ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10

Kỹ Thuật - Công Nghệ - Khoa học xã hội - Quản trị kinh doanh UBND TỈNH QUẢNG NAM TRỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- THÁI THỊ VI ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRONG CHƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2016 UBND TỈNH QUẢNG NAM TRỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA TOÁN ---------- KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Tên đề tài: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRONG CHƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10 Sinh viên thực hiện THÁI THỊ VI MSSV: 2112020143 CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI HỌC S PHẠM TOÁN KHÓA 2012 - 2016 Cán bộ hướng dẫn ThS. DƠNG THỊ THU THÚY MSCB: T34 – 15111 - 26647 Quảng Nam, tháng 5 năm 2016 MỤC LỤC PHẦN 1. MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 1 1.1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................................... 1 1.2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................. 1 1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ............................................................................. 1 1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................................... 1 1.5. Đóng góp của đề tài .................................................................................................... 1 1.6. Cấu trúc đề tài ............................................................................................................ 2 PHẦN 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ............................................................................. 3 CHƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC .................................... 3 1.1. Số phức ........................................................................................................................ 3 1.1.1. Khái niệm số phức .................................................................................................... 3 1.1.2. Xây dựng trường số phức ......................................................................................... 3 1.1.3. Định nghĩa ................................................................................................................ 4 1.1.4. Các phép toán trên tập số phức ................................................................................ 4 1.1.5. Dạng lượng giác của số phức .................................................................................. 6 1.1.6. Dạng mũ của số phức ............................................................................................... 9 1.1.7. Công thức Moa-vrơ .................................................................................................. 9 1.1.8. Căn bậc n của số phức ............................................................................................. 9 CHƠNG 2. BIỂU DIỄN MỘT SỐ KẾT QUẢ HÌNH HỌC BẰNG NGÔN NGỮ SỐ PHỨC ......................................................................................................................... 10 2.1. Biểu diễn hình học của số phức ............................................................................... 10 2.1.1. Biểu diễn hình học của số phức ............................................................................ 10 2.1.2. Biểu diễn hình học của modul ............................................................................... 10 2.1.3. Biểu diễn hình học của các phép toán đại số ........................................................ 11 2.2. Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trƣớc................................................................... 12 2.3. Góc của tam giác ....................................................................................................... 12 2.4. Góc giữa hai đƣờng thẳng........................................................................................ 14 2.5. Các điều kiện thẳng hàng, vuông góc, và cùng thuộc một đƣờng tròn ............... 15 2.6. Phƣơng trình đƣờng thẳng ...................................................................................... 16 2.6.1. Phương trình đường thẳng qua hai điểm ............................................................. 16 2.6.2. Phương trình tham số của đường thẳng ............................................................... 18 2.6.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng............................................................. 19 2.7. Phƣơng trình đƣờng tròn......................................................................................... 20 2.7.1. Phương trình tổng quát của đường tròn ............................................................... 20 2.7.2. Một số kết quả liên quan đến bài toán đường tròn ............................................... 21 CHƠNG 3. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRONG CHƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10. ...................................................................... 25 3.1. Ứng dụng số phức giải bài toán vector ................................................................... 25 3.2. Ứng dụng số phức giải bài toán hệ thức lƣợng trong tam giác ............................ 31 3.3. Ứng dụng số phức giải bài toán tam giác, tứ giác, đƣờng tròn ............................ 36 PHẦN 3. KẾT LUẬN ...................................................................................................... 45 PHẦN 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 46 1 PHẦN 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài Số phức có vai trò quan trọng trong toán học, nó xuất hiện từ đầu thế kỷ XVI do nhu cầu phát triển của toán học về giải những phương trình đại số. Từ khi ra đời, số phức đã thúc đẩy toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa họ c và kỹ thuật. Ở bậc học THPT số phức đã được đưa vào giảng dạy trong chương trình toán giả i tích lớp 12. Đối với học sinh thì số phức là một nội dung còn mới mẽ, với thời lượ ng không nhiều học sinh chỉ biết được những kiến thức rất cơ bản của số phức cũng như những ứng dụng số phức trong giải toán chỉ mới dừng lại ở việc giải các bài tập đơn giả n, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế. Nhưng số phức còn là công cụ hữ u hiệu để giải quyết một số bài toán hình học. Do đó, tôi chọn đề tài: “Ứng dụng số phứ c giải một số dạng bài tập trong chương trình hình học lớp 10” làm đề tài khóa luận tố t nghiệp. 1.2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc ứng dụng số phức vào giải một số dạng bài tập trong chương trình hình học lớp 10, từ đó giúp học sinh có nhiều hướng giải quyết một bài toán cụ thể liên quan đến vector, hệ thức lượng trong tam giác, đường thẳng, đa giác, đườ ng tròn trong mặt phẳng. 1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Dùng số phức để giải quyết một số dạng bài tập vector, hệ thức lượng trong tam giác, đường thẳng, đa giác, đường tròn. - Phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình hình học lớp 10. 1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp các kiến thức. - Trao đổi, thảo luận với chuyên gia. 1.5 . Đóng góp của đề tài Khóa luận sau khi hoàn thành sẽ là một tài liệu tham khảo về chuyên đề giải một số dạng bài hình học lớp 10 bằng công cụ số phức cho các bạn đọc quan tâm. 2 1.6. Cấu trúc đề tài Khóa luận gồm phần mở đầu, kết thúc và ba chương: - Chương 1: Một số khái niệm cơ bản về số phức. - Chương 2: Biểu diễn một số kết quả hình học bằng ngôn ngữ số phức. - Chương 3: Ứng dụng số phức giải một số dạng bài tập trong chương trình hình học lớp 10. Phần tài liệu tham khảo và phụ lục. 3 PHẦN 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CHƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC 1.1. Số phức 1.1.1. Khái niệm số phức Ta biết rằng trường số thực nhận được bằng cách làm “đầy” trường số hữu tỉ , mà nó được xây dựng từ vành số nguyên . Việc làm đầy xuất phát từ sự nghiên cứu các phương trình đại số với hệ số hữu tỉ và giới hạn của các dãy số hữu tỉ. Tuy nhiên trường vẫn không đầy đủ, bởi vì ngay cả phương trình đơn giản2 1 0x   (1) cũng không có nghiệm trong . Còn trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong , ngườ i ta không thể giải thích được tại sao hàm  2 1 1 f x x   không thể khai triển đượ c thành chuỗi lũy thừa trên toàn bộ đường thẳng. Với lí do trên, buộc ta phải tìm kiếm trường K nào đó chứa như một trườ ng con sao cho tối thiểu phương trình (1) có nghiệm. Ở đây ta nói là trường con của K nế u các phép toán trên được cảm sinh bởi các phép toán trên K. 1.1.2. Xây dựng trường số phức Giả sử trường chứa như một trường con mà phương trình2 1 0x   có nghiệm trong nó, khi đó phải có một phần tử để2 1i   . Vì nên chứa tất cả các phần tử dạng . Do đó, một cách tự nhiên ta xét tập các cặp số thực : { } Sau đó đưa vào quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng trở thành một trường chứa như một trường con (qua phép đồng nhất n ào đó). Các phép toán này được dẫn dắt từ các phép toán của trường với chú ý2 1.i   i) Quan hệ bằng nhau: ii) Phép cộng: iii) Phép nhân: Tập hợp với quan hệ bằng nhau, các phép cộng và nhân xác định như trên lậ p thành một trường thỏa mãn các điều kiện sau: 1) chứa trong như một trường con (qua đồng nhất với ) 2) Tồn tại nghiệm của phương trình2 1 0x   trong 4 1.1.3. Định nghĩa Số phức là số có dạng: trong đó . Phép biểu diễn số phức dưới dạng gọi là dạng đại số của số phức . Trong đó số được gọi là phần thực của số phức , kí hiệu Re được gọ i là phần ảo của số phức kí hiệu Im Số phức có dạngyi , y  được gọi là số thuần ảo, số phứci gọi là số đơn vị ảo. Tập tất cả số phức kí hiệu là . 2 , , 1x yi x y i      1.1.4. Các phép toán trên tập số phức Từ các hệ thức trên ta dễ dàng có các kết quả sau: i)1 2z z khi và chỉ khi   1 2Re Rez z và   1 2Im Imz z ; ii)z  khi và chỉ khi Im 0z  ; iii)\z  khi và chỉ khi Im 0z  .  Phép cộng       1 2 1 1 2 2 1 2 1 2z z x y i x y i x x y y i          . Dễ thấy tổng hai số phức là một số phức có phần thực là tổng các phần thực, có phần ảo là tổng các phần ảo:     1 2 1 2Re Re Rez z z z       1 2 1 2Im Im Imz z z z   .  Phép trừ       1 2 1 1 2 2 1 2 1 2z z x y i x y i x x y y i          Ta có:     1 2 1 2Re Re Rez z z z       1 2 1 2Im Im Imz z z z   .  Phép nhân         1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1. . . . . .z z x y i x y i x x y y x y x y i        Ta có:         1 2 1 2 1 2Re . Re .Re Im .Imz z z z z z          1 2 1 2 2 1Im . Im .Re Im .Rez z z z z z  . 5 Mỗi số thực , số phứcz x yi  , z x yi x yi         là tích của một số thực với một số phức. Ta có các tính chất sau: i) 1 2 1 2z z z z      ; ii)   1 2 1 2z z     ; iii) 1 2 1 2z z z       .  Số phức liên hợp Mỗi số phứcz x yi  đều có số phứcz x yi  , số phức đó được gọi là số phứ c liên hợp của số phứcz . Mệnh đề 1.1. 1) Hệ thứcz z đúng khi và chỉ khiz  ; 2) Mỗi số phứcz ta luôn có đẳng thứcz z ; 3) Mỗi số phứcz ta luôn có.z z là một số thực không âm; 4)1 2 1 2z z z z   (số phức liên hợp của một tổng bằng tổng các số phức liên hợp); 5)1 2 1 2. .z z z z (số phức liên hợp của một tích bằng tích các số phức liên hợp); 6) Mỗi số phức khác0 đẳng thức sau luôn đúng    1 1 z z    ; 7)1 1 2 2 2 , 0 z z z z z        (liên hợp của một thương bằng thương các liên hợp); 8) Công thức Re 2 z z z   và Im 2 z z z i   , đúng với mọi số phứcz  . Ghi chú: i) Phần tử nghịch đảo của số phức z  có thể được tính như sau:2 2 2 2 2 2 1 . z x yi x y i z x y x y x yz z         ii) Số phức liên hợp được sử dụng trong việc tìm thương của hai số phức như sau:   1 1 2 21 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 . . . x y i x y iz z z x x y y x y x y i z x y x y x yz z              Môđun của số phức Số2 2 z x y  được gọi là môđun của số phứcz x yi  . 6 Mệnh đề 1.2. 1) Rez z z   và Imz z z   ; 2)0 ,z z   , ngoài ra0z  khi và chỉ khi0z  ; 3)z z z   ; 4)̅ ; 5)1 2 1 2. .z z z z (môđun của một tích bằng tích các môđun); 6)1 2 1 2 1 2z z z z z z     ; 7)11 , 0z z z    . 8)1 1 2 2 2 , 0 zz z z z   (môđun của một thương bằng thương các môđun); 9)1 2 1 2 1 2z z z z z z     . 1.1.5. Dạng lượng giác của số phức Trên mặt phẳng cho một hệ tọa độ vuông góc, sự biễ u diễn số phức theo những điểm trên mặt phẳng cho ta dễ dàng nghiên cứu các phép toán trên số phức: cho hai số phức dạng đại số1 1 1z x iy  ,2 2 2z x iy  . Đó là hai điểm1 2,Z Z trong hệ tọa độ vuông góc ứng với số trên. ĐiểmO là tọa độ gốc. Ta nối điểm1 2,Z Z với gốcO và xác định vector1 2,OZ OZ . Sau đó dự ng hình bình hành1 2OZ ZZ . Như vậy đỉnh thứ tư biểu diễn tọa độ của số phức1 2z z như tổng của hai số phức đã cho. Do đó tổng hai số phức có thể biễu diễn hình học như cộng hai vector trong mặ t phẳng. Bởi vì mỗi điểm trên mặt phẳng tương ứng với một bán kính vectơOZ và ta thấ y ngay1 2OZ OZ OZ  , ta có nhận xét là khi xem số phức như những điểm trên mặt phẳ ng với hệ tọa độ gốcO thì có thể xem số phức như là những vectơ trên mặt phẳng này,x y Z O 7 chính điều nhận xét này mà ta áp dụng được số phức vào giải nhữ ng bài toán trong hình học phẳng. Một số phức xác định như là một điểm trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho trướ c. Ngoài ra, một điểm trong mặt phẳng cũng hoàn toàn xác định bởi hệ tọa độ cực: thật vậ y, cho0z x iy   thì số phức này ứng với một vectơOZ , ta ký hiệu là độ dài bán kính vectơ này, còn là độ lớn của góc định hướng giữa trục hoành và vectơ xác định số phức (góc có hướng dương là góc có chiều quay trục hoành đến vectơ theo chiều ngược kim đồng hồ, góc có hướng âm thì ngược lại). Rõ ràng là một số thực không âm. Nếu điểm nằm trên trục hoành thì số chính là môđun của số thực tương ứng, vì vậy cho số phức ta cũng định nghĩa là môđun của và kí hiệu làz . Do đó √ hoặc̅ . Góc được gọi là argument của số phức và kí hiệu làarg z . Giá trị của có thể là âm hoặc dương phụ thuộc vào hướng quay của trục hoành đến nó. Có thể xác định bằng: √ và √ argument của số phức0z  có vô số giá trị. Nếu một giá trị đã xác định thì argument được xác định theo công thức:arg 2z k    ,k là số nguyên. Thường thường ta chỉ dùng giá trị của argument trong tập 0, 2  . Những số và biểu diễn một tọa độ cực của Nếu cho một điểm , thì mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ vuông góc như sau . Khi đó số phức có thể viết cos sin cos sinz r ir r i        . Một số phức viết theo dạng trên người ta gọi là dạng lượng giác của số phức. Cho hai số phức dưới dạng lượng giác 1 1 1 1cos sinz r i    và 8 2 2 2 2cos sinz r i    . Ta có tính chất sau: 1) Nếu1z trùng với2z , thì môđun củ a chúng bằng nhau và argument của chúng1 2,   khác nhau một số nguyên lần2  . 2) Tích của hai số phức            1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 cos sin . cos sin cos .cos sin .sin cos .sin sin .cos cos sin z z z r i r i r r i i r r i                                 Như vậy, tích của hai số phức viết dưới dạng lượng giác cos sinz r i    , ở đór là tích của1 2r r hai môđun của hai thừa số. Hoặc là1 2 1 2z z z z . Còn argument là tổng1 2   của hai argument thừa số, hay nói cách khác1 2 1 2arg arg argz z z z  . Bằng phương pháp qui nạp dễ dàng chứng minh được          1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 cos sin cos sin ... cos sin ... cos ... sin ... n n n n n n r i r i r i r r r i                                    Hoàn toàn tương tự ta có thể làm phép chia các số phức                1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin r i r i i z z r i r i i r i r r i r                                             Do đó,1 1 2 2 z z z z  và 1 1 2 2 arg arg arg z z z z   . Bây giờ dễ dàng biểu diễn hình học tích của hai số phức1 2,z z là1 2.z z z với    1 1 1 1 2 2 2 2 cos sin cos sin z r i z r i        x y 0 9 là một điểm với bán kính vectơ1 2r r và argument1 2   . 1.1.6. Dạng mũ của số phức Với mọi số thực , ta đặtcos sini e i     . Như vậy số phức còn có thể viết dướ i dạngi z re   gọi là dạng mũ của số phức.  Một số tính chất. Với mọii z re   ,1 1 1 i z r e   ,2 2 2 i z r e   . Ta có: 1) 1 2 1 2 1 2 i z z r r e    2) 3) . ,n n in z r e n N    . 1.1.7. Công thức Moa-vrơ Cho một số phức bất kỳ dưới dạng lượng giác cos sinz r i    theo công thứ c nhân ở trên ta có    cos sin cos sin nn n z r i r n i n        vớin là một số nguyên bất kỳ. Công thức Moa-vrơ còn đúng với các số mũ nguyên âm. Thật vậy,   1 11 cos sin cos sin z r i r i              1 cos sinr i       . 1.1.8. Căn bậc n của số phức Cho số phức cos sinz r i    ta gọi căn bậc n của là tậpn z   sao chon z   . Đặt . Theo công thức Moa-vrơ ta có:   cos sin cos sinn n p n i n r i         Từ đó suy ra:cos cos , sin sinn n p n r p n r      , hay,n p r2 k n      ,k R . Như vậy ta có công thức2 2 cos sin : 0,1,..., 1n n k k z r i k n n n                  . 10 CHƠNG 2. BIỂU DIỄN MỘT SỐ KẾT QUẢ HÌNH HỌC BẰNG NGÔN NGỮ SỐ PHỨC 2.1. Biểu diễn hình học của số phức 2.1.1. Biểu diễn hình học của số phức Ta vừa định nghĩa số phức tương ứng với cặp số thực , vì vậy, một cách tự nhiên, ta có thể đặt số phức ứng với một điểm trong mặt phẳng . Gọi là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng tương đương với hệ trục tọa độ. Khi đó ánh xạ là song ánh. Định nghĩa 2.1. Điểm được gọi là ảnh hình học của số phức . Ngược lại, số phức được gọi là tọa vị của điểm . Hơn nữa, ta sẽ dùng kí hiệu để chỉ tọa vị của là số phức . Từ định nghĩa này, ta suy ra điểm (đối xứng với qua trục ) là ảnh hình học của̅ . Ta biết rằng, tọa độ của điểm cũng là tọa độ của vector⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , do đó, ta cũng có thể đồng nhất số phức với vector⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Gọi là tập hợp tất cả các vector có cùng điểm gốc . Khi đó, ta chứng minh đượ c ánh xạ:⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , Là song ánh, trong đó⃗⃗ là các vector đơn vị của trục hoành và trục tung. 2.1.2. Biểu diễn hình học của modul Xét số phức có tọa độ ảnh hình học trong mặt phẳng phức. Ta có: √ ,M(x,y) M''''(x,-y) 11 suy ra √ ⃗ . Nói cách khác, modul của số phức là độ dài của đoạn thẳng hay độ dài của vector⃗ . 2.1.3. Biểu diễn hình học của các phép toán đại số  Phép cộng và phép trừ. Xét các số phức và lần lượt tương ứng với các vector⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Ta dễ dàng thấy rằng tương ứng với⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Ví dụ 2.1. Ta có , vì vậy ảnh hình học của tổng này đượ c thể hiện là Ta có: , vì vậy ảnh hình học của hiệu này được thể hiện là Chú ý: Ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √ . Đây chính là khoảng cách giữa hai điểm .8 6 4 2 2 4 6 15 10 5 5 10 158 6 4 2 2 4 6 8 15 10 5 5 10 15 12  Tích của một số thực và một số phức. Xét số phức ứng với vector⃗⃗⃗ . Nếu là một số thực thì ứng với vector⃗⃗⃗ . Hơn nữa, nếu thì các vector⃗⃗ cùng hướng và ⃗ ⃗ . 2.2. Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trƣớc Xét hai điểm phân biệt . Một điểm nằm trên đường thẳng chia đoạn thẳng theo tỉ số { } nếu⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Từ hệ thức này, ta có được: Định lý 2.1. Cho là các điểm phân biệt, không thẳng hàng trong mặ t phẳng phức. Khi đó, trung điểm của đoạn thẳng có tọa độ phức là: Chứng minh. Từ nguyên lý cộng hai vector suy ra rằng: Nếu là trung điểm của thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) hoặc tọa vị của biểu diễn qua là 2.3. Góc của tam giác Một tam giác có hướng dương nếu các đỉnh của nó theo thứ tự ngược chiều quay của kim đồng hồ. Ngược lại ta nói tam giác có hướng âm. Xét các điểm phân biệt và không trùng với gốc tọa độ mặt phẳng phức. Góĉ được định hướng nếu các điểm theo thứ tự ngược chiều quay của kim đồng hồ.y xOM(x,y) x yM C B A O x y 13 Mệnh đề 2.1. Số đo của góc định hướnĝ là . Chứng minh. Ta xét hai trường hợp: (i) Nếu tam giác theo hướng âm thì̂̂̂ . (ii) Nếu tam giác theo hướng dương thì̂̂ . Do đó̂ ( ) . Chú ý: Mệnh đề vẫn đúng nếu ba điểm thẳng hàng. Ví dụ 2.2. a) Cho . Khi đó . Từ đó suy râ̂ . b) Cho . Khi đó . Do đó̂̂ . Định lý 2.2. Cho các điểm phân biệt . Khi đó, góc định hướnĝ có số đo góc là . Chứng minh. Thực hiện phép tịnh tiến theo vector⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Qua phép tịnh tiến này, các điểm lần lượt trở thành , . Hơn nữa, ta cũng có đượĉ̂ . Từ kết quả ở mệnh đề 2.1, ta có̂̂ . Ví dụ 2.3. Cho . Khi đóM1 M2 x y OM1 M2 y xO 14 Từ đó ta có̂̂ . Chú ý: Một cách tổng quát, biểu diễn độ đo góc theo hướng dương của hai vector bất kỳ theo tọa vị của các số phức thì sao? Cho hai vector⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ với tọa vị các điểm tương ứng . Ta cần phải quay vector đơn vị⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đi một góc theo chi ều dương nghĩa là từ đó Vậy góc phải tìm̅̅ từ đó có {̅̅̅ ̅ ̅̅̅ ̅ Từ đó đẳng thức trên suy ra vector⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vuông góc với nhau khi và chỉ khi:̅̅̅̅ . và chúng song song với nhau khi và chỉ khi̅̅̅̅ . Nhận xét: - Do công thức (1) nếu trùng với trùng với gốc tọa độ và , thì khi biết tọa vị và góc với các giá trị đặc biệt thì tính được tọa vị theo như sau:  , thì .  , thì ( √ ) .  , thì (√ ) . 2.4. Góc giữa hai đƣờng thẳng Trong mặt phẳng phức, cho hai điểm , và . Khi đó, vì (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) nên 15 (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) hay góc định hướng tạo bởi tia với tia bằng . Từ đó, nếu cho bốn điểm phân biệt thì góc định hướng tạo bởi đường thẳng bằng . Chứng minh. (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) nên (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) hay góc định hướng tạo bởi đường thẳng với đường thẳng bằng . 2.5. Các điều kiện thẳng hàng, vuông góc, và cùng thuộc một đƣờng tròn Cho bốn điểm phân biệt . Mệnh đề 2.2. Các điểm phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi . Chứng minh. Ta có các điểm thẳng hàng khi và chỉ khî { } hay . Mệnh đề 2.3. Các đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi . Chứng minh. Ta có khi và chỉ khi { }. Điều này tương đương với { } hay . Chú ý: Khi ta có nếu và chỉ khi . Mệnh đề 2.4. Bốn điểm phân biệt (xếp theo thứ tự này) cùng thuộ c một đường tròn khi và chỉ khi . Chứng minh. Bốn điểm phân biệt cùng thuộc một đườ ng tròn khi và chỉ khî ̂ { } hay { } hay { }, tức là 16 Các trường hợp còn lại được chứng minh tương tự. Chú ý: (i) Các điểm thẳng hàng khi và chỉ khi và . (ii) Các điểm cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi , nhưng và . Ví dụ 2.4. (a) Bốn số phức có tọa vị lần lượt là cùng thuộc một đườ ng tròn. Thật vậy, vì tỉ số kép và và . (b) Bốn điểm thẳng hàng. Thật vậ y, vì ta có và . 2.6. Phƣơng trình đƣờng thẳng 2.6.1. Phương trình đường thẳng qua hai điểm Mệnh đề 2.5. Trong mặt phẳng phức cho đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt lần lượt có tọa vị . Khi đó có phương trình là:̅̅̅̅̅ (1) Ta đặt̅̅̅̅ . Khi đó (1) được viết lại:̅ ̅ (2) Chứng minh. Gọi là hai điểm nằm trong mặt phẳng phức có tọa vị . Lấy có tọa vị thuộc vào . Điều kiện cần và đủ để 3 điểm khác nhau nằm trên một đườ ng thẳng là góĉ bằng 0 hoặc . Do tính chất của số phức ta có thể biểu diễn dướ i dạng như sau:̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (3) Từ (3) ta thấy được một đường thẳng đi qua 2 điểm là tập hợp các điểm sao cho̅̅̅̅ hoặc là̅̅̅̅̅ . Ví dụ 2.5. Trong mặt phẳng tọa độ, cho ...

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5 năm 2016

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

MỤC LỤC

PHẦN 1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

1.5 Đóng góp của đề tài 1

1.6 Cấu trúc đề tài 2

PHẦN 2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 3

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC 3

2.1 Biểu diễn hình học của số phức 10

2.1.1 Biểu diễn hình học của số phức 10

2.1.2 Biểu diễn hình học của modul 10

2.1.3 Biểu diễn hình học của các phép toán đại số 11

2.2 Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trước 12

2.3 Góc của tam giác 12

2.4 Góc giữa hai đường thẳng 14

2.5 Các điều kiện thẳng hàng, vuông góc, và cùng thuộc một đường tròn 15

2.6 Phương trình đường thẳng 16

2.6.1 Phương trình đường thẳng qua hai điểm 16

2.6.2 Phương trình tham số của đường thẳng 18

2.6.3 Phương trình chính tắc của đường thẳng 19

2.7 Phương trình đường tròn 20

2.7.1 Phương trình tổng quát của đường tròn 20

2.7.2 Một số kết quả liên quan đến bài toán đường tròn 21

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10 25

3.1 Ứng dụng số phức giải bài toán vector 25

3.2 Ứng dụng số phức giải bài toán hệ thức lượng trong tam giác 31

3.3 Ứng dụng số phức giải bài toán tam giác, tứ giác, đường tròn 36

PHẦN 3 KẾT LUẬN 45

PHẦN 4 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

PHẦN 1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Số phức có vai trò quan trọng trong toán học, nó xuất hiện từ đầu thế kỷ XVI do nhu cầu phát triển của toán học về giải những phương trình đại số Từ khi ra đời, số phức đã thúc đẩy toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật

Ở bậc học THPT số phức đã được đưa vào giảng dạy trong chương trình toán giải tích lớp 12 Đối với học sinh thì số phức là một nội dung còn mới mẽ, với thời lượng không nhiều học sinh chỉ biết được những kiến thức rất cơ bản của số phức cũng như những ứng dụng số phức trong giải toán chỉ mới dừng lại ở việc giải các bài tập đơn giản, việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế Nhưng số phức còn là công cụ hữu

hiệu để giải quyết một số bài toán hình học Do đó, tôi chọn đề tài: “Ứng dụng số phức giải một số dạng bài tập trong chương trình hình học lớp 10” làm đề tài khóa luận tốt

nghiệp

1.2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc ứng dụng số phức vào giải một số dạng bài tập trong chương trình hình học lớp 10, từ đó giúp học sinh có nhiều hướng giải quyết một bài toán cụ thể liên quan đến vector, hệ thức lượng trong tam giác, đường thẳng, đa giác, đường tròn trong mặt phẳng

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Dùng số phức để giải quyết một số dạng bài tập vector, hệ thức lượng trong tam giác, đường thẳng, đa giác, đường tròn

- Phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình hình học lớp 10

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu - Phân tích, tổng hợp các kiến thức - Trao đổi, thảo luận với chuyên gia

1.5 Đóng góp của đề tài

Khóa luận sau khi hoàn thành sẽ là một tài liệu tham khảo về chuyên đề giải một số dạng bài hình học lớp 10 bằng công cụ số phức cho các bạn đọc quan tâm

1.6 Cấu trúc đề tài

Khóa luận gồm phần mở đầu, kết thúc và ba chương:

- Chương 1: Một số khái niệm cơ bản về số phức

- Chương 2: Biểu diễn một số kết quả hình học bằng ngôn ngữ số phức

- Chương 3: Ứng dụng số phức giải một số dạng bài tập trong chương trình hình học lớp 10

Phần tài liệu tham khảo và phụ lục

PHẦN 2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC 1.1 Số phức

1.1.1 Khái niệm số phức

Ta biết rằng trường số thực nhận được bằng cách làm “đầy” trường số hữu tỉ , mà nó được xây dựng từ vành số nguyên Việc làm đầy xuất phát từ sự nghiên cứu các phương trình đại số với hệ số hữu tỉ và giới hạn của các dãy số hữu tỉ Tuy nhiên trường

vẫn không đầy đủ, bởi vì ngay cả phương trình đơn giản

2

x   (1)

cũng không có nghiệm trong Còn trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong , người ta không thể giải thích được tại sao hàm   1 2

f x

 không thể khai triển được thành

chuỗi lũy thừa trên toàn bộ đường thẳng

Với lí do trên, buộc ta phải tìm kiếm trường K nào đó chứa như một trường con sao cho tối thiểu phương trình (1) có nghiệm Ở đây ta nói là trường con của K nếu các phép toán trên được cảm sinh bởi các phép toán trên K

Sau đó đưa vào quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng trở thành một trường chứa như một trường con (qua phép đồng nhất nào đó) Các phép toán này được dẫn dắt từ các phép toán của trường với chú ý 2

Tập hợp với quan hệ bằng nhau, các phép cộng và nhân xác định như trên lập thành một trường thỏa mãn các điều kiện sau:

1) chứa trong như một trường con (qua đồng nhất với ) 2) Tồn tại nghiệm của phương trình 2

x   trong

1.1.3 Định nghĩa

Số phức là số có dạng: trong đó Phép biểu diễn số phức dưới dạng gọi là dạng đại số của số phức

Trong đó số được gọi là phần thực của số phức , kí hiệu Re được gọi là phần ảo của số phức kí hiệu Im Số phức có dạng yi, y * được gọi là số thuần

ảo, số phức i gọi là số đơn vị ảo Tập tất cả số phức kí hiệu là ii) z khi và chỉ khi Im z 0;

iii) z \ khi và chỉ khi Im z 0

3) Mỗi số phức z ta luôn có z z. là một số thực không âm;

4) z1z2  z1 z2 (số phức liên hợp của một tổng bằng tổng các số phức liên hợp); 5) z z1 2 z z1 2 (số phức liên hợp của một tích bằng tích các số phức liên hợp); 6) Mỗi số phức khác 0 đẳng thức sau luôn đúng    1

1.1.5 Dạng lượng giác của số phức

Trên mặt phẳng cho một hệ tọa độ vuông góc, sự biễu diễn số phức theo những điểm trên mặt phẳng cho ta dễ dàng nghiên cứu các phép toán trên số phức: cho hai số phức dạng đại số z1  x1 iy1 , z2  x2 iy2 Đó là hai

điểm Z Z1, 2 trong hệ tọa độ vuông góc ứng với số trên

Điểm O là tọa độ gốc

Ta nối điểm Z Z1, 2 với gốc O và xác định vector OZ1, OZ2 Sau đó dựng hình bình hànhOZ ZZ1 2 Như vậy đỉnh thứ tư biểu diễn tọa độ của số phức

zz như tổng của hai số phức đã cho

Do đó tổng hai số phức có thể biễu diễn hình học như cộng hai vector trong mặt phẳng

Bởi vì mỗi điểm trên mặt phẳng tương ứng với một bán kính vectơ OZ và ta thấy ngayOZ1OZ2 OZ, ta có nhận xét là khi xem số phức như những điểm trên mặt phẳng

với hệ tọa độ gốc O thì có thể xem số phức như là những vectơ trên mặt phẳng này,

xy

O

chính điều nhận xét này mà ta áp dụng được số phức vào giải những bài toán trong hình học phẳng

Một số phức xác định như là một điểm trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho trước Ngoài ra, một điểm trong mặt phẳng cũng hoàn toàn xác định bởi hệ tọa độ cực: thật vậy, cho z  xiy 0 thì số phức này ứng với một vectơ OZ, ta ký hiệu là độ dài bán kính vectơ này, còn  là độ lớn của góc định hướng giữa trục hoành và vectơ xác định số phức (góc có hướng dương là góc có chiều quay trục hoành đến vectơ theo chiều ngược kim đồng hồ, góc có hướng âm thì ngược lại)

Rõ ràng là một số thực không âm Nếu điểm nằm trên trục hoành thì số chính là môđun của số thực tương ứng, vì vậy cho số phức ta cũng định nghĩa là môđun của

và kí hiệu là z

Do đó √ hoặc ̅

Góc  được gọi là argument của số phức và kí hiệu là arg z Giá trị của  có thể là âm hoặc dương phụ thuộc vào hướng quay của trục hoành đến nó Có thể xác định 

argument của số phức z0có vô số giá trị Nếu một giá trị  đã xác định thì argument được xác định theo công thức: argz  k2 , k là số nguyên

Thường thường ta chỉ dùng giá trị của argument trong tập 0, 2

Những số và  biểu diễn một tọa độ cực của Nếu cho một điểm , thì

mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ vuông góc như sau

Một số phức viết theo dạng trên người ta gọi là dạng lượng giác của số phức

Cho hai số phức dưới dạng lượng giác z1r1cos1isin1 và

z r  i  Ta có tính chất sau:

1) Nếu z1 trùng với z2, thì môđun của chúng bằng nhau và argument của chúng  1, 2 khác

cos sin cos sin

cos cos sin sin cos sin sin cos

Như vậy, tích của hai số phức viết dưới dạng lượng giác zrcosisin, ở đó

r là tích của r r1 2 hai môđun của hai thừa số Hoặc là z z1 2  z z1 2 Còn argument  là tổng  1 2 của hai argument thừa số, hay nói cách khác

argz zargzargz Bằng phương pháp qui nạp dễ dàng chứng minh được

cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin

cos cos sin sin sin cos cos sin

là một điểm với bán kính vectơ r r1 2 và argument  1 2

Đặt Theo công thức Moa-vrơ ta có:

CHƯƠNG 2 BIỂU DIỄN MỘT SỐ KẾT QUẢ HÌNH HỌC BẰNG NGÔN NGỮ SỐ PHỨC

2.1 Biểu diễn hình học của số phức

2.1.1 Biểu diễn hình học của số phức

Ta vừa định nghĩa số phức tương ứng với cặp số thực

, vì vậy, một cách tự nhiên, ta có thể đặt số phức ứng với một điểm trong mặt phẳng

Gọi là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng tương đương với hệ trục tọa độ Khi đó ánh xạ là song ánh

Định nghĩa 2.1 Điểm được gọi là ảnh hình học của số phức Ngược lại, số phức được gọi là tọa vị của điểm Hơn nữa, ta sẽ dùng kí hiệu để chỉ tọa vị của là số phức

Từ định nghĩa này, ta suy ra điểm (đối xứng với qua trục ) là

Là song ánh, trong đó ⃗ ⃗ là các vector đơn vị của trục hoành và trục tung

2.1.2 Biểu diễn hình học của modul

suy ra √ | | | ⃗| Nói cách khác, modul của số phức là độ dài của đoạn thẳng hay độ dài của vector ⃗

2.1.3 Biểu diễn hình học của các phép toán đại số  Phép cộng và phép trừ

Xét các số phức và lần lượt tương ứng với các vector ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Ta dễ dàng thấy rằng tương ứng với ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Ví dụ 2.1 Ta có , vì vậy ảnh hình học của tổng này được

 Tích của một số thực và một số phức

Xét số phức ứng với vector ⃗ ⃗ ⃗ Nếu là một số thực thì ứng với vector ⃗ ⃗ ⃗ Hơn nữa, nếu thì các vector ⃗ ⃗ cùng hướng và | ⃗| | ⃗|

2.2 Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trước

Xét hai điểm phân biệt Một điểm nằm trên đường thẳng chia đoạn thẳng theo tỉ số { } nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Từ hệ thức này, ta có được:

Định lý 2.1 Cho là các điểm phân biệt, không thẳng hàng trong mặt phẳng phức Khi đó, trung điểm của đoạn thẳng [ ] có tọa độ phức là:

Chứng minh

Từ nguyên lý cộng hai vector suy ra rằng:

Nếu là trung điểm của thì

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) hoặc tọa vị của biểu diễn qua là

2.3 Góc của tam giác

Một tam giác có hướng dương nếu các đỉnh của nó theo thứ tự ngược chiều quay của kim đồng hồ Ngược lại ta nói tam giác có hướng âm Xét các điểm phân biệt và không trùng với gốc tọa độ mặt phẳng phức Góc ̂ được định hướng nếu các điểm theo thứ tự ngược chiều quay của kim đồng hồ

Thực hiện phép tịnh tiến theo vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Qua phép tịnh tiến này, các điểm lần lượt trở thành , Hơn nữa, ta cũng có được

Từ đó ta có

Chú ý:

Một cách tổng quát, biểu diễn độ đo góc theo hướng dương của hai vector bất kỳ theo tọa vị của các số phức thì sao? Cho hai vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ với tọa vị các điểm tương ứng Ta cần phải quay vector đơn vị ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ đi một góc theo chiều dương

- Do công thức (1) nếu trùng với trùng với gốc tọa độ và | | | |, thì khi biết tọa vị và góc với các giá trị đặc biệt thì tính được tọa vị theo như sau:

( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) hay góc định hướng tạo bởi tia với tia

2.5 Các điều kiện thẳng hàng, vuông góc, và cùng thuộc một đường tròn

Cho bốn điểm phân biệt

Mệnh đề 2.2 Các điểm phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi

Chứng minh Ta có khi và chỉ khi { } Điều này tương đương với { } hay

Chú ý: Khi ta có nếu và chỉ khi

Mệnh đề 2.4 Bốn điểm phân biệt (xếp theo thứ tự này) cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi

Các trường hợp còn lại được chứng minh tương tự

2.6.1 Phương trình đường thẳng qua hai điểm

Mệnh đề 2.5 Trong mặt phẳng phức cho đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt lần lượt có tọa vị Khi đó có phương trình là:

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (1) Ta đặt ̅ ̅ ̅ ̅ Khi đó (1) được viết lại:

̅ ̅ (2)

Chứng minh

Gọi là hai điểm nằm trong mặt phẳng phức có tọa vị Lấy có tọa vị thuộc vào Điều kiện cần và đủ để 3 điểm khác nhau nằm trên một đường thẳng là góc ̂ bằng 0 hoặc Do tính chất của số phức ta có thể biểu diễn dưới

Ví dụ 2.5 Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Giải

Xét trong mặt phẳng phức: tọa vị là , tọa vị là

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm có dạng là:

Ví dụ 2.6 (BT 4/Toán SGK NC lớp 10 – trang 80) Cho hai điểm

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm và song song với

Thay các tọa vị vào ta được:

2.6.2 Phương trình tham số của đường thẳng

Mệnh đề 2.6 Trong mặt phẳng phức cho đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt lần lượt có tọa vị Khi đó phương trình tham số của đường thẳng đi qua là một tọa vị của một điểm trên đường thẳng đi qua và ngược lại Như vậy, khi chạy trên tập hợp số thực thì phương trình:

gọi là phương trình tham số của đường thẳng đi qua

Chú ý:

i) Trong ứng dụng giải những bài tập hình học ta cần xem xét khi khi biến đổi thì ảnh hưởng của thế nào đối với ?

- Nếu số

là số thực dương, thì vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng chiều - Nếu số là âm thì vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ngược chiều nhau

Đối với vị trí điểm được xác định như sau: - Nếu thì nằm trong đoạn

- Nếu thì nằm ngoài đoạn về phía - Nếu thì nằm ngoài đoạn về phía

ii) Giá trị tuyệt đối của bằng tỷ số đoạn thẳng | | và | | Trong thực tế, ta thường tìm trên đường thẳng một điểm sao cho ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ đã cho trước (ở đây ̅̅̅̅̅̅ là độ dài đại số của ) Khi đó , từ đó suy ra

Nghĩa là một điểm nằm trên đường nối có dạng trên với là một số thực nào đó

Ví dụ 2.7 Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm Viết phương trình tham số đi qua hai điểm

2.6.3 Phương trình chính tắc của đường thẳng

Mệnh đề 2.7 Trong mặt phẳng phức cho đường thẳng đi qua điểm có tọa vị nhận ⃗⃗ làm vector chỉ phương có tọa vị Khi đó phương trình chính tắc của là:

Ví dụ 2.8 (Ví dụ/Toán SGK NC lớp 10 – trang 76) Cho tam giác có 3 đỉnh

Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ

Giải

Xét trong mặt phẳng phức Gọi lần lượt là tọa vị của các điểm

2.7.1 Phương trình tổng quát của đường tròn

Mệnh đề 2.8 Trong mặt phẳng phức, cho điểm có tọa vị số thực Phương trình đường tròn tâm , bán kính là:

̅ ̅ ̅ ̅

Đặt ̅ ̅ , khi đó phương trình trên được viết lại: ̅ ̅ ̅

Ngược lại, trong mặt phẳng phức mỗi phương trình ̅ ̅ ̅ với ̅ sẽ là phương trình đường tròn tâm có tọa vị ̅, bán kính

√ ̅

Chứng minh

Chúng ta sẽ tìm điều kiện cần và đủ để nằm trên một đường tròn Ở đây ta có thể coi đường thẳng như là đường tròn tâm vô tận

Nếu nằm trên đường tròn, thì hiệu giữa góc định hướng ̂ và ̂ là 0 hoặc

là một số thực, thì là tọa vị của những điểm trên đường tròn hoặc đường thẳng Do tính chất của số phức ta có thể biểu diễn dưới dạng như sau:

Z1Z0

Từ phương trình trên để một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác là phương trình sau thỏa mãn

Do đó ̅ là tọa vị của tâm đường tròn và bán kính √ ̅

- Trường hợp đặc biệt tâm của đường tròn trùng với gốc tọa độ và bán kính là 1 thì phương trình đường tròn có dạng z ̅ Đường tròn loại này được gọi là đường tròn đơn vị

2.7.2 Một số kết quả liên quan đến bài toán đường tròn

Trong thực tế có nhiều bài toán liên quan đến đường tròn, khi ta chọn hệ tọa độ vuông góc với gốc chính là tâm đường tròn đó và coi đường tròn là đường tròn đơn vị, thì chúng ta có kết quả đẹp và dễ sử dụng trong các bài toán cụ thể

Mệnh đề 2.9 Giả sử là hai dây cung của đường tròn đơn vị Gọi lần lượt là tọa vị của các điểm Khi đó:

a)