1 v1.0 BÀI 1 HÀM SỐ -GIỚI HẠN - LIÊN TỤC Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn 2 v1.0 LÍ THUYẾT 1. Hàm số mộtbiếnsố: Định nghĩa, đồ thị,tínhđơn điệu, tính chẵnlẻ,…, hàm số hợpvàhàmngược. 2. Dãy số:Kháiniệmdãysố,dãyđơn điệu, dãy bị chặn, các tiêu chuẩn tồntạigiớihạn, các định lí về giớihạn. 3. Giớihạn: Khái niệm, các tính chấtcủagiớihạnhàmsố,VCB,VCL,các phương pháp tính giớihạn. 4. Sự liên tụccủahàms ố:Hàmsố liên tụcvàcáctínhchất. 3 v1.0 VÍ DỤ 1 Cho các hàm số và Xác định hàm số hợpcủagvàf,hàmhợpcủafvàg. Hướng dẫn: •Mộthàmsốđượcxácđịnh khi biếttậpxácđịnh và công thứccủa hàm sốđó. •Kháiniệmhàmsố hợp: “Cho thỏamãn •Hàmhợpcủavà: f: ,f(x) 2x g: ,g(x) 1 x :X ,x u (x)  f:U ,u y f(u) :,()(())hX x hx f x  f (x) U, x X   4 v1.0 VÍ DỤ 1 (tiếp theo) Lờigiải: Hàm số hợpcủagvàflà: và hàm số hợp của f và g là: Nhận xét: • •Sai lầm thường gặp: nhầm lẫn giữa “hàm hợp của f và g” với “hàm hợp của g và f”. h: , x h(x) h(x) g(f(x)) g(2x) 2x 1   k: , x k(x) k(x) f(g(x)) f(1 x) 2(1 x) 2x 2   f(g(x)) g(f(x)) 5 v1.0 Hàm hợpcủahaihàmsố f(u)=cosuvàu(x)=2xlàhàmsố nào sau đây? VÍ DỤ 2 a. h(x) = cos(2x) b. h(x) = 2cosx c. h(x) = cosx d. h(x) = 2cos(2x) 6 v1.0 Hàm hợpcủahaihàmsố f(u)=cosuvàu(x)=2xlàhàmsố nào sau đây?   f(u(x)) f(2x) cos(2x)   VÍ DỤ 2 (tiếp theo) a. h(x) = cos(2x) b. h(x) = 2cosx c. h(x) = cosx d. h(x) = 2cos(2x) a. h(x) = cos(2x)  x x x 7 v1.0 Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: a. Dãy bị chặn trên. b. Dãy đơn điệu tăng. c. Dãy đơn điệu giảm. d. Dãy bị chặn. VÍ DỤ 3 Cho dãy số:     n 1;2;3, 4; ;n;  8 v1.0 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem lại khái niệm về dãy đơn điệu và bị chặn Dãy gọi là: •Dãy tăng nếu x n < x n+1 •Dãy giảm nếu x n > x n+1 •Dãy đơn điệu nếu nó là dãy tăng hoặc dãy giảm •Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho x •Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho x n •Bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Như vậy, dãy là bị chặn nếu có các số m và M sao cho   x n mx M, n n   n    n    M, n   m, n 9 v1.0 Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: VÍ DỤ 3 (tiếp theo) a. Dãy bị chặn trên. b. Dãy đơn điệu tăng. c. Dãy đơn điệu giảm. d. Dãy bị chặn.  x x x n n xn    12 (x 1 x 2)   (1 2 3 4 )   Cho dãy số:     n 1;2;3, 4; ;n;  Nhận xét: Sai lầm thường gặp: •Cho rằng “dãy đơn điệu là dãy vừa đơn điệu tăng, vừa đơn điệu giảm”; •Cho rằng “dãy bị chặn là dãy bị chặn trên hoặc bị chặn dưới”. 10 v1.0 Cho dãy số: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: a. Dãy đơn điệu. b. Dãy đơn điệutăng. c. Dãy đơn điệugiảm. d. Dãy bị chặn.        nn 1 1;1; 1;1; , 1 ,   VÍ DỤ 4 [...]... không bị chặn d Dãy không hội tụ thì không bị chặn 15 v1.0 VÍ DỤ 6 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem lại mục 1.2.3 (tr.13) 1.2.3 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 1.2.3.1 Tính duy nhất của giới hạn Định lý: Nếu một dẫy có giới hạn (hữu hạn) thì: • Dãy đó là dãy bị chặn; • Giới hạn là duy nhất 16 v1.0 VÍ DỤ 6 (tiếp theo) Mệnh đề nào đúng? a Dãy bị chặn thì hội tụ x b Dãy hội tụ thì bị chặn  c Dãy phân kỳ thì không... VÍ DỤ 12 arctg  2x  Giới hạn lim bằng: x 0 3x a 0 b 1 c 3 2 2 d 3 31 v1.0 VÍ DỤ 12 (tiếp theo) arctg  2x  Giới hạn lim bằng: x 0 3x a 0  b 1  3 2  c 2 d 3  arctg  2x  2x 2  lim  Khi x  0: arctg(2x)  2x  lim x 0 x 0 3x 3x 3 32 v1.0 VÍ DỤ 13 2n2  n  1 Giới hạn lim bằng: 2 n 3n  5 2 3 1 b 5 3 c 2 d Không tồn tại a 33 v1.0 VÍ DỤ 13 (tiếp theo) 2n2  n  1 Giới hạn lim bằng: 2 n... 7 Hàm số f(x) gọi là một VCB khi x  a nếu: a lim f(x)  a x 0 b lim f(x)   x a c lim f(x)   x a d lim f(x)  0 x a 18 v1.0 VÍ DỤ 7 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem khái niệm VCB, VCL (tr.16) 1.3.3 Vô cùng lớn, vô cùng bé 1.3.3.1 Khái niệm • Đại lượng f(x) gọi là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x  a nếu lim f(x)  0 x 2 Ở đây, a có thể là hữu hạn hay vô cùng Từ định nghĩa giới hạn của hàm. .. 3 2 n 2 2   Nhận xét: Phương pháp giải dạng bài này là chia cả tử và mẫu cho nk bậc cao nhất của tử và mẫu rồi dùng giới hạn lim 1  0 n n 34 v1.0 VÍ DỤ 14 n2  3n  4 Giới hạn lim bằng: 2 n 2n  3 a 2 3 b 1 2 c 1 2 2 d 3 35 v1.0 VÍ DỤ 14 (tiếp theo) n2  3n  4 Giới hạn lim bằng: 2 n 2n  3 a 2 3  b 1 2  c 1 2  2 d 3  36 v1.0 ... rằng f(x) là VCB khi x  a nếu lim f(x)   x a cũng như VCL là số rất lớn nên cho rằng f(x) là VCL khi x  a nếu lim f(x)   x a • Không để ý đến quá trình x  a Chú ý cùng là một hàm số f(x), có lúc là VCB, có lúc là VCL tùy thuộc vào quá trình x tiến đến đâu Ví dụ: f(x) = x là VCB khi x  0 và là VCL khi x   20 v1.0 VÍ DỤ 8 Hàm số f(x) gọi là một VCL khi x  a nếu: a lim f(x)   x0 b lim... 1.2.2: Dãy {xn} được gọi là dãy hội tụ nếu tồn tại số a để lim x n  a Trong x  trường hợp ngược lại, ta nói dãy phân kỳ Như vậy, một dãy số chỉ có thể là hội tụ hoặc phân kỳ 13 v1.0 VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Mệnh đề nào sai? a Dãy không hội tụ thì phân kỳ x b Dãy không phân kỳ thì hội tụ x c Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân kỳ  d Không có dãy số nào không hội tụ, mà cũng không phân kỳ x Nhận...  sin x    x   x 2 x e x x2 ln(cosx)  ln[1 (1 cosx)]  1 cosx   2   tgx  2 x 1 3 2 2    x 5 5 x 3 x 5 2 2 28 v1.0 VÍ DỤ 11 sin 3x Giới hạn lim 2x bằng: x 0 e 1 a 0 b 1 c 3 2 d 2 3 29 v1.0 VÍ DỤ 11 (tiếp theo) sin 3x Giới hạn lim 2x bằng: x 0 e 1 a 0  b 1  3 2 2 d 3  c sin 3x 3x 3 Khi x  0 : sin 3x  3x; e2x  1  2x  lim 2x  lim  2 x 0 e x 0 2x 1  Hướng dẫn: Phương... dãy số:  1   1;1; 1;1; ,  1 n n  , Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: a Dãy đơn điệu x b Dãy đơn điệu tăng x x 2  1  x 3  1 c Dãy đơn điệu giảm x x1  1  x 2  1 d Dãy bị chặn  1  x n  (1)n  1, n 11 v1.0 VÍ DỤ 5 Mệnh đề nào sai? a Dãy không hội tụ thì phân kỳ b Dãy không phân kỳ thì hội tụ c Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân kỳ d Không có dãy số nào... VCB (x) và (x) x a (x) • Nếu lim Chẳng hạn, x m là VCB bậc cao hơn x nnếu m>n và cùng bậc nếu m= n khi x  0 24 v1.0 VÍ DỤ 9 (tiếp theo) VCB tương đương • Định nghĩa: Hai VCB (x) và (x) khác 0 khi x  a gọi là tương đương với nhau nếu lim x a (x) 1 (x) • Ký hiệu: (x)  (x) • Nhận xét: 2 VCB tương đương là trường hợp đặc biệt của 2 VCB cùng bậc Một số các VCB tương đương thường gặp (nên ghi... là VCB khi x  0 và là VCL khi x   20 v1.0 VÍ DỤ 8 Hàm số f(x) gọi là một VCL khi x  a nếu: a lim f(x)   x0 b lim f(x)   xa c limf(x)   xa d limf(x)  0 xa 21 v1.0 VÍ DỤ 8 (tiếp theo) Hàm số f(x) gọi là một VCL khi x  a nếu: a lim f(x)   x b lim f(x)    c limf(x)   xa x d limf(x)  0 xa x x0 xa 22 v1.0 VÍ DỤ 9 VCB nào sau đây là tương đương với VCB f(x)  x 2 khi x0 ? . số: Kháiniệmdãysố,dãyđơn điệu, dãy bị chặn, các tiêu chuẩn tồntạigiớihạn, các định lí về giớihạn. 3. Giớihạn: Khái niệm, các tính chấtcủagiớihạnhàmsố,VCB,VCL,các phương pháp tính giớihạn. 4. Sự liên tụccủahàms ố:Hàmsố. 1 v1.0 BÀI 1 HÀM SỐ -GIỚI HẠN - LIÊN TỤC Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn 2 v1.0 LÍ THUYẾT 1. Hàm số mộtbiếnsố: Định nghĩa, đồ thị,tínhđơn điệu, tính chẵnlẻ,…, hàm số hợpvàhàmngược. 2. Dãy số: Kháiniệmdãysố,dãyđơn. tụccủahàms ố:Hàmsố liên tụcvàcáctínhchất. 3 v1.0 VÍ DỤ 1 Cho các hàm số và Xác định hàm số hợpcủagvàf,hàmhợpcủafvàg. Hướng dẫn: •Mộthàmsốđượcxácđịnh khi biếttậpxácđịnh và công thứccủa hàm số ó. •Kháiniệmhàmsố