Skkn phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Trong chương trình toán THCS các bài toán về phương trình nghiệm nguyên luôn là một đề tài hay và khó, nó có mặt trong các kì thi học sinh giỏi, giáo viên giỏi các cấp, ở huyện ta có trong đề thi GVG cụm năm học 2012 2013, năm học 2013 2014, Thi học kì 1 toán 8 năm 2014 2015, thi GVG cụm năm 2014 – 2015, nhưng kiến thức trong sách giáo khoa còn mới chỉ lướt qua, chưa đi sâu, chưa có phương pháp cụ thể, dẫn đến học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi gặp các bài toán dạng này, là một giáo viên giảng dạy nhiều năm, lại trực tiếp tham gia ôn thi học sinh giỏi tôi nhận thấy cần phải đi sâu vào mảng kiến thức này và trang bị cho các em một cách có hệ thống các phương pháp để giải loại toán này, qua nghiên cứu tài liệu, học hỏi đồng nghiệp tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

A ĐẶT VẤN ĐỀ:

Trong chương trình toán THCS các bài toán về phương trình nghiệm nguyên luôn là một đề tài hay và khó, nó có mặt trong các kì thi học sinh giỏi, giáo viên giỏi các cấp, ở huyện ta có trong đề thi GVG cụm năm học 2012- 2013, năm học 2013- 2014, Thi học kì 1 toán 8 năm 2014- 2015, thi GVG cụm năm 2014 – 2015, nhưng kiến thức trong sách giáo khoa còn mới chỉ lướt qua, chưa đi sâu, chưa có phương pháp cụ thể, dẫn đến học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi gặp các bài toán dạng này, là một giáo viên giảng dạy nhiều năm, lại trực tiếp tham gia ôn thi học sinh giỏi tôi nhận thấy cần phải đi sâu vào mảng kiến thức này và trang bị cho các em một cách có hệ thống các phương pháp để giải loại toán này, qua nghiên cứu tài liệu, học hỏi đồng nghiệp tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu : Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ1.THỰC TRẠNG ĐỀ TÀI

Học kì 1 toán 8 đề ra : Tìm x, y nguyên biết x2 + 25 = y2 ( x – 2010) Kết quả làm được bài là 0/38 học sinh, qua đó tôi tiếp tục khảo sát qua học sinh khối 9 kết quả 0/37 học sinh làm được bài

2 NỘI DUNG:

Có nhiều phương pháp để giải loại phương trình này, trong đó có cả các phương

pháp cao cấp nhưng tôi nhận thấy ở cấp THCS chủ yếu là dùng các phương pháp sau:

1 Phương pháp : PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾTa, Phương pháp phát hiện tính chia hết của một ẩn:

Dạng phương trình : tìm x,y nguyên biết : ax + by = c

Ví dụ 1: Tìm x, y nguyên biết : 2x + 25y = 8

Hướng dẫn : Giải

Ta thấy 2x chẵn, 8 chẵn => y chẵn Đặt y = 2t, tZ ta được pt 2x + 50t = 8

Ta thấy: 3x, 159 đều chia hết cho 3 => 17y 3 Đặt y = 3t, tZ

Thay vào phương trình ta được:

b, Phương pháp đưa về phương trình ước số: Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên

c, Phương pháp tách ra giá trị nguyên

Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên xy – x – y = 2

Vậy phương trình có các nghiệm là: (2:4),(4:2),(0:-2),(-2:0)

2, Phương pháp xét số dư của từng vế

Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình

9x +2 = y2 + y

9x +2 = y2 + y 9x +2x +2 = y(y+1)

Ta thấy vế trái chia cho 3 dư 2 nên y(y+1) chia cho 3 dư 2 Chỉ có thể y = 3k +1; y+1 = 3k +2 với k nguyên

Khi đó 9x + 2 = (3k +1)(3k +2) 9x = 9k(k+1)

x = k(k+1) Thử lại x = k(k+1)

y = 3k +1 Thỏa mãn phương trình đã cho Vậy phương trình có nghiệm là

Chia hai vế của xyz  3z cho z Ta được xy  3

Do đó xy1;2;3 Với xy = 1 Ta có x =1 1; y = 1 thay vao ta được 2 + z = z loại Với xy = 2 Ta có x = 1; y =2 ta được z = 3

Với xy = 3 ta được z = 2 loại Vậy ba số cần tìm là : 1; 2; 3

b,Phương pháp xết từng khoảng giá trị của ẩn:

Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 11 31

yx

Giải: Vì các ẩn có vai trò bình đẳng nê ta giả sử x  y

Vậy các nghiệm của phương trình là: (4:12) ( 12:4): (6;6)

C,phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên:

Ví dụ: Tìm các số tự nhiên x sao cho 2x + 3x = 5x

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1

4, Phương pháp dùng tính chất của số chính phương:a Sử dụng tính chất chia hết của số chính phương:

Ví dụ: Tìm các số nguyên x để 9x + 5 là tích của hai số nguyên liên tiếp Giải

Giả sử 9x + 5 = n(n+1) Với mọi n nguyên => n2 + n – ( 9x +5)= 0

Để phương trình có nghiệm nguyên thì  phải là số chính phương

Nhưng = 1+ 4(9x+5) = 36 x + 21 Chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 Vậy không tồn tại số nguyên n nào để 9x + 5 = n(n+1)

Vậy không tồn tại số nguyên x để 9x + 5 là tích của hai số nguyên liên tiếp

c, Xét các số chính phương liên tiếp:

Ta đã biết giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào: Ví dụ: Tìm số nguyên x để biểu thức sau là một số chính phương

Vậy với x = 1 hoặc x = -2 thì biểu thức đã cho bằng 92 = 32

d, Sử dụng tính chất : nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số đều là số chính phương:

Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình xy = z2 (1)

Với ( x,y,z)= 1 thì x, y, z đôi một nguyên tố cùng nhau

Vì nếu hai trong ba số x, y , z có ước chung là d thì số còn lại cũng chia hết cho d Ta có: Z2 = xy mà (x,y)= 1 nên x = a2, y = b2 vớia,b N8

Với t nguyên dương tùy ý

e, Sử dụng tính chất : Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0:

Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình x2 + xy + y2 = x2y2 (1)

x2 + xy + y2 = x2y2

Từ khi đưa phần kiến thức này vào giảng dạy tỉ lệ phần trăm học sinh làm được dạng toán này tăng lên rõ rệt

IV Kết luận và đề xuất:

Các bài toán về phương trình nghiệm nguyên ở cấp 2 có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này Ở THPT người ta có những công cụ cao cấp hơn ở cấp 2 chưa được phép sử dụng những công cụ cao cấp này nên phải bằng cách giải thông minh nhất, tìm ra các biện pháp hữu hiệu phù hợp với kiến thức toán học ở cấp 2 để giải các bài toán dạng này.

Có thể nói các bài toán phương trình nghiệm nguyên ở THCS rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi biểu thức, phát huy khả năng vận dụng kiến thức toán tổng hợp, tạo tiền đề cho các em học tốt môn toán ở các cấp cao hơn Qua quá trình nghiên

cứu về mảng kiến thức này tôi đã có điều kiện để học tập, nghiên cứu tự phát triển kiến thức để phục vụ cho sự nghiệp giáo dục của đảng và nhà nước Với mong muốn định hướng cho học sinh một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên ở THCS, tôi đưa ra một số phương pháp trên, rất mong được các bậc Thầy Cô và các bạn đồng nghiệp, bạn bè góp ý để kiến thức được sâu hơn, đề tài được hay hơn, thiết thực hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Như xuân, ngày 10 tháng 4 năm 20 Cam đoan SKKN không coppy

Người Viết SKKN