Giải tích số

Giải tích số hay còn gọi là Phương pháp số, Phương pháp tính, Toán học tính toán là một lĩnh vực của toán học chuyên nghiên cứu các phương pháp số giải gần đúng các bài toán thực tế được

Giải tích số hay còn gọi là Phương pháp số, Phương pháp tính, Toán học tính toán là một lĩnh vực của toán học chuyên nghiên cứu các phương pháp số giải gần đúng các bài toán thực tế được mô hình hóa bằng ngôn ngữ toán học Giải tích số có nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật, đặc biệt trong thế kỷ XXI, Giải tích số được ứng dụng trong khoa học xã hội, y học, tài chính, chẳng hạn nghiệm số của phương trình vi phân được sử dụng trong thiên văn học để dự đoán chuyển động của các hành tinh, các vì sao và các thiên hà, phương pháp số trong đại số tuyến tính được sử dụng để phân tích dữ liệu, các phương pháp số trong kỹ thuật siêu âm để chuẩn đoán tế bào ung thư, dò mìn, lý thuyết nội suy và xấp xỉ hàm số được sử dụng trong dự báo thời tiết, dự báo biến đổi khí hậu, sự phát triển lây lan của dịch cúm, Sự phát triển của máy tính hiện đại trước và trong thế chiến thứ hai cùng với sự phát triển của ngôn ngữ lập trình bậc cao đã thúc đẩy Giải tích số lên một tầm cao mới mà tiên phong trong lĩnh vực này là Alan Mathison Turing (1912-1954) và John von Neumann (1903-1957) Ngày nay Giải tích số được ứng dụng ngày càng rộng rãi trong đời sống hàng ngày, chẳng hạn trong thiết kế máy bay, ô tô, chuẩn đoán bệnh, phân tích thị trường chứng khoán, xử lý dữ liệu

Hiện nay giáo trình về Giải tích số bằng tiếng Việt chưa nhiều, trong đó phải kể đến các cuốn sách hay được giới thiệu ở các tài liệu tham khảo [1, 2, 3] Tuy nhiên, những cuốn sách này đã được xuất bản khá lâu Cuốn sách này nhằm cung cấp cho sinh viên những kiến thức

trình vi phân, hệ phương trình đại số tuyến tính, xấp xỉ hàm số Với sự phát triển của cách mạng công nghệ thông tin như hiện nay, việc dạy và học môn học này trong các trường đại học cũng cần có những sự thay đổi cho phù hợp, chẳng hạn việc học Giải tích số cần gắn với việc chạy chương trình số trên các phần mềm tính toán hiện đại và hiệu quả, giảm nhẹ về kiến thức toán học ở mức độ chuyên sâu (xem [4, 5, 6, 7, 8]) Với quan điểm đó, cuốn sách này được biên soạn theo hướng thực hành và chi tiết các chứng minh khi cần thiết Sách được biên soạn theo chương trình đào tạo sinh viên sư phạm Toán của Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng và Trường Đại học Quảng Bình với thời lượng3 tín chỉ (45 tiết) Ngoài ra, cuốn sách cũng có thể được sử dụng để tham khảo khi giảng dạy học phần Phương pháp tính cho các trường kỹ thuật.

Nội dung cuốn sách gồm7 chương chính cùng với phần phụ lục các kiến thức về về phần mềm và một số kiến thức toán học cần thiết:

• Chương 1 Sai số;

• Chương 2 Phép nội suy;

• Chương 3 Tính gần đúng đạo hàm và tích phân; • Chương 4 Nghiệm số của phương trình phi tuyến;

• Chương 5 Nghiệm số của hệ phương trình đại số tuyến tính và bài toán tìm giá trị riêng và vector riêng;

• Chương 6 Phương pháp xấp xỉ trung bình phương; • Chương 7 Giải gần đúng phương trình vi phân.

Cùng với đó, cuốn sách còn có phần hướng dẫn sử dụng phần mềm MATLAB và Python để chạy chương trình các bài toán lớn với độ chính xác cao Để chạy số các chương trình có rất nhiều phần mềm, ví

tương đối mạnh và giao diện trực quan, dễ sử dụng là lựa chọn hàng đầu cho những người làm về giải số Tuy nhiên, đây là phần mềm bản quyền, cho nên chúng tôi chọn minh họa thêm một phần mềm mã nguồn mở là Python để phù hợp với đa số người học là học sinh, sinh viên Ngoài ra, do môn Giải tích số cần kiến thức chuẩn bị của nhiều môn học khác ví dụ Giải tích, Đại số tuyến tính, Phương trình vi phân, Phương trình đạo hàm riêng, Giải tích hàm, Xác suất thống kê, nên để cho người đọc tiện nắm bắt vấn đề, các kiến thức cơ bản về các lĩnh vực trên sẽ được nhắc lại mỗi chương hoặc ở phần phụ lục Mặc dù nhóm tác giả đã dành nhiều thời gian và công sức trong công tác biên soạn, tham khảo các tài liệu và trình bày một cách hệ thống, song cuốn sách sẽ khó tránh khỏi các thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến phản hồi từ bạn đọc để cuốn sách được hoàn thiện hơn trong lần tái bản sau Mọi góp ý xin gửi về địa chỉ: Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng - 459 Tôn Đức Thắng - Đà Nẵng - Việt Nam.

Qua đây, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, cũng như các thầy, cô trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng đã ủng hộ, động viên trong quá trình biên soạn cuốn sách này.

Đà Nẵng, tháng 11 năm 2021 Các tác giả

LỜI NÓI ĐẦU 3

2.3 Nội suy Lagrange 24

2.4 Chọn mốc nội suy tối ưu 28

2.4.1 Hiện tượng Runge 28

2.4.2 Mốc nội suy Chebyshev 30

2.5 Nội suy Newton 35

2.5.1 Tỷ sai phân 37

2.5.2 Mốc cách đều 41

2.6 Nội suy Hermite 46

3.2.4 Công thức Newton - Cotes 67

3.2.5 Công thức hình thang mở rộng và công thức Simpson mở rộng 69

3.3 Công thức Gauss 71

3.3.1 Đa thức Legendre 72

3.3.2 Công thức Gauss với khoảng [a, b] tùy ý 77

3.3.3 Công thức Gauss - Chebyshev 79

3.3.4 Công thức Gauss - Laguerre 80

3.3.5 Công thức Gauss - Hermite 82

3.4 Phương pháp Monte - Carlo 84

Chương 4 NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH

4.5.2 Cách chọn điểm x0 để đảm bảo thuật toán hội tụ 116 4.5.3 Thuật toán Newton cải tiến cho trường hợp phương trình có nghiệm bội 116

4.6 Phương pháp dây cung 118

4.7.1 Phương trình đa thức và sự phân bố nghiệm 122

4.7.2 Nghiệm phức và phương pháp Muller 129

Chương 5 NGHIỆM SỐ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ RIÊNG, VECTOR RIÊNG 141

5.3.2 Phương pháp Gauss - Seidel 161

5.3.3 Phương pháp giảm dư quá hạn liên tiếp 165

5.4 Phương pháp tính gần đúng giá trị riêng, vector riêng

7.2.4 Phương pháp Euler cải tiến 203

7.2.5 Phương pháp Runge - Kutta 203

7.3 Phương pháp đa bước 209

7.3.1 Phương pháp Adams - Bashforth 211

7.3.2 Phương pháp Adams - Moulton 214

7.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 216

7.4.1 Phương pháp Euler giải hệ phương trình vi phân 217 7.4.2 Phương pháp Runge - Kutta giải hệ phương trình vi phân 219

Phụ lục A PHẦN MỀM TOÁN HỌC 227

A.1 MATLAB 227

A.1.1 Mở đầu về MATLAB 227

A.1.2 Giao diện 227

A.1.3 Các phép toán 228

A.1.4 Vẽ đồ thị cơ bản 229

A.2 Python 229

A.2.1 Tổng quan 229

A.2.2 Một số lệnh cơ bản trong Python 230

A.2.3 Thư viện trong Python 235

C.3 Giá trị riêng, vector riêng 248

TÀI LIỆU THAM KHẢO 249

SAI SỐ

Chương này trình bày một số khái niệm về sai số: Sai số tương đối, sai số tuyệt đối, sai số quy tròn, Các kết quả chính được chứng minh chi tiết, bạn đọc có thể tham khảo thêm trong các tài liệu [4, 1, 9, 10].

1.1 Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

Sai số là giá trị chênh lệch giữa giá trị đo được hoặc tính được a và giá trị thực hay giá trị chính xáca∗ của một đại lượng nào đó.

• Sai số tuyệt đối: |a − a∗|.

• Sai số tuyệt đối giới hạn: Số dương ∆a nhỏ nhất thoả mãn:

• Sai số giả thiết: Xuất hiện do việc giả thiết bài toán đạt được một số điều kiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán Một ví dụ cho sai số loại này là vào năm 1964, Arno Penzias và

Robert Wilson đã phát hiện ra bức xạ phông nền vũ trụ khi họ tiến hành nghiên cứu một máy thu tín hiệu vi sóng ở phòng thí nghiệm Bell Nguyên nhân là do khi chế tạo máy thu tín hiệu họ đã không tính đến độ nhiễu của bức xạ nền vũ trụ bởi vì lúc đó học thuyết về vụ nổ Bigbang vẫn còn chưa được công nhận • Sai số do số liệu ban đầu: Xuất hiện do việc đo đạc và cung cấp giá trị đầu vào không chính xác Một ví dụ cho sai số loại này là vào năm 1999, tàu thăm dò khí hậu sao Hỏa Mars Climate Orbiter đã bị phá hủy do nhầm lẫn đơn vị đo giữa số liệu đầu vào và lập trình trên máy tính, dẫn đến việc con tàu không kịp giảm tốc khi chạm vào bầu khí quyển sao Hỏa.

• Sai số phương pháp: Xuất hiện do việc giải bài toán bằng phương pháp gần đúng.

• Sai số tính toán: Xuất hiện do làm tròn số trong quá trình tính toán, quá trình tính càng nhiều thì sai số tích luỹ càng lớn.

1.3 Sai số quy tròn

Quy tắc quy tròn số: Quy tròn sao cho sai số quy tròn tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng được giữ lại cuối cùng Cụ thể, nếu chữ số bỏ đi đầu tiên lớn hơn hoặc bằng 5 thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng một đơn vị, còn nếu chữ số bỏ đi đầu tiên nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên chữ số giữ lại cuối cùng.

Kết quả của phép tínhA hoàn toàn phụ thuộc vào việc thu gọn số

Như vậy, với ba kết quả đầu thì tính gần đúng khai triển nhị thức Newton cho kết quả rất không chính xác Điều đó chứng tỏ việc quy tròn số cũng như việc lựa chọn thuật toán có ảnh hưởng lớn trong quá

1.4 Cách viết số xấp xỉ

• Chữ số có nghĩa: Các chữ số từ chữ số khác không đầu tiên tính từ trái sang phải của một số viết dưới dạng thập phân là

+ Viết theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa là số đáng tin Một số viết theo cách thứ hai có nghĩa là nó có sai số tuyệt đối giới hạn không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng cuối cùng.

Thuật toán là một tập hợp hữu hạn của các chỉ thị hay phương cách được định nghĩa rõ ràng cho việc hoàn tất một số sự việc từ một trạng thái ban đầu cho trước; khi các chỉ thị này được áp dụng triệt để thì sẽ dẫn đến kết quả sau cùng như đã dự đoán.

Ví dụ 1.4 Tính tổng x1+ x2 +· · · + xN Thuật toán:

• Lấy số thứ nhất x1 và cộng với x2.

Mã giả là một bản mô tả giải thuật lập trình máy tính ngắn gọn và không chính thức cấp cao, trong đó sử dụng những quy ước có cấu trúc của một số ngôn ngữ lập trình, nhưng thường bỏ đi những chi tiết không cần thiết để giúp hiểu rõ giải thuật hơn, như bỏ đi chương trình con, khai báo biến và những đoạn mã đặc biệt của hệ thống Ngôn ngữ lập trình được bổ sung bằng những mô tả chi tiết bằng ngôn ngữ tự nhiên ở nơi thích hợp, hoặc bằng ký hiệu toán học đơn giản.

Ví dụ 1.5 Viết mã giả cho thuật toán: Tính tổngx1+x2+· · ·+xN.

• Bước 1: INPUT N, x1, x2, , xN • Bước 2: Set SUM = 0.

• Bước 3: For i = 1, 2, , N Set SUM = SUM + xi • Bước 4: OUTPUT SUM.

Bài tập chương 1

1 Xét số đúng a∗ = √

3 với giá trị gần đúng a = 1.73 Hãy cho biết sai số tuyệt đối của nó.

2 Đo độ dài của cầu sông Hàn là 487.7 m và sai số tuyệt đối là ∆a = 0.01 m Tính δa.

3 Khi đo một số góc ta được các giá trị sau:

a = 21o37′3′′; b = 1o10′′.

Hãy tính sai số tương đối của các số xấp xỉ đó biết rằng sai số tuyệt đối trong phép đo là 1′′.

4 Hãy xác định sai số tuyệt đối của các số xấp xỉ sau đây cho biết sai số tương đối của chúng:

a) a = 13267; δa= 0.1% b) b = 2.32; δb = 0.7%.

5 Hãy xác định các chữ số đáng tin trong các số a với sai số tuyệt đối như sau:

a) a = 0.3941; ∆a= 0.25· 10−2 b) b = 38.2543; ∆b = 0.27.10−2.

6 Hãy xác định số những chữ số đáng tin trong các chữ sốa với sai số tương đối như sau:

a) a = 1.8921; δa = 0.1· 10−2 b) a = 22.351;

δa = 0.1.

7 Hãy xác định giá trị của hàm số dưới đây cùng với sai số tuyệt đối và sai số tương đối ứng với những giá trị của các đối số cho với mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin:

với sai số tuyệt đối không quá 10−4.

10 Hãy viết một mã giả và lập một thuật toán để giải phương trình

PHÉP NỘI SUY

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số công thức nội suy đa thức trong đó có đi sâu vào công thức nội suy Lagrange và nội suy Newton, cách chọn mốc nội suy tối ưu Các kết quả chính được chứng minh chi tiết, bạn đọc có thể tham khảo thêm trong các tài liệu

• Hãy ước lượng y(x).

• Hãy xây dựng một đa thức bậc không quá n

y = pn(x) = c0+ c1x + c2x2+ c3x3 +· · · + cnxn sao cho

pn(xi) = yi, (i = 0, 1, , n).

Ngoài ý nghĩa lịch sử, đa thức đại số thường được dùng trong phép nội suy vì các phép toán cộng, trừ, nhân, đạo hàm, tích phân dễ dàng

được thực hiện trên đa thức Hơn nữa kết quả sau đảm bảo cho việc chọn đa thức để xấp xỉ là khả thi.

Định lý 2.1 (Định lý xấp xỉ Weierstrass) Giả sử f là một hàm liên tục trên[a, b] Khi đó với mọi ϵ > 0, tồn tại một đa thức p(x) sao cho với mọi x thuộc [a, b] ta có |f(x) − p(x)| < ϵ.

2.2 Phương pháp Vandermonde

Chon + 1 điểm (x0, y0) , (x1, y1) , , (xi, yi) , , (xn, yn), trong đó các xi đôi một khác nhau, i = 0, 1, , n Tìm một đa thức bậc không

Chúng ta cần giải hệ phương trình trên để tìm các hệ số ci, i = 0, 1, , n, từ đó tìm được đa thức nội suy Hệ trên được viết dưới dạng ma trận vector như sau:

trong đó ma trận A được gọi là ma trận Vandermonde Bằng một số

Ví dụ 2.1 Bốn phép đo một hệ thống điện được thực hiện Điện thế ở thời điểm 0 s là 1 V, ở thời điểm 1 s là 2 V, 2 s là 9 V, và 3 s là 28 V Tìm một mô hình toán học cho hệ thống này.

Lời giải Gọi đa thức bậc ba mô tả hệ thống trên có dạng

Tuy nhiên, phương pháp Vandermonde không phải là phương pháp hiệu quả cho bài toán trên nhất là khi số mốc nội suy lớn Dưới đây, chúng ta sẽ tiếp cận thêm một số phương pháp khác để tìm được đa thức nội suy.

2.3 Nội suy Lagrange

Định lý 2.2 Giả sử ta cón+1 điểm (x0, y0), (x1, y1), , (xn, yn) trong đóx0, x1, , xnlà các số đôi một phân biệt Khi đó, tồn tại duy nhất một đa thức bậc không quá n đi qua n + 1 điểm này có dạng

Chứng minh Ta có thể dễ dàng kiểm tra được mỗi Lk(x), k = 0, n là một đa thức bậcn thỏa mãn tính chất Lk(xk) = 1 và Lk(xj) = 0 với mọi j ̸= k Từ đó suy ra Pn(x) là đa thức bậc không quá n thỏa mãn Pn(xi) = yi với mọi i = 0, n.

Chúng ta sẽ chứng minh tính duy nhất bằng phương pháp phản chứng Giả sửPn(x) và Qn(x) là hai đa thức bậc không quá n và đều Chú ý 2.1 Các Lk(x), k = 0, 1, , n được gọi là các đa thức Lagrange cơ bản và đôi khi được ký hiệu làLn,k khi ta cần nhấn mạnh Ln,k có bậc n.

Chú ý 2.2 Có thể chứng minh sự tồn tại duy nhất bằng cách sử dụng hệ Vandermonde mà không cần viết công thức nội suy Lagrange Ví dụ 2.2 Trong trường hợpn = 1, tức là chỉ có hai mốc nội suy

Định lý dưới đây cho ta công thức tính sai số của phép nội suy Định lý 2.3 Cho f ∈ Cn+1[a, b] và (x0, y0), (x1, y1), , (xn, yn) là n + 1 điểm thuộc đồ thị hàm số f trong đó x0, x1, , xn là các số thực phân biệt Gọi Pn(x) là đa thức nội suy Lagrange bậc không quá n đi qua các điểm trên Khi đó với mỗi x∈ [a, b] tồn tại ξn nằm giữa m = min{x0, x1, , xn, x} và M = max{x0, x1, , xn, x} sao cho

Từ giả thiết của hàmf và cách xây dựng hàm ϕ ta có ϕ∈ Cn+1[a, b] và theo trên hàm ϕ có n + 2 nghiệm Từ định lý Rolle, suy ra rằng giữa hai nghiệm của hàm f sẽ tồn tại ít nhất một nghiệm của đạo hàmf′ Do đó,ϕ′ có ít nhấtn + 1 nghiệm trong khoảng (a, b), ϕ′′ có ít nhất n nghiệm trong khoảng (a, b), , ϕ(n+1) có ít nhất một nghiệm trong khoảng(a, b) Tức là, tồn tại ξ ∈ (a, b) sao cho

Ví dụ 2.4 Tìm cận trên cho sai số tại điểm x = 0.25 và x = 0.75 giữa hàm số f (x) = ex và đa thức nội suy đi qua các mốc Ví dụ 2.5 Xác định công thức sai số và tìm sai số lớn nhất khi sử dụng đa thức nội suy Lagrange để xấp xỉ hàm số f (x) = 1

x với ba mốc nội suyx0 = 2, x1 = 2.75, x2 = 4.

2.4 Chọn mốc nội suy tối ưu 2.4.1 Hiện tượng Runge

Hiện tượng Runge thường được đề cập cùng với hiện tượng Gibbs trong lý thuyết chuỗi Fourier bởi vì chúng có những tính chất tương tự

nhau Tuy nhiên đây là hai hiện tượng khác nhau Hiện tượng Runge nảy sinh từ việc nội suy một lớp hàm nhất định với mốc nội suy cách

Hiện tượng trên được gọi là hiện tượng Runge (sai số ở điểm gần hai đầu mút tăng lên vô hạn khi số điểm chia của mốc nội suy cách đều tăng lên vô hạn) Hiện tượng này được David Tolmé Runge phát hiện vào năm 1901.

Chú ý 2.3 Hiện tượng Runge không phải luôn xảy ra với mọi hàm chẳng hạn hàm y = cos x không xảy ra hiện tượng Runge khi sử dụng mốc nội suy cách đều như Hình 2.2.

Hình 2.2: Hiện tượng Runge không xảy ra với hàm y = cos x

2.4.2 Mốc nội suy Chebyshev

Đa thức

Tn(x) = cos n arccos x

, |x| ≤ 1

được gọi là đa thức Chebyshev bậc n Ta có thể dễ dàng tính được một số đa thức đầu tiên: T0(x) = 1, T1(x) = x và T2(x) = 2x2− 1.

Tổng quát, đặt y = arccos x ta có

Tn+1(x) = cos(n + 1)y = cos(ny + y) = cos ny cos y− sin ny sin y; Tn−1(x) = cos(n− 1)y = cos(ny − y) = cos ny cos y + sin ny sin y.

Cộng vế với vế hai phương trình trên ta thu được Tn+1(x) + Tn−1(x) = 2 cos ny cos y = 2xTn(x).

Dựa trên công thức truy hồi trên, ta có một số tính chất cơ bản của đa thức Chebyshev như sau:

• Tn(x) là các các đa thức bậc n với hệ số ứng với số mũ cao nhất

• Tất cả các nghiệm của Tn(x) nằm trong khoảng (−1, 1) được cho bởi công thức sau:

Định nghĩa 2.1 Cho trước một số tự nhiên n, các điểm Cheby-shev trên(−1, 1) được cho bởi công thức sau

−1 0 1 Hình 2.4: Mốc nội suy Chebychev

Định lý 2.4 Cho f ∈ Cn+1[−1, 1] và Pn(x) là đa thức nội suy của f với các mốc nội suy Chebyshev Khi đó

với một hằng số cn là một hằng số nào đó Ta thấy hệ số của số hạng mũ cao nhất xn+1 của ωn là1 nên từ tính chất của Tn+1 suy ra

Với đoạn [a, b] bất kỳ, bằng cách đổi biến ta có

Từ công thức ước lượng sai số trên, ta thấy rằng nếu hàm f (x) bị chặn và có các đạo hàm cấp cao cũng bị chặn thì khi số mốc nội suy càng lớn thì sai số càng giảm dần về0 Ta có thể chỉ ra rằng cách chọn mốc nội suy Chebyshew là tối ưu nhất.

Định lý 2.5 Với mọi đa thức Pn(x) với hệ số ứng với lũy thừa

Vì Q là hàm liên tục nên theo định lý giá trị trung gian cho mỗi j = 0, 1, , n−1, đa thức Q(x) có ít nhất một nghiệm nằm giữa xj và

xj+1 Do đóQ(x) có ít nhất n nghiệm trong khoảng [−1, 1] Mà bậc của Q không vượt quá n− 1 nên Q(x) ≡ 0 Do đó Pn(x)≡ 1

Hình 2.5: Nội suy hàm Runge với mốc nội suy Chebyshev

2.5 Nội suy Newton

Công thức nội suy Lagrange cho chúng ta một công thức tường minh và dễ nhớ về đa thức nội suy Tuy nhiên, nó có một nhược điểm là nếu bổ sung thêm một hay một vài điểm vào bảng dữ liệu, ta sẽ phải tính lại tất cả các đa thức Lagrange cơ bản mà không thể kế thừa được những gì đã tính Newton đưa ra một cách tiếp cận khác cho đa thức nội suy giúp ta khắc phục được nhược điểm trên Đa thức nội suy Newton đi quan điểm có dạng

y = f (x) = c0+ c1(x− x0) + c2(x− x0) (x− x1) +

+ cn(x− x0) (x− x1) (x− xn−1) (2.1)

Ưu điểm của cách tiếp cận này là ta có thể tính được các hệ số ci

hết sức đơn giản như sau:

• Để tính c0 thế (x0, y0) vào công thức (2.1) ta được

• Để nhìn rõ quy luật ở đây, ta sẽ tính thêm một bước nữa Tiếp tục thay (x3, y3) vào công thức (2.1) ta được

Từ các tính toán trên ta thấy được quy luật để tính hệ số cn Để đơn giản ta sẽ sử dụng ký hiệu tỷ sai phân như dưới đây.

2.5.1 Tỷ sai phân

Tỷ sai phân cấp 1 của hàm f (x) tương ứng với 2 điểm x0 và x1

được ký hiệu f [x0, x1] và được cho bởi công thức sau f [x0, x1] = f (x1)− f(x0)

x1− x0

Nếux0, x1, vàx2 là các điểm phân biệt, tỷ sai phân cấp 2 được cho bởi công thức sau

f [x0, x1, x2] = f [x1, x2]− f[x0, x1] x2− x0

Giả sử x0, x1, , xn là n + 1 điểm phân biệt Khi đó tỷ sai phân cấp n được cho bởi công thức sau

f [x0, x1, , xn] = f [x1, x2, , xn]− f[x0, x1, , xn−1] xn− x0

Để thuận tiện trong cách trình bày, ta quy ước tỷ sai phân cấp 0 của hàm f ứng với xi, ký hiệu f [xi] là giá trị của hàm f tại xi:

f [xi] = f (xi).

Dưới đây là một số tính chất của tỷ sai phân:

Mệnh đề 2.2 Cho y = f (x) là một hàm số và x0, x1, , xn là n + 1 số thực phân biệt Khi đó f [x0, x1, , xn] = f [xi0, xi1, , xin] trong đó i0, i1, , in là một hoán vị của 0, 1, , n.

Sử dụng khái niệm tỷ sai phân, bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được công thức nội suy Newton sau:

Định lý 2.6 Giả sử Pn(x) là đa thức nội suy của hàm y = f (x) tại n + 1 điểm phân biệt (x0, y0), (x1, y1), , (xn, yn), tức là Pn(xi) =

[a, b], khi đó tồn tại ξ là một số nằm giữa x0 và x1 sao cho f [x0, x1] = f (x1)− f(x0)

x1− x0

= f′(ξ).

Kết quả dưới đây chỉ ra mối liên hệ giữa tỷ sai phân và đạo hàm Định lý 2.7 Cho y = f (x) là hàm n≥ 1 lần khả vi liên tục trên [a, b] và x0, x1, , xn là n + 1 điểm phân biệt thuộc [a, b] Khi đó tồn tại ξ ∈ (a, b) sao cho

Vìf (xi) = Pn(xi) với mọi i = 0, 1, , n nên hàm g có n + 1 không điểm phân biệt trong [a, b] Áp dụng định lý Rolle mở rộng, tồn tại ξ∈ (a, b) sao cho g(n)(ξ) = 0 Do đó các điểm nội suy (1, 1), (4, 2), và (9, 3) bằng cách sử dụng công thức nội suy Newton.

Lời giải Áp dụng công thức nội suy Newton ta có

Để rõ ràng, các tỷ sai phân thường được liệt kê dưới dạng bảng gọi là bảng tỷ sai phân như sau: