Một số vấn đề về bài tập tính toán trong hình học phẳng

27 1K 1
Một số vấn đề về bài tập tính toán trong hình học phẳng

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TẬP TÍNH TOÁN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG $1. Đặt vấn đề Trước hết nói chung về việc giải bài tập toán cấp. Đó là một niềm say mê của nhiều người. Đam mê lắm, có khi hơn cả trò chơi điện tử! Nhiều người lấy đó làm một thú vui, mà chỉ cần một mảnh giấy và một cây bút chì! Giải toán cấp ví như một trò chơi rất trí tuệ. Một bài tập khó mà hay, là bài tập được giấu mối rất khéo, không thể nhìn ra ngay lời giải như những bài toán quen biết hay cơ bản, mà lời giải lại không quá rắc rối. Hôm nay, tôi muốn giành thời gian trao đổi một số kinh nghiệm với các bạn đồng nghiệp trong một phạm vi hẹp đề cập đến bài tập tính toán các đại lượng trong hình học phẳng Oclit (cổ điển). Tuy nhiên khái niệm “tính toán” ở đây cũng chỉ có tính chất tương đối thôi. Chuyên đề này chưa đề cập tới các công cụ hiện đại như véc tơ, hình học xạ ảnh hay hình giải tích, mà hy vọng sẽ được trình bày trong một dịp khác. Mặt khác chúng tôi cũng không xét tới kiểu giá trị logic mệnh đề. Ví dụ 1.1. Cho tam giác ABC, có AB > AC. a/- Chứng minh rằng đường trung tuyến BM lớn hơn đường trung tuyến CN. b/- So sánh các đường phân giác BD và CE. Thế thì nếu chấp nhận bài toán tính toán với các giá trị kiểu logic mệnh đề, ta có thể phát biểu lại thành: Cho tam giác ABC, có AB > AC. a/- Chứng minh rằng giá trị mệnh đề “Đường trung tuyến BM > đường trung tuyến CN” là đúng. b/- Tính giá trị logic của mệnh đề “Đường phân giác BD lớn hơn đường phân giác CE”. Như vậy, chúng ta tạm thời chỉ xét đến các đại lượng hình học cơ bản như độ dài, góc, diện tích hoặc tỉ số các độ dài, tỷ số các diện tích, mà gác lại các 1 bài tập tính toán với kiểu logic mệnh đề. Tuy nhiên nhiều bài tập kiểu khác như chứng minh, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cũng có thể phát biểu dưới dạng bài tập tính toán! Trong bài báo này, tôi chỉ nêu lên một số ví dụ cụ thể, phân tích hướng giải rồi dẫn đến các bài tập mới suy ra từ một bài toán, thế hình trước đó, coi như những bài tập thực hành. Việc khái quát lên thành hệ thống lý thuyết thì không được xét ở đây, mà giành cho các bạn đồng nghiệp quan tâm suy ngẫm phục vụ cho công việc cụ thể thường nhật của mỗi người! Ví dụ 1.2. Cho một ∆ABC cân ở A với ∠BAC=20 o và BC=a, điểm D nằm trên cạnh AB sao cho AD=BC. Tính ∠BDC. Phân tích: Vì ∠BAC=20 o và ABC=80 o chênh lệch 60 o nên có thể phải vẽ thêm một đường nào đó tạo ra góc 60 o Cuối cùng chọn được các vẽ thêm đường. Giải: Vẽ tam giác đều ACE thì thu được các kết quả đẹp như: ∠DAB=80 o , mà AD=BC. Từ đó ⇒ ∆EAD = ∆ABC (c.g.c) (1) Từ (1) ⇒ ED = AC = EC ⇒ ∆EDC cân. (2) Từ (1) ⇒ ∠AED = 20 o ⇒ ∠DEC = 40 o và ∠ADE = 80 o . (3) Từ (2) ⇒ ∠EDC = (180 o -40 o )/2 = 70 o . (4) Từ (3) & (4) ⇒ ∠BDC = 180 o -80 o -70 o = 30 o . Đáp số: 30 o . Chú ý: Nếu không phát hiện cách vẽ thêm đường phụ thì quả là rất khó. Còn nếu đưa hình học giải tích vào, trục hoành là (BC), đặt BC=2a hoặc bằng 2 đ.v.đ.d., 2 A B C D E Hinh 1 trục tung là đường trung trực của BC, thì cũng ra nhưng rất phức tạp Ta cũng có thể kiến thức lượng giác để giải quyết, song cũng không đơn giản! Bài tập thực hành: 1/- Cho một ∆ABC cân ở A với ∠BAC = 20 o và BC = a, điểm D nằm trên cạnh AB. Tính AD theo a để ∠BDC = 30 o . 2/- Cho một ∆ABC cân ở A với ∠BAC = 20 o và BC = a, điểm D nằm trên cạnh AB sao cho AD = BC. Tính diện tích của ∆ADC theo a. 3/- Cho một ∆ABC cân ở A với ∠BAC = 20 o và BC = a, điểm D nằm trên cạnh AB sao cho ∠BDC = 30 o , tính AD theo a. $2. Bài tập tính toán các yếu tố cơ bản trong hình học phẳng a/- Bài toán tính độ dài (khoảng cách) Phương pháp 1. Đưa về việc tính cạnh của một tam giác Ví dụ 2.1 Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trong hình vuông lấy điểm E sao cho ∠DCE =∠CDE = 15 o . Tính khoảng cách từ E đến A và đến B. Đây là một bài cổ điển rất hay. Phân tích: Bài toán quy về việc tính cạnh của ∆ABE. Mẹo: Vẽ ∆DCF đều ra phía ngoài hình vuông. Chứng minh ∆FEC cân tại F ⇒ BCFE là một hình thoi ⇒ BE = BC = a. Và cũng có AE=a. Bài tập thực hành: 3 A B C D E F Hinh 2 1/- Vẫn giả thiết đó. Tính khoảng cách từ B đến AE. 2/- Vẫn giả thiết đó. Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABE 3/- Không cho sẵn 15 o mà hỏi ∠DCE =∠CDE=? để ∆ABE đều. Phương pháp 2. Đưa về việc tính đường cao của một tam giác Ví dụ 2.2 Cho đoạn thẳng AB=a. Vẽ các tia Ax và By vuông góc với AB và về cùng một phía của đường thẳng (AB). Trên Ax cho điểm M di động, trên By cho điêm N di động sao cho luôn có MN=AM+BN. Chứng minh rằng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Bài này tương đương với việc tìm một điểm cố đinh, tính khoảng cách từ điểm Hình3 đó đến (MN). Phân tích: Do tính cân đối, vai trò của M và N như nhau, nên tâm đường tròn bí ẩn này phải nẳm trên đường trung trực của AB. Nghi ngờ là điểm I trung điểm của AB. Ta sẽ phải tính khoảng cách từ I đến MN, tức là đường cao của ∆IMN. Kéo dài MI cắt đường thẳng (BN) ở P. Khi đó ∆IBP = ∆IAM ⇒ IP = IM và BP = AM ⇒ NP = MN ⇒ ∆MIN = ∆PIN ⇒ d(I,MN) = IB (đường cao của 2 tam giác bằng nhau). Mà IB không đổi nên d(I,MN) không đổi. Vậy MN luôn tiếp xúc với đường tròn đường kính AB. Bài tập thực hành: 1/- Vẫn giả thiết như trong ví dụ. Tính tổng khoảng cách từ A và B đến đường thẳng (MN) theo a. (Gợi ý: tổng khoảng cách đó bằng 2IH =AB=a). 2/- Xét hình thang AMNB. Gọi giao điểm 2 đường chéo là O. Tìm AM và BN để ∆OAB có OA+OB đạt giá trị lớn nhất? nhỏ nhất? 3/- Vẫn giả thiết như trong ví dụ nhưng bỏ điều kiện AM và BN vuông góc với AB mà tạo với AB những góc bằng nhau α. 4 H I N M B A Tính khoảng cách từ trung điểm của AB tới (MN) theo a và α. 4/- Cho đoạn thẳng AB=a. Vẽ các tia Ax và By song song với về cùng khác phía với nhau đối với (AB). Trên M và N chạy trên Ax và By sao cho luôn có MN = | AM - BN|. Chứng minh rằng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Phương pháp 3. Đưa về việc tính yếu tố của một tỷ số các đoạn thẳng Ví dụ 2.3 Cho một hình thang vuông ABCD đáy là AB và CD, vuông ở A và D, CD=AD=a và AB=2a. Gọi O là giao hai đường chéo của hình thang. Tính khoảng cách từ O đến các đường thẳng chứa cạnh hình thang. Hình 4 Giải: Theo định lý Talét ta có: = và = . Cộng 2 đắng thức đó, vế với vế, ta được + = 1 hay + = 1 ⇒ EO = và d(O;AD)= ; = = = = 1/3 ⇒ OC = AC/3 = a/3 và d(O;BC)= a/3; = = 1/3 ⇒ DE = a/3 và d(O;CD)=a/3. Cuối cùng, EA=2a/3, d(O;AB)=2a/3. Đáp số: d(O;AB)=2a/3, d(O;BC)= a/3, d(O;CD)=a/3 và d(O;AD)=2a/3. Bài tập thực hành: 1/- Không cho hình thang này vuông, mà cho thành cân, biết 2 đáy là a và b, đường cao là h. Tính khoảng cách từ giao điểm 2 đường chéo đến các cạnh của hình thang. 2/- Không cho hình thang này vuông, mà cho biết góc tạo bởi 2 cạnh AD, BC tạo với đáy các góc 30 o và 60 o tương ứng, biết 2 đáy là a và b. Tính khoảng cách từ giao điểm 2 đường chéo đến các cạnh của hình thang. 5 O F A B C D E 3/- Vẫn cho hình thang này vuông, CD = AD = a. Tính độ dài cạnh AB để tổng khoảng cách từ giao điểm 2 đường chéo đến các cạnh của hình thang bẳng (5+)a/3. Ví dụ 2.4 Cho một hình thang vuông ABCD đáy là AB và CD, vuông ở A và D, CD=AD=a và AB=2a. Lấy điểm E trên cạnh AD và F trên cạnh CD sao cho DE/EA=BF/FC. Gọi G và H là giao điểm của AC và BD với EF tương ứng. Tính tổng các khoảng cách từ G và H đến AB. Phân tích: Khi thấy những đường thẳng // hay bài toán có các tý số đoạn thẳng, nên nghĩ đến định lý Talét. Từ E kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD ở I. Khi đó = = = ⇒ IF // BD. Từ đây, dễ dàng ⇒ hàng loạt tý số bằng nhau. Cuối cùng được = = = = ⇒ EG = HF. Giải: Từ E kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD ở I. Khi đó: = = = ⇒ IF // BD. Từ đó: = = = = ⇒ EG = HF. Gọi K là trung điểm HG, ta có: d(G,AB) + d(H,AB) = 2d(K,AB) = d(E,AB) + d(F,AB). Do = nên d(E,AB) + d(F,AB) = d(E,AB) + d(E,CD) = AD = a. Ký hiệu d đọc là khoảng cách. Đáp số: a. Bài tập thực hành: 6 Hinh 5 M N I H G O F A B C D E Có thể chế biến thành nhiều bài tập khác, chẳng hạn: 1/- Ta không hỏi như đã hỏi mà tính hiệu EG - HF, hay EG - GH, hay chứng minh EF = 3GH. 2/- Không cho cạnh AB = 2a, mà bắt tính AB theo a = CD để EF = 2GH. 3/- Cho E và F di động trên AD và BC tương ứng mà vẫn đảm bảo = . Tìm quỹ tích trung điểm của GH. 4/- Trong ví dụ trên, ta đã lấy E và F là những điểm chia trong các đoạn DA và BC tương ứng theo cùng một tỷ số. Nay ta thanh thành chia ngoài thì bài toán cũng rất hay, (d(G,AB) + d(H,AB) = 2a). 5/- Trong ví dụ trên, ta thay điều kiện = bằng = hoặc = thì ta vẫn chứng minh được EG = HF. Đồng thời nếu cho AB ≠ 2a thì mà cho AB = 3a chẳng hạn, rồi bắt tìm và tính đoạn EF sao ngắn nhất sao cho EG = GH = HF. Hoặc bắt tìm và tính đoạn EF sao ngắn nhất sao cho EG = GH = HF. Phân tích: Theo cách giải trong ví dụ trên ta thấy nếu = thì EG chỉ bằng GH khi AB=2CD. Do đó muốn EG = GH = HF thì phải chọn điều kiện = hay EF // AB. Xem hình 6. Kéo dài AG cắt CD ở I . Muốn EG = GH = HF thì I phải là trung điểm của CD (theo định lý Ta lét áp dụng vào chùm đồng quy). Có 2 khả năng là EF ở trong khoảng giữa O và CD hay giữa O và AB. Nhưng trường hợp thứ nhất cho EF ngắn hơn. Từ đó tính đươc EF = 3a/2. Nếu gọi J là trung điểm của AB, DJ cắt AC ở G, đường thẳng qua G và song song với AB sẽ là lời giải của trường hợp EF lớn nhất. Chú ý: Nếu không bắt E và F nằm trên các đoạn AD và BC mà ra ngoài dải phẳng của 2 đường thẳng (CD) // (AB) thì có thể hỏi theo cách chung hơn: Tìm các 7 Hinh 6 H G O F A B C D E đường thẳng // AB mà bị các đường thẳng chứa các cạnh và các đường chéo chia thành 3 đoạn bằng nhau! b/- Bài toán tính góc Phương pháp 1. Đưa về việc tính góc của một tam giác Ví dụ 2.5 Cho tam giác ABC.Vẽ về phía ngoài tam giác tam giác cân DAB với ∠ADB=120 o và tam giác đều ACE. Gọi F là trung điểm của BC. Tính ∠DEF. Phân tích: Lấy G là điểm đối xứng của D qua F. Khi đó, ∆CFG = ∆BDF, ⇒ CG = AD. Ta chứng minh được ∠ADE = 90 o + ∠A và ∠GCE = 360 o - ∠C 1 - ∠C 2 - ∠C 3 cũng bằng 90 o +∠A, nên ∆ADE = ∆CEG. Suy ra ∆EDG cân tại E. Và cũng suy ra ∠DEG = 60 o . Vậy ∆EDG đều. Từ đó tính đươc ∠DEF = 30 o . Chú ý: ∆ABC không nhất thiết phải là tam giác nhọn. Bạn thấy được điều đó sau khi tính được các góc ∠ADE và ∠GCE. Xem hình 7B. Theo cách giải trên, cứ ∠DAB + ∠EAC = 90 o thì cách tính các góc ∠ADE và ∠GCE vẫn cho kết quả bằng nhau. Do đó, có thể thay các tam giác ∆DAB và ∆EAC bằng các tam giác cân tại D và E tương ứng sao cho góc ở đáy của 2 tam giác này có tổng bằng 90 o , hay ∠ADB + ∠AEC = 180 o là được. Bài tập thực hành: Từ đó ta có thể tạo ra các bài tập mới, chẳng hạn, ta được các đề sau: 8 G F A Hinh 7 E D C B 1/- Cho tam giác ABC.Vẽ về phía ngoài tam giác tam giác cân DAB với ∠ADB = 100 o và ∆ACE cân tại E với ∠AEC = 80 o . Gọi F là trung điểm của BC. Tính ∠DEF. 2/- Cho tam giác ABC.Vẽ về phía ngoài tam giác tam giác DAB vuông cân tại D và ∆ACE vuông cân tại E. Gọi F là trung điểm của BC. Tính ∠FDE. 3/- Cho tam giác ABC.Vẽ về phía ngoài tam giác tam giác DAB cân tại D và ∆ACE cân tại E, sao cho ∠ADB + ∠AEC = 180 o . Gọi F là trung điểm của BC. Tính ∠FGE. Phương pháp 2. Đưa về việc tính góc nội tiếp. Ví dụ 2.6 Cho vòng tròn (O,R) và một điểm A trên nó. Vẽ đường tròn tâm O’ đường kính OA. Điểm M trên đường tròn (O) và M’ trên đường tròn (O’) sao cho cung AM và cung AM’ có độ dài bằng nhau, và cùng chiều quay khi đi từ A tới M và từ A tới M’, quanh tâm O và O’ tương ứng. Tính ∠MOM’. Hình 8 Phân tích: Theo công thức tính độ dài cung L = αR, trong đó α là số đo góc ở tâm theo rađian, R là bán kính, ta có: Độ dài cung AM = (số đo ∠MOA).OA, độ dài cung AM’ = (số đo ∠M’O’A).O’A. Theo giả thiết và do OA = 2O’A, suy ra ∠M’O’A = 2 .∠MOA. Mà do ∆O’OM’ cân, ∠M’O’A = 2.∠M’OO’. Từ đó, ∠MOA =∠M’OO’, và ∠MOM’ = 0. Bài tập thực hành: 9 2 1 M O O' A M' Hình 9 Bài này có thể chế biến thành bài quỹ tích hay: 1/- Cho M và M’ chuyển động trên 2 vòng tròn cùng chiều quay sao cho cung AM và cung AM’ có độ dài bằng nhau, và cùng chiều quay khi đi từ A tới M và từ A tới M’, quanh tâm O và O’ tương ứng. Tìm quỹ tích trung điểm của MM’. 2/- Cho vòng tròn (O’,r) tiếp xúc trong với vòng tròn (O,R) tại M, và R=2r. Rồi cho vòng tròn (O’) lăn không trượt bên trong vòng tròn (O) kéo theo tiếp điểm M chuyển động. Hỏi quỹ tích của M. (Bài này không phải là tính toán, nhưng chứng minh 3 điểm thẳng hàng cũng coi như tính góc ). Phương pháp 3. Đưa về việc tính góc ở hai hình đồng dạng. Ví dụ 2.7 Cho ∆ABC có ∠A = α. Đường tròn (B,BA) và đường tròn (C,CA) cắt nhau ở điểm nữa là D. Một đường thẳng qua D cắt hai đường tròn tại 2 điểm nữa tương ứng là E và F (khác phía với nhau đối với D). Vẽ các tiếp tuyến với 2 đường tròn tương ứng taij E và F, mà giao của chúng được gọi là G. Tính ∠EGF theo α. Phân tích: Xem hình 9. Ta có ∠GEF = ∠EAD, ∠GFE = ∠FAD, suy ra ∠GEF + ∠GFE = ∠EAF. Dễ chứng minh được ∆AEF ∼ ∆ABC. 10 A B C D E F G [...]... đường cao thuộc các đỉnh A, B của tam giác đó Tính các góc của tam giác ABC $4 Tài liệu tham khảo 1/- Tạp chí Toán học và tuổi trẻ - NXB Giáo dục Việt Nam 26 2/- Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị thi vào Trung học phổ thông - Tủ sách Toán học tuổi trẻ Môn Toán, tập hai: Số học - Hình học - NXB Giáo dục Việt Nam 3/- Một số bài giảng và đề thi môn toán (cho học sinh lớp 9 năm 2009) - TS Nguyễn Vũ Lương... Q Hình 24 và P Tính dt(MNPQ) Đáp số: S/9 Xem hình 24 A Ví dụ 2.14 Cho ∆ABC Gọi A1, B1 và C1 là các điểm chia trong các đoạn BC, CA và AB tương ứng theo tỷ số k Gọi S là dt(ABC) Tính dt(A1B1C1) theo S Xem hình 25 Sa C1 B1 X Sb Sc A1 B C Hình 25 Phân tích: Dễ dàng tính được Sa = Sb = Sc = S Từ đó suy ra dt(A1B1C1) = (1 - ).S = S Bài tập thực hành: 1/- Cũng hỏi như trong ví dụ 1, nhưng ta cho các tỷ số. .. nếu một trong 2 góc ∠B và ∠C không nhọn! Bài tập thực hành: A 1/- Các bài tập loại giải tam giác như thế này thì quá nhiều O 60O 45O B H 45O D Hình 22 C 2/- Thay đổi chút ít như sau: Cho ∆ABC, bán kính đường tròn ngoại tiếp là R, biết trươc ∠B = 45o và ∠C = 60o Xem hình 22 Tính diện tích của tam giác đã cho Gợi ý: AC = AD.sin45o = R, AB = R Từ đó tính được BH và AH và Đáp số 20 Phương pháp 1 Tính. .. đ.p.c.m Bài tập thực hành: Từ bài tập này ta có thể xây dựng nhiều bài tập tương tự, chẳng hạn: 1/- Cho góc nhọn ∠xOy < 180O và một cát tuyến thay đổi cắt Ox và Oy tại A và B tương ứng sao cho + = , với a là một độ dài cho trước Chứng minh rằng AB luôn đi qua một điểm I cố định! Tính OI theo a và α = ∠xOy Xem hình 15 2/- Cho góc nhọn ∠xOy < 180O và điểm I cố định trên đường phân giác ngoài của góc đó Một. .. D Hình 18 Từ đó suy ra ∆IHE ∼ ∆ICK ⇒ ∠H1 = ∠K1 ⇒ ∠H2 = ∠K2 (1) Các tứ giác OHNI và OKMI nội tiếp vì OI ⊥ MN suy ra ∠ONI = ∠H2 và ∠OMI = ∠K2 Do đó và (1) ⇒ ∆OMN cân ⇒ = 1 Bài tập thực hành: 1/- Bài toán này có nguồn gốc từ bài toán cánh bướm: Chúng minh IM = IN hay tính hiệu IM - IN (Hiểu được cách giải rồi ta có thể chế biến thành bài trong ví dụ trên.) 2/- Cũng trong ví dụ trên ta cũng có thể tính. .. Khối THPT chuyên Toán- Tin, trường ĐHKHTN - NXB Đại học quốc gia Hà Nội 4/- Một số bài tập Hình học phẳng cho học sinh giỏi - Nguyễn Anh Tuấn, Tổ Toán- Tin, trường THPT chuyên Bắc Giang - Sở GD-ĐT tỉnh Bắc Giang 5/- Các trang web: http: // vi.scribd.com, http: // tailieu.vn, http: // static.khoia0.com, http: // www.vnmath.com Phạm Đăng Long Trường THPT chuyên KHTN, Trường ĐHKHTN, Đại học Quốc gia Hà... giác, ta có: + + = + + = + = = 1 24 Ta cũng có thể tính bằng cách dùng diện tích: + + = + + = 1, ở đây S = dt(ABC) Cuối cùng ta có: + + = + + = 3 - 1 = 2 Bài tập thực hành: 1/- Sửa lại bài toán thành: + + (Đáp số: 2) 2/- Sửa lại bài toán thành: Biết S = dt(ABC), Tính + + theo S Chúc toàn thể các bạn đồng nghiệp có nhiều sáng tạo và đạt hiệu quả cao trong công việc giảng dạy, đào tạo thế hệ trẻ phục... ∆IMP, rồi suy ra các điều khác! 19 d/- Bài tập tính diện tích các hình phẳng Phương pháp 1 Tính theo các công thức có sẵn A Ví dụ 2.12 Cho ∆ABC, có BC = a, biết trước ∠B và ∠C Tính diện tích của tam giác ∆ABC B H C Hình 21 Phân tích: “Để tính một đại lượng ta phân tích đại lượng đó theo một công thức thích hợp, tính các yếu tố xuất hiện trong công thức, thay vào và rút gọn” Tạm gọi đường cao AH = h và... C1 là các điểm chia trong tlà khác nhau 2/- Cũng cho giả thiết như trong ví dụ 1, nhưng tính k để dt(A1B1C1) đạt gia trị mã, min 3/- Cũng cho giả thiết như trong ví dụ 1, nhưng tìm tập hợp các trọng tâm của ∆A1B1C1 4/- Cho tứ giác ABCD có diện tích là S Hai đường chéo cắt nhau ở O, mà nó chia trong AC theo tỷ số k1, chia trong BD theo tỷ số k2 Gọi A1, B1, C1 và D1 là các điểm chia trong các đoạn AB,... sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ Quốc! $3 Một số bài tập tập khác 1/- Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6,∠BAC = 600 a/- Tính độdài cạnh BC và diện tích tam giác ABC b/- Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC 2/- Cho đường tròn (O;r) và đường tròn (I;R) tiếp xúc ngoài nhau Gọi AB là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn đã cho a/- Tính độ dài AB theo r và R b/- Gọi (J) là . MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TẬP TÍNH TOÁN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG $1. Đặt vấn đề Trước hết nói chung về việc giải bài tập toán sơ cấp. Đó là một niềm say mê của nhiều người bài tập tính toán! Trong bài báo này, tôi chỉ nêu lên một số ví dụ cụ thể, phân tích hướng giải rồi dẫn đến các bài tập mới suy ra từ một bài toán, thế hình trước đó, coi như những bài tập. đề cập đến bài tập tính toán các đại lượng trong hình học phẳng Oclit (cổ điển). Tuy nhiên khái niệm tính toán ở đây cũng chỉ có tính chất tương đối thôi. Chuyên đề này chưa đề cập tới các

Ngày đăng: 26/06/2014, 22:50

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan