Prof. NGUYỄN THẾ HÙNG PHƯƠNG PHÁPTÍNH NUMERICAL METHODS FOR ENGINEERS *********** DANANG UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Danang 2000 MỤC LỤC Chương 0: Phần bổ túc A. Phép tính vec tơ 1 B. Phép tính Tensor 3 C. Các phương pháp biến đổi 5 1. Phép biển đổi tọa độ 5 2. Phép biến hình bảo giác 5 3. Phép biến đổi LapLace 6 4. Phép biến đổi sigma 6 D. Một vài ứng dụng của giải tích hàm 7 1. Không gian Mêtrix 7 2. Không gian tuyến tính định chuẩn 7 3. Không gian EUCLIC- Không gian HILBERT 7 Chương 1: Sai số 10 1.1 Sai số tuyệt đối 9 1.2 Sai số tương đối 9 1.3 Cách viết số xấp xỉ 9 1.4 Sai số quy tròn 9 1.5 Sai số của số đã quy tròn 9 1.6 Ảnh hưởng của sai số quy tròn 9 1.7 Các quy tắc tính sai số 10 1.8 Sai số tính toán và sai số phương pháp 10 1.9 Sự ổn định của quá trình tính 10 Chương 2: Nội suy 14 2.1 Đa thức nội suy Lagrăng 13 2.2 Nội suy Newton 13 2.3 Nội suy Spline 15 2.4 Phương pháp bình phương cực tiểu 17 Chương 3: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân 22 3.1 Tính gần đúng đạo hàm 22 3.2 Tính gần đúng tích phân xác định 22 3.2.1 Công thức hình thang 22 3.2.2 Công thức Simpson 24 3.2.3 Công thức của Gauss 25 3.2.3.1 Liên hệ giữa các hệ tọa độ tổng thể và hệ tọa độ địa phương 25 3.2.3.2 Tích phân số 27 Chương 4: Giải gần đúng phương trình và hệ phương trình phi tuyến 32 4.1 Giải gần đúng phương trình 32 4.1.1 Phương pháp dây cung 32 4.1.2 Phương pháp Newton-Raphson 33 4.2 Giải hệ phương trình phi tuyến 34 Chương 5: Các phương pháp số của đại số tuyến tính 38 5.1 Ma trận 38 5.1.1 Các định nghĩa 38 5.1.2 Phép biến đổi tuyến tính trong không gian n chiều 38 5.1.3 Các phép tính ma trận 40 5.1.4 Véc tơ riêng, trị riêng và các dạng toàn phương của ma trận 41 5.2 Giải hệ đại tuyến 42 5.2.1 Phân tích LU và phân tích Cholesky 42 5.2.2 Phương pháp lặp đơn hệ phương trình 43 5.2.3 Phương pháp lặp Seiden 44 5.2.4 Phương pháp Gradient liên hợp 45 Chương 6: Nghiệm gần đúng của hệ phương trình vi phân thường 48 6.1 Mở đầu 48 6.2 Nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường 48 6.2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Pica 49 6.2.2 Phương pháp Euler 50 6.2.3 Phương pháp Runghe-Kutta bậc 4 51 6.2.4 Phương pháp Adam 52 Chương 7: Giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng bằng phương pháp số 58 7.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng bậc 2 tuyến tính 58 7.2 Các bài toán biên thường gặp 59 7.3 Tư tưởng cơ bản của các phương pháp gần đúng 59 7.4 Phương pháp đặc trưng 60 7.5 Phương pháp sai phân 61 7.5.1 Tính nhất quán của lược đồ sai phân 64 7.5.2 Sự ổn định của lược đồ 64 7.5.3 Các ứng dụng trong cơ học 65 7.6 Phương pháp phần tử hữu hạn 66 7.6.1 Phương pháp biến phân Reyleigh-Ritz 66 7.6.2 Phương pháp biến phân Galerkin 66 7.6.3 Phương pháp phần tử hữu hạn 67 7.7 Phương pháp thể tích hữu hạn 67 7.8 phương pháp phần tử biên 68 Chương 8: Phương pháp phần tử hữu hạn 76 8.1 Các loại phần tử 76 8.2 Hàm nội suy 77 8.2.1 Hàm nội suy cho bài toán 1 chiều 80 8.2.2 Hàm nội suy cho bài toán 2 chiều 82 8.2.3 Hàm nội suy cho bài toán 3 chiều 85 8.3 Tích phân số 87 8.3.1 Liên hệ giữa các hệ tọa độ tổng thể và hệ tọa độ địa phương 87 8.3.2 Tích phân số 89 8.4 Các bước tính toán cơ bản và kỹ thuật lập trình cho máy tính số theo phương pháp phần tử hữu hạn 90 8.5 Phương pháp phần tử hữu hạn- Áp dụng cơ vật rắn 98 Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 1 PHƯƠNG PHÁP TÍNH Chương 0 PHẦN BỔ TÚC Supplement A. PHÉP TÍNH VECTO • Tích vô hướng : ϕ= cosabb.a 212121 zzyyxxb.a ++= • Tích vector : ϕ=×= sinabbac Có tính chất: →→→→ ×−=× baab 222 111 zyx zyx kji ba =× • Tích hỗn tạp : abc = (a × b) . c = a.(b × c) = bca = cab = 333 222 111 zyx zyx zyx abc = - bac = - cba = - acb V 1 = abc, V 2 = 6 1 V 1 = abc 6 1 →→→ ×= bac → a → b → a → b → a → c Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 2 V 1 là thể tích hình hộp dựng trên các vector cba ,, V 2 là thể tích hình chóp dựng trên các vector c,b,a nầy. Toán tử Haminton k y Ax x Ay j x Az z Ax i z Ay y Az rotA z Az y Ay x Ax divA k z U j y U i x U gradU         ∂ ∂ − ∂ ∂ +       ∂ ∂ − ∂ ∂ +         ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = Công thức Ostrogradsky - Gauss: ∫ ∫ σ Ω Ω=σ divAdAd Với σ : mặt và Ω : thể tích Công thức Stokes : ∫ ∫ = )L( )S( rotAdsAdr với kzjyixr ++= Phép toán với toán tử ∇ ( ) divA z Az y Ay x Ax kAzjAyiAx z k y j x iA gradU z U k y U j x U iU z k y j x i = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =++•         ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =•∇ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ x z y s r (L) Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 3 CurlA = ∇ X A = ZYX Z YX AAA kji ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ CurlA = i( Y Z A ∂ ∂ - Z Y A ∂ ∂ ) + j( Z X A ∂ ∂ - X Z A ∂ ∂ ) + k( X Y A ∂ ∂ - Y X A ∂ ∂ ) = rotA z A y A x A z k y j x i)kAjAiA(A ZYXZYX ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =         ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ •++=∇• t v dt d ∂ ∂ +∇•= =∇•∇=∇=∆ 2 2 2 2 2 2 2 zyx ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ , divgrad u = uu 2 ∆=∇ = 2 2 2 2 2 2 z u y u x u ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ Ví dụ: Chiếu phương trình Navier- Stocks lên hệ trục tọa độ tự nhiên: vgradpF dt vd r r r ∆+−= υ ρ 1 Trong đó: gF r r ≡ v r : Trường vận tốc dòng chảy. ρ : Khối lượng riêng. p: Áp suất( Vô hướng). υ : Hệ số nhớt chất lỏng. Hướng dẫn: VT= vv t v ∇+ ∂ ∂ . Mà zyx vkvjviv ++= z v k y v j x v iv ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ VP= )()( 1 2 2 2 2 2 2 z v y v x v z p k y p j x p iFkFjFi zyx ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ −++ υ ρ Cân bằng hai vế rồi chiếu lên ox, oy, oz B. PHÉP TÍNH TEN-XỎ (Tensor analysis) Hạng của Tensor là số chỉ số của Tensor đó. Ví dụ : a i có một chỉ số, nên là tensor hạng nhất a ij có hai chỉ số, nên là Tensor hạng hai Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 4 Qui tắc chỉ số Khi có hai chỉ số giống nhau, biểu thị một tổng: a i b i =a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = ii 3 1i ba = ∑ Hệ thống đối xứng khi a ij =a ji , phản đối xứng khi a ij = -a ji Ví dụ:    ≠ = ji khi0 j=i khi1 ij δ là một Tensor hạng hai đối xứng. • Tổng các Tensor cùng hạng là một Tensor cùng hạng: C ijk = a ijk ± b ijk (hạng ba) • Nhân Tensor: C ijklm = a ijk .b lm (mọi tích có thể có của từng thành phần Tensor) Vô hướng được xem như Tensor hạng zero. • Phép cuộn Tensor: Được thực hiện khi có hai chỉ số bất kỳ trùng nhau: a ijkk = ijkk 3 1k a = ∑ = a ij11 + a ij22 + a ij33 = C ij Phép nhân trong: C ijm = a ijk b km Là phép nhân và cuộn đồng thời các Tensor , cho ta tìm được vết của Tensor. Phép nhân trong cho ta điểm xuất phát quan trọng để nhận được các bất biến của các đối tượng hình học và vật lý. Thí dụ: Vết của Tensor a ij =x i y j Khi cho i = j => a ii = x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = vô hướng Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 5 C. CÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI 1. Phép biến đổi tọa độ + Phép tịnh tiến: by'y, b'yy, ax'x a'xx −= +=    −= += + Phép quay: α+α−= α+α=    α+α= α−α= cosysinx'y, cos'ysin'xy, sinycosx'x sin'ycos'xx 2. Phép biến hình bảo giác x y y' x ’ o O 1 * M a b C B A y x o u o' v A' B' C' W = f(z) Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 6 Cho W = f(z) giải tích trong miền D, số phức z = x + yi và W = u + vi Phép biến đổi điểm: A(x,y) → A’(u,v), Các cạnh tỉ lệ với nhau: '''''' AC CA CB BC BA AB == và các góc tương ứng bằng nhau: góc β = β’ (bảo giác) 3. Phép biến đổi Laplace Xét phương trình vi phân : t )t,x(U )t,x(U i i ∂ ∂ =∆α , với t > 0 Nhân 2 vế của phương trình trên với e -pt ( với p > 0 ), lấy tích phân theo t từ 0 → ∞ , ta được : ∫∫ ∞ − ∞ − ∂ ∂ =∆α 0 Pt i 0 Pt i dte t )t,x(U dte)t,x(U Đặt ∫ ∞ − = 0 Pt ii dte)P,x(U)P,x(U , hàm )P,x(U i được gọi là phép biến đổi Laplace của hàm U(x i ,t) đối với t . Biểu thức trên được viết lại theo )P,x(U i : )P,x(UUPU. i −=∆α , Giải dễ dàng hơn và tìm được U , có U dùng bảng tra tìm U. Chú ý: [ ] ∫∫ ∞ −− ∞ − += ∂ ∂ 0 Pt i Pt i 0 Pt i dte)t,x(UPe).P,x(Udte t )t,x(U 4. Phép biến đổi Sigma σ σσ σ x = ξ z = ξ ⇒ ⇒⇒ ⇒ σ σσ σ = 1 tại mặt thoáng y = η z = - h(x,y) ⇒ ⇒⇒ ⇒ σ σσ σ = - 1 tại đáy σ σσ σ = 1 )y,x(h )z(2 + ξ+ ξ − => ] 1 , 1 [ + − ∈ σ t ’ =t o' u v o x y λ φ σ γ l g h λ' φ' σ' g' l' γ' h' (u0,v0) (x0,y0) [...]... ∆X ∂x i i 1.9 Sai s tính toán và sai s phương pháp Phương pháp thay bài toán ph c t p b ng bài toán ơn gi n (phương pháp g n úng) → t o ra sai s phương pháp Sai s t o ra b i t t c các l n quy tròn → sai s tính toán 1.10 S n nh c a quá trình tính Ta nói quá trình tính là n nh n u sai s tính toán, t c là các sai s quy tròn tích lũy l i không tăng vô h n (ta s g p l i v n n y phương pháp sai phân) Ví d... i: 1 Ưu như c i m c a các phương pháp n i suy Lagrange, Newton, spline ? 2 Hãy ch ra nh ng trư ng h p c th và cách ch n phương pháp n i suy nào thích h p nh t ? 3 Phương pháp bình phương c c ti u thư ng ư c áp d ng khi nào ? T i sao ngư i ta nói phương pháp n y mang tính ch quan c a ngư i s d ng tính toán ? M t cách chính xác có g i phương pháp n y là n i suy ư c không ? Bài t p: N i suy Lagrange 1)Xây... 0,992-0,909 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 20 Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t TÀI LI U THAM KH O 1 Ph m Kỳ Anh, Gi i tích s , NXB HQG, Hà N i 1996 2 Phan Văn H p, Các phương pháp gi i g n úng, NXB H-THCN, Hà N i 1981 3 Nguy n Th Hùng, Giáo trình Phương pháp s , i h c à N ng 1996 4 inh Văn Phong, Phương pháp s trong cơ h c, NXB KHKT, Hà N i 1999 5 Lê ình Th nh, Phương pháp tính, ... Publications, 2007 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 30 Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t Website tham kh o: http://ocw.mit.edu/index.html http://ebookee.com.cn http://db.vista.gov.vn http://ecourses.ou.edu http://www.dbebooks.com The end Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 31 Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n Chương 4 B môn Cơ S K Thu t GI I G N ÚNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ H PHƯƠNG TRÌNH... quát v i n=10 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính tính g n úng: Trang 24 Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n I= 1 B môn Cơ S K Thu t dx ∫ 1+ x 0 ánh giá nh ng sai s c a nh ng giá tr g n úng nh n ư c 3.2.3 Công th c c a Gauss 3.2.3.1Liên h gi a các h to t ng th và h to a phương Trong nhi u trư ng h p ta c n tính tích phân s v i chính xác r t cao, như trong phương pháp ph n t h u h n (PTHH), mi n tính toán Ω... THAM KH O 1 Ph m Kỳ Anh, Gi i tích s , NXB HQG, Hà N i 1996 2 Phan Văn H p và các tác gi khác, Cơ s phương pháp tính, NXB H-THCN, Hà N i 1970 3 Nguy n Th Hùng, Giáo trình Phương pháp s , i h c à N ng 1996 4 inh Văn Phong, Phương pháp s trong cơ h c, NXB KHKT, Hà N i 1999 5 Lê ình Th nh, Phương pháp tính, NXB KHKT, Hà N i 1995 6 Lê Tr ng Vinh, Gi i tích s , NXB KHKT, Hà N i 2000 7 BURDEN, RL, & FAIRES,... s d ng sai s tuy t i hay sai s tương i ? Vì sao ? 2 Trình bày các quy t c tính sai s ? 3 Nêu s khác nhau gi a sai s tính toán và sai s phương pháp? Hãy nêu ra m t quá trình tính có s li u c th minh h a và ch ra sai s tính toán và sai s phương pháp ? 4 ưa ra vài ví d tính toán, ch ra s c n thi t ph i chú ý n sai s qui tròn ? Bài t p: 1) Hãy xác nh ch s tin tư ng trong các s sau: a) x= 0,3941 v i ∆ x... oy, oz c a các phương trình sau: TÀI LI U THAM KH O 1 Nguy n Th Hùng, Giáo trình Phương pháp s , i h c à N ng 1996 2 Nguy n Th Hùng, Phương pháp ph n t h u h n trong ch t l ng, NXB Xây D ng, Hà N i 2004 3 ào Huy Bích & Nguy n ăng Bích, Cơ h c môi trư ng liên t c, NXB Xây D ng, Hà N i 2002 Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 8 Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t 4 BURDEN, RL, & FAIRES,... )( x − x1 ) 3  y1 f " ( x1 )∆x2  f " ( x 2 )∆x 2  ( x 2 − x ) +  2 − ( x − x1 ) + +  ∆x −   ∆x  6∆x2 6∆x2 6 6  2   2  Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 17 Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t T i x=2,2 ⇒ y = 7,8 2.4 Phương pháp bình phương c c ti u (Least squares method) G a s có hai i lư ng x và y có liên h ph thu c nhau, theo m t d ng ã bi t: y = a+b.x, hay y =... http://www.dbebooks.com The end Bài Gi ng Chuyên Phương Pháp Tính Trang 21 Khoa Xây D ng Th y L i Th y i n B môn Cơ S K Thu t TÍNH G N ÚNG O HÀM VÀ TÍCH PHÂN Chương 3 NUMERICAL DIFFERENTIATION AND INTEGRATION 3.1 Tính g n úng o hàm + Ta bi u di n hàm f(x) b ng a th c n i suy: f(x) = P(x), v i P(x) là a th c n i suy ( a th c n i suy ti n l i là spline b c 3); Ti p theo ta tính g n úng o hàm f ’(x) a th . Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang 1 PHƯƠNG PHÁP TÍNH Chương 0 PHẦN BỔ TÚC Supplement A. PHÉP TÍNH VECTO •. i X i n 1i x f ∆ ∂ ∂ ∑ = 1.9 Sai số tính toán và sai số phương pháp Phương pháp thay bài toán phức tạp bằng bài toán đơn giản (phương pháp gần đúng) → tạo ra sai số phương pháp. Sai số tạo ra bởi tất. của bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường 48 6.2.1 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Pica 49 6.2.2 Phương pháp Euler 50 6.2.3 Phương pháp Runghe-Kutta bậc 4 51 6.2.4 Phương pháp