Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu này giúp người đọc hiểu về chuỗi số, chuỗi hàm một cách chi tết và bài bản 4.1. Chuỗi số 4.1.1. Khái niệm • Cho dãy số vô hạn {an} = {a0, a1, · · · , an, · · · }, với n ≥ 0. Biểu thức a0 + a1 + · · · + an + · · · = X +∞ n=0 an, (∗) được gọi là một chuỗi số. Khi đó, a0, a1, · · · , an, · · · được gọi là các số hạng của chuỗi (∗) và số hạng an, với số tự nhiên n bất kỳ, được gọi là số hạng tổng quát hoặc số hạng thứ n
CHUỖI Lý thuyết chuỗi • Chuỗi số • Chuỗi hàm số - chuỗi lũy thừa • Chuỗi Fourier CHUỖI 4.1 Chuỗi số 4.1.1 Khái niệm • Cho dãy số vơ hạn {an} = {a0, a1, · · · , an, · · · }, với n ≥ Biểu thức +∞ a0 + a1 + · · · + an + · · · = an, (∗) n=0 gọi chuỗi số Khi đó, a0, a1, · · · , an, · · · gọi số hạng chuỗi (∗) số hạng an, với số tự nhiên n bất kỳ, gọi số hạng tổng quát số hạng thứ n n • Với n, đặt Sn = a0 + a2 + · · · + an = ak Khi Sn gọi tổng k=0 riêng thứ n chuỗi (∗) CHUỖI • Nếu n → ∞, mà Sn → S, với S hữu hạn ta nói chuỗi (∗) hội tụ Khi +∞ S gọi tổng chuỗi (∗), ta viết S = an n=0 Ngược lại, Sn → ±∞ không tồn lim Sn ta nói chuỗi (∗) phân n→∞ +∞ kỳ không hội tụ Trong trường hợp Sn → ±∞, ta viết an = ±∞ n=0 CHUỖI VD Cho chuỗi số ∞1 n=0 2n a) Xác định số hạng tổng quát tính tổng riêng thức n chuỗi số b) Chuỗi số hội tụ hay phân kỳ? Chú ý:Tổng số hạng cấp số nhân sau: Cho cấp số nhân {bn} với cơng bội q = Khi bn = qn−1b1 b1 + b2 + · · · + bn = b1 − bn+1 b1(1 − qn) = 1−q 1−q CHUỖI Giải: a) Số hạng tổng quát an = 2n, với số tự nhiên n ≥ Tổng riêng thứ n 11 1 Sn = a0 + a1 + · · · + an = + + 22 + · · · + 2n = − 2n Å 1ã b) Ta có lim Sn = lim − n = Suy chuỗi số hội tụ n→∞ n→∞ 2= ∞1 n=0 2n CHUỖI VD Cho hàm số f (x) xác định R Khảo sát hội tụ chuỗi số sau ∞ [f (n) − f (n + 1)] n=0 CHUỖI Giải: Với n, ta có n Sn = [f (k)−f (k+1)] = [f (0)−f (1)]+[f (1)−f (2)]+· · ·+[f (n)−f (n+1)] k=0 Suy Sn = f (0) − f (n + 1) Nếu lim f (n) = A với A hữu hạn lim Sn = f (0) − A chuỗi hội tụ n→+∞ n→+∞ tổng f (0) − A Nếu lim f (n) ±∞ khơng tồn chuỗi số phân kỳ n→+∞ CHUỖI 4.1.2 Một số tính chất +∞ +∞ +∞ a) Nếu hai chuỗi số an bn hội tụ chuỗi số (an + bn) hội tụ n=0 n=0 n=0 +∞ +∞ +∞ (an + bn) = an + an n=0 n=0 n=0 +∞ +∞ b) Với số thực c, chuỗi số an hội tụ chuỗi số c.an hội tụ n=0 n=0 +∞ +∞ c.an = c an n=0 n=0 CHUỖI +∞ c)Cho chuỗi số an, số tự nhiên n0 ≥ số thực c = n=0 +∞ +∞ +) Chuỗi số an chuỗi số an = an0 + an0+1 + · · · + an + · · · , n=0 n=n0 hội tụ phân kỳ +∞ +∞ +) Hai chuỗi số an c.an hội tụ phân kỳ n=0 n=0 Chú ý: Với chuỗi số, ta bắt đầu số n từ số tự nhiên n0 số hạng an xác định với n ≥ n0 d) Nếu thay đổi số hữu hạn số hạng chuỗi số tính chất hội tụ phân kỳ không thay đổi CHUỖI +∞ ĐĐIIỀỀUU KKIIỆỆNN CCẦẦNN • Nếu chuỗi số an hội tụ lim an = n→∞ n=1 +∞ Tiêu chuẩn phân kỳ:Nếu chuỗi số an có lim an = lim an không n→∞ n→∞ n=1 tồn chuỗi số phân kỳ Chú ý: Khi thực hành tiêu chuẩn phân kỳ, ta thực sau: +) Xác định số hạng tổng quát an, tính |an| +) Xác định lim |an| n→∞ +) Kết luận: Nếu lim |an| > lim |an| = +∞ lim |an| n→∞ n→∞ n→∞ khơng xác định kết luận chuỗi số phân kỳ 10