luận văn thạc sĩ toán học phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh

60 605 2
luận văn thạc sĩ toán học phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Mục lục Lời nói đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.2 Toán tử liên hợp, giá trị riêng, véc tơ riêng 10 1.3 Toán tử Fredholm 11 1.4 Toán tử liên tục Lipschitz, toán tử 12 1.5 Định lý hàm ẩn 12 Phương pháp giải tích lý thuyết rẽ nhánh 13 2.1 Lý thuyết rẽ nhánh 13 2.2 Phương pháp giải tích lý thuyết rẽ nhánh 17 2.2.1 2.2.2 Một vài kí hiệu bổ đề 17 Các kết 33 Ứng dụng 50 3.1 Kiến thức bổ trợ 50 3.2 Ứng dụng 52 Kết luận 57 i Lời nói đầu Lý thuyết rẽ nhánh nghiên cứu phương trình phụ thuộc tham số, đặc biệt tìm giá trị tham số mà cấu trúc tập nghiệm bị thay đổi Thời gian gần đây, lý thuyết sử dụng nhiều để giải vấn đề nảy sinh vật lý học, sinh học môn khoa học tự nhiên khác Nhiều kết lý thuyết rẽ nhánh giải có hiệu vấn đề nảy sinh khoa học thực tế sống vai trị ngày trở nên quan trọng Việc nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số nhiều người quan tâm nghiên cứu nhiều đề tài khoa học Với tham số phương trình cho có nghiệm, với thay đổi tham số, tính nghiệm có khơng bảo đảm, có hai nhiều nghiệm khác Về mặt tốn học ta mơ tả sau: Cho F hàm số tích khơng gian Metric (Λ, d) với D lân cận điểm không gian định chuẩn (X, ) vào không gian định chuẩn (Y, ) Giả thiết với λ có v(λ) để F (λ, v(λ)) = Bằng cách tịnh tiến, ta giả thiết v(λ) = Mỗi nghiệm (λ, 0) gọi nghiệm tầm thường Lời nói đầu phương trình F (λ, v) = 0, (λ, v) ∈ Λ × D (1) Ta tìm nghiệm tầm thường (λ, 0) mà lân cận có tính chất với δ >0, >0 cho trước, tồn nghiệm không tầm thường (λ, u) ∈ Λ × D phương trình với d(λ, λ) < δ < u < Nghiệm tầm thường (λ, 0) gọi nghiệm rẽ nhánh phương trình (1), λ gọi điểm rẽ nhánh Những toán nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh phương trình (1) gọi toán rẽ nhánh Trong lý thuyết rẽ nhánh, người ta thường để cập tới toán sau: (i) Sự tồn nghiệm rẽ nhánh; (ii) Tồn nhánh nghiệm; (iii) Tìm giá trị tham số tính bị phá vỡ; (iv) Nghiên cứu tính ổn định nghiệm rẽ nhánh; (v) Nghiên cứu số nhánh nghiệm; (vi) Nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm rẽ nhánh; (vii) Nghiên cứu rẽ nhánh vô cùng; (viii) Nghiên cứu rẽ nhánh tồn cục; Sau số ví dụ lý thuyết rẽ nhánh hoạt đông thực tiễn: Thời tiết; Quá trình sinh trưởng sinh vật; Dịng chảy sơng; Q trình sống, yêu đương trưởng thành người; Lời nói đầu Sự phát triển xã hội; Sự phát triển kinh tế thời kỳ; Sự phát triển gen tế bào sinh vật; Các phản ứng hóa học, vật lý; Có nhiều phương pháp tốn học khác để nghiên cứu toán như: + Phương pháp biến phân Wainberg Krasnoselski đưa từ năm 50 kỷ trước [13], [14], [15]; + Phương pháp Tôpô sử dụng bậc ánh xạ Krasnoselski đưa [3], [6]; +Phương pháp giải tích cho tốn tử khả vi dựa định lý hàm ẩn trình bày [4], [10] Mỗi phương pháp ứng dụng cho phương trình khác Dựa vào định lý hàm ẩn, ta dễ dàng thấy điểm rẽ nhánh giá trị riêng phần tuyến tính phương trình Tuy nhiên khơng phải giá trị riêng phần tuyến tính điểm rẽ nhánh Ví dụ: Xét hệ phương trình vi phân: u + λ(u + v(u2 + v )) = 0, (0, 1) (2) v + λ(v − u(u2 + v )) = 0, (0, 1) (3) u(0) = u(1) = v(0) = v(1) = (4) Dễ thấy phần tuyến tính hệ có giá trị riêng bội hai λn với n = 1, 2, Ta nhân phương trình (2) với v phương trình (3) với u sau ta lấy tích phân phương trình sử dụng điều kiện (4) trừ hai phương trình cho Lời nói đầu (u2 + v ) dx = λ Như vậy, ta suy u = v = Tức với n λn khơng phải điểm rẽ nhánh Rất nhiều cơng trình tác giả khác cho toán (i) − (iii) với phương pháp biến phân, Tơpơ, giải tích cho trường hợp đặc biệt, tham số số thực dạng T (v) − λC(v) = (λ, v) ∈ R × D Phương pháp giải tích lý thuyết rẽ nhánh dựa tư tưởng Liapunov - Schmidt [4] sử dụng phép chiếu đưa phương trình nghiên cứu thành hai phần: phần nằm không gian hữu hạn chiều với số chiều p; phần lại nằm không gian vô hạn chiều trực giao Tức là, ta chuyển tốn p + phương trình p ẩn Phần nằm không gian hữu hạn chiều thường gọi phương trình rẽ nhánh Phương trình khơng gian vơ hạn chiều giải nghiệm Nếu phương trình rẽ nhánh giải toán giải Trong luận văn này, ta nghiên cứu rẽ nhánh phương pháp giải tích để giá trị riêng phần tuyến tính nghiệm rẽ nhánh tìm hiểu vài ứng dụng Luận văn gồm ba chương: Chương "Kiến thức chuẩn bị" trình bày số kiến thức trước tiếp cận với lý thuyết rẽ nhánh, bao gồm số định nghĩa định lý sử dụng việc chứng minh bổ đề định lý lý thuyết rẽ nhánh Lời nói đầu Chương "Phương pháp giải tích lý thuyết rẽ nhánh" trình bày khái niệm phép chiếu không gian Banach lược đồ Liapunov - Schmidt (xem [4]) để chuyển phương trình tốn tử hệ phương trình gồm hai phần: phần dễ giải thường nằm không gian vơ hạn chiều phần khó giải nằm khơng gian hữu hạn chiều Nhờ lược đồ này, ta nghiên cứu rẽ nhánh phương trình phụ thuộc tham số Cho X không gian Banach với chuẩn D tập mở chứa X Λ tập mở không gian định chuẩn, F : Λ × D −→ X tốn tử phi tuyến Ta xét rẽ nhánh phương trình (1) với F (λ, v) có dạng F (λ, v) = T (v) − L(λ, v) − H(λ, v) − K(λ, v), đó, T : X −→ Y tốn tử tuyến tính liên tục, L(λ, ) tốn tử tuyến tính liên tục với λ ∈ Λ cố định, H : Λ × D −→ Y K : Λ × D −→ Y tốn tử phi tuyến liên tục cho ∀λ ∈ Λ ta có H(λ, 0) = K(λ, 0) = 0, với (λ, 0) nghiệm tầm thường phương trình (1) Cho λ ∈ Λ, theo định lý hàm ẩn ta điều kiện cần để (λ, 0) nghiệm rẽ nhánh phương trình (1) ker(T − L(λ, )) = Giả thiết ker(T − L(λ, )) = Span{v , v , , v p } không gian sinh véc tơ v , v , , v p ∈ X Gọi (T − L(λ, ))∗ toán tử liên hợp T − L(λ) ker(T − L(λ, ))∗ = ∅ Giả sử ker(T − L(λ, ))∗ = Span{ψ , ψ , , ψ p } không gian sinh véc tơ ψ , ψ , , ψ p ∈ Y ∗ Trong Y ∗ khơng gian liên hợp Y Tiếp theo để tồn nghiệm rẽ nhánh phương trình (1) ta đưa ba giả thiết: Lời nói đầu ∀v ∈ D, α ∈ [0, 1] Giả thiết αL(λ, v) = L(αλ, v), Giả thiết H toán tử liên tục Lipschitz Λ × D tức tồn số C1 cho ||H(λ, v) − H(λ , v )|| ≤ C1 (|λ − λ | + ||v − v ||), (λ, v), (λ , v ) ∈ Λ × D Ngồi ra, tồn số thực a > hàm thực ρ : R −→ R với ρ = ρ(δ) thỏa mãn lim ρ(δ) = cho: δ→0 (i) PY H(λ, tv) = ta PY H(λ, v), (ii) α−a PY K ∀(λ, v) ∈ Λ × D, t ∈ [0, 1]; λ , αv → α → 0+ theo v với v ∈ D, a−1 1+α ||K(λ, v) − K(λ , v )|| ≤ ρ(|λ − λ |Λ + ||v − v ||)(|λ − λ |Λ + ||v − v ||), với (λ, v), (λ , v ) ∈ Λ × D Trong PY phép chiếu từ không gian Banach Y lên không gian Y1 = { y ∈ Y | y, ψ i = , i = 1, 2, , p } Ta định nghĩa ánh xạ A : Rp −→ Rp , A = (A1 , A2 , , Ap ) với p Ai (x) = T p xj v j xj v j , ψ i , − H λ, j=1 j=1 i = 1, 2, , p x = (x1 , x2 , , xp ) ∈ Rp Khi đó, Ai (x) = A1 (x), A2 (x), , Ap (x) ∈ Rp toán tử liên tục Giả thiết Giả sử Giả thiết 1, thỏa mãn, ánh xạ A định nghĩa toán tử liên tục khả vi, x ∈ Rp , x = cho A(x) = Lời nói đầu γ = det Ta với ∂Ai (xk ) ∂xk = i,k=1, ,p > cho trước Giả thiết − thỏa mãn (λ, 0) nghiệm rẽ nhánh phương trình (1) Hơn vậy, δ > tồn lân cận I3 R cho với α ∈ I3 , α = 0, tìm x(α) = (x1 (α), x2 (α), , xp (α)) ∈ U ∗ U ∗ lân cận x = Rn Ngồi ta tìm nghiệm khơng tầm thường (λ(α), v(α)) phương trình (1) với λ v(α) = λ(α) = + |α|a−1 p |α|xj (α)v j + o |α| α → j=1 thỏa mãn |λ(α) − λ| < δ < v(α) < Từ kết ta có số hệ tốn tìm nghiệm rẽ nhánh phương trình (1) Khi viết luận văn tác giả sử dụng tài liệu [5], [7], [8], [10], nêu điều kiện đủ để giá trị riêng phần tuyến tính điểm rẽ nhánh cơng thức biểu diễn nghiệm phương trình theo véc tơ riêng Chương "Ứng dụng" trình bày số ứng dụng lý thuyết rẽ nhánh cho hệ phương trình vật lý bán dẫn siêu hộp G ⊂ Rn , n = 1, 2, Hệ phương trình Roosbroeck đưa vào năm 1950 báo [11] Luận văn hoàn thành Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam, hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, người trực tiếp giúp đỡ đạo tận tình Lời nói đầu tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo phản biện đọc có nhận xét quý báu cho luận văn tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban lãnh đạo Viện Toán học, trung tâm đào tạo sau đại học, thầy cô cán cơng nhân viên Viện Tốn học quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Viện Toán học Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô Khoa Tự nhiên, Ban giám hiệu trường Cao đẳng Sư phạm Tỉnh Điện Biên; xin cảm ơn gia đình bạn lớp cao học Toán K19 - Viện Toán học quan tâm, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Hà Nội, ngày 15 tháng 08 năm 2013 Phạm Thị Thu Phương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức trước tiếp cận với lý thuyết rẽ nhánh, bao gồm số định nghĩa định lý sử dụng việc chứng minh bổ đề định lý lý thuyết rẽ nhánh 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Một không gian định chuẩn X khơng gian vectơ, ứng với phần tử x ∈ X , ta có số ||x|| gọi chuẩn nó, cho điều kiện sau thỏa mãn: (i) ||x|| ≥ 0, ∀ x ∈ X ; ||x|| = ⇔ x = 0, (ii) ||λx|| = |λ|||x||, với x ∈ X , λ ∈ R, (iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀ x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2 Một dãy (dãy Cauchy) không gian định chuẩn X dãy xn ∈ X cho lim ||xn − xm || = m,n→∞ Chương Phương pháp giải tích lý thuyết rẽ nhánh i = 1, 2, , p, x = (x1 , x2 , , xp ) ∈ Rp Như vậy, Giả thiết thỏa mãn Áp dụng Định lý 2.2.1 ta chứng minh Định lý 2.2.2 Hệ 2.2.2 Giả sử Giả thiết thỏa mãn ánh xạ B(β ∗ , ) xác định (2.32), với β ∗ từ Giả thiết toán tử với phép h mà có điểm x cực tiểu địa phương tới hạn cô lập, x = 0, Định lý 2.2.2 cho lân cận mở U ∗ x Rp Chứng minh Áp dụng phương pháp tương tự chứng minh Hệ (2.2.1) để Giả thiết thỏa mãn Sử dụng Định lý 2.2.2 ta điều phải chứng minh Hệ 2.2.3 Giả sử Giả thiết thỏa mãn, ánh xạ B(β ∗ , ) định nghĩa (32) khả vi x∗ ∈ Rp , x∗ = 0, thỏa mãn điều kiện: B(β ∗ , x∗ ) = det ∂Bi ∗ ∗ (β , x ) ∂xk = với β ∗ từ Giả thiết Khi đó, kết i,k=1, ,p luận Định lý 2.2.2 với β thay β ∗ Chứng minh Phương pháp chứng minh hệ tương tự phương pháp chứng minh Hệ (2.2.3), thay áp dụng Định lý 2.2.1 ta áp dụng Định lý 2.2.2 cho chứng minh Tiếp theo ta xét phương trình (2.1) trường hợp λ giá trị riêng cặp (T, L) với Ker(T − L(λ, )) = [v ], Ker(T − L(λ, ))∗ = [ψ ] T (v ), ψ = Chúng ta giả thiết Giả thiết Giả thiết thỏa mãn với α−a PY K( λ , αv) thay + |α|a−1 α−a PY K(λ(1 + |α|a−1 β), αv) cho β ∈ R Định lý sau mở rộng kết thu Crandall Rabinowitz [3] cho phương trình liên quan ánh xạ liên tục Lipschitz 45 Chương Phương pháp giải tích lý thuyết rẽ nhánh Định lý 2.2.3 Giả sử λ, v , ψ L M thỏa mãn Giả thiết (λ, 0) điểm rẽ nhánh hệ phương trình (2.3) Chính xác hơn, cho δ > 0, > có lân cận I R cho với γ ∈ I , γ = 0, tìm β(γ) ∈ R nghiệm rẽ nhánh (λ(γ), v(γ)) phương trình (1) với λ(γ) = λ , + |γ|a−1 β(γ) v(γ) = |γ|v + o(|γ|) γ → thỏa mãn |λ(γ) − λ|Λ < δ < v (γ) < Chứng minh Lấy I2 , U2 w Bổ đề 2.2.2 (với chứng minh chứng minh Bổ đề 2.2.2, ta thấy bổ đề đúng, Giả thiết 1, thay cho Giả thiết 1, 6), ta đặt β= H(λ, v ), ψ , T (v ), ψ lấy lân cận mở U ∗ β Với γ ∈ I2 , γ = 0, ta định nghĩa ánh xạ hγ : [0, 1] × R → R xác định hγ (t, β) =    βT v + ω(|tγ|a−1 β,tβ) , ψ   |tγ|        − (1 + |tγ|a−1 β)|tγ|−a M λ  , |tγ|v  1+|tγ|a−1 β    +w(|tγ|a−1 β, |tγ|) , ψ i ,           βT (v ) − H(λ, v ), ψ , t = 0, t = Bằng cách lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.2.1, β= H(λ, v ), ψ T (v ), ψ = 0, ), ψ T (v hγ (0, β) = hγβ (0, β) = Tiếp theo chứng minh tương tự Định lý 2.2.1 ta chứng minh Định lý 2.2.3 46 Chương Phương pháp giải tích lý thuyết rẽ nhánh Sau đây, giả thiết với v ∈ D, ánh xạ L(., v) khả vi liên tục và: Giả thiết Tồn điểm τ ∈ Λ cho Dλ L(λ, v )(τ ), ψ = Giả thiết Giả thiết thỏa mãn với α−a PY K λ , αv + αa−1 thay γ −a τ γ a−1 τ , γv , PY K λ − + γ a−1 τ với τ ∈ R, α → thay cho γ → 0, τ từ Giả thiết Ta có: Định lý 2.2.4 Với Giả thiết 7, kết Định lý 2.2.3 với λ(γ) thay bởi: λ(γ) = λ − τ |γ|a−1 β(γ) + |γ|a−1 β(γ) ˆ ˆ ˆ Chứng minh Đặt Λ0 = λ − τ + Λ, γ = λ − λ + τ Ta định nghĩa ánh xạ T , L, H ˆ K chứng minh Định lý 2.2.2 áp dụng Định lý 2.2.3 với phương trình (33) ta điều phải chứng minh Chú ý Giả sử Giả thiết − 3, (Giả thiết − 7, 8) thỏa mãn lân cận U ∗ từ Giả thết (Giả thiết theo thứ tự) không chứa I , (λ1 (α), v1 (α)), I , (λ2 (α), v2 (α)) tồn Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.3 (Định lý 2.2.2 Định lý 2.2.4 theo thứ tự), đặt I = I ∩ I , ta kết luận với α ∈ I , α = 0, v1 (α) = v2 (α) Thật vậy, phương pháp phản chứng giả sử v1 (α) = v2 (α) cho số α ∈ I , α = 0, từ ta có |α|(x1 (α) − 1)v1 ∈ X0 ∩ X1 = 47 Chương Phương pháp giải tích lý thuyết rẽ nhánh x1 (α) = ∈ U ∗ Điều mâu thuẫn với điều giả sử, ta có v1 (α) = v2 (α), ∀α ∈ I , α = Chú ý Giả sử Giả thiết − 3, (Giả thiết 4, 7, 8) thỏa mãn, PY H(λ, tv) = ta PY H(λ, v) với t ∈ [−1, 1], (λ, v) ∈ Λ × D J1 , (λ1 (α), v1 (α)); J2 , (λ2 (α), v2 (α)) tồn Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.3 (Định lý 2.2.2 Định lý 2.2.4 theo thứ tự) J3 , (λ3 (α), v3 (α)); J4 , (λ4 (α), v4 (α)) tồn Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.3 (Định lý 2.2.2 Định lý 2.2.4 theo thứ tự) [8], đặt Ji J0 = i=1 từ suy 1/ λ1 (α), v1 (α) = λ3 (α), v3 (α) λ2 (α), v2 (α) = λ4 (α), v4 (α) cho α ∈ J0 , α < Giả sử U ∗ từ Giả thiết (Giả thiết theo thứ tự), ta có khẳng định sau: 2/ Nếu U ∗ khơng chứa (λ1 (α), v1 (α)) = (λ2 (α), v2 (α)) (λ3 (α) , v3 (α)) = (λ4 (α), v4 (α)) với α ∈ J0 , α < (xem chứng minh Chú ý phần Chú ý [8]) Trong trường hợp ta kết luận tồn tham số khác nghiệm rẽ nhánh phương trình (2.1) lân cận (λ, 0) 3/ Nếu U ∗ không chứa -1, từ có (λ1 (α), v1 (α)) = (λ4 (α), v4 (α)) (λ2 (α), v2 (α)) = (λ3 (α), v3 (α)) với α ∈ J0 , α < Ta chứng minh (λ1 (α) , v1 (α)) = (λ4 (α), v4 (α)) (**) (còn (λ2 (α), v2 (α)) = (λ3 (α), v3 (α)) chứng minh tương tự) Thật vậy, dùng phương pháp phản chứng, ta giả sử (**) 48 Chương Phương pháp giải tích lý thuyết rẽ nhánh khơng Từ suy tồn α ∈ J0 , α < cho λ1 (α) = λ4 (α) v1 (α) = v4 (α) Nó kéo theo |α|x1 (α)v1 + o(|α|) = αv1 + o(|α|) Lúc |α|x1 (α) = α Vì α ∈ J0 , α < nên suy x1 (α) = −1 Điều vô lý nên (**) chứng minh Hơn nữa, với Chú ý 2, ta thấy trường hợp tồn tham số nghiệm rẽ nhánh phương trình (2.1) lân cận (λ, 0) 4/ Cuối cùng, U ∗ không chứa -1, từ 2/ 3/ suy tồn tham số khác nghiệm rẽ nhánh phương trình (1) lân cận (λ, 0) 49 Chương Ứng dụng 3.1 Kiến thức bổ trợ Phần trình bày số kiến thức bổ trợ cần thiết cho phần ứng dụng A Một số kí hiệu định nghĩa Cho Ω tập mở Rn f : Ω → R hàm xác định Ω ⊂ Rn Ta sử dụng ký hiệu sau: (i) ∂ |α| f (x) D f (x) = ∂xα1 ∂xα2 ∂xαn n α đạo hàm riêng cấp |α| hàm f (x), α = α1 , , αn đa số với thành phần αi số nguyên không âm |α| = (ii) L2 (Ω) = {f : Ω → R| (f (x))2 dΩ < +∞}, Ω khơng gian hàm bình phương khả tích Ω ⊂ Rn Không gian L2 (Ω) không gian Hilbert với tích vơ hướng: f, g L2 (Ω) = f (x)g(x) dΩ Ω 50 n i=1 αi Chương Ứng dụng Chuẩn L2 (Ω) là: f L2 (Ω) = f, f L2 (Ω) B Không gian Sobolev Định nghĩa 3.1.1 Cho Ω tập mở Rn k số nguyên dương Ta gọi không gian Sobolev cấp k Ω không gian xác định sau H k (Ω) = {f ∈ L2 (Ω) : Dα f ∈ L2 (Ω), ∀α : |α| ≤ k} Ta có H k+1 (Ω) ⊂ H k (Ω) với k ≥ bao hàm thức liên tục Đôi không gian L2 (Ω) ký hiệu H (Ω) Không gian H k (Ω) không gian Hilbert với tích vơ hướng f, g k (Dα f )(Dα g) dΩ, = Ω |α|≤k chuẩn f H k (Ω) = f, f k (Dα f )2 dΩ = |α|≤k Ω Định nghĩa 3.1.2 (Không gian Sobolev Wk,p (Ω)) Cho k số nguyên không âm ≤ p ≤ ∞ Không gian Wk,p (Ω) xác định sau: Wk,p (Ω) = {v ∈ Lp (Ω) : Dα v ∈ Lp (Ω), |α| ≤ k} Với ≤ p < ∞ không gian Banach với chuẩn p v Wk,p (Ω) Dα v = p Lp (Ω) |α|≤k Trong trường hợp k = 0, Wk,p (Ω) = Lp (Ω), với p = 2, Wk,2 (Ω) = H k (Ω) 51 Chương Ứng dụng 3.2 Ứng dụng Cho G = (0, a) × (0, b) × (0, c) siêu hộp R3 Ta áp dụng kết Chương để xét rẽ nhánh hệ phương trình biểu thị vận chuyển năng, độ đậm đặc lỗ hổng điện tử chất bán dẫn mô tả Van Roosbroeck (xem [11]) qua hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng sau: −∆u0 = k0 (N − u1 + u2 ) G; e0 −D1 ∆u1 = div(u1 µ1 grad u0 ) G; −D2 ∆u2 = div(u2 µ2 grad u0 ) G; uk = 0, k = 0, 2, u1 = N ∂G Với: u0 : ký hiệu điện tích; u1 , u2 : ký hiệu độ đậm đặc lỗ hổng điện tử; e0 : hệ số điện mơi; k0 : điện tích bản; N : độ đậm đặc tạp chất; D1 , D2 , (µ1 , µ2 ): hệ số khuyếch tán, (lưu động) lỗ điện tử Ta xét không gian Sobolev L2 (G) = {f : G → R| |f |2 dG < ∞}; G W1,2 = W1,2 (G) = {f : G → R|f ∈ L2 (G); Df ∈ L2 (G)}; ◦ W 1,2 = {u ∈ W1,2 |u = ∂G} 52 Chương Ứng dụng ◦ Trên W 1,2 ta có tích vô hướng chuẩn tương ứng sau: u, v = grad u grad vdG G |grad u|2 dG)1/2 u =( G Hệ phương trình xét hệ phương trình phụ thuộc tham số γ = (D1 , D2 , N, µ1 , µ2 ) ∈ Λ = R+ × R+ × R × R+ × R+ ) γ = (|D1 |2 + |D2 |2 + |N |2 + |µ1 |2 + |µ2 |2 )1/2 , γ = (D1 , D2 , N, µ1 , µ2 ) ∈ Λ Đặt v0 = u0 , v1 = N − u1 , v2 = u2 ta hệ −∆v0 = k0 (v1 + v2 ) G; e0 −D1 ∆v1 = div((N − v1 )µ1 grad v0 ) G; −D2 ∆v2 = div(v2 µ2 grad v0 ) G; uk = 0, k = 0, 1, 2, ∂G ◦ ◦ ◦ Ta nói (v0 , v1 , v2 ) ∈ W 1,2 × W 1,2 × W 1,2 nghiệm yếu điểm γ = (D1 , D2 , N, µ1 , µ2 ) ∈ Λ nếu: v0 = ∆−1 k0 (v1 + v2 ) G; e0 µ1 div((N − v1 ) grad v0 )) G; D1 µ2 v2 = ∆−1 ( div(v2 grad v0 )) G D2 v1 = ∆−1 ( Tiếp theo, (v0 , v1 ) nghiệm không tầm thường hệ v0 = ∆−1 k0 (v1 ) G; e0 53 (1) Chương Ứng dụng v1 = ∆−1 ( µ1 div((N − v1 ) grad v0 )) G, D1 (2) (v0 , v1 , 0) nghiệm không tầm thường hệ Thay (1) vào (2) ta v1 = ( µ1 k0 −1 µ1 k0 ∆ (v1 )) − (div(v1 grad ∆−1 (v1 ))) D1 e D1 e0 ◦ Ta đặt Λ = R+ × R × R+ ; X = W 1,2 định nghĩa ánh xạ L(λ, v) = H(λ, v) = − k0 N ∆−1 (v); e0 µ1 k0 −1 ∆ (div v grad ∆−1 (v))) D1 e với (λ, v) ∈ Λ × X, λ = (D1 , N, µ1 ) Hệ (1) (2) tương đương với phương trình v = L(λ, v) + H(λ, v), (λ, v) ∈ Λ × X (3) Bổ đề 3.2.1 Với λ ∈ Λ cố định, L(λ, ) tốn tử tuyến tính tự liên hợp, liên tục, compact từ X vào X Tiếp theo, ta đặt S(L) = {λ = (D1 , N, µ1 ) ∈ Λ|v = L(λ, v) với v ∈ X, v = 0} Với cặp ba số tự nhiên (m, n, k) ta đặt gm,n,k = {λ = (D1 , N, µ1 ) ∈ Λ| µ1 eo N = (a2 + b2 + c2 )} n k D1 ko m Bổ đề 3.2.2 S(L) = ∪+∞ m,n,k=1 gm,n,k Bổ đề 3.2.3 Với λ ∈ Λ cố định, ánh xạ H = H(λ, ) : X → X có tính chất sau: 1/H(λ, tv) = t2 H(λ, v); 2/ tồn số c > 0, H(λ, v1 ) − H(λ, v2 ≤ c v1 − v2 , 54 Chương Ứng dụng với v1 , v2 ∈ X H(λ, v) = o( v )khi v → H (λ, v)h = − µ1 k0 −1 ∆ (div(h grad ∆−1 (v) + v grad ∆−1 (h))) D1 e0 Với λ ∈ S(L) ta giả thiết có tập gmi ,ni ,ki , i = 1, , p để λ ∈ p i=1 gmi ,ni ,ki Tức µ1 eo N = (a2 i + b2 i + c2i ), i = 1, , p n k D1 ko m Tương ứng, ta có véctơ riêng vi = (abc(a2 i m √ 2 sin ami sin bni y sin cki z, + b2 i + c2i )1/2 ) n k i = 1, , p Ta có p ¯ H(λ, j v ,v i j=1 µ1 k0 =− D1 e0 p v j v r v i dG j,r=1 G Hệ phương trình p p ¯ xj v ) − H(λ, j Ai (x) = T ( j=1 xj v j ), φi = 0, j=1 với i = 1, , p; x = (x1 , , xp ), trở thành µ1 k0 xi + D1 e p v j v r v i dG = 0, i = 1, , p xj xr j,r=1 (4) G Định lý 3.2.1 Nếu hệ (4) có nghiệm x = (x1 , , xp ) = (0, , 0) thỏa mãn điều kiện µ1 k0 det δik + D1 e0 p v j v k v i dG = 0, xj G j=1 tồn lân cận I2 R lân cận U x p hàm số xj : I2 → R, xj (0) = xj , j = 1, , p, (x1 (α), , xp (α)) ∈ U để (λ(α), v(α)) với ¯ ¯ λ(α) = (D1 , N , 55 µ1 ¯ ), 1+α Chương Ứng dụng p xj (α)v j + o(|α|), α → 0, α ∈ I2 , v(α) = j=1 thỏa mãn phương trình (3) Định lý 3.2.2 Cho λ ∈ S(L), λ = (D1 , N , µ1 ) giá trị riêng cặp (id, L) với bội (p = 1) √ 2 v = sin am sin bn y sin ck z (abc(a2 + b2 + c2 )1/2 ) m n k véc tơ riêng tương ứng Ta có khẳng định sau: 1) Nếu m, n k số lẻ, tồn lân cận I2 gốc R U2 điểm x1 = − 27 √ (abc)3/2 (a2 + b2 + c2 )1/2 ) m n k 512 hàm số x1 : I2 → U1 , x1 (0) = x1 cho λ(α) = (D1 , N , µ1 ), 1+α v(α) = x1 (α)v + o(|α|), α → 0, α ∈ I2 , thỏa mãn phương trình (4) 2) Nếu số chẵn, tồn lân cận I2 gốc R U2 hàm số α : I2 → U2 , α(0) = cho λ( ) = (D1 , N , µ1 ), + α( ) v( ) = v + o(| |), thỏa mãn phương trình (4) 56 → 0, ∈ I2 , Kết luận Luận văn trình bày việc sử dụng phương pháp giải tích lý thuyết rẽ nhánh để đưa phương trình nghiên cứu hai phần: phần nằm không gian hữu hạn chiều; phần cịn lại nằm khơng gian vơ hạn chiều Phần nằm khơng gian vơ hạn chiều có nghiệm Phần nằm không gian hữu hạn chiều phương trình rẽ nhánh Theo định lý hàm ẩn, ta dễ dàng nhận thấy điểm rẽ nhánh giá trị riêng phần tuyến tính Tuy nhiên, khơng phải giá trị riêng phần tuyến tính điểm rẽ nhánh Luận văn đưa điều kiện đủ để giá trị riêng phần tuyến tính điểm rẽ nhánh cơng thức giải tích biểu diễn nghiệm phương trình rẽ nhánh nêu luận văn Dựa kết Chương 2, ta áp dụng xét rẽ nhánh hệ phương trình biểu thị vận chuyển năng, độ đậm đặc lỗ hổng điện tử chất bán dẫn mơ tả Van Roosbroeck qua hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng 57 Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm (giải tích đại), Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Việt Nam Tài liệu Tiếng nước [2] M Crandall and P Rabinowitz (1971), "Bifurcation at simple eigenvalues", J Funct, Anal, (8), 321-340 [3] W V Petryshyn (1978), "Bifurcation and asymptotic bifurcation for equations involving A-proper mappings with applications to differential equations", J Diff Eq,(28), 124-154 [4] E Schmidt (1910), "Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen", III Teil (65), Math Ann, 370-399 [5] J T Schwartz (1969), Nonlinear functional analysis, Gordon and Breach Science Publishers New York - London - Paris [6] N X Tan (1986), "Some applications of degree theory to bifurcation problems", Z Anal and Anwendungen, (4), 347-366 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO [7] N X Tan (1988), " An analytical approach to bifurcation problems with applications involving Fredholm mappings", Proc Roy Soc Edinburgh Sect, (A 110), 199-225 [8] N X Tan (1992), "Local bifurcation from characteristic values with finite multiplicity and its applications to axisymmetric buckled states of a thin shell", Appl Anal, (46), 259-286 [9] N X Tan, (1991), "A combination method for local bifurcation from characteristic values with multiplicity", Math Nachr,(154), 189–205 [10] N X Tan (1991), "Bifurcation problems for equations involving Lipschitz continuous mappings", J Math Anal Appl, (154, no 1), 22–42 [11] W Van Roosbroeck (1950), "Theory of the flow of electrons and holes in germanium and other semiconductors", Bell Syst Tech J, (29), p 560 [12] P Rabinowitz (1975), "A note on topological degree for potential operators", J Math Anal Appl, (51), 483-492 [13] M M Vainberg (1964), Variational methods for the study of nonlinear operators, Holden Day [14] M M Vainberg and V A Trenogin, "The methods of Lyapunov-Schmidt in the theory of nonlinear equations”, Uspekhi Math Nauk [15] M M Wainberg und W A Trenogin (M M Vainberg and V A Trenogin) (1973), "Theorie der Losungsverzweigung bei nichtlinearen Gleichungen", Berlin, Akad Verl 59 ... trước tiếp cận với lý thuyết rẽ nhánh, bao gồm số định nghĩa định lý sử dụng việc chứng minh bổ đề định lý lý thuyết rẽ nhánh Lời nói đầu Chương "Phương pháp giải tích lý thuyết rẽ nhánh" trình bày... i,k=1, ,p Chương Phương pháp giải tích lý thuyết rẽ nhánh Định lý sau định lý lý thuyết rẽ nhánh: Định lý 2.2.1 Với > cho trước Giả thiết 1, 2, thỏa mãn (λ, 0) nghiệm rẽ nhánh phương trình (2.1)... gọi nghiệm rẽ nhánh phương trình (1), λ gọi điểm rẽ nhánh Những toán nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh phương trình (1) gọi tốn rẽ nhánh Trong lý thuyết rẽ nhánh, người ta thường để cập tới toán sau:

Ngày đăng: 25/06/2014, 21:57

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan