Đang tải... (xem toàn văn)
, 273 Trang 9 LÒI NÓI Đ Ầ U Giáo trình "Hàm biên phúc" dược biên soạn chủ yêu dành cho sinh viên khoa Toán các trường Đại học Sư phạm.. Năm chương dầu của giáo trinh, như thông lệ dành
ĐẠI HỌC VINH ỉ • LẺ MẬUHAI THƯ VIỆN HUÊ 515.9 NG-K/01 DT 000091 ềSÊPt 1ỊXỊ a N ộ i NHÀ XUẤT BẢN Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C GIA HÀ NGUYỄN V Ă N KHUÊ - LÊ MẬU HẢI HÀM BIÊN PHỨC NHÀ XUÁT BẢN Đ Ạ I H Ọ C Quốc GIA HÀ NỘI - 2001 Chịu trách nhiệm xuất bản : Giám đốc NGUYỄN VĂN THỎA Tổng biên tập NGUYỄN THIỆN GIÁP Người nhận xét: PGS TSKH Đ ỗ ĐỨC THÁI PGS TS NGUYỄN THỦY THANH TS BÙI ĐẮC TẮC Biên tập và sửa bài: ĐO PHU Trình bày bìa: NGỌC ANH HÀM BIÊN PHỨC Mã s ố : 01.19.ĐH2001 - 345.2001 In 1000 cuốn, tại Nhà in Đại học Quốc gia Hà Nội Số xuất bản : 41/345/CXB số trích ngang 104 KHXB In xong và nộp lưu chiểu Quí 11/2001 MÚC LỤC Trang LÒI NÓI Đ Ầ U 7 Phần ì CO SÒ CỦA HÀM BIẾN PHỨC Chương ì SỖ PHỨC VÀ DÃY s ố PHỨC 9 § 1 Số phức 9 § 2 Dãy và chuỗi số phức 20 § 3 Tôpô trên mặt phang phức 24 Chương li HÀM SÒ B I Ể N s ố PHỨC 37 § 1 H à m biến phức 37 § 2 Chuỗi hàm '41 § 3 Định nghĩa các hàm sơ cấp 51 Chương ỈU H À M C H Ỉ N H H Ì N H 58 § 1 Khái niệm hàm chỉnh hình 58 § 2 H à m phân tuyến tính 71 § 3 Một số hàm sơ cấp khác 79 § 4 Khái niệm vé diện Riemann 86 Chương IV L Y T H U Y Ế T TÍCH PHÀN H À M C H Ỉ N H H Ỉ N H - 94 § 1 Tích phân phức 94 § 2 Các định lý Cauchy về tích phân các hàm chỉnh hình trên đường cong đóng loi § 3 Lý thuyết Cauchy 108 3 §.4 M ộ t số định lý quan trọng của hàm chỉnh hình 113 § 5 H à m điếu hòa 121 Chương V C H U Ỗ I T A Y L O R VÀ LÝ T H U Y Ế T T H Ả N G D ư 131 § 1 Chuỗi Taylor 131 § 2 Chuỗi Laurent 138 § 3 Thăng dư của hàm chỉnh hình và áp dụng của nó 150 § 4 Thặng dư logarit và áp dụng của nó 154 § 5 H à m điề u hòa 165 Phần li MỘT SỐ VẤN ĐÊ CHỌN LỊÍA TỪ HÀM CHỈNH HÌNH Bài ỉ Đ Ị N H LÝ M O N T E L ( N G U Y Ê N LÝ C O M P A C T ) 185 190 Bài 2 Đ Ị N H LÝ Á N H X Ạ R 1 E M A N N 193 Bài 3 K H Ô N G Đ I Ể M C Ủ A C Á C H À M C H Ỉ N H H Ì N H 203 Bài 4 C Õ N G T H ả C JENSEN - Đ Ị N H LÝ co BẢN THả 212 NHẤT NE VAN U N A 226 Bài 5 Đ Á N H G I A M O Đ Ư N T R Ê N VÀ D Ư O l C Ủ A HÀM CHỈNH HÌNH Bài 6 Độ T Ả N G C Ủ A H À M N G U Y Ê N Phần IU HÀM NHIÊU BIẾN PHỨC Bài ì K H Ô N G G I A N E U C L I D E cn V À C Á C M I Ề N 232 ĐON GIẢN 232 233 § 1 Không gian Euclide phức 235 s 2 Các miên đơn giản trong cn § 3 P h â n hoạch đơn vị trong cn 241 Bài 2 H À M C H Ỉ N H H Ì N H N H I Ề U B I Ế N 4 § 1 Khái niệm chỉnh hỉnh 241 § 2 Các tính chất đơn giản của hàm chỉnh hỉnh 243 § 3 Miễn hội tụ của chuỗi lũy thừa 247 Bài 3 Đ Ị N H LÝ HARTOGS 251 Bài 4 P H Ư Ớ N G T R Ì N H C A U C H Y - RI E M A N N VÀ MÒ RỘNG CHỈNH HÌNH 256 § 1 Sơ lược vé dạng vi phân trên c 256 § 2 Dạng tích phân Cauchy suy rộng 258 § 3 Phương trình Cauchy-Riemann không thuồn nhất 260 § 4 Mở rộng chỉnh hình 265 Bài 5 M I Ề N C H Ì N H H Ì N H VÀ L Ồ I C H Ì N H H Ì N H 266 § 1 Miễn chỉnh hình 266 § 2 Miến lồi chỉnh hình 276 Bài ó M I Ề N GIÀ L Ồ I , 273 § 1 Hàm đa điểu hoa dưới 273 § 2 Bao đa điều hòa dưới 274 5 LÒI NÓI ĐẦU Giáo trình "Hàm biên phúc" dược biên soạn chủ yêu dành cho sinh viên khoa Toán các trường Đại học Sư phạm Năm chương dầu của giáo trinh, như thông lệ dành cho việc trình bày những kiên thức cơ bàn của lý thuyế t hàm chinh hình một bếi n phức: khái niệm và các tính chất sa cáp cùa hàm chỉnh hình, lý thuyế t tích phán Cauchy, lý thuyế t chuỗi và thặng dư Khác với một số giáo trình hàm bếi n ohức trước dây, do có tính đến sỏ phát triển sau này của chuyên ngành Lý thuếy t hàm, chúng tôi trinh bày thêm một phần lý thuyế t hình học mà sẽ dược tếi p tục ỏ phần hai của giáo trinh "Hàm chình hình một biên phức" Đó là nguyên lý Argument và định lý Rouché, nguyên lý bảo tôn miên, định lý lỉu nait, V.U Phàn thú hai của giáo trinh là một số ván dè dược lỏa chọn dóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu sâu vè hàm chỉnh hình Nó bao gồm: định lý Montel, dinh lý Riemann, dinh lý Weiestrass vẽ sỏ tồn tại hàm nguyên với dãy không điểm cho trước cũng như định lý Mittag - Leffler vè sỏ tòn tại cùa hàm phân hình với phàn chính đã cho Người học còn âm tháy ở đây các kế t quà vè đánh giá môdun trên và dưới dối với các hàm chỉnh hình bời dinh lý Carathéodory, Schottky, Landau, phragmen - Lindelof và Carton Các kế t quả vẽ khảo sát độ tăng của hàm nguyên, công thức Jensen và định lý cơ bản thứ nhốt cùa Nevanlina về đảnh giá tổng số không điềm và cỏc điềm của hàm phân hình cũng được dưa ra trong phân này Phần này 7 dược dùng như một tài liệu hữu ích cho việc dạy chuyên dê ỏ năm thứ ba Tuy vậy nó là tài liệu tham khảo và nâng cao thật bồ ích cho những ai muốn đi sâu tìm hiểu môn học này Phàn cuối của giáo trình là các kiến thức nhập môn về hàm nhiều biến phức Bao gôm trong đó, ngoài các kiến thức ban dầu về hàm nhiều biến phức, còn phải kề đến định lý cơ bản Hartogs về tính chờnh hình của hàm chờnh hình theo từng biến, về việc giải phương trình 9 và sự thiết lập mối liên hệ giữa miền chinh hình, miên lòi chờnh hình và miền giả lồi Thiết nghờ ràng, nội dung của cuốn sách không chi cho các sinh viên năm thứ hai, thứ ba của khoa Toán các trường Dại học Sư phạm và Dại học Khoa học Tự nhiên mà còn là tài liệu thiết thực đối với các học viên cao học chuyên ngành Lý thuyết hàm Các nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý thuyết hàm có thề tìm thấy ỏ dãy những kiến thức cần thiết cho sự học tập và nghiên cứu của mình Cuốn sách lăn dầu tiên xuất bản nên không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi mong nhận được sự góp ý của bạn dọc Các tác giả 8