www.vnmath.com 1 { 2 2 0 0 x y x x ay a + − = + − = Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Vĩnh Long 2011-2012 Buổi sáng: Bài 1: (5đ) Cho hàm số 2 2 2 ( ) ( ) ( ) , , 2 x y f xy f x y x y + = + − ∀ ∈  2 (2 1) 1 m x m y x − − = − (1), v ớ i m là tham s ố . a) Tìm m để đồ th ị hàm s ố (1) ti ế p xúc v ớ i đườ ng th ẳ ng y=x. b) Khi m =2, tìm trên đồ th ị (C) c ủ a hàm s ố (1) hai đ i ể m phân bi ệ t đố i x ứ ng v ớ i nhau qua đườ ng th ẳ ng (d): 1 2 4 y x = + . Bài 2: (3 đ ) Trên m ặ t ph ẳ ng t ọ a độ Oxy, cho đườ ng th ẳ ng ( ) : 5 0 x y − + =  và hai elip 2 2 1 ( ) : 1 25 16 x y E + = , 2 2 2 2 2 ( ) : 1 x y E a b + = (a>b>0) có cùng tiêu đ i ể m. Bi ế t r ằ ng (E 2 ) đ i qua đ i ể m M thu ộ c đườ ng th ẳ ng ∆ . Tìm t ọ a độ đ i ể m M sao cho elip (E 2 ) có độ dài tr ụ c l ớ n nh ỏ nh ấ t. Bài 3: (4 đ ) Cho h ệ ph ươ ng trình ,v ớ i a là tham s ố a) Gi ả i h ệ ph ươ ng trình v ớ i a=1. b) Tìm a để h ệ có hai nghi ệ m phân bi ệ t (x 1 ,y 1 ), (x 2 ,y 2 ). Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 1 2 2 1 ( ) ( ) 1 x x y y − + − ≤ Bài 4 : (4 đ ) L ớ p 12A c ủ a tr ườ ng trung h ọ c ph ổ thông chuyên có 33 h ọ c sinh trong đ ó có 7 h ọ c sinh n ữ . Trong m ộ t chuy ế n tham quan th ự c t ế , theo yêu c ầ u c ủ a ban t ổ ch ứ c, c ầ n chia l ớ p thành 3 t ổ , t ổ 1 có 10 h ọ c sinh, t ổ 2 có 11 h ọ c sinh, t ổ 3 có 12 h ọ c sinh trong đ ó m ỗ i t ổ có ít nh ấ t 2 h ọ c sinh n ữ . H ỏ i có bao nhiêu cách chia nh ư v ậ y? Bài 5: (2 đ ) Tìm nghi ệ m nguyên c ủ a ph ươ ng trình. 4y 3 – 4x 2 y 2 – 4xy 2 + x 2 y + 5x 2 +4y 2 + 4xy + 8x =0 Bài 6: (2 đ ) Cho hàm s ố f: →   th ỏ a đ i ề u ki ệ n ( ) ( ) ( ) ; , , 0 f x f y f xy x y x y x y + = ∀ ∈ + ≠ +  Ch ứ ng minh r ằ ng f là hàm h ằ ng trên  . www.vnmath.com 2 Buổi chiều : Bài 1 : (4,5 đ ) Cho tam giác ABC có ba góc nh ọ n. T ừ m ộ t đ i ể m thu ộ c mi ề n trong tam giác v ẽ các đ o ạ n th ẳ ng IH, IK, IL l ầ n l ượ t vuông góc v ớ i BC,CA, AB. Tìm v ị trí c ủ a đ i ể m I sao cho AL 2 + BH 2 + CK 2 nh ỏ nh ấ t. Bài 2 : (4,5 đ ) Cho a, b, c là độ dài ba c ạ nh c ủ a m ộ t tam giác có chu vi b ằ ng 2. Ch ứ ng minh r ằ ng a 2 + b 2 + c 2 +2abc < 2 Bài 3 : (4,5 đ ) Xét ph ươ ng trình x n – x 2 – x – 1 = 0, n ∈  , n>2 Ch ứ ng minh r ằ ng v ớ i m ỗ i s ố t ự nhiên n>2 thì ph ươ ng trình trên có m ộ t nghi ệ m d ươ ng duy nh ấ t. Ch ứ ng minh r ằ ng lim 1 n n x →+∞ = , trong đ ó x n là nghi ệ m d ươ ng c ủ a ph ươ ng trình trên. Bài 4 :(4,5 đ ) Cho dãy s ố (u n ) xác đị nh b ở i 1 2 1 3 1 ( 4); 1,2,3, 5 n n n u u u u n + = = + + =    a) Ch ứ ng minh r ằ ng (u n ) là dãy t ă ng nh ư ng không b ị ch ặ n trên. b) Đặ t 1 1 , 1,2,3, 3 n n k k v n u = = = + ∑ . Tính lim n n v →+∞ . Bài 5 : (2 đ ) Tìm t ấ t c ả các hàm s ố liên t ụ c f : →   th ỏ a đ i ề u ki ệ n 2 2 2 ( ) ( ) ( ) , , 2 x y f xy f x y x y + = + − ∀ ∈  . www.vnmath.com 1 { 2 2 0 0 x y x x ay a + − = + − = Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Vĩnh Long 201 1- 2012 Buổi sáng: Bài 1: (5đ) Cho hàm số 2 2 2 ( ) ( ) ( ) , , 2 x y f xy. 33 h ọ c sinh trong đ ó có 7 h ọ c sinh n ữ . Trong m ộ t chuy ế n tham quan th ự c t ế , theo yêu c ầ u c ủ a ban t ổ ch ứ c, c ầ n chia l ớ p thành 3 t ổ , t ổ 1 có 10 h ọ c sinh, t ổ . thành 3 t ổ , t ổ 1 có 10 h ọ c sinh, t ổ 2 có 11 h ọ c sinh, t ổ 3 có 12 h ọ c sinh trong đ ó m ỗ i t ổ có ít nh ấ t 2 h ọ c sinh n ữ . H ỏ i có bao nhiêu cách chia nh ư v ậ y? Bài 5: