luận án tiến sĩ giao tiếp và suy luận toán học của sv trong giải quyết vấn đề về giải tích đầu đại học

Việc kết hợp tiếp cận giao tiếp nhận thāc cÿa Sfard 2008 [83] và suy luận toán học Lithner 2008 [57] với các công cụ và khung lý thuyết trên vào phân tích thực hành dạy học là cách tiếp

Đ¾I HÞC HU¾

TR£àNG Đ¾I HÞC S£ PH¾M

NGUYàN ĐĄC HàNG

GIAO TI¾P VÀ SUY LUÀN TOÁN HÞC CĂA SV TRONG GIÀI QUY¾T VÂN ĐÀ

VÀ GIÀI TÍCH ĐẦU Đ¾I HÞC

LUÀN ÁN TI¾N SĨ

LÝ LUÀN VÀ PH£¡NG PHÁP D¾Y HÞC Bà MÔN TOÁN

Hu¿, 2023

Đ¾I HÞC HU¾

TR£àNG Đ¾I HÞC S£ PH¾M

NGUYàN ĐĄC HàNG

GIAO TI¾P VÀ SUY LUÀN TOÁN HÞC CĂA SV TRONG GIÀI QUY¾T VÂN ĐÀ

VÀ GIÀI TÍCH ĐẦU Đ¾I HÞC

Chuyên ngành: Lý luÁn và ph¤¢ng pháp d¿y hßc bá môn Toán

LàI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận án này là công trình nghiên cāu cÿa riêng tôi, dưới sự hướng dẫn cÿa PGS TS Trần Kiêm Minh Các số liệu và kết quả nghiên cāu nêu trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa tăng được công bố trong bất cā một công trình nào khác

Tác giÁ luÁn án

Nguyán Đąc Háng

LàI CÀM ¡N

Lßi đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến PGS TS Trần Kiêm Minh đã tận tâm hướng dẫn, truyền đạt kiến thāc và những kinh nghiệm cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận án

Tôi xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ, chỉ dạy nhiệt tình cÿa Quý Thầy Cô Bộ môn Phương pháp dạy học Toán, Quý Thầy Cô Khoa Toán học, các anh chị em Nghiên cāu sinh, các Học viên Cao học và các em SV Khoa Toán học, Trưßng Đại học sư phạm, Đại học Huế đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong thßi gian học tập, nghiên cāu và bảo vệ luận án

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban chÿ nhiệm Tài nguyên đất và Môi trưßng Nông nghiệp và các đồng nghiệp Bộ môn Bất động sản Trưßng Đại học Nông lâm, Đại học Huế đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lßi cảm ơn sâu sắc nhất đến những ngưßi thân trong gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm, khích lệ và động viên tôi trong suốt thßi gian học tập và nghiên cāu

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Thành phố Huế, ngày 4 tháng 10 năm 2022

Tác giÁ luÁn án

Nguyán Đąc Háng

DANH MĀC CÁC CHĀ VI¾T TÂT, KÝ HIâU

CMR Creative mathematically founded reasoning Suy luận sáng tạo

DANH MĀC BÀNG BIÞU

BÁng 2.1 Các đặc trưng cÿa diễn ngôn toán học theo tiếp cận giao tiếp - nhận thāc 21

BÁng 2.2 Quan hệ giữa cái biểu đạt (signifier), sự thể hiện (realisation) và thuyết minh xác nhận (endorsed narrative) đối với cách giải đại số cÿa phương trình 2x+7 = 13 23

BÁng 2.3 Tiêu chuẩn để đánh giá diễn ngôn 24

BÁng 2.4 Nội dung phân tích diễn ngôn 29

BÁng 2.5 Tổng quan về các yếu tố trọng tâm cÿa quá trình hợp tác 32

BÁng 4.1 Cách sử dụng tă ngữ và phương tiện trung gian trực quan 56

BÁng 4.2 Mối quan hệ giữa cái biểu đạt, sự thể hiện, quy trình thực hiện và thuyết minh xác nhận trong quá trình giao tiếp cÿa SV 57

BÁng 4.3 Kiểu thÿ tục được hình thành và cách sử dụng cÿa SV làm bài toán 58

BÁng 4.4 Cách sử dụng tă ngữ và phương tiện trung gian trực quan 62

BÁng 4.5 Mối quan hệ giữa cái biểu đạt, sự thể hiện, quy trình thực hiện và thuyết minh xác nhận trong quá trình giao tiếp cÿa các SV 63

BÁng 4.6 Kiểu thÿ tục được hình thành và cách sử dụng cÿa SV làm bài toán 2 63

BÁng 4.7 Cách sử dụng tă ngữ và phương tiện trung gian trực quan 67

BÁng 4.8 Mối quan hệ giữa cái biểu đạt, sự thể hiện, quy trình thực hiện và thuyết minh xác nhận trong quá trình giao tiếp cÿa SV 67

BÁng 4.9 Kiểu thÿ tục được hình thành và cách sử dụng cÿa SV làm bài toán 3 68

BÁng 4.10 Cách sử dụng tă ngữ và phương tiện trung gian trực quan 71

BÁng 4.11 Mối quan hệ giữa cái biểu đạt, sự thể hiện, quy trình thực hiện và thuyết minh xác nhận trong quá trình giao tiếp cÿa SV 72

BÁng 4.12 Cách sử dụng tă ngữ và phương tiện trung gian trực quan 76

BÁng 4.13 Mối quan hệ giữa cái biểu đạt, sự thể hiện, quy trình thực hiện và thuyết minh xác nhận trong quá trình giao tiếp cÿa các SV 77

BÁng 4.14 Kiểu thÿ tục được hình thành và cách sử dụng cÿa SV làm bài toán 2 77

BÁng 4.15 Cách sử dụng tă ngữ và phương tiện trung gian trực quan 80

BÁng 4.16 Đặc trưng cÿa thuyết minh xác nhận cÿa Nhóm SV 81

BÁng 4.17 Kiểu thÿ tục được hình thành và cách sử dụng cÿa SV làm bài toán 3 81

BÁng 4.18 Cách sử dụng tă ngữ và phương tiện trung gian trực quan 85

BÁng 4.19 Đặc trưng cÿa thuyết minh xác nhận cÿa Nhóm SV 86

BÁng 4.20 Kiểu thÿ tục được hình thành và cách sử dụng cÿa SV làm bài toán 3 86

BÁng 4.21 Kiểu thÿ tục được hình thành và cách sử dụng cÿa SV làm bài toán 1 89

BÁng 4.22 Mối quan hệ giữa cái biểu đạt, sự thể hiện, quy trình thực hiện và thuyết

minh xác nhận trong quá trình giao tiếp cÿa SV 90

BÁng 4.23 Kiểu thÿ tục được hình thành và cách sử dụng cÿa SV làm bài toán 2 95

BÁng 4.24 Kiểu thÿ tục được hình thành và cách sử dụng cÿa SV làm bài toán 2 98

BÁng 4.25 Kiểu thÿ tục được hình thành và cách sử dụng cÿa SV làm bài toán 1 101

BÁng 4.26 Mối quan hệ giữa cái biểu đạt, sự thể hiện, quy trình thực hiện và thuyết minh xác nhận trong quá trình giao tiếp cÿa SV 101

BÁng 4.27 Kiểu thÿ tục được hình thành và cách sử dụng cÿa SV làm bài toán 2 105

BÁng 4.28 Kiểu thÿ tục được hình thành và cách sử dụng cÿa SV làm bài toán 3 109

BÁng 4.29 Cách sử dụng tă ngữ và phương tiện hỗ trợ trực quan 111

BÁng 4.30 Đặc trưng cÿa thuyết minh xác nhận cÿa Nhóm SV 112

BÁng 4.31 Kiểu thÿ tục được hình thành và cách sử dụng cÿa SV làm bài toán 3 112 BÁng 4.32 Cách sử dụng tă ngữ và phương tiện hỗ trợ trực quan 121

BÁng 4.33 Đặc trưng cÿa thuyết minh xác nhận cÿa Nhóm SV 122

BÁng 4.34 Kiểu thÿ tục được hình thành và cách sử dụng cÿa SV làm bài toán 3 123

BÁng 4.35 Cách sử dụng tă ngữ và phương tiện hỗ trợ trực quan 126

BÁng 4.36 Đặc trưng cÿa thuyết minh xác nhận cÿa Nhóm SV 127

BÁng 4.37 Kiểu thÿ tục được hình thành và cách sử dụng cÿa SV làm bài toán 3 127

BÁng 4.38 Cách sử dụng tă ngữ và phương tiện hỗ trợ trực quan 129

BÁng 4.39 Đặc trưng cÿa thuyết minh xác nhận cÿa Nhóm SV 130

BÁng 4.40 Kiểu thÿ tục được hình thành và cách sử dụng cÿa SV làm bài toán 3 131

BÁng 4.41 Cách sử dụng tă ngữ và phương tiện hỗ trợ trực quan 135

BÁng 4.42 Đặc trưng cÿa thuyết minh xác nhận cÿa Nhóm SV 136

BÁng 4.43 Kiểu thÿ tục được hình thành và cách sử dụng cÿa SV làm bài toán 3 137

BÁng 4.44 Cách sử dụng tă ngữ và phương tiện hỗ trợ trực quan 140

BÁng 4.45 Đặc trưng cÿa thuyết minh xác nhận cÿa Nhóm SV 141

BÁng 4.46 Kiểu thÿ tục được hình thành và cách sử dụng cÿa SV làm bài toán 3 141

BÁng 4.47 Cách sử dụng tă ngữ và phương tiện hỗ trợ trực quan 145

BÁng 4.48 Cách sử dụng tă ngữ và phương tiện hỗ trợ trực quan 145

BÁng 4.49 Kiểu thÿ tục được hình thành và cách sử dụng cÿa SV làm bài toán 3 146

Ch¤¢ng 1 Đ¾T VÂN ĐÀ NGHIÊN CĄU 4

1.1 Giao tiếp toán học 4

1.2 Tầm quan trọng cÿa giao tiếp trong giáo dục toán học 5

1.3 Tầm quan trọng cÿa suy luận trong giáo dục toán học 6

1.4 Giao tiếp toán học trong chương trình giáo dục phổ thông môn toán 2018 7

1.5 Chương trình giải tích á đầu đại học 8

1.6 Tổng quan tình hình nghiên cāu giao tiếp và suy luận toán học á Việt Nam 10

1.7 Khó khăn cÿa sv khi học giải tích á đầu đại học 13

1.8 Tiềm năng thúc đẩy giao tiếp toán học qua dạy học giải tích á đầu đại học 16 1.9 Ghi nhận và đặt vấn đề nghiên cāu 16

Tiểu Kết Chương 1 17

Ch¤¢ng 2 KHUNG LÝ THUY¾T THAM CHI¾U 18

2.1 Giao tiếp và nhận thāc 18

2.2 Tiếp cận giao tiếp - nhận thāc 19

2.3 Đối tượng toán học và sự thể hiện 22

2.4 Ví dụ về các đặc trưng nghị luận liên quan đến khái niệm đạo hàm 25

2.5 Tổng quan nghiên cāu về tiếp cận giao tiếp - nhận thāc trong dạy học

giải tích 27

2.6 Vận dụng tiếp cận giao tiếp - nhận thāc vào phân tích giao tiếp toán học 29

2.7 Suy luận toán học và suy luận sáng tạo 30

2.8 Cộng tác trong giải quyết vấn đề toán học 31

2.9 Mục tiêu và câu hỏi nghiên cāu 33

Tiểu Kết Chương 2 33

Ch¤¢ng 3 NàI DUNG VÀ PH£¡NG PHÁP NGHIÊN CĄU 34

3.1 Tổng quan các thực nghiệm 34

3.2 Thực nghiệm 1 34

3.2.1 Ngữ cảnh và tổ chāc thực hiện 34

3.2.2 Công cụ nghiên cāu 34

3.2.3 Phân tích tiên nghiệm 35

3.2.4 Dữ liệu thu thập và phương pháp phân tích 39

3.3 Thực nghiệm 2 39

3.3.1 Ngữ cảnh và tổ chāc thực hiện 39

3.3.2 Công cụ nghiên cāu 39

3.3.3 Phân tích tiên nghiệm 40

3.3.4 Dữ liệu thu thập và phương pháp phân tích 45

3.4 Thực nghiệm 3 45

3.4.1 Ngữ cảnh và tổ chāc thực hiện 45

3.4.2 Công cụ nghiên cāu 45

3.4.3 Phân tích tiên nghiệm 46

3.4.4 Dữ liệu thu thập và phương pháp phân tích 52

Tiểu Kết Chương 3 52

Ch¤¢ng 4 K¾T QUÀ THĂC NGHIâM 53

4.1 Giao tiếp và suy luận toán học cÿa sv qua thực nghiệm 1 53

5.1.1 Về đặc trưng việc hình thành và sử dụng tă ngữ và phương tiện hỗ trợ trung gian trực quan cÿa SV 147

5.1.2 Về đặc trưng cÿa thuyết minh xác nhận và thÿ tục cÿa SV 148

5.1.3 Về diễn ngôn và giao tiếp toán học cÿa sv trong dạy học toán 148

5.2 Đặc trưng suy luận toán học cÿa sv qua giải quyết vấn đề cộng tác về

giới hạn 149

5.3 Đặc trưng giao tiếp toán học cÿa sv qua giải quyết vấn đề cộng tác về

đạo hàm 149

5.3.1 Về đặc trưng việc hình thành và sử dụng tă ngữ và phương tiện hỗ trợ trung gian trực quan cÿa SV 150

5.3.2 Về đặc trưng cÿa thuyết minh xác nhận và thÿ tục cÿa SV 150

5.3.3 Về diễn ngôn và giao tiếp toán học cÿa sv trong dạy học toán 151

5.4 Đặc trưng suy luận toán học cÿa sv qua giải quyết vấn đề cộng tác về

đạo hàm 151

5.5 Đặc trưng giao tiếp toán học cÿa sv qua giải quyết vấn đề cộng tác về

nguyên hàm 152

5.5.1 Về đặc trưng việc hình thành và sử dụng tă ngữ và phương tiện hỗ trợ trung gian trực quan cÿa SV 152

5.5.2 Về đặc trưng cÿa thuyết minh xác nhận và thÿ tục cÿa SV 152

5.5.3 Về diễn ngôn và giao tiếp toán học cÿa sv trong dạy học toán 153

5.6 Đặc trưng suy luận toán học cÿa sv qua giải quyết vấn đề cộng tác về

nguyên hàm 154

5.7 Đóng góp cÿa nghiên cāu 154

5.8 Hạn chế cÿa nghiên cāu và hướng phát triển cÿa đề tài 155

Mâ ĐẦU

Gần đây, nhiều nhà nghiên cāu giáo dục quan tâm đến khía cạnh giao tiếp và suy luận toán học trong quá trình dạy và học Ngày nay, giao tiếp trong lớp học và hoạt động diễn ngôn (discourse) là những vấn đề trọng tâm trong các nghiên cāu giáo dục [46], [88] Một số lý thuyết trong nghiên cāu giáo dục quan niệm rằng tư duy được thể hiện qua giao tiếp, một số lý thuyết khác cho rằng tư duy chính là một dạng tương đương cÿa giao tiếp Sfard (2008) [83] xem tư duy như là giao tiếp với chính bản thân mình Để nhấn mạnh tính thống nhất cÿa giao tiếp và tư duy, Sfard sử dụng thuật ngữ giao tiếp-nhận thāc (commognition), như là một sự kết hợp giữa giao tiếp (communication) và nhận thāc (cognition) Trong công trình 5Thinking as communicating: Human development, the growth of discourses, and mathematizing6 [83] cÿa mình, Sfard (2008) [83] đề xuất và phát triển một tiếp cận diễn ngôn (discursive approach), gọi là tiếp cận giao tiếp đối với nhận thāc, gọi tắt là tiếp cận giao tiếp - nhận thāc (commognitive approach)

Tiếp cận giao tiếp - nhận thāc cÿa Sfard (2008) [83] gần gũi với các quan niệm có tính xã hội - văn hóa đối với việc học Đối với các quan niệm kiến tạo cơ bản, việc học được xem như quá trình tri nhận (learning as acquisition), trong đó nhấn mạnh bản chất cá nhân cÿa việc học, xem đó là quá trình tri nhận các dạng thāc trí tuệ Ngược lại, tiếp cận giao tiếp - nhận thāc xem việc học là quá trình tham gia (learning as participation) Trong quan niệm này, việc học được xem như sự thay đổi trong diễn ngôn cÿa cá nhân (tāc là trong cách cá nhân giao tiếp) qua việc tham gia vào một cộng đồng thực hành [56] Việc học là quá trình qua đó HS trá thành những ngưßi tham gia chÿ đạo hơn trong hoạt động diễn ngôn Giả thuyết cơ bản cÿa tiếp cận giao tiếp - nhận thāc cho rằng 5Học toán là sự khái xướng với các diễn ngôn toán học liên quan đến những thay đổi nghị luận trọng yếu đối với ngưßi học, và dạy toán cần phải hướng đến thúc đẩy những thay đổi đó6 [83] Giao tiếp qua ngôn ngữ nói hoặc viết, và việc thao tác trên các đối tượng vật lý là những phương tiện chÿ yếu đi đến mục đích nghị luận cÿa việc dạy và học

Trong tiếp cận giao tiếp - nhận thāc đối với việc học cÿa Sfard (2008) [83], đơn vị phân tích chÿ đạo là diễn ngôn Diễn ngôn (discourse) được định nghĩa như là 5các dạng khác nhau cÿa giao tiếp được đặc trưng bái đối tượng cÿa nó, kiểu phương tiện trung gian được sử dụng, những quy tắc được sử dụng bái những ngưßi tham gia, và vì vậy xác định nên những cộng đồng giao tiếp khác nhau6 [83]

Các tiếp cận giao tiếp trong nghiên cāu giáo dục toán gần đây được nhiều nhà nghiên cāu quan tâm Cụ thể, tiếp cận giao tiếp - nhận thāc cÿa Sfard (2008) [83] là khung lý thuyết tham chiếu chÿ đạo cÿa các công trình nghiên cāu xuất bản trong

một số đặc biệt năm 2016 cÿa Tạp chí 5Educational Studies in Mathematics6 [88] Guçler (2016) [42] sử dụng tiếp cận giao tiếp - nhận thāc cÿa Sfard (2008) [83] để phân tích diễn ngôn cÿa giảng viên và SV về giới hạn trong bài học giải tích á đầu đại học Nardi, Ryve, Stadler & Viirman (2014) [67] vận dụng tiếp cận giao tiếp - nhận thāc để phân tích các thay đổi về diễn ngôn cÿa giảng viên và SV khi học một số khái niệm cÿa giải tích á đại học Trong nghiên cāu cÿa mình, Park (2016) [72] sử dụng tiếp cận giao tiếp - nhận thāc cÿa Sfard để nghiên cāu so sánh diễn ngôn trong các sách giáo khoa á Hoa Kỳ về đạo hàm tại một điểm và hàm đạo hàm Dựa theo tiếp cận giao tiếp - nhận thāc, các nhà nghiên cāu cho rằng bước chuyển thể chế tă dạy học toán á phổ thông lên dạy học toán á đại học đòi hỏi những thay đổi về những diễn ngôn trọng yếu Dựa trên giả thuyết này, Stadler (2011) [86] sử dụng khái niệm tiếp tuyến để nghiên cāu tương tác giữa giảng viên và SV á bước chuyển dạy học phổ thông - đại học Nghiên cāu tập trung vào sự khác nhau giữa diễn ngôn toán học á phổ thông và diễn ngôn toán học á đầu đại học tă đó phân tích những khó khăn cÿa HS trong việc thiết lập kết nối giữa chúng

Các tiếp cận giao tiếp vận dụng vào nghiên cāu trong giáo dục toán là một hướng nghiên cāu khá mới mẻ và gần đây được nhiều nhà nghiên cāu quan tâm Nhiều nghiên cāu sử dụng tiếp cận giao tiếp nhận thāc cÿa Sfard (2008) [83] để nghiên cāu dạy học toán á đại học, đặc biệt là dạy học giải tích Điều này cho thấy tiềm năng cÿa các tiếp cận giao tiếp trong việc phân tích thực hành dạy học toán á đầu đại học Tuy nhiên, bước chuyển phổ thông - đại học đặt ra nhiều khó khăn cho HS, đặc biệt là khi học các khái niệm giải tích, bái vì HS phải chuyển tă toán học mang tính tính toán, trực quan sang kiểu toán học chặt chẽ, hình thāc hóa, khái quát hóa á māc cao hơn, với nhiều phương pháp mới, nhiều kiểu biểu đạt hơn khi làm việc với các khái niệm toán học Trên quan điểm cÿa tiếp cận giao tiếp nhận thāc, bước chuyển phổ thông đại học đòi hỏi những thay đổi trong diễn ngôn cÿa HS và giáo viên cho phù hợp với đòi hỏi cÿa thể chế dạy học mới Sử dụng tiếp cận giao tiếp nhận thāc để phân tích việc dạy học giải tích á bước chuyển này là vấn đề thú vị và còn ít tác giả quan tâm

Ngoài ra, hầu hết các nghiên cāu đều chỉ sử dụng đơn thuần tiếp cận giao tiếp - nhận thāc trong nghiên cāu thực hành dạy học toán Việc kết hợp với các công cụ và tiếp cận lý thuyết khác như Lý thuyết tình huống, đặc biệt là khái niệm Hợp đồng dạy học trong didactic toán, các tiếp cận phân tích thực hành dạy học hay các tiếp cận dấu hiệu học là rất cần thiết để có cách nhìn và công cụ toàn diện hơn trong phân tích quá trình dạy học, đặc biệt là tương tác giữa giáo viên và HS Việc kết hợp tiếp cận giao tiếp nhận thāc cÿa Sfard (2008) [83] và suy luận toán học Lithner (2008) [57] với các công cụ và khung lý thuyết trên vào phân tích thực hành dạy học là cách tiếp cận còn ít được khai thác trong nghiên cāu giáo dục toán hiện tại

Dựa vào những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài luận án là 5Giao tiếp và suy luận toán học cÿa SV trong giải quyết vấn đề về giải tích đầu đại học"

Mục tiêu luận án

Mục tiêu tổng quát và lâu dài cÿa nghiên cāu này là sử dụng các tiếp cận giao tiếp để phân tích quá trình dạy học giải tích á đầu Đại học Cụ thể hơn, trong nghiên cāu này chúng tôi hướng đến:

- Phân tích tri thāc luận và thể chế dạy học á bước chuyển phổ thông - đại học để thấy được những khó khăn và chướng ngại mà HS có thể gặp phải khi học giải tích á đầu đại học

- Phân tích thực hành dạy học giải tích á đầu đại học tă tiếp cận giao tiếp - nhận thāc cÿa Sfard (2008) [83]

- Kết hợp tiếp cận giao tiếp - nhận thāc với các công cụ lý thuyết khác như Hợp đồng didactic, tiếp cận dấu hiệu học, tiếp cận phân tích thực hành dạy học cÿa Robert (2007) [77], [62], và suy luận toán học Lithner (2008) [57] để phân tích thực hành dạy học, đặc biệt là quá trình tương tác giáo viên - HS trong các bài học giải tích á đại học

Về phương pháp nghiên cāu, chúng tôi vận dụng tiếp cận giao tiếp - nhận thāc cÿa Sfard (2008) [83] và suy luận toán học Lithner (2008) [57] để đặc trưng quá trình giao tiếp toán học cÿa SV trong giải quyết vấn đề về các bài toán giải tích đầu đại học

Luận án được bố cục gồm 5 chương Trong chương 1, chúng tôi đặt vấn đề nghiên cāu Chúng tôi đề cập đến giao tiếp và suy luận toán học như là một năng lực trọng yếu thành phần tạo nên năng lực toán học cÿa HS Tă đó, chúng tôi xem xét tiềm năng thúc đẩy giao tiếp toán học cho HS khi giải quyết vấn đề cộng tác liên quan đến các bài toán giải tích đầu đại học Trong chương 2, chúng tôi sẽ đi sâu phân tích tiếp cận giao tiếp nhận thāc cÿa Sfard (2008) [83] và suy luận toán học Lithner (2008) [57] như là một khung lý thuyết tham chiếu được sử dụng để thiết kế công cụ nghiên cāu và phân tích đặc trưng giao tiếp toán học cÿa HS dựa trên dữ liệu thực nghiệm Chương 3 sẽ trình bày các vấn đề liên quan đến thiết kế nghiên cāu và phương pháp phân tích dữ liệu Chúng tôi cũng tập trung phân tích tiên nghiệm tăng bài toán đưa ra trong phiếu thực nghiệm Trong chương 4, chúng tôi sử dụng khung lý thuyết về tiếp cận giao tiếp nhận thāc cÿa Sfard (2008) [83] và suy luận toán học Lithner (2008) [57] để phân tích đặc trưng diễn ngôn toán học cÿa HS trong quá trình giao tiếp thông qua các trưßng hợp cụ thể Trong chương 5, chúng tôi lý giải, bàn luận sâu hơn các kết quả phân tích á chương 4, tă đó trả lßi cho các câu hỏi nghiên cāu và làm rõ kết nghiên cāu đạt được

Ch¤¢ng 1 Đ¾T VÂN ĐÀ NGHIÊN CĄU 1.1 GIAO TI¾P TOÁN HÞC

Giao tiếp toán học là một phần cốt yếu cÿa toán học và giáo dục toán học Đó là một cách chia sẻ ý tưáng và làm sáng tỏ hiểu biết Qua giao tiếp, các ý tưáng trá thành các đối tượng phản ánh, tinh lọc, và điều chỉnh Quá trình giao tiếp cũng hỗ trợ xây dựng nghĩa cÿa các khái niệm

Merriam-Webster (2017) [94] định nghĩa giao tiếp như là 5một quá trình mà nhß đó thông tin được trao đổi giữa các cá nhân qua một hệ thống các biểu tượng, ký hiệu hay hành vi chung6 Giao tiếp toán học đòi hỏi một phạm vi lớn các kĩ năng Nó bao gồm nghe hiểu, đọc hiểu, nói và viết (cách biểu đạt) Biểu đạt trong toán có thể bao gồm việc biểu diễn các ý tưáng toán học theo các cách phi ngôn ngữ

Các nhà giáo dục toán học đồng ý rằng giao tiếp hiệu quả là rất quan trọng cho việc dạy và học toán một cách sâu sắc hơn Tuy vậy, ngưßi học thưßng ít được hướng dẫn về làm thế nào để giao tiếp toán học một cách hiệu quả Những ngưßi giao tiếp hiệu quả có thể đồng thßi hiểu được giao tiếp cÿa ngưßi khác và biểu đạt được các ý kiến cÿa cá nhân mình sao cho ngưßi khác hiểu được Trong dạy học, để ngưßi học có thể giao tiếp toán học một cách hiệu quả, giáo viên cần phải chú ý đến cả bốn yếu tố là đọc hiểu, nghe hiểu, viết và nói

Tuy nhiên, giao tiếp toán học bao gồm các yếu tố khác nữa, không chỉ là các thành phần ngôn ngữ Vì nó đặc thù với nội dung toán, giao tiếp toán học phụ thuộc vào một māc độ nào đó cÿa kiến thāc toán học nền tảng cÿa chÿ thể giao tiếp Kiến thāc toán học nền tảng này là lăng kính qua đó ngưßi đọc hay ngưßi nghe hiểu được nghĩa và ý nghĩa cÿa các tă và biểu diễn được ngưßi khác chia sẻ Như vậy, ngưßi học cần một sự kết hợp cÿa kiến thāc nội dung toán và khả năng biểu đạt ý tưáng cÿa các em khi nói hoặc viết về toán sao cho ngưßi khác có thể hiểu được

Theo Sammons (2018) [80], những đặc trưng sau đây cÿa giao tiếp toán học có ý nghĩa nên được xem xét khi thiết lập tiêu chuẩn chất lượng cho giao tiếp bằng

lßi và bằng chữ viết: đàm thoại tôn trọng với ngưßi khác, sử dụng tă ngữ toán học chính xác, tính chính xác trong biểu đạt các ý tưáng, diễn ngôn logic và có cấu trúc, sử dụng các chân lý để biện minh cho suy luận toán học, biết lắng nghe trong suốt quá trình đàm thoại, đọc cẩn thận các giao tiếp toán học bằng ngôn ngữ viết, hiểu được các biểu đạt bằng ngôn ngữ nói và viết cÿa ngưßi khác, tính trong sáng trong ngôn ngữ giao tiếp, đưa ra những đáp āng phù hợp với nội dung giao tiếp, duy trì sự tập trung trong giao tiếp

1.2 TẦM QUAN TRÞNG CĂA GIAO TI¾P TRONG GIÁO DĀC TOÁN HÞC

Theo quan điểm cÿa Vygotsky (1987) [35], việc học được thực hiện qua một quá trình hoạt động hỗ trợ trung gian Chính thông qua ngôn ngữ và hoạt động mà nghĩa cÿa các đối tượng toán học được hình thành Sự chuyển đổi cÿa ngôn ngữ mang tính xã hội thành ngôn ngữ mang tính cá nhân là một đòi hỏi cốt yếu đối với việc học Việc chuyển đổi này đòi hỏi một sự hỗ trợ cÿa một quá trình giao tiếp hiệu quả, đó là một quá trình trung gian giữa chÿ thể và đối tượng Giao tiếp là một khía cạnh không thể thiếu cÿa quá trình hỗ trợ trung gian này Đó là cách để học toán và những kĩ năng liên quan được phát triển Hiệp hội giáo viên toán Hoa kỳ (NCTM, 2000) [33] cho rằng 5HS giao tiếp để học toán, và các em cũng phải học cách giao tiếp toán học Theo Sfard (2009, p 175) [84], học toán nghĩa là thay đổi diễn ngôn hiện hành cÿa một ngưßi sao cho nó đạt được những tính chất về diễn ngôn được thực hành bái cộng đồng toán học Sự thay đổi như vậy có thể đạt được bằng cách má rộng vốn tă, phát triển các thÿ tục (routines) mới hoặc hình thành và xác nhận các thuyết minh (narratives) mới

Đặc biệt, 5giao tiếp, trao đổi tư duy và suy luận toán học là một bộ phận cốt yếu để phát triển việc hiểu toán6 (NCTM, 2009, p.3) [64] Giao tiếp bằng cách viết có thể có hiệu quả đặc biệt trong sự phát triển việc hiểu toán cÿa HS Đó là một quá trình hỗ trợ ngưßi học hiểu, rút ra được nghĩa, và phát triển các ý tưáng phāc tạp (Chapin, O’connor, & Anderson, 2003) [26] HS được mong đợi có thể biểu đạt và giải thích các phương pháp giải quyết vấn đề cÿa họ, biện minh suy luận và các kết quả tư duy cÿa họ một cách rõ ràng, gắn kết, và tiến triển theo một cách ngày càng hình thāc hơn, đối với chính các em cũng như đối với ngưßi khác Điều này có thể dẫn đến sự phát triển cÿa các chāc năng nhận thāc bậc cao, bao gồm tư duy phê phán, suy luận hợp lý, và giải quyết vấn đề (Albert, 2000) [13] Nhiều nghiên cāu trong lĩnh vực này cho rằng giao tiếp thông qua viết là một công cụ có thể cải thiện việc hiểu toán (Albert, 2000; Pugalee, 2004; Santos & Semana, 2014) [13], [75], [25]

Quan niệm rằng việc học toán chính là việc xây dựng năng lực giao tiếp toán học là một quan niệm chÿ đạo đối với các nghiên cāu về giao tiếp trong giáo dục toán học Quan niệm này thiết lập một kết nối chặt chẽ giữa việc học toán và hoạt

động giao tiếp Quan niệm này chia sẻ tiếp cận xã hội đối với việc học, trong đó xem học như là một quá trình tham gia, trong đó việc học xảy ra không á trong đầu cũng không á ngoài cá nhân, mà chính á mối quan hệ giữa một cá nhân và thế giới xã hội (Lave & Wenger, 1991; Wenger, 1998) [56], [95]

Theo Niss và Hojgaard (2019) [68], năng lực giao tiếp toán học là khả năng cÿa một cá nhân để tham gia vào giao tiếp toán học bằng lßi nói, chữ viết, cử chỉ theo những kiểu cách và thể loại, hệ thống biểu đạt khác nhau, và á các cấp độ khác nhau về tính chính xác Năng lực giao tiếp toán học còn thể hiện á khả năng lý giải giao tiếp cÿa ngưßi khác, hoặc khả năng thể hiện giao tiếp tích cực cÿa chính bản thân Bất kỳ giao tiếp nào trong toán học hay với toán học đều xảy ra trong phạm vi cÿa giao tiếp theo nghĩa rộng, nhưng liên quan đến những yếu tố có ý nghĩa cÿa một bản chất toán học đặc biệt vượt ra ngoài giao tiếp theo nghĩa chung thông thưßng Vì vậy, giao tiếp toán học thưßng gợi lên các khái niệm toán học, thuật ngữ, kết quả hay những đặc trưng khác cÿa toán học như là một môn học, và thưßng liên quan đến việc sử dụng một hoặc nhiều các biểu diễn toán học khác nhau

Trong những năm gần đây, nghiên cāu về ngôn ngữ trong giáo dục toán học đã má rộng tă việc xem xét chÿ yếu tă hoặc biểu tượng toán học sang mối quan tâm toàn diện hơn với một loạt các phương tiện giao tiếp khác Sự phát triển này trùng hợp với sự công nhận ngày càng tăng trong toàn bộ lĩnh vực về tầm quan trọng cÿa môi trưßng xã hội trong việc học, dạy và làm toán Bằng cách tập trung vào môi trưßng xã hội, giao tiếp mặt đối mặt diễn ra trong lớp học được chú trọng hơn, chuyển sự chú ý tă văn bản sang lßi nói và dẫn đến nhận ra rằng diễn ngôn nói trong lớp học toán cũng có những đặc điểm chuyên biệt (Morgan, Craig, Schutte & Wagner, 2014) [65] Halliday (1974) [44] đã sử dụng thuật ngữ hệ thống biểu đạt (register) để chỉ phương pháp giao tiếp chuyên biệt được sử dụng trong một thực tiễn xã hội cụ thể Ví dụ, hệ thống biểu đạt toán học sẽ bao gồm các tă ngữ đặc thù cho giao tiếp toán học, nhưng cũng có các cách sử dụng chuyên biệt cÿa các tă hàng ngày, mang ý nghĩa duy nhất trong ngữ cảnh toán học

1.3 TẦM QUAN TRÞNG CĂA SUY LU¾N TRONG GIÁO DĀC TOÁN HÞC

Hiện nay, SLTH vận dụng vào giáo dục toán học là một hướng nghiên cāu được nhiều tác giả quan tâm SLTH được nhiều tác giả đề cập như Pijls và Dekker (2011), Seidouvy và Schindler (2019) [81], Sidenvall (2019), Lithner (2008, 2010), [23], [57], [58] Nhiều nghiên cāu đã sử dụng SLTH cÿa Lithner (2008) trong dạy học Toán á đại học, đặc biệt là dạy học Giải tích cho SV (SV) những năm đầu đại học Tuy nhiên, việc tiếp cận kiến thāc Giải tích á những năm đầu đại học đôi khi gây khó khăn cho SV, bái các em phải tiếp cận với những kiến thāc mang tính trău tượng cao Do đó, sử dụng SLTH để phân tích quá trình dạy học Giải tích cho SV giai đoạn này là một vấn đề cần được quan tâm trong bối cảnh đổi mới giáo dục hiện nay

SLTH là một năng lực cơ bản cÿa ngưßi học khi học Toán, không chỉ giúp họ tham gia vào quá trình chāng minh mà còn khuyến khích việc tiếp cận các khái niệm, tính chất và định nghĩa toán học một cách sâu sắc hơn Bằng cách tập trung vào các khía cạnh hợp lí, các mối liên hệ trong môn học, SLTH cho phép ngưßi học vượt qua việc dựa vào những thông tin có sẵn và phát triển kĩ năng giải quyết vấn đề toán học một cách độc lập và hiệu quả Do đó, phát triển SLTH cho ngưßi học là một nhiệm vụ cốt lõi trong quá trình giảng dạy và học tập toán học (Ball & Bass, 2003; Boaler, 2015) [18], [20]

SLTH cho phép ngưßi học phân tích và hiểu sâu hơn bản chất cÿa giao tiếp toán học thông qua các kiểu suy luận sáng tạo và suy luận bắt chước Kiểu suy luận bắt chước đang chiếm ưu thế so với suy luận sáng tạo Điều này có nghĩa là SV thưßng dựa vào các giải pháp đã được sử dụng trước đó để giải quyết vấn đề toán học thay vì sáng tạo ra các giải pháp mới Tuy nhiên, để khuyến khích SV phát triển suy luận sáng tạo, GV cần sử dụng các phương pháp dạy học phù hợp và khuyến khích các em tạo ra các giải pháp mới

1.4 GIAO TI¾P TOÁN HÞC TRONG CH£¡NG TRÌNH GIÁO DĀC PHÞ THÔNG MÔN TOÁN 2018

Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán cÿa Việt Nam năm 2018 nhấn mạnh đến phát triển phẩm chất và năng lực ngưßi học (Bộ GDĐT, 2018) Giao tiếp và hợp tác là một trong ba năng lực chung cÿa chương trình giáo dục phổ thông tổng thể năm 2018 Đối với chương trình môn Toán, giao tiếp toán học được xem là một trong năm năng lực thành phần cÿa năng lực toán học cần phải hình thành và phát triển cho SV trong quá trình dạy học toán Điều này cho thấy tầm quan trọng và sự cần thiết cÿa việc thúc đẩy giao tiếp nói chung và giao tiếp toán học nói riêng trong quá trình dạy và học toán theo định hướng đổi mới hiện nay

Theo chương trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018, biểu hiện cụ thể cÿa năng lực giao tiếp toán học được đặc trưng bái các khả năng sau:

Nghe hiểu, đọc hiểu, và ghi chép được các thông tin toán học cần thiết được trình bày dưới dạng văn bản toán học hay do ngưßi khác nói hoặc viết ra

Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưáng, giải pháp toán học trong sự tương tác với ngưßi khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đÿ, chính xác)

Sử dụng được hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ số, chữ cái, ký hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic&), kết hợp với ngôn ngữ thông thưßng hoặc động tác hình thể khi trình bày, giải thích, và đánh giá các ý tưáng toán học trong sự tương tác (thảo luận, tranh luận) với ngưßi khác

Thể hiện được sự tự tin khi trình bày, diễn đạt, nêu câu hỏi, thảo luận, tranh luận các nội dung, ý tưáng liên quan đến toán học

Để đánh giá năng lực giao tiếp cÿa ngưßi học, chương trình môn Toán năm 2018 đề xuất có thể sử dụng các phương pháp như yêu cầu ngưßi học nghe hiểu, đọc hiểu, ghi chép (tóm tắt), phân tích, lựa chọn, trích xuất được các thông tin toán học cơ bản, trọng tâm trong văn bản nói hoặc viết; sử dụng được ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thưßng trong việc trình bày, diễn đạt, nêu câu hỏi, thảo luận, tranh luận các nội dung, ý tưáng, giải pháp toán học trong sự tương tác với ngưßi khác

Có thể nhận thấy rằng chương trình phổ thông tổng thể và chương trình môn Toán năm 2018 đã chú trọng đến giao tiếp nói chung và giao tiếp toán học nói riêng trong quá trình dạy học toán Đây là một điểm mới so với chương trình môn Toán trước đây Những mô tả cÿa chương trình về biểu hiện cụ thể cÿa năng lực giao tiếp toán học như trên là khá rõ ràng Tuy vậy, nhìn chung những mô tả về năng lực giao tiếp toán học cÿa ngưßi học vẫn còn á māc độ đặc trưng cÿa giao tiếp nói chung, và chú trọng nhiều vào sử dụng tă ngữ và các cách biểu đạt trực quan trong giao tiếp Để có thể đặc trưng rõ giao tiếp toán học và cách giao tiếp toán học cho thấy sự tiến triển cÿa việc học cÿa SV trong tình huống dạy học, chúng ta cần những mô tả sâu hơn về đặc trưng cÿa giao tiếp toán học gắn liền với đặc trưng cÿa quá trình nhận thāc các đối tượng toán học Thách thāc là làm sao có thể đặc trưng và thúc đẩy được giao tiếp toán học hiệu quả cÿa cá nhân HS trong quá trình giải quyết vấn đề, và qua đó thấy được quá trình nhận thāc toán học cÿa các em

1.5 CH£¡NG TRÌNH GIÀI TÍCH Ở ĐẦU Đ¾I HÞC

Nghiên cāu này tập trung chương trình giải tích đầu đại học, bước chuyển giữa phổ thông và đại học đặc biệt là các khái niệm giải tích gây khó khăn cho HS Chúng tôi phân tích chương trình giải tích đầu đại học để có cái nhìn tổng quan về chương trình toán, đặc biệt là chương trình giải tích đầu đại học, mỗi trưßng đại học Tổng quan về nội dung và cấu trúc chương trình giải tích cơ bản á các trưßng đại học mà chúng tôi thực nghiệm có đề cập đến những nội dung sau:

Giải tích hàm một biến: Hàm số và giới thiệu về giải tích: SV sẽ học về định nghĩa cÿa hàm số, giới thiệu về giới hạn, liên tục, và tính liên tục cÿa hàm Đạo hàm và āng dụng: Nắm vững khái niệm về đạo hàm, việc tính đạo hàm cho các hàm số cơ bản và āng dụng cÿa đạo hàm trong tìm cực trị, biểu diễn đồ thị và vận tốc Tích phân và āng dụng: Học về tích phân, tích phân xác định, tích phân bất định, và các āng dụng cÿa tích phân trong tính diện tích, lượng chất, và công việc Thành phần đạo hàm và tích phân: SV cũng học về các phương pháp tích phân và đạo hàm một hàm số hợp thành tă các phần thành

Giải tích hàm nhiều biến: Hàm nhiều biến và đạo hàm riêng: SV tiếp tục học về giải tích cho hàm nhiều biến, bao gồm đạo hàm riêng, vector gradient, và ma trận

Hessian Tích phân đa biến: Học về tích phân đa biến và āng dụng cÿa nó trong tính diện tích dưới bề mặt và thể tích Các āng dụng và ví dụ thực tế: Chương trình giải tích thưßng bao gồm các ví dụ và āng dụng thực tế trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, khoa học máy tính và kinh tế

Tùy vào mỗi chuyên ngành đào tạo, mỗi trưßng đại học có một khung chương trình học phần toán khác nhau Tuy nhiên các nội dung giới hạn, đạo hàm và tích phân mà chúng tôi tiến hành thực nghiệm có nhiều nội dung giống nhau và thể hiện đầy đÿ trong giáo trình toán cao cấp cÿa tác giả Nguyễn Đình Trí, giáo trình phổ biến trong các trưßng á đầu đại học, giáo trình gồm 3 tập: Tập 1 đề cập đến chÿ đề 5Đại số và hình học giải tích6; Tập 2 đề cập đến chÿ đề 5Phép tính giải tích một biến số6; Tập 3 đề cập đến chÿ đề 5Phép tính giải tích nhiều biến số6

Theo Nguyễn Đình Trí (2005, 2017) [7], [9], các kiến thāc toán học ít mang tính tính toán, trực quan sang kiểu toán học chặt chẽ, hình thāc hóa, khái quát hóa á māc cao hơn, với nhiều phương pháp mới, nhiều kiểu biểu đạt hơn khi làm việc với các khái niệm toán học trong giáo trình Điều này được thể hiện rõ qua một số điểm như sau:

Liên quan đến chÿ đề giới hạn, trong giáo trình toán cao cấp tác giả đã trình bày á phần đầu cÿa giáo trình với các nội dung: Định nghĩa giới hạn, Các tính chất; Vô cùng bé, vô cùng lớn; Hàm số liên tục; Các điểm gián đoạn; Các định lí liên quan đến hàm số liên tục; Liên tục đều à phần lý thuyết, giáo trình đã chú trọng đến cách trình bày hình thāc hóa, khái quát hóa bằng cách sử dụng các thuật ngữ ., các định nghĩa giới hạn cÿa hàm số tại một điểm, giới hạn vô cùng,& được trình bày hoàn toàn khác so với những gì SV đã học á phổ thông Các kỹ thuật chāng minh các định lí có liên quan đến giới hạn, hàm số liên tục cũng mang tính trău tượng, đòi hỏi SV phải nắm được bản chất toán học cÿa những kiến thāc liên quan đến giới hạn, hàm số liên tục

Chÿ đề đạo hàm trong giáo trình toán cao cấp, tác giả trình bày sau phần giới hạn với các nội dung: Khái niệm đạo hàm, Ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lí cÿa đạo hàm; Các quy tắc tính đạo hàm; Đạo hàm cấp cao; Các định lí về giá trị trung bình, Định lí Taylor à phần chāng minh các định lí, tác giả sử dụng các kỹ thuật chāng minh khá phāc tạp, đòi hỏi SV phải nắm vũng các kiến thāc lý thuyết mới nắm bắt được Các định lí về giá trị trung bình được tác giả nêu đầy đÿ ý nghĩa hình học và nội dung

Trong giáo trình toán cao cấp cÿa tác giả Nguyễn Đình Trí, chÿ đề nguyên hàm được trình bày với các nội dung: Định nghĩa; Các quy tắc tính nguyên hàm; Các định lí liên quan đến tích phân bất định, xác định; Tích phân suy rộng; Āng dụng hình học cÿa tích phân à phần định nghĩa, các định lí tác giả trình bày khá trău tượng và khác nhiều so với chương trình SV đã học á phổ thông

Như vậy, chương trình giải tích á đầu đại học được trình bày khác nhiều so với những gì SV đã được học trước đó, sự thay đổi về các câu tă, ngôn ngữ trình bày mang tính khái quát hóa Nghiên cāu xem xét thay đổi diễn ngôn trong giao tiếp cÿa các SV là rất cần thiết trong bối cảnh chương trình giáo dục đại học hiện nay

1.6 TÞNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CĄU GIAO TI¾P VÀ SUY LU¾N TOÁN HÞC Ở VIàT NAM

Trong những năm gần đây các tiếp cận giao tiếp và suy luận toán học vận dụng vào nghiên cāu trong giáo dục toán là một hướng nghiên cāu khá mới mẻ và gần đây được nhiều nhà nghiên cāu quan tâm Nhiều quan niệm và cách tiếp cận đối với giao tiếp toán học đã được xem xét

Theo Lê Thái Bảo Thiên Trung - Vương Vĩnh Phát (2019) [10] thì nghiên cāu về việc vận dụng phương pháp ACODESA trong một tình huống dạy học nghĩa cÿa đạo hàm cho thấy những bằng chāng về việc HS phát triển các lập luận toán học để giải quyết vấn đề, cụ thể là việc tự thuyết phục hay thuyết phục ngưßi khác tă bỏ chiến lược ban đầu Kết quả cũng cho thấy HS kết nối nhiều kiểu biểu diễn khác nhau cho khái niệm hàm số (công thāc, đồ thị, bảng biến thiên&) để giải quyết vấn đề so sánh những giá trị đạo hàm khi cho trước biểu diễn đồ thị cÿa hàm số Kết quả này ÿng hộ nhận định cÿa chúng tôi về vai trò thúc đẩy giao tiếp toán học trong dạy học bằng những quy trình có pha tranh luận khoa học

Nhà nghiên cāu Cao Thị Hà - Nguyễn Thị Phương Thảo (2021) [4] trong công trình cÿa mình đã kết luận rằng giao tiếp là phương tiện quan trọng nhất trong quá trình học tập nên nó không chỉ còn là phương tiện mà còn là mục tiêu cÿa quá trình dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng Dựa trên các biểu hiện đặc trưng trong tăng thành tố cÿa năng lực GTTH, tác giả đã xây dựng các biện pháp để bồi dưỡng và phát triển các năng lực này cho HS Với tăng biện pháp, GV tổ chāc các hoạt động cho HS trong quá trình dạy học các nội dung chương 5Tập hợp- Mệnh đề6 nhằm tác động lên các biểu hiện cụ thể trong tăng thành tố cÿa năng lực GTTH; chỉ rõ các cơ hội và điều kiện tổ chāc thực hiện biện pháp trong bối cảnh hạn hẹp về thßi gian cùng với những yêu cầu về mục tiêu, nội dung, chương trình dạy học

Nghiên cāu cÿa các tác giả Nguyễn Thị Tân An, Nguyễn Trung Chánh (2022) [1] cho rằng tập trung vào năng lực GTTH cÿa HS thể hiện qua việc trả lßi các nhiệm vụ má về nội dung vectơ Kết quả cho thấy, với những nhiệm vụ có cấp độ khó á māc 3 và 4 thì năng lực GTTH cÿa HS chÿ yếu đạt māc độ trung bình (māc 2), số HS đạt māc độ thấp 0 và 1 xấp xỉ tỉ lệ 1/3 và số HS đạt māc độ gần thành thạo (māc 3) xấp xỉ 1/4 Nghiên cāu cũng cho thấy, các nhiệm vụ má đã tạo môi trưßng giao tiếp mà á đó bộc lộ những sai lầm trong việc hiểu cÿa HS về kiến thāc vectơ Những HS đạt māc độ 0 và 1 cÿa năng lực GTTH thưßng có xu hướng hiểu sai hoặc nhầm lẫn

khái niệm (như khái niệm: vectơ, hai vectơ bằng nhau, phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với một số, tọa độ cÿa vectơ), sử dụng sai quy tắc (quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành) dẫn đến hình vẽ không đúng và sử dụng sai các thuật ngữ toán học

Vũ Thị Bình (2016) [2] cho rằng: Giao tiếp toán học là giao tiếp diễn ra giữa GV-HS, giữa HS-HS trong quá trình dạy học toán, quá trình này sử dụng ngôn ngữ toán học là phương tiện quan trọng và chÿ yếu để tiếp nhận và chuyển tải các ý tưáng toán học, kiến thāc toán học, đưa ra lập luận, chāng minh, giải quyết vấn đề nhằm đạt được mục tiêu học tập môn toán

Tác giả Nguyễn Thị Duyến (2014) [3] kết luận rằng khi tham gia vào quá trình khảo sát toán HS có nhiều cơ hội để giao tiếp các ý tưáng toán học cÿa mình thông qua việc sử dụng các phương tiện biểu đạt khác nhau như nói, viết, sử dụng sơ đồ, biểu bảng, mẫu hình trực quan, để tiến hành các phương thāc giao tiếp toán học như đặt câu hỏi, đưa ra các giả thuyết, giải thích, chāng minh, tổng quát hóa, phản ánh và đánh giá Điều này sẽ làm góp phần thay đổi phong cách học toán cÿa HS tă thói quen im lặng, e ngại, thiếu kĩ năng giao tiếp toán học khi trao đổi các ý tưáng toán học với bạn bè sang việc tự tin, thoải mái và thành thạo trong việc sử dụng các phương tiện biểu đạt và thực hiện các phương thāc giao tiếp toán học Đây được xem là yếu tố cơ bản để đổi mới việc học toán cÿa cÿa HS tă chỗ thụ động tiếp nhận sang tích cực và chÿ động khám phá kiến thāc toán thông qua nỗ lực trao đổi và chia sẻ các ý tưáng toán học cÿa mình với bạn học trong môi trưßng học tập lấy khảo sát toán làm trung tâm Vì thế, các giáo viên toán cần tích hợp tiếp cận khảo sát toán vào các thực hành dạy học toán cÿa mình để đổi mới việc học toán cÿa HS trong nhà trưßng phổ thông hướng đến phát huy năng lực giao tiếp toán học và khám phá toán cÿa các em

Các công trình nghiên cāu sau tập trung vào việc áp dụng giao tiếp toán học để giúp HS hiểu bài toán và phát triển kĩ năng giải quyết vấn đề: Lương Anh Phương, Nguyễn Thanh Hưng, Lê Tuấn Anh [8]: Māc độ biểu hiện năng lực giao tiếp Toán học cÿa HS trung học phổ thông Bài viết trình bày sự cần thiết cÿa việc phát triển năng lực giao tiếp Toán học cho HS trung học phổ thông, đồng thßi hệ thống lại một số quan điểm về biểu hiện cÿa năng lực giao tiếp Toán học, qua đó đề xuất māc độ cÿa các biểu hiện đối với HS trung học phổ thông làm cơ sá để đánh giá việc đáp āng yêu cầu phát triển năng lực giao tiếp Toán học cho HS trong quá trình dạy học Đinh Tiến Nguyện (2021) [6] đã đề cập đến vấn đề Dạy học giải toán lượng giác theo hướng phát triển năng lực giao tiếp cho HS THPT Nghiên cāu một số vấn đề về phát triển năng lực giao tiếp toán học cho HS&Phân tích thực trạng dạy học nội dung lượng giác á trung học phổ thong (THPT) theo hướng phát triển năng lực giao tiếp cho HS Đề xuất một số biện pháp dạy học á nội dung lượng giác trong nhà trưßng THPT theo hướng cho HS phát triển năng lực giao tiếp Tiến hành thực hiện các lớp thực nghiệm sư phạm để đánh giá bước đầu về tính khả thi cÿa các biện pháp đã đề xuất

Với phần suy luận toán học, nhà nghiên cāu Bùi Phương Uyên [12] đã đề cập đến suy luận tương tự Tác giả cho rằng dạy học với suy luận tương tự là một chiến lược dạy học hiệu quả trong dạy học môn Toán Vì vậy, phương pháp này đang được nhiều giáo viên lựa chọn để phát huy tính tích cực cÿa HS Tác giả đã khảo sát 52 SV ngành Sư phạm toán, Trưßng Đại học Cần Thơ, á học phần tập giảng và kết quả cho thấy chỉ có 5 SV lựa chọn dùng suy luận tương tự để phát huy tính tích cực cÿa HS Tác giả kết luận suy luận tương tự đóng vai trò quan trọng trong dạy học toán Nó không chỉ giúp HS có cơ hội ôn tập kiến thāc cũ và mà còn giúp phát huy tính tích cực cÿa HS trong việc khám phá kiến thāc mới Tuy nhiên, qua điều tra chúng tôi nhận thấy mặc dù đã được hướng dẫn về việc sử dụng suy luận tương tự nhưng các em SV vẫn chưa chÿ động lựa chọn phép suy luận này vào dạy học nhằm phát huy tính chÿ động cÿa HS Một số ít SV có sử dụng suy luận tương tự để giúp HS học tập kiến thāc mới nhưng nó cũng chỉ là những dẫn dắt vào bài mới Điều này đặt ra vấn đề cần tìm hiểu những khó khăn mà các em gặp phải trong quá trình vận dụng suy luận tương tự vào dạy học, tă đó giảng viên đề ra các biện pháp sư phạm nhằm giúp SV nâng cao khả năng sử dụng suy luận tương tự vào dạy học môn Toán

Các tác giả Phạm Thế Quân 3 Trần Trung (2023) [11] đã đề cập vấn đề Phát triển năng lực suy luận thống kê cho HS trung học phổ thông qua các bài toán có nội dung thực tiễn kết quả nghiên cāu Thống kê có vai trò quan trọng trong cuộc sống cũng như trong giáo dục toán học Dạy học thống kê không chỉ dăng lại á việc trang bị tri thāc, kĩ năng tính toán mà cần hướng đến phát triển hiểu biết, suy luận và tư duy thống kê Có sự giao thoa giữa hiểu biết thống kê, suy luận thống kê và tư duy thống kê, điều này cho thấy rằng một hoạt động dạy học thống kê có thể phát triển đồng thßi cả 3 yếu tố mang tính nhận thāc này Phát triển suy luận thống kê cho HS là một quá trình dài, trước hết gióa viên cần bắt đầu bằng việc tìm hiểu khái niệm, các loại suy luận thống kê và biểu hiện cÿa nó Việc xây dựng và sử dụng các bài toán có nội dung thực tiễn là một biện pháp góp phần phát triển năng lực suy luận thống kê, đồng thßi nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán á trưßng trung học phổ thông

Nhìn chung, các nghiên cāu này đã thể hiện sự quan tâm đến vấn đề năng lực giao tiếp toán học, suy luận tương tự, suy luận thống kê cho HS, SV, đặc biệt là HS trung học cơ sá và trung học phổ thông, ), các nghiên cāu chÿ yếu đề cập đến năng lực giao tiếp toán học cÿa HS trung học phổ thông, có rất ít nghiên cāu chú ý đến giao tiếp cÿa SV á đầu đại học Đặc biệt chưa có nghiên cāu nào sử dụng tiếp cận giao tiếp nhận thāc cÿa Sfard (2008) [83], suy luận toán học cÿa Lithner (2008) để nghiên cāu dạy học toán á đại học, đặc biệt là dạy học giải tích Bước chuyển phổ thông - đại học đặt ra nhiều khó khăn cho HS, đặc biệt là khi học các khái niệm giải

tích, bái vì HS phải chuyển tă toán học mang tính tính toán, trực quan sang kiểu toán học chặt chẽ, hình thāc hóa, khái quát hóa á māc cao hơn, với nhiều phương pháp mới, nhiều kiểu biểu đạt hơn khi làm việc với các khái niệm toán học Trên quan điểm cÿa tiếp cận giao tiếp nhận thāc, bước chuyển phổ thông đại học đòi hỏi những thay đổi trong diễn ngôn cÿa HS và giáo viên cho phù hợp với đòi hỏi cÿa thể chế dạy học mới Sử dụng tiếp cận giao tiếp nhận thāc để phân tích việc dạy học giải tích á bước chuyển này là vấn đề thú vị và còn ít tác giả quan tâm

1.7 KHÓ KHĂN CĂA SV KHI HÞC GIÀI TÍCH Ở ĐẦU Đ¾I HÞC

Nghiên cāu trong giáo dục toán học đã chỉ ra rằng HS hay SV thưßng gặp nhiều khó khăn trong việc hiểu các khái niệm cơ bản cÿa giải tích toán học (Cornu, 1991; Orton, 1983; Tall, 1996) [29], [69], [90] Đặc biệt, HS và SV thưßng cảm thấy khó hiểu và gặp thách thāc đối với khái niệm giới hạn Vấn đề cốt yếu thưßng nằm á khoảng cách giữa quan niệm trực quan cÿa ngưßi học về giới hạn với định nghĩa hình thāc cÿa khái niệm này (Bagni, 2005; Cornu, 1991; Cottrill et al., 1996; G ler, 2013) [15], [29] [30], [41]

Kumsa, Petterson và Andrews (2018) [53] đã tổng hợp và phân loại thành ba loại chướng ngại liên quan đến khái niệm giới hạn: chướng ngại tri thāc luận (liên quan đến bản chất toán học cÿa khái niệm), chướng ngại nhận thāc (liên quan đến quá trình trău tượng hoá và khái niệm hoá), và chướng ngại dạy học (liên quan đến bản chất việc dạy và học khái niệm) Chướng ngại tri thāc luận gắn liền với bản chất toán học cÿa khái niệm giới hạn Về mặt lịch sử, khái niệm giới hạn, khái niệm giới hạn phát triển tă nhu cầu giải quyết việc tính toán diện tích, trước khi có định lí cơ bản cÿa giải tích về liên hệ giữa đạo hàm và tích phân Quá trình phát triển khái niệm giới hạn á thßi kỳ đầu đã khiến các nhà toán học phải gặp khó khăn với bốn chướng ngại tri thāc luận chÿ yếu là: sự thất bại trong việc kết nối giữa khía cạnh số học và hình học cÿa khái niệm giới hạn; các khái niệm vô cùng lớn và vô cùng bé; khía cạnh siêu hình cÿa khái niệm giới hạn; và tính không đạt được về mặt vật lý cÿa chính giới hạn (Cornu, 1991) [29] Những sai lầm mà ngưßi học gặp phải trong khi giải các bài toán về giới hạn cũng có thể cung cấp bằng chāng về những chướng ngại tri thāc luận này (Cornu, 1991) [29] Chẳng hạn, khi khảo sát thực nghiệm về những chướng ngại tri thāc luận mà SV đại học gặp phải, Moru (2008) [66] thấy rằng nhiều SV xem giới hạn như là giá trị cÿa một hàm số

Nguồn gốc chÿ yếu cÿa các chướng ngại tri thāc luận không chỉ liên quan đến chính bản chất khái niệm giới hạn mà còn liên quan đến các khái niệm làm cơ sá cho sự phát triển và hình thāc hoá khái niệm giới hạn Chẳng hạn, bản chất đối ngẫu cÿa ký hiệu được sử dụng để biểu diễn giới hạn cũng tạo nên các chướng ngại đối với ngưßi học (Gray & Tall, 1994) [37] Biểu tượng ( ) có thể

được hiểu như là một quá trình sẽ không bao giß dăng lại, là quá trình 5dần đến gần6, nhưng cũng có thể biểu diễn một đối tượng tượng toán học (giá trị cÿa giới hạn) Sự chuyển đổi tă cách nhìn giới hạn như một 5quá trình6 mang tính động sang giới hạn như một 5đối tượng6 mang tính tĩnh thưßng cũng gây ra những chướng ngại đối với ngưßi học

Chướng ngại nhận thāc là những chướng ngại gặp phải trong quá trình tri nhận kiến thāc mới Mallet (2013) [61] cho rằng một chướng ngại nhận thāc là một tình huống á đó một cấu trúc trí tuệ hiện tại là tương thích với một phạm vi nhưng lại gây ra những khó khăn cho việc học trong lĩnh vực hay phạm vi khác do tính không tương thích với tình huống hay khái niệm mới Vì vậy, khi một HS gặp kiến thāc mới, kiến thāc trước đó cÿa HS có thể không còn tương thích với kiến thāc mới, tă đó đưa đến những xung đột nhận thāc giữa kiến thāc cũ và mới (Tall & Vinner, 1981; Tall, 1991) [93], [89] Nhiều chướng ngại nhận thāc như vậy xuất hiện như là hệ quả cÿa quá trình trău tượng hoá liên quan đến việc hình thāc hoá khái niệm đó Chẳng hạn, nghiên cāu đã nhận dạng được sự khác nhau giữa định nghĩa hình thāc cÿa khái niệm giới hạn và hình ảnh giới hạn mà ngưßi học dùng trong tâm trí cÿa họ, và nó gây ra những sự không tương thích (Tall & Vinner, 1981) [93] Khái niệm toán học càng trău tượng thì những khó khăn về hiểu khái niệm mà ngưßi học gặp phải càng nhiều Ngoài ra, khi được giới thiệu với kiểu biểu đạt hình thāc khái niệm giới hạn, ngưßi học thưßng thấy khó khăn khi phải phân biệt giữa quá trình tìm ra giới hạn với giá trị giới hạn gắn liền với ký hiệu hình thāc đó (Kidron, 2008) [52] Ngưßi học có xu hướng có một cách nhìn quá trình về giới hạn hơn là cách nhìn đối tượng về khái niệm này, hệ quả là họ không thể thấy được tương tác lẫn nhau giữa hai cách nhìn (Bagni, 2005; Parameswaran, 2007) [16], [70]

Các tă ngữ thưßng ngày được sử dụng khi giới thiệu khái niệm giới hạn và những lượng tă như 5với mọi6 và 5tồn tại6 trong định nghĩa hình thāc có thể che mất việc hiểu những khái niệm mới thu nhận được cÿa ngưßi học Bản chất trău tượng cÿa khái niệm giới hạn và quá trình trău tượng hoá liên quan đến hình thāc hoá cÿa khái niệm, sự không tương thích giữa hình ảnh khái niệm và định nghĩa khái niệm, bản chất đối ngẫu giữa khái cạnh quy trình và khía cạnh đối tượng cÿa khái niệm giới hạn là gốc cÿa những chướng ngại nhận thāc

Chướng ngại dạy học xuất hiện như là hệ quả cÿa bản chất việc dạy và học một khái niệm, chẳng hạn như những cách thāc mà khái niệm được giới thiệu trong các sách giáo khoa, thā tự cÿa các khái niệm liên quan và việc ra quyết định dạy học cÿa giáo viên Ví dụ, một số sách giới thiệu khái niệm giới hạn bằng đồ thị, một số sách khác giới thiệu khái niệm bằng lßi hoặc trực quan, hoặc bằng

phương pháp đại số Những tiếp cận khác nhau này ưu tiên những dạng kiến thāc khác nhau và chúng có thể phù hợp hoặc không phù hợp với những định nghĩa và hình thāc hoá về sau đối với khái niệm giới hạn Chẳng hạn, đối với giới hạn , một số sách về giải tích á đầu đại học trước tiên giới thiệu các bảng giá trị rồi sau đó được biểu diễn về mặt hình học để đi đến giá trị giới hạn một cách trực quan Để hoàn thành một bảng giá trị như vậy, ngưßi học phải xấp xỉ các giá trị nhỏ, điều này thúc đẩy ngưßi học tin rằng giới hạn không chỉ là một quá trình xấp xỉ mà còn rằng các đại lượng khá nhỏ có thể bị bỏ qua Thật vậy, việc dạy học nhấn mạnh khía cạnh quy trình hơn khía cạnh khái niệm về giới hạn có thể cho kết quả là ngưßi học hiểu khái niệm giới hạn như là những quy trình riêng biệt Vấn đề này có thể được tránh thông qua việc dạy học nhấn mạnh sự kết nối giữa các biểu đạt hình học, số học, đại số và biểu đạt bằng lßi cÿa khái niệm giới hạn (Stewart, 2008) [87]

Theo Gray, Loud và Sokolowski (2009) [38], việc học giải tích toán học, với các khái niệm cơ bản như giới hạn, đạo hàm, tích phân đòi hỏi một khả năng hiểu các biến đại số như là các số được khái quát hoá và như là những đại lượng biến thiên liên quan nhau trong những mối quan hệ hàm Gray et al (2009) [47] gợi ý rằng 5dạy học giải tích nên tiếp tục nhấn mạnh những cách sử dụng biến khác nhau trong những ngữ cảnh khác nhau và cố gắng phát triển hiểu biết cÿa ngưßi học về biến như là những đại lượng thay đổi và đồng biến thiên6

Theo Tall (1993) [92], ngưßi học thưßng gặp khó khăn với các khái niệm đạo hàm được ký hiệu dưới dạng tỉ số theo kiểu Leibnitz, bái vì HS không biết liệu nó biểu đạt một phân số hay chỉ là một ký hiệu riêng lẻ Chẳng hạn, trong ký hiệu dây

, HS thưßng tự hỏi liệu có thể xoá bỏ được hay không Một số nghiên cāu cho rằng khó khăn cÿa HS khi học đạo hàm liên quan đến việc áp dụng quy tắc đạo hàm cÿa hàm hợp (Maharaj, 2013; Tall, 1993) [60], [92] Các nghiên cāu này gợi ý rằng giáo viên nên thiết kế các hoạt động học cho phép HS tìm kiếm nghĩa trong khi học các khái niệm đạo hàm và vi phân

Nhiều nhà nghiên cāu (Tall, 1992, 1997, 2012; Stacey, 2006) [91], [19], [73] đã nhấn mạnh rằng kĩ năng giải quyết vấn đề cÿa ngưßi học trong khi học về đạo hàm và tích phân là chưa đÿ, do họ xử lý chÿ yếu khía cạnh đại số hơn là khía cạnh đồ thị cÿa các vấn đề đặt ra Ngoài ra, việc thiếu hụt mối liên hệ giữa các khía cạnh đại số và đồ thị cũng là một lý do khác gây nên những khó khăn cÿa ngưßi học khi học về đạo hàm và tích phân Việc thiếu hụt này cũng được nhìn thấy đối với SV đại học Do đó, cần thiết phải sử dụng các tính chất cÿa khía cạnh đồ thị trong dạy và học đạo hàm và tích phân cho SV những năm đầu đại học

1.8 TIÀM NĂNG THÚC ĐẨY GIAO TI¾P TOÁN HÞC QUA D¾Y HÞC GIÀI TÍCH Ở ĐẦU Đ¾I HÞC

Như chúng tôi đã phân tích á trên, phần giải tích á đầu đại học gồm những kiến thāc má rộng cÿa phần giải tích các SV đã học phổ thông và nhiều kiến thāc mới lạ Giới hạn, hàm số liên tục, đạo hàm và nguyên hàm là những vấn đề có nhiều điểm thú vị có thể khai thác để phát triển tư duy toán cho SV Những kiểu bài tập sau có thể thúc đẩy giao tiếp toán học cÿa SV, tāc là thúc đẩy khả năng suy luận toán học, đặc biệt trong giải quyết vấn đề cộng tác:

• Phác thảo một đồ thị thỏa mãn các điều kiện về tính liên tục, gián đoạn • Xác định một hàm số thỏa mãn các điều kiện về tính liên tục, gián đoạn • Sử dụng định lí trung gian để chāng minh một phương trình có nghiệm • Phác thảo một đồ thị thỏa mãn các điều kiện về nguyên hàm cấp 1, 2

• Cho trước đồ thị cÿa hàm số nguyên hàm ( ), xác định điểm cực trị cÿa đồ thị hàm số ( ) và giải thích

• Xác định mối liên hệ về giữa đồ thị hàm số ( ) và đồ thị hàm số nguyên hàm ( ) thông qua đẳng thāc Newton - Leibnitz

• Vẽ và giải thích cách vẽ đồ thị hàm số nguyên hàm ( ) khi biết đồ thì hàm số nguyên hàm ( )

• Xác định tính chất cÿa đồ thị hàm số nguyên hàm ( ) khi biết đồ thì hàm số ( )

1.9 GHI NH¾N VÀ Đ¾T VÂN ĐÀ NGHIÊN CĄU

Giao tiếp toán học và việc thúc đẩy giao tiếp toán học trong quá trình học toán đang trá thành một vấn đề rất quan trọng trong giáo dục toán học Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2018 cÿa Việt Nam cũng nhấn mạnh năng lực giao tiếp và giao tiếp toán học đối với ngưßi học à cấp độ nghiên cāu, các nhà nghiên cāu giáo dục toán tập trung nhiều vào việc phân tích và đặc trưng quá trình giao tiếp toán học cÿa ngưßi học trong quá trình dạy và học toán, và mối liên hệ với nhận thāc toán học cÿa ngưßi học Gần đây, nhiều nhà nghiên cāu giáo dục toán quan tâm đến lý thuyết giao tiếp - nhận thāc cÿa Sfard (2008) [83] và phát triển lý thuyết này như một tiếp cận mới và thú vị trong việc đặc trưng giao tiếp toán học thông qua phân tích đặc trưng diễn ngôn toán học cÿa những ngưßi tham gia vào quá trình giao tiếp

Bước chuyển phổ thông - đại học đặt ra nhiều khó khăn cho SV, đặc biệt là khi học các khái niệm giải tích, bái vì SV phải chuyển tă toán học mang tính tính toán, trực quan sang kiểu toán học chặt chẽ, hình thāc hóa, khái quát hóa á māc cao hơn, với nhiều phương pháp mới, nhiều kiểu biểu đạt hơn khi làm việc với các khái niệm

toán học Do đặc trưng đối ngẫu về bản chất toán học cÿa các khái niệm cÿa giải tích như giới hạn, đạo hàm, tích phân, việc học các khái niệm này và giải quyết các bài toán liên quan nhìn chung là không dễ đối với nhiều ngưßi học Vì vậy, thông qua việc đặc trưng và thúc đẩy giao tiếp toán học trong quá trình giải quyết vấn đề, các nhà nghiên cāu giáo dục toán học mong đợi có thể mô tả và hiểu được đặc trưng giao tiếp toán học cÿa ngưßi học liên quan đến các khái niệm giải tích Khó khăn cÿa ngưßi học trong việc học các khái niệm giải tích cũng là một khía cạnh để thúc đẩy các nhà nghiên cāu xem xét đặc trưng cÿa quá trình giao tiếp toán học cÿa ngưßi học khi học các khái niệm này

Tă những quan sát và phân tích á trên, chúng tôi rút ra những ghi nhận và đưa ra những câu hỏi khái đầu cho vấn đề nghiên cāu như sau:

• Làm thế nào để thúc đẩy giao tiếp toán học cÿa SV trong quá trình giải quyết các bài toán liên quan đến giải tích á đầu đại học?

• Làm thế nào để phân tích sâu đặc trưng giao tiếp toán học cÿa SV? Làm thế nào để phân tích sâu đặc trưng suy luận toán học cÿa SV trong quá trình giao tiếp để giải quyết vấn đề?

• Lý thuyết giao tiếp - nhận thāc cÿa Sfard (2008) [83] cho phép hiểu và đặc trưng quá trình giao tiếp toán học cũng như sự tiến triển nhận thāc cÿa SV như thế nào trong giải quyết vấn đề liên quan đến giải tích á đầu đại học?

TIÂU K¾T CH£¡NG 1

Trong chương 1, chúng tôi phân tích tầm quan trọng cÿa giao tiếp toán học trong dạy học toán, giao tiếp toán học trong Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2018, khó khăn cÿa SV khi học giải tích á đầu đại học Chúng tôi đề cập đến giao tiếp và suy luận toán học như là một năng lực trọng yếu thành phần tạo nên năng lực toán học cÿa SV Tă đó, chúng tôi xem xét tiềm năng thúc đẩy giao tiếp và suy luận toán học cÿa SV trong giải quyết vấn đề về giải tích á những năm đầu đại học Tă những phân tích này, chúng tôi đặt ra những vấn đề và câu hỏi khái đầu cho nghiên cāu này

Trong chương 2, chúng tôi sẽ đi sâu phân tích tiếp cận giao tiếp - nhận thāc cÿa Sfard (2008) [83] và một khung lý thuyết về suy luận toán học như là một khung lý thuyết tham chiếu được sử dụng chÿ yếu để thiết kế công cụ nghiên cāu và phân tích đặc trưng giao tiếp toán học cÿa SV dựa trên dữ liệu thực nghiệm

Ch¤¢ng 2 KHUNG LÝ THUY¾T THAM CHI¾U 2.1 GIAO TI¾P VÀ NH¾N THĄC

Có rất nhiều định nghĩa về giao tiếp, các tài liệu đều cho rằng giao tiếp như một hoạt động cÿa hai cá nhân, thưßng được gọi là ngưßi gửi và ngưßi nhận, những ngưßi được cho là trao đổi hoặc truyền thông tin, thông điệp, suy nghĩ, cảm xúc hoặc ý nghĩa Theo tă điển tiếng Anh Collins (Hanks, 1986) [97], giao tiếp là 5việc truyền đạt hoặc trao đổi thông tin, ý tưáng hoặc cảm xúc6, trong khi theo nghĩa cÿa Encyclopedia Britannica (1998) [39], đó là 5sự trao đổi ý nghĩa giữa các cá nhân thông qua một hệ thống ký hiệu6 Theo tinh thần cÿa cách tiếp cận cÿa Grice (1975) [40] và Levinson (1983) [50], là việc sử dụng và sản xuất các phương tiện nhằm khiến ngưßi đối thoại hành động hoặc cảm nhận theo một cách nhất định Theo Reddy [76] về các diễn ngôn truyền thống về giao tiếp được thúc đẩy bái 5phép ẩn dụ về ống dẫn6 Theo cách tiếp cận này, ngưßi ta mặc nhiên cho rằng giao tiếp bao gồm việc chuyển giao các yếu tố vật chất cÿa kinh nghiệm con ngưßi tă ngưßi này sang ngưßi khác Theo đó, tất cả những gì ngưßi ta cần làm nếu muốn theo dõi hiệu quả cÿa giao tiếp là xác định các ý nghĩa được truyền tải trong quá trình và sau đó kiểm tra xem các ý nghĩa đó có

Lưu ý rằng giao tiếp có thể diễn ra giữa một số ngưßi, nhưng nó cũng có thể là sự tương tác giữa một ngưßi và chính họ; xét cho cùng, thưßng thì suy nghĩ cÿa chúng ta mang hình thāc cÿa một cuộc đối thoại nội tâm; so sánh ý tưáng cÿa Bakhtin (1986) [17] về chÿ nghĩa đối thoại hay ẩn dụ hội thoại cÿa tâm trí, lần đầu tiên được đề xuất bái Herbert Mead (1934); Holquist (1990); Ernest (1993, 1994), Sfard (2000a) [82]

Theo Sfard (2008) [83] đề xuất định nghĩa giao tiếp như sau: "Giao tiếp trong ngữ cảnh giáo dục toán học là quá trình tương tác giữa các cá nhân thông qua ngôn ngữ, biểu đạt ý tưáng, chia sẻ thông tin và xây dựng hiểu biết chung về các khái niệm và quy tắc toán học."

Theo định nghĩa này, giao tiếp không chỉ đơn thuần là việc truyền đạt thông tin, mà còn bao gồm việc chia sẻ ý tưáng và xây dựng hiểu biết chung Trong ngữ cảnh giáo dục toán học, giao tiếp được coi là một phương tiện quan trọng để hỗ trợ việc học và hiểu toán học

Quá trình nhận thāc có thể được định nghĩa là cá nhân hóa các hình thāc giao tiếp giữa các cá nhân, trong khi bản thân giao tiếp được mô tả như một hoạt động được thực hiện chung theo quy tắc, làm trung gian và phối hợp các hoạt động khác cÿa các cá nhân giao tiếp Thuật ngữ commognition được đặt ra để bao gồm suy nghĩ và giao tiếp (giữa các cá nhân) và nhấn mạnh thống nhất cÿa hai loại quá trình này (Sfard 2008)

Tư duy cÿa con ngưßi được định nghĩa là một hình thāc giao tiếp (giữa các cá nhân) được cá nhân hóa, nó có thể được coi là kiểu hành động cÿa con ngưßi xuất hiện khi các cá nhân có khả năng giao tiếp với chính mình theo cách họ giao tiếp với ngưßi khác Để nhấn mạnh sự thống nhất phát triển cÿa các quá trình tư duy và giao tiếp, ngưßi ta đã đề xuất gọi cả hai quá trình này bằng tên gọi chung Suy nghĩ, mặc dù có vẻ riêng tư, không nên có bất kỳ khác biệt Do đó, các quá trình nhận thāc có thể được định nghĩa là các hình thāc giao tiếp giữa các cá nhân được cá nhân hóa, trong khi bản thân giao tiếp được mô tả là một hoạt động dựa trên quy tắc được thực hiện chung để làm trung gian và điều phối các hoạt động khác cÿa các tác nhân Thuật ngữ nhận thāc được đặt ra để bao gồm suy nghĩ và giao tiếp (giữa các cá nhân) và nhấn mạnh thống nhất cÿa hai loại quá trình này (Sfard 2008)

Cụ thể hơn, giao tiếp được định nghĩa là một hoạt động tập thể theo khuôn mẫu bao gồm một danh mục các hành động (giao tiếp) được phép cÿa các thành viên riêng lẻ và đối với mỗi hành động như vậy, một danh mục các hành động phản āng được phép cÿa các cá nhân khác Hành động giao tiếp cÿa con ngưßi có một số đặc điểm riêng biệt: Mặc dù chúng được điều khiển bái quy tắc, chúng cũng là một chāc năng cÿa các quyết định tự nguyện cÿa các bên tham gia; chúng được thực hiện với sự trợ giúp cÿa những ngưßi trung gian nhận thāc được chỉ định và chúng thưßng về một đối tượng nào đó Các loại giao tiếp khác nhau, được phân biệt bái các đối tượng cÿa chúng, các loại ngưßi hòa giải được sử dụng và các quy tắc được tuân theo bái những ngưßi tham gia và do đó xác định các cộng đồng khác nhau cÿa các chÿ thể giao tiếp, được gọi là diễn ngôn (Sfard 2008)

2.2 TI¾P C¾N GIAO TI¾P - NH¾N THĄC

Gần đây, nhiều nhà nghiên cāu giáo dục quan tâm đến khía cạnh giao tiếp trong quá trình dạy và học Ngày nay, giao tiếp trong lớp học và hoạt động diễn ngôn (discourse) là những vấn đề trọng tâm trong các nghiên cāu giáo dục (Tabach & Nachlieli, 2016) [88] Một số lý thuyết trong nghiên cāu giáo dục quan niệm rằng tư duy được thể hiện qua giao tiếp, một số lý thuyết khác cho rằng tư duy chính là một dạng tương đương cÿa giao tiếp Sfard (2008) [83] xem tư duy như là giao tiếp với chính bản thân mình Để nhấn mạnh tính thống nhất cÿa giao tiếp và tư duy, Sfard (2008) [83] sử dụng thuật ngữ giao tiếp - nhận thāc (commognition), như là một sự kết hợp giữa giao tiếp (communication) và nhận thāc (cognition) Trong công trình 5Thinking as communicating: Human development, the growth of discourses, and mathematizing6 cÿa mình, Sfard (2008) [83] đề xuất và phát triển một tiếp cận diễn ngôn (discursive approach), gọi là tiếp cận giao tiếp đối với nhận thāc, gọi tắt là tiếp cận giao tiếp - nhận thāc (commognitive approach)

Tiếp cận giao tiếp - nhận thāc cÿa Sfard (2008) [83] gần gũi với các quan niệm hiện đại có tính xã hội - văn hóa đối với việc học Đối với các quan niệm kiến tạo cơ bản, việc học được xem như quá trình thu nhận (learning as acquisition), trong đó nhấn mạnh bản chất cá nhân cÿa việc học, xem đó là quá trình thu nhận các dạng thāc trí tuệ thông qua hai cơ chế là đồng hoá và điều āng Ngược lại, tiếp cận giao tiếp - nhận thāc xem việc học như một quá trình tham gia (learning as participation) Trong quan niệm này, việc học được xem như sự thay đổi trong diễn ngôn cÿa cá nhân (tāc là sự thay đổi trong cách cá nhân giao tiếp) qua việc tham gia vào một cộng đồng thực hành (Lave & Wenger, 1991) Việc học là một quá trình qua đó mà ngưßi học trá thành những ngưßi tham gia chÿ đạo hơn trong các hoạt động diễn ngôn Giả thuyết cơ bản cÿa tiếp cận giao tiếp - nhận thāc đối với việc học cho rằng 5Học toán là sự khái xướng với các diễn ngôn toán học liên quan đến những thay đổi nghị luận trọng yếu đối với ngưßi học, và dạy toán cần phải hướng đến thúc đẩy những thay đổi đó6 (Sfard, 2008, pp 133-134) Giao tiếp qua ngôn ngữ nói hoặc viết, và việc thao tác trên các đối tượng vật lý là những phương tiện chÿ yếu đi đến mục đích nghị luận cÿa việc dạy và học

Trong tiếp cận giao tiếp - nhận thāc đối với việc học cÿa Sfard (2008) [83] đơn vị phân tích chÿ đạo là diễn ngôn Diễn ngôn (discourse) được định nghĩa như là 5các dạng khác nhau cÿa giao tiếp được đặc trưng bái đối tượng cÿa nó, kiểu phương tiện trung gian được sử dụng, những quy tắc được sử dụng bái những ngưßi tham gia, và vì vậy xác định nên những cộng đồng giao tiếp khác nhau6 (Sfard, 2008, p 93) Theo quan niệm này, toán học được xem là một dạng diễn ngôn có tính đặc thù, được phân biệt bái bốn đặc trưng cốt yếu sau (Bảng 2.1):

 Cách sử dụng từ ngữ (Word use): Đặc trưng này đề cập đến việc sử dụng tă

vựng toán học trong diễn ngôn cÿa ngưßi tham gia giao tiếp Nó bao gồm việc sử dụng các thuật ngữ đặc thù toán học (chẳng hạn như tô pô), cũng như các tă ngữ thông thưßng với một nghĩa đặc thù trong toán học (như là 5giới hạn6, 5liên tục6, 5má6, 5nhóm6) Một đặc trưng quan trọng trong việc sử dụng tă ngữ trong diễn ngôn toán học là sự đối tượng hóa (objectification), xuất hiện qua quá trình cô đọng (reification), tāc quá trình thay thế các ngôn tă nói về hành động (action) và quá trình (process) thành các ngôn tă liên quan đến đối tượng (object) Qua việc đối tượng hóa, chúng ta nhận ra tính tương đồng giữa những quá trình khác nhau trong một ngôn tă và thống nhất thành dưới một tên gọi cho đối tượng toán học được đề cập

 Phương tiện trung gian trực quan (Visual mediators): Đặc trưng này đề cập

đến tất cả các đối tượng trực quan được tạo ra và sử dụng cho việc giao tiếp toán học Nó bao gồm các đối tượng cụ thể (đồ thị, sơ đồ, đối tượng vật lý) và những biểu tượng như trong hệ thống ký hiệu toán học hình thāc Chẳng hạn, phương tiện trung gian trực quan cÿa đối tượng đạo hàm cÿa một hàm số có thể là biểu thāc

( ) hoặc một đồ thị trong mặt phẳng tọa độ

 Thuyết minh xác nhận (Endorsed narratives): Thuyết minh xác nhận đề cập

đến dãy các các lßi văn (utterances) về các đối tượng toán học và mối quan hệ cÿa chúng mà ngưßi tham gia giao tiếp xem như là đúng Các định nghĩa, định lí, tiên đề

là những tưßng thuật xác nhận cÿa diễn ngôn toán học

 Thói quen (Routines): Thói quen (hay Thông lệ, Thÿ tục) là tập hợp các quy

tắc tổng hợp mô tả các quy luật diễn ngôn trong hành động cÿa ngưßi tham gia giao tiếp khi họ thực hiện các tưßng thuật về toán học Thói quen bao gồm các thực hành có tính lập lại, được sử dụng theo những cách đặc thù bái cộng đồng (chẳng hạn như định nghĩa, đặt giả thuyết, chāng minh, ước lượng, khái quát hóa, trău tượng hóa) Sfard phân chia thành ba loại thói quen: hành vi (deeds), nghi thāc (rituals) và

Những ngưßi đối thoại (ngưßi nói) khác nhau có thể sử dụng một tă nào đó theo những cách khác nhau Đây là một vấn đề rất quan trọng, vì nó ảnh hưáng lớn đến cách ngưßi dùng nhìn nhận thế giới phương tiện trung gian cần được xem như là một phần cÿa một quá trình tư duy hơn là những phương tiện bổ trợ biểu đạt suy nghĩ đã có tă trước

Các thuyết minh (tưßng thuật) xác nhận cÿa ngưßi học thưßng khác với những gì mà cộng đồng toán học chuyên nghiệp xác nhận là đúng Thói quen

Quy luật có tính lặp lại ổn định trong diễn ngôn

Những quy luật có thể tìm thấy trong việc sử dụng tă ngữ và phương tiện trung gian trực quan cÿa ngưßi nói, hoặc trong quá trình tạo ra và xác nhận các thuyết minh

Theo Park (2016) [72], bằng việc giải thích tư duy toán học cÿa ngưßi học qua cách nhìn giao tiếp - nhận thāc này, Sfard (2008) đề cập đến sự phát triển cÿa các đối tượng toán học - thông qua những thay đổi trong các đặc trưng cÿa diễn ngôn về các đối tượng Tiếp cận giao tiếp - nhận thāc cÿa đặc trưng việc học như là nỗ lực cÿa các cá nhân để kết nối một 5khái niệm6 mới với các đối tượng quen thuộc bằng cách bắt chước trước tiên diễn ngôn cÿa những ngưßi tham gia giao tiếp có kinh nghiệm, rồi sau đó tham gia dần dần vào quá trình nghị luận bằng cách nói và giao tiếp nhiều hơn

với những ngưßi tham gia giao tiếp, hay với chính bản thân mình Việc học thành công sẽ cho kết quả thể hiện á mối quan hệ giữa 5khái niệm6 mới (các đối tượng trău tượng hơn) và các đối tượng quen thuộc (các đối tượng cụ thể có liên quan), tương tự như điều đã được các nhà toán học phát triển trong lịch sử cÿa khái niệm đó

Theo tiếp cận giao tiếp - nhận thāc cÿa Sfard (2008) [83], trong quá trình phát triển tư duy toán học cÿa một ngưßi, các đặc trưng cÿa diễn ngôn sẽ thay đổi Cụ thể là, ngưßi học, tāc là những ngưßi tương đối mới đối với diễn ngôn, áp dụng một quy trình hành động, được gọi là thói quen (routine), mà trước đây đã làm với các đối tượng quen thuộc, cho phạm vi rộng hơn cÿa các đối tượng toán học Điều này có thể dẫn đến một sự thể hiện khác về một quy trình hành động cần áp dụng và thßi điểm áp dụng nó (chẳng hạn như tă 5phép tră như là hành động lấy đi một số lượng đối tượng tă một số lượng đối tượng nhiều hơn6 đến 5phép tră như là một toán tử hai ngôi trên các cặp số nguyên6) Kết quả là, những gì được cho là đúng, được gọi là một thuyết minh (tưßng thuật) xác nhận, về các đối tượng có thể phải thay đổi đối với khái niệm mới (chẳng hạn tă 5phép tră làm một số nhỏ lại6 đến 5phép tră có thể làm một số trá nên lớn hơn6) Việc HS không quen thuộc với các đặc điểm cÿa diễn ngôn cÿa những ngưßi tham gia có kinh nghiệm (ví dụ như giáo viên), bao gồm cả cách sử dụng tă ngữ và các yếu tố trung gian trực quan, có thể dẫn đến sự bất hòa trong giao tiếp, điều mà Sfard (2008) [83] gọi là xung đột nhận thāc Thông qua giao tiếp với ngưßi khác, HS giải quyết những xung đột như vậy bằng cách dần dần điều chỉnh cách diễn đạt cÿa mình (p 145)

2.3 ĐỐI T£þNG TOÁN HÞC VÀ SĀ THÂ HIàN

Tiếp cận giao tiếp - nhận thāc cÿa Sfard (2008) [83] quan niệm rằng các đối tượng toán học được kiến tạo theo cách nghị luận (thông qua giao tiếp và diễn đạt) Lưu ý rằng không phải tất cả đối tượng trong diễn ngôn cÿa ngưßi học đều là đối tượng toán học theo nghĩa cÿa tiếp cận giao tiếp - nhận thāc Vì vậy, trong phạm vi nghiên cāu này, chúng tôi dùng tă đối tượng theo nghĩa đáp āng yêu cầu định nghĩa đối tượng toán học cÿa Sfard, những trưßng hợp còn lại được dùng với thuật ngữ thực thể toán học

Do đó, một đặc trưng chÿ yếu cÿa khái niệm đối tượng toán học theo Sfard (2008) là mối quan hệ giữa cái biểu đạt (signifier) và sự thể hiện (realisation) cÿa nó Sfard gợi ý rằng, chẳng hạn khi giải một phương trình tuyến tính bằng phương pháp đại số, ngưßi học sẽ thực hiện tă cái biểu đạt (dưới dạng biểu tượng hay tă ngữ) Mỗi cái biểu đạt mang một nghĩa và ý nghĩa cụ thể nào đó đối với ngưßi học Nghĩa đó tạo ra câu trả lßi (dạng viết hoặc nói), gọi là sự thể hiện Vì vậy, một cái biểu đạt hỗ trợ trung gian về nghĩa giữa một thực thể và một thực thể khác Chuỗi các cái biểu đạt và sự thể hiện chúng được xem như các nhánh cÿa một cây (cây thể hiện), và sự thể hiện cuối cùng là lßi giải cÿa bài toán

Một cái biểu đạt có thể dẫn đến nhiều sự thực hiện khác nhau đối với những ngưßi khác nhau Chẳng hạn, một vài SV có thể nói về số hạng 5 6 như là một đối tượng toán học và thao tác trên nó, nhưng đối với một số SV khác, 5 6 và 5 5 có thể là những phương tiện biểu diễn trực quan tách rßi, và vì vậy nó có thể biểu đạt các phép toán tách rßi mà không thể được xác nhận Theo Sfard, một đối tượng toán học gồm một cái biểu đạt toán học (ký hiệu) cùng với cây thực hiện cÿa nó Chẳng hạn, cây thực hiện đối với việc giải phương trình tuyến tính như Bảng 2.2 (Roberts & Le Roux, 2019 [78]; Hồ Hữu Nghĩa, 2021) [5]

Giao tiếp toán học vì vậy phụ thuộc rất nhiều vào cách sử dụng, diễn đạt những cái biểu đạt cÿa ngưßi giao tiếp, chẳng hạn như việc sử dụng tă ngữ cÿa họ Cách sử dụng tă đa dạng cÿa những ngưßi giao tiếp tạo nên một thử thách hay cÿa giao tiếp toán học, và là một kiểu thử thách mà Sfard gọi là xung đột giao tiếp - nhận thāc

Để xem liệu diễn ngôn cÿa ngưßi học về phương trình tuyến tính có được đối tượng hoá, nghĩa là liệu ngưßi học có đang thao tác với các đối tượng toán học, chúng ta cần xem xét liệu các thuyết minh (tưßng thuật) mà các em xây dựng để biện minh mối quan hệ giữa cái biểu đạt và sự thể hiện cÿa nó có được xác nhận hay không Trong bÁng 2.2 dưới đây, sự thể hiện đầu tiên

được biện minh bằng cách thêm số đối cÿa vào biểu thāc trên mỗi vế cÿa dấu bằng Sự biện minh này là một phần cÿa thuyết minh (narrative), có thể được xác nhận bái vì tính tương đương cÿa phương trình được bảo toàn Bảng 2.2 cho thấy mối quan hệ mang tính lặp lại và được xác nhận giữa những cái biểu đạt (signifiers) và những thực hiện (realisations) đối với cách giải đại số cÿa phương trình

Bảng 2.2 Quan hệ giữa cái biểu đạt (signifier), sự thể hiện (realisation) và thuyết minh

xác nhận (endorsed narrative) đối với cách giải đại số của phương trình 2x+7 = 13 (Roberts & Le Roux, 2019)

Nghiệm cÿa phương trình

Áp dụng số đối cÿa +7 vào hai vế cÿa phương trình Nghiệm cÿa phương trình vào hai vế cÿa phương trình Nghiệm cÿa phương trình

Theo Sfard (2008) [83], các khám phá (explorations) là những dạng thÿ tục phāc tạp nhất Diễn ngôn mang tính khám phá được đặc trưng bái những đoạn tưßng thuật về các đối tượng toán học mà có thể xác nhận được bằng các tiên đề, định nghĩa và định lí Các nghi thāc (rituals) được đặc trưng bái những thÿ tục chặt chẽ được xác định bái giáo viên hoặc sách giáo khoa Diễn ngôn mang tính nghi thāc chỉ giới hạn liên quan đến biện minh làm như thế nào, nhưng không đề cập đến làm khi nào và tại sao lại làm như vậy Vì toán học là một hệ thống tái sinh, ngưßi học trước hết bắt chước theo ngưßi khác, làm cho các nghi thāc dần trá thành một cái có thể chấp nhận trong quá trình học Điều này kéo theo rằng các thÿ tục cÿa họ được hỗ trợ trung gian bằng nghị luận bái giáo viên Ngưßi học sẽ dần dần đạt được việc hiểu về vấn đề 5tại sao6 và 5khi nào6, là những yếu tố tạo nên bước chuyển tă diễn ngôn có tính nghi thāc sang diễn ngôn có tính khám phá

Quỹ đạo á đó ngưßi học chuyển về phía đạt được diễn ngôn khám phá là khá phāc tạp Sfard (2008) phân biệt bốn giai đoạn trong việc sử dụng tă ngữ trong một diễn ngôn: sử dụng bị động, sử dụng dựa theo thÿ tục, sử dụng dựa theo câu, và sử dụng đối tượng hoá Sử dụng bị động các thuật ngữ toán học thưßng gắn liền với một gặp gỡ ban đầu với một tă khóa hay một câu Một khi ngưßi học bắt đầu sử dụng thuật ngữ trong ngữ cảnh các thÿ tục toán học, nó sẽ trá thành sử dụng theo thÿ tục Khi niềm tin cÿa ngưßi học với thuật ngữ má rộng hơn, nó trá thành sử dụng dựa theo câu Cuối cùng, ngưßi học sẽ sử dụng những tă đó như những danh tă, qua các ngữ cảnh khác nhau, và như vậy là theo một cách đã được đối tượng hoá Một ngưßi học sẽ được khái xướng với các diễn ngôn khám phá thông qua việc sử dụng đối tượng hoá các tă vựng và phương tiện hỗ trợ trực quan (tă giáo viên và sách giáo khoa)

Bảng 2.3 Tiêu chuẩn để đánh giá diễn ngôn (Roberts và Le Roux (2019))

Mức độ đối tượng hoá

Việc sử dụng tă ngữ và phương tiện hỗ trợ biểu thị cho đối tượng toán học

Việc sử dụng tă ngữ và phương tiện trực quan biểu thị cho lßi nói và hành động trên các thực thể

Các tă khóa được dùng hướng đến đối

tượng Việc sử dụng các tă khoá định hướng đến thÿ tục và câu Ngưßi học sử dụng được nhiều hơn một

biểu diễn cÿa đối tượng toán học trong quá trình giải quyết vấn đề

Ngưßi học chỉ sử dụng một biểu diễn cÿa đối tượng toán học trong quá trình giải quyết vấn đề

Phạm vi mà các thuyết minh của người học được xác nhận

Các thuyết minh về tính chất và cấu trúc cÿa các đối tượng toán học được xác nhận

Các thuyết minh về các thực thể và mối quan hệ giữa các thực thể không được xác nhận

Mục tiêu

Hình thành nên một thuyết minh xác

nhận về các đối tượng toán học Hoàn thành một quy trình dẫn đến giải quyết vấn đề

Diễn ngôn cÿa SV mang tính thuyết phục nội tại, phụ thuộc vào các tính chất toán học

Diễn ngôn cÿa SV phụ thuộc vào các yếu tố bên ngoài (giáo viên, sách giáo khoa)

Ngưßi học làm việc độc lập Ngưßi học phụ thuộc vào sự hỗ trợ (ngưßi dẫn dắt hay các phương tiện hỗ trợ)

Ngưßi học thực hiện một số biến đổi chấp nhận được đối với quá trình giải quyết vấn đề

Ngưßi học tuân theo quy trình theo một cách nghiêm ngặt và xác định chặt chẽ

Mức độ đúng đắn

Ngưßi học nhận ra các thuyết minh không được xác nhận đúng và sửa chữa chúng

Ngưßi học không nhận ra các thuyết minh không được xác nhận hoặc không sửa chữa được chúng

2.4 VÍ DĀ VÀ CÁC Đ¾C TR£NG NGHỊ LU¾N LIÊN QUAN Đ¾N KHÁI NIàM Đ¾O HÀM

Sau đây chúng tôi làm rõ bốn đặc trưng nghị luận cÿa diễn ngôn toán học liên quan đến khái niệm đạo hàm theo tiếp cận giao tiếp - nhận thāc cÿa Sfard (2008) Việc làm rõ các đặc trưng này được dựa trên các văn bản trình bày về đạo hàm thưßng thấy trong các giáo trình giải tích hay sách giáo khoa, không phải dựa trên dữ liệu thực nghiệm về giao tiếp giữa các cá nhân Chúng tôi chÿ yếu tham khảo tă công trình cÿa Park (2015) [71]

• Việc sử dụng từ ngữ và phương tiện trung gian trực quan:

o Cách nhìn đạo hàm theo từng điểm: đạo hàm cÿa hàm số tại một điểm

được mô tả với các tă 5tốc độ thay đổi tāc thßi6 và 5độ dốc cÿa tiếp tuyến6 cÿa một hàm số hay đồ thị hàm số tại một điểm, thưßng được hỗ trợ trung gian trực quan bái một đưßng thẳng tiếp tuyến cÿa đồ thị hàm số Trong kiểu ký hiệu hình thāc, nó thưßng được hỗ trợ trung gian trực quan bái giới hạn cÿa một thương các số gia Giới hạn cÿa thương hai số gia này có thể nhìn như một quá trình, một kết quả hay một toán tử Ví dụ, nếu ta xét ( ), thì thưßng các số gia ( ) ( ) có thể minh hoạ bái một đưßng cát tuyến, giới hạn ( ) ( ) được minh hoạ bái nhiều đưßng cát tuyến, và cuối cùng kết quả cÿa quá trình này được viết là ( ), và được trình bày kèm với một đưßng tiếp tuyến trên đồ thị Giới hạn này cũng có thể xem như

một toán tử áp lên biểu thāc hình thāc ( ) ( ), lên biểu thāc đại số cÿa thương các số gia cÿa một hàm số cụ thể, hoặc lên các đưßng cát tuyến trong hệ thống biểu đạt đồ thị Các giáo trình hoặc sách giáo khoa có thể trình bày quá trình giới hạn với các giá trị bằng số cÿa độ dốc cÿa cát tuyến, dần đến một số cụ thể và giới hạn như là kết quả với một con số (độ dốc cÿa tiếp tuyến) Tă 5độ dốc6 đóng một vai trò quan trọng kết nối các phương tiện trung gian về mặt đồ thị và hình thāc cho cả giới hạn như là một quá trình và giới hạn như là một kết quả

o Cách nhìn đạo hàm theo từng khoảng (hàm đạo hàm): Khi đạo hàm cÿa

hàm số tại một điểm được xác định, khái niệm đạo hàm được má rộng như là hàm đạo hàm trên một khoảng Bước chuyển tă cách nhìn đạo hàm theo tăng điểm sang cách nhìn hàm đạo hàm thưßng được thực hiện tại một điểm tùy ý ( ) hoặc tại nhiều điểm (như ( ) ( ) ) Trong cả hai trưßng hợp, những tă ngữ được dùng với các chữ trong các phương tiện trung gian biểu tượng đóng vai trò quan trọng cho bước chuyển này Khi đã chuyển sang cách nhìn đạo hàm trên tăng khoảng, tāc đã sang làm việc trên các hàm đạo hàm, thì các tính chất cÿa hàm đạo hàm có thể được thảo luận (chẳng hạn như các tính chất liên quan đến vi phân)

• Thuyết minh xác nhận: Các thuyết minh xác nhận được vận hành như

những tuyên bố được cho là đúng, bao gồm các định nghĩa, định lí và biện minh được xác định trong diễn ngôn lớp học Những câu chuyện thú vị được xác nhận thưßng là những câu chuyện được giáo viên coi là đương nhiên, nhưng có lẽ ngưßi học không hiểu hoặc ngược lại Chẳng hạn, giáo viên có thể tán thành quy tắc bội hằng về đạo hàm cÿa một hàm số bằng cách so sánh hệ số góc cÿa một đưßng tiếp tuyến với hệ số góc cÿa đưßng tiếp tuyến tương āng đối với đồ thị bội hằng cÿa hàm số và cho rằng hình minh họa này sẽ đÿ để giải quyết bất kỳ điểm nào trên miền xác định Tuy nhiên, HS có thể không coi hình minh họa này là bằng chāng cÿa quy luật trên khoảng đó

• Thói quen: Thói quen được vận hành như là những quy luật trong diễn ngôn

cÿa ngưßi học hoặc ngưßi dạy về đạo hàm Chẳng hạn, khi giải thích vi phân trên đồ thị, một giáo viên có thể thưßng xuyên sử dụng câu 5tiếp tuyến6 trong khi vẽ đồ thị hoặc làm những cử chỉ về các đưßng cát tuyến xấp xỉ dần dần tiếp tuyến Một giáo viên khác có thể chỉ cho thấy đưßng tiếp tuyến mà không có những cát tuyến trong khi sử dụng câu 5đạo hàm6 Một giáo viên thā ba có thể sử dụng tă 5giới hạn6 thay cho 5đạo hàm6 với một cử chỉ liên quan đến hàm số đưa ra, hơn là bắt chước vẽ những đưßng cát tuyến và tiếp tuyến Để được mã hoá như là một thói quen (theo tiếp cận giao tiếp - nhận thāc), một quá trình hành động tương tự phải được quan sát thấy trong ít nhất ba bài học khác nhau để phản ánh bản chất lặp đi lặp lại cÿa nó trong dữ liệu được thu thập trong khung thßi gian giới hạn nào đó

2.5 TÞNG QUAN NGHIÊN CĄU VÀ TI¾P C¾N GIAO TI¾P - NH¾N THĄC TRONG D¾Y HÞC GIÀI TÍCH

Các tiếp cận giao tiếp trong nghiên cāu giáo dục toán gần đây được nhiều nhà nghiên cāu quan tâm Cụ thể, tiếp cận giao tiếp - nhận thāc cÿa Sfard (2008) là khung lý thuyết tham chiếu chÿ đạo cÿa các công trình nghiên cāu xuất bản trong một số đặc biệt năm 2016 cÿa Tạp chí 5Educational Studies in Mathematics6 (Tabach & Nachieli, 2016) Gu ler (2012) sử dụng tiếp cận giao tiếp - nhận thāc cÿa Sfard (2008) để phân tích diễn ngôn cÿa giảng viên và SV về giới hạn trong bài học giải tích á đầu đại học Nardi, Ryve, Stadler và Viirman (2014) [67] vận dụng tiếp cận giao tiếp - nhận thāc để phân tích các thay đổi về diễn ngôn cÿa giảng viên và SV khi học một số khái niệm cÿa giải tích á đại học

Nghiên cāu cÿa Carpenter và cộng sự (2015) về giảng dạy toán học sử dụng khung Sfard Nghiên cāu này đề xuất một phương pháp giảng dạy dựa trên khung Sfard để giúp HS phát triển kiến thāc toán học một cách hiệu quả Các tác giả sử dụng một số phương pháp như giảng dạy tích cực, dạy đúng phương pháp, tạo ra các tình huống thực tế để giúp HS tăng cưßng kĩ năng luận chāng Nghiên cāu cÿa Gürbüz (2021) [43] chāng minh rằng việc sử dụng khung Sfard đã cải thiện hiểu biết cÿa HS về khái niệm giới hạn và đạo hàm trong giải tích HS đã phát triển khả năng suy nghĩ toán học, tăng cưßng khả năng giải quyết vấn đề và nâng cao khả năng giao tiếp toán học cÿa mình Lu và Zhou (2021) [74] sử dụng khung Sfard để phân tích quá trình giảng dạy toán học cÿa một giáo viên Kết quả cho thấy rằng khung Sfard là một công cụ hữu ích để phân tích và cải thiện chất lượng giảng dạy toán học, giúp xác định việc giáo viên sử dụng ngôn ngữ và các hình thāc suy nghĩ khác nhau trong quá trình giảng dạy Áp dụng khung Sfard trong giảng dạy giải tích đại học để tăng cưßng kĩ năng giải quyết vấn đề cÿa SV là những nghiên cāu mới nhất cÿa Gao, Wang và Li (2022) [49] Thibodeau, M., & Vos, P (2020) [32] đã đề xuất một phương pháp đánh giá năng lực toán học dựa trên khung Sfard, và áp dụng nó trong một lớp học giải tích Nghiên cāu này nhấn mạnh rằng việc đánh giá năng lực toán học không chỉ nên dựa trên kết quả cuối cùng mà còn cần phải xem xét quá trình học tập cÿa HS

Bằng cách áp dụng khung Sfard, nghiên cāu này đánh giá được khả năng cÿa HS trong việc sử dụng kiến thāc toán học trong một tình huống cụ thể, cũng như khả năng kết nối các khái niệm toán học với nhau Zhang, Y., & Li, Y (2021) [59] nghiên cāu tập trung vào tác động cÿa việc sử dụng khung Sfard trong giảng dạy về khái niệm hàm Bằng cách tiến hành một cuộc khảo sát với hơn 200 SV đại học, nghiên cāu đã chāng minh rằng sử dụng khung Sfard trong quá trình giảng dạy đã cải thiện hiểu biết và năng lực cÿa SV về khái niệm hàm Nghiên cāu cũng đưa ra

các hướng phát triển tiếp theo để tối ưu hóa việc áp dụng khung Sfard trong giảng dạy toán học Nghiên cāu này nghiên cāu việc áp dụng khung Sfard trong giảng dạy phương trình vi phân được đề cập đến trong công trình nghiên cāu cÿa Xue, J., Liu, W., & Li, D (2022) [48], nghiên cāu này tập trung vào việc phân tích các tài liệu giảng dạy, đánh giá sự thành công cÿa việc áp dụng khung Sfard trong việc nâng cao kiến thāc và kĩ năng cÿa SV trong lĩnh vực phương trình vi phân Nghiên cāu cũng đề xuất một số phương pháp giảng dạy cụ thể dựa trên khung Sfard để giúp SV hiểu và vận dụng hiệu quả kiến thāc về phương trình vi phân Một số nghiên cāu tác động cÿa tiếp cận giao tiếp - nhận thāc cÿa Sfard đến việc học giải tích, điển hình một số nghiên cāu như Huang, H., & Lin, P (2020) , Kwon, O N (2020) [54], Sayitoğlu, B., & Bozkurt, A (2020) [96], Ku, H Y., Yang, K L., & Lin, C J (2019), Hsu, P L., & Chen, C H (2019) [97]

Trong nghiên cāu cÿa mình, Park (2016) [72] sử dụng tiếp cận giao tiếp - nhận thāc cÿa Sfard để nghiên cāu so sánh diễn ngôn trong các sách giáo khoa á Hoa Kỳ về đạo hàm tại một điểm và hàm đạo hàm Dựa theo tiếp cận giao tiếp - nhận thāc, các nhà nghiên cāu cho rằng bước chuyển thể chế tă dạy học toán á phổ thông lên dạy học toán á đại học đòi hỏi những thay đổi về những diễn ngôn trọng yếu liên quan Dựa trên giả thuyết này, Stadler (2011) [86] sử dụng khái niệm tiếp tuyến để nghiên cāu tương tác giữa giáo viên và SV á bước chuyển dạy học phổ thông - đại học Nghiên cāu tập trung vào sự khác nhau giữa diễn ngôn toán học á phổ thông và diễn ngôn toán học á đầu đại học tă đó phân tích những khó khăn cÿa SV trong việc thiết lập kết nối giữa chúng

Tiếp cận giao tiếp trong nghiên cāu giáo dục toán là một lĩnh vực mới mẻ và thu hút sự quan tâm cÿa nhiều nhà nghiên cāu gần đây, đặc biệt là trong việc dạy học giải tích á đại học Các nghiên cāu đã áp dụng tiếp cận giao tiếp nhận thāc cÿa Sfard (2008) để khám phá quá trình dạy học toán á māc đại học, tập trung vào lĩnh vực giải tích Điều này chāng tỏ tiềm năng cÿa tiếp cận giao tiếp trong việc phân tích thực hành dạy học toán á đại học Tiếp cận giao tiếp nhận thāc nhìn nhận rằng bước chuyển tă phổ thông lên đại học đòi hỏi sự thay đổi trong cách diễn đạt cÿa HS và giáo viên để phù hợp với yêu cầu cÿa phương pháp dạy học mới

Vì vậy, việc sử dụng tiếp cận giao tiếp nhận thāc để phân tích quá trình dạy học giải tích á giai đoạn chuyển tiếp này là một lĩnh vực thú vị và hiện vẫn ít tác giả quan tâm và nghiên cāu Tuy nhiên, điều này tạo ra một tiềm năng nghiên cāu để khám phá sâu hơn về tầm quan trọng cÿa tiếp cận giao tiếp - nhận thāc trong dạy học giải tích á giai đoạn này đặc biệt là trong bối cảnh giao tiếp toán học trong dạy học toán á Việt Nam