Các Định Lý Giá Trị Trung Bình Trong Tích Phân.pdf

Trang 1

Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018

Các định lý giá trị trung bình đóng một vai trò quan trọng trong Giải tích Toán học Chúng tôi xin giới thiệu một số phát triển của các định lý đó trong khoảng thời gian 50 năm trở lại đây Chúng tôi cũng nêu ra một số áp dụng các định lý giá trị trung bình cho các bài toán tích phân, trong đó có những bài thi Olympic sinh viên Việt Nam.

1 Các định lý kinh điển

Trước hết ta nhắc lại các định lý giá trị trung bình cho hàm khả vi kinh điển là Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy.

1 Định lý Fermat :1

Giả sử hàmf :[a, b] → Rliên tục trên[a, b], đạt cực trị (địa phương) tại điểm

x0∈ (a, b)và khả vi tạix0 Khi đóf0(x0) =0.

2 Định lý Rolle2: Năm 1691 Rolle đưa ra định lý sau mang tên ông:

Giả sử hàmf :[a, b] →Rliên tục trên[a, b], khả vi trong(a, b)

và f() =f(b) Khi đó tồn tại điểm c∈ (a, b)đểf0() =0.

1Pierre de Fermat (1601-1665), nhà toán học người Pháp.

2Michel Rolle (1652-1719), nhà toán học người Pháp.

3Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), nhà toán học người Pháp.

4Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), nhà toán học người Pháp.

41

Trang 2

Giả sử các hàmf , g :[a, b] →Rliên tục trên[a, b], khả vi trong(a, b), đồng thời

g0(x) 6=0,∀x∈ (a, b) Khi đó tồn tại điểm c∈ (a, b)sao cho

g0( =

f(b) − (fag(b) − (ga .

5 Định lý giá trị trung bình tích phân thứ nhất:

Xét các hàmf , gkhả tích trên[a, b]và gọi m= inf

6 Định lý giá trị trung bình tích phân thứ hai:

Xét các hàmf , gkhả tích và là hàm đơn điệu trêng [a, b] Khi đó∃ξ∈ [a, b]sao cho

Nhận xét 1 Các định lý trên đây có ý nghĩa hình học là "tồn tại một hình chữ nhật

có diện tích bằng một hình phẳng cho trước".

Với hàm f(x)liên tục trên[a, b], khả vi trong khoảng(a, b)thì theo định lý Lagrange tồn tạic∈ (a, b)sao cho

Trang 3

Do đó suy ra

af(x)dx= (fc)[f(b) − (fa)] (2.1) Tuy nhiên, ta nghi ngờ tính đúng đắn của (2.1) vì điểm của định lý giá trị trungc

bình tích phân và điểm của định lý Lagrange không chắc là trùng nhau.cLấy ví dụ sau: Xét f(x) =x2trên[0, 1].

Theo định lý giá trị trung bình tích phân thứ nhất

Mệnh đề 1 Giả sửf(x)là hàm liên tục trên đoạn[a, b], khả vi trong khoảng(a, b) Khi đó tồn tại điểmc∈ (a, b)thỏa mãn hệ thức (2.1).

Ta thấyh(x)liên tục trên[a, b], khả vi trong(a, b)và h( ) =h(b) =0 Theo định lý Rolle tồn tại điểmc∈ (a, b)sao choh0() =0 Thế mà

Mệnh đề 2 Giả sửf(x)và g(x)là các hàm liên tục trên đoạn[a, b], khả vi trong khoảng(a, b) Khi đó tồn tại điểmc∈ (a, b)sao cho

Trang 4

Ta thấyH(x)liên tục trên[a, b], khả vi trong(a, b)vàH() =H(b) =0 Theo định lý Rolle tồn tại điểmc∈ (a, b)sao choH0() =0 Thế mà

•Định lý Flett5 Năm 1958 Flett đưa ra định lý sau:

Cho hàmf(x)khả vi trên[a, b]và thỏa mãnf0() = f0(b)(hai đạo hàm này được hiểu là đạo hàm một phía) Khi đó tồn tại điểmc∈ (a, b)sao cho

f0() =f() −f(

c−a .

Chứng minh.(Xem [2] hoặc [6]).

Ta có thể giả thiết f0( ) =f0(b) =0, vì có thể thayf(x)bởi h(x) =f(x) −x f0( , lúc

đó h0(x) =f0(x) −f0( ), h0( ) =ah0(b) =0và nếu kết luận đúng với h(x)thì

Trang 5

Suy ra∃x1∈ (a, b)để g(x1) > (gb)(bởi vì nếug(x) 6g(b),∀x∈ (a,b)thì sẽ dẫn tới

g0(b) >0, mâu thuẫn vớig0(b) <0).

Lúc này g() =0<g(b) <g(x1) và dog(x)liên tục, nên phải tồn tạix2∈ (a, b)

để g(x2) =g(b) Sử dụng định lý Rolle cho hàmg(x)trên[x2, b]thì tồn tại điểmc∈ (x2, b) ⊂ (a, b)sao cho g0() =0, dẫn tới kết luận như trên.

+) Nếug(b) <0ta chứng minh tương tự.

•Định lý Meyer6 Năm 1977 Meyer đưa ra định lý sau:

Giả sửf :[a, b] →Rlà hàm khả vi trên[a, b]và thỏa mãnf0() =f0(b) Khi đó tồn tại điểmc∈ (a, b)sao cho

Dễ thấym(x)liên tục và khả vi Nếum(x)đạt cực trị tạic∈ (a, b)thì theo định lý

Fermat m0() =0, dẫn đến kết luận của định lý.

Nếu m(x)đạt cực trị tạiahoặc bthì không giảm tổng quát ta giả thiếtm() 6m(x) 6

Lấy giới hạn khix→a+0ta đượcf0( ) 6m( , nênm(b) =f0(b) =f0() 6m( )a Dẫn tớim(x)là hàm hằng, do đóm0(x) ≡0và ta có kết luận của định lý.

•Định lý Sahoo và Riedel7 Năm 1998 Sahoo và Riedel đưa ra định lý:

6R.E Meyer (1919-2008), giáo sư đại học Wisconsin–Madison, USA.

7P.K Sahoo và T Riedel, các giáo sư đại học Louisville, USA.

45

Trang 6

Giả sửf :[a, b] →Rlà hàm khả vi trên[a, b] Khi đó tồn tại điểmc∈ (a, b)sao cho

f() − (fa) =f0()(c− ) −a 21·f0(bb) −f0( −a ( −a2.

•Định lý Pawlikowska8 Năm 1999 Pawlikowska đưa ra định lý sau:

Cho f :[a, b] →Rlà hàm khả vi cấpntrên[a, b]và f(n)() =f(n)(b) Khi đó tồn tại

•Định lý Riedel và Sablik9 Năm 2004 Riedel và Sablik đưa ra định lý:

Giả sửf :[a, b] →Rlà hàm khả vi trên[a, b] Khi đó tồn tạic∈ (a, b)sao cho

Năm 2011 Devrim C¸akmak và Tiryaki đưa ra định lý:

Giả sửf :[a, b] →Rlà hàm khả vi Khi đó tồn tạic∈ (a, b)sao cho

f(b) − (fc) =f0( )(cb−c) −21·f0(bb) −f0( −a (b−c2.

Ghi chú.Chứng minh của các định lý này có thể xem trong[2]hoặc[6].

Nhận xét 2 Định lý Meyer là một cách bổ sung cho đầy đủ của định lý Flett và chứng

minh của định lý Meyer dựa theo cách chứng minh thứ hai của định lý Flett.

Khi f0() = f0(b)thì định lý Sahoo và Riedel trở thành định lý Flett, còn định lý C¸akmak và Tiryaki trở thành định lý Meyer.

Định lý Lagrange nói rằng tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàmf(x)song song với đường thẳngAB.

Định lý Flett nói rằng tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàmf(x)đi qua điểm , định lýA

Meyer nói rằng tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàmf(x)đi qua điểm B

Theo định lý Rolle tồn tạiα∈ (0, 1)sao choh0(α) =0 Suy ra điều cần chứng minh.

8Iwona Pawlikowska, PhD Mathematics, Memphis, TN, United States.

9M Sablik, giáo sư đại học Silesia, Katowice, Polska.

10D C¸akmak và A Tiryaki, các giáo sư đại học Gazi, T ¨urkiye.

46

Trang 7

Bài toán 2 Cho hàmf :[0, 1] →Rliên tục thỏa mãn Theo định lý Rolle tồn tạic∈ (0, α) ⊂ (0, 1)sao chog0() =0.

Suy ra điều cần chứng minh.

Nhận xét 3 Lấy a=2018ta được bài B.3 trong đề thi Giải tích OLP-2018.

Bài toán 3 Cho hàmf :[0, 1] →Rliên tục thỏa mãn

Theo định lý Rolle tồn tạib∈ (0, 1)sao choh0(b) =0.

Do h0(0) =h0(b) =0, nên theo định lý Flett tồn tạiα∈ (0, b) ⊂ (0, 1)sao cho

suy ra điều phải chứng minh.

Bài toán 4 Cho hàmf :[0, 1] →Rliên tục thỏa mãn

Trang 8

Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 Theo định lý Rolle tồn tạic∈ (0, α) ⊂ (0, 1)sao chog0() =0.

Bài toán 5 Cho hàmf :[0, 1] →Rkhả vi thỏa mãn Theo định lý Rolle tồn tạic∈ (0, α) ⊂ (0, 1)sao choh0() =0.

Nhận xét 4 Lấy a=2018ta được bài A.2 trong đề thi Giải tích OLP-2018.

Bài toán 6 Cho hàmf :[0, 1] →Rkhả vi thỏa mãn Theo định lý Rolle tồn tạic∈ (0, α) ⊂ (0, 1)sao choh0(β) =0.

Bài toán 7 Cho hàmf :[0, 1] →Rliên tục sao cho

Trang 9

0 F(x)dx<0, đều trái với(∗).

Vậy phải tồn tại b∈ (0, 1)đểF(b) =0.

Lại sử dụng định lý Rolle cho hàmf(x)trên đoạn[c c1, 2](hoặc đoạn[c2, c1]) thì tồn

tại c∈ (c c1, 2) ⊂ (0, 1)(hoặc c∈ (c c2, 1) ⊂ (0, 1)) sao chof0() =0.

Lưu ý.Nếu xảy ra trường hợpc1=c2=α∈ (0, 1)thì có 2 khả năng:

+) Khả năng 1: Tồn tạiβ∈ (0, 1), β6=α, f(β) =0thì ta áp dụng định lý Rolle cho

f(x)trên[α, β] ⊂ (0, 1)(hoặc]β, α] ⊂ (0, 1)) Kết luận của bài toán vẫn đúng.

+) Khả năng 2:f(x) 6=0,∀x∈ [0, 1], x6=αthì do tính liên tục củaf(x)ta có thể giả

0 f(x)dx=0,trái giả thiết của đề bài! Vậy không thể xáy ra khả năng này!

49

Trang 10

Bài toán 9 (OLP-2010, xem [1]) Cho hàm. f(x)khả vi trên[0, 1]và thỏa mãn

Z10 f(x)dx=

0 x f(x)dx=1 Chứng minh rằng tồn tại điểmc∈ (0, 1)sao cho f0() =6 Lời giải.Xét hàm g(x) =6x−2 Dễ dàng thấy rằng

0 x f(x)dx<1, mâu thuẫn với giả thiết của đề bài!

Vậy h(x) =0phải có ít nhất hai nghiệm trong(0, 1).

Giả sử hai nghiệm đó làa, b∈ (0, 1)và a<b Ta cóh() =h(b) =0, nênf(b) −

f() =g(b) − (ga Theo định lý Lagrange tồn tạic∈ (a, b) ⊂ (0, 1)sao cho

Trang 11

Nhận xét 5 Bài 8 được đưa về bài 9 nếu thay hàmf(x)bởi hàmf(x) +6x−2và bài 9 được đưa về bài 8 nếu thay hàmf(x)bởi hàmf(x) −6x+2.

Bài toán 10 Cho hàmf :[0, 1] →Rliên tục và thỏa mãn

Theo định lý Rolle tồn tại c∈ (0, 1)đểg0() =0 Suy ra điều phải chứng minh.

Bài toán 11 Cho hàmf :[0, 1] →Rliên tục và thỏa mãn

Theo định lý Rolle tồn tại c∈ (0, 1)đểg0() =0 Suy ra điều phải chứng minh.

Bài toán 12 Cho hàmf(x)khả vi trên[0, 1]và thỏa mãn suy ra điều phải chứng minh.

Bài toán 13 (OLP-Romania-2006) Cho hàm f : [0, 1] → Rliên tục và thỏa mãn

Trang 12

Áp dụng định lý Rolle cho hàmg(t)thì tồn tạic∈ (0, ξ) ⊂ (0, 1)sao chog0() =0 Từ đây suy ra điều cần chứng minh.

Bài toán 15 Cho f là hàm liên tục trên[0, 1]và thỏa mãn

Trang 13

Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 Từ đây theo định lý Rolle suy ra điều phải chứng minh.

Bài toán 17 Cho hàmf :[a, b] →Rliên tục và thỏa mãn

Trang 14

Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 Suy ra điều cần chứng minh.

Bài toán 19 Cho f :[0, 1] →Rlà hàm khả vi thỏa mãnf(1) =0, f0(1) =1 Chứng tỏ rằng tồn tạic∈ (0, 1)sao cho

Trang 15

Ta thấyg0(0) =g0(1) =0, nên theo định lý Flett tồn tạic∈ (0, 1)sao cho

Bài toán 20 Cho 0<a<bvà hàmf :[a, b] →Rliên tục Chứng minh rằng tồn tạic∈ (a, b)sao cho

Bài toán 21 Cho f(x), g(x)là các hàm dương, liên tục trên[a, b]và cho số thực α

Chứng minh rằng tồn tạic∈ (a, b)sao cho

Trang 16

Bài toán 22 (OLP-2001, xem [1]) Chứng minh rằng tồn tại số thực. x∈ (0, 1)sao cho

Vậy có điều phải chứng minh.

Bài toán 23 Cho hàmf(x)khả vi cấp 2 trên[0, 1]

0 f(x2)dx (điều phải chứng minh!)

Bài toán 24 (OLP-2009, xem [1]) Cho hàm. f(x)khả vi cấp 2 trên[0, 1]và f00(x) >0,∀x∈

Trang 17

Lời giải.Vì f00(x) >0,∀x∈ [0, 1], nênf0(x)đơn điệu tăng trên[0, 1].

0 f(x2)dx−f(0) (điều phải chứng minh!)

Bài toán 25 (OLP-2012, xem [1]) Cho hàm. f(x)liên tục trên[0, 2012]và thỏa mãn f(x) +

Trang 18

và ta được điều cần chứng minh.

Bài toán 26 Cho hàmf :[a, b] →Rkhả vi liên tục Chứng minh rằng tồn tạic∈ [a, b]

[2] Vũ Tiến Việt (chủ biên), Phạm Thị Hằng, Nguyễn Thị Lê, Giáo trình Toán Cao cấp - Họcphần A2 Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2016.

[3] Peter R Mercer, More Calculus of a Single Variable, Springer Science and Business

Me-dia, New York, 2014.

[4] Radulescu T L., Radulescu V D., Andreescu T., Problems in Real Analysis: AdvancedCalculus on the Real Axis, Springer Verlag, 2009.

[5] József Sándor, Selected Chapters of Geometry, Analysis and Number Theory, Lambert

Pub-lishing, 2005.

[6] Sahoo P K., Riedel T., Mean Value Theorems And Functional Equations, World Scientific,

58