

OO

26

Định lý Nếu phương trình f x 0 có  a b là khoảng phân ly nghiệm, đồng ,thời f ' x , ''f  x liên tục và không đổi dấu trên đoạn  a b , với , x0 a b, sao cho f x   0 ''fx0 0 (x được gọi là điểm Fourier, thường được chọn là một 0

trong hai đầu mút a hoặc b ) Khi đó dãy  xn n 0, xây dựng như trên hội tụ đến nghiệm  của phương trình f x 0 và ta có ước lượng

nnn

x  a b

Giải

Đặt Ax x b a    x b b a x b  a ax b a  

Từ x  a b 0 cho x0 ta có được a b nên A 0 b b b        bb b b b  = 0

28

Nếu a b0 thì phương trình có nghiệm x0

Bài 2 Giải phương trình bc b c   cx c  x xb x b  0

Giải

Đặt M bc b c   cx c  x xb x b   Cho x b 0 hay xb

Do đó M trở thành M bc b c   cb c b    0 0Vậy M (x b )

Trong M vai trò của , , b c x là như nhau nên M b c(  ), M (x c )Suy ra M   x bx c b c   

Vì M có bậc là ba đối với , , b c x nên  là hằng số không phụ thuộc vào , ,

b c x

Cho b1, c2, x3 ta được:

2 1 2   6 2 3  3 3 1    3 1 3 2 1 2     1

  



- Nếu bc thì (*) trở thành:

0 x b x c 0  0 0 (đúng)

29 Suy ra phương trình có vô số nghiệm Kết luận

Nếu b0, c0 thì phương trình có nghiệm x0, xc Nếu b0, c0 thì phương trình có nghiệm x0, xb Nếu b c 0 thì phương trình có nghiệm xb x, c

Nếu bc thì phương trình có vô số nghiệm

Bài 3 Giải phương trình 2x a2 22x b2 22a b2 2x4a4b4 0

Mặt khác M là hàm số chẵn đối với , , a b x nên thay a a b,  b,

x x thì biểu thức của M không thay đổi

Do đó M x a b  , M x a b, M a b  x

Mà M là biểu thức có bậc bốn nên

M    a bxx a b  x a b a b x với  là một hằng số không phụ thuộc vào a b x , ,

Cho a  bx 1 ta được: 3 3   1

Hay M a b xx a b  x a b a b  x Khi đó phương trình được viết lại:

a b xx a bx a b a b  x0

30 0

   

      

  

     

Vì trong M vai trò của , , a b x là như nhau nên M xa, M b x

Khi đó M được viết lại M a b x a b  x Q

Vì M có bậc cao nhất là bốn suy ra Q có bậc là một đối với , , a b x

Trong Q vai trò của , , a b x là như nhau nên Q có dạng Qk a b  x

với k là hằng số không phụ thuộc vào a b x , , Suy ra M k a b  xa b x a b  x

Cho x1, a2, b3 ta được 1260  60k.12

  