luận án tiến sĩ toán học hệ nhân tử trog nhóm phạm trù phân bậc

52 549 0
luận án tiến sĩ toán học hệ nhân tử trog nhóm phạm trù phân bậc

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Đại học huế Trường đại học sư phạm phạm thị cúc Hệ nhân tử nhóm phạm trù phân bậc Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mà số: 62 46 05 01 luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Huế - 2014 Luận án hoàn thành tại: Trường §¹i häc s­ ph¹m, §¹i häc H Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: PGS TS NguyÔn TiÕn Quang GS TS Lê Văn Thuyết Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án cấp Đại học Huế họp tại: Vào hồi ngày tháng năm 2014 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Trung tâm học liệu - Đại học Huế - Thư viện Trường Đại học sư phạm - Đại học Huế Mở đầu Sau khái niệm phạm trù monoidal (hay phạm trù tenxơ) đề xuất J Bénabou, S Mac Lane, G M Kelly, vào đầu năm 60 kỷ trước, đà nhiều người quan tâm nghiên cứu phát triển nhanh Phạm trù monoidal "mịn hóa" để trở thành phạm trù với cấu trúc nhóm bổ sung thêm khái niệm vật khả nghịch Trong trường hợp phạm trù groupoid (nghĩa mũi tên phạm trù đẳng cấu) ta thu khái niệm nhóm phạm trù Trong trường hợp nhóm phạm trù có thêm ràng buộc giao hoán ta thu khái niệm nhóm phạm trù đối xứng (hay phạm trù Picard Những tác giả nghiên cứu nhóm phạm trù mà ta kể đến N Saavedra Rivano, H X SÝnh, M L Laplaza, Trong luËn án năm 1975, H X Sính đà mô tả cấu trúc nhóm phạm trù phạm trù Picard phân lớp chúng nhóm đối đồng điều chiều nhóm Kết đà cho phép xác lập mối liên hệ lý thuyết nhóm phạm trù, đối đồng điều nhóm toán mở réng nhãm cỉ ®iĨn cđa Schreier - Eilenberg - Mac Lane Sau đó, lý thuyết nhóm phạm trù với tính khái quát ngày có nhiều ứng dụng Các nhóm phạm trù -phân bậc giới thiệu lần A Frohlich C T C Wall (1974) Vào năm 2002, A M Cegarra cộng đà chứng minh định lý phân lớp xác cho phạm trù nhóm phạm trù phân bậc hàm tử monoidal phân bậc nhóm đối đồng điều đẳng biến chiều thứ Sau đó, kết đà áp dụng để đưa lời giải thích hợp cho toán mở rộng đẳng biến nhóm với hạt nhân không aben Nhóm phạm trù bện xét tới lần đầu A Joyal R Street (1993) nh­ mét më réng cđa ph¹m trï Picard, nhóm phạm trù bện đà phân lớp nhóm đối đồng điều aben Hab (M, N ) Bài toán phân lớp đồng luân cho phạm trù nhóm phạm trù bện phân bậc, trường hợp riêng phạm trù phạm trù Picard phân bậc đà A M Cegarra E Khmaladze giải vào năm 2007 Vào năm 2010, N T Quang đà giới thiệu cách tiếp cận khác cho toán phân lớp phạm trù nhóm phạm trù -phân bậc dựa phương pháp hệ nhân tử (hay giả hàm tử theo nghĩa A Grothendieck) Phương pháp có nhiều triển vọng việc ¸p dơng cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bƯn -phân bậc Nếu nhóm phạm trù xem phiên phạm trù cấu trúc nhóm vào năm 1988 N T Quang đà đưa khái niệm Ann-phạm trù, xem phạm trù hóa khái niệm vành, với đòi hỏi tính khả nghịch vật mũi tên phạm trù Đặc biệt, lớp Ann-phạm trù quy (ràng buộc đối xứng thỏa mÃn điều kiện cX,X = id ®èi víi mäi vËt X ) ®· N T Quang phân lớp nhóm đối đồng điều đại số kết hợp HShu (R, M ) theo nghĩa Shukla Sau đó, toán phân lớp Ann-hàm tử đà N T Quang D D Hanh (2009) giải nhờ nhóm đối ®ång ®iỊu chiỊu thÊp cđa ®èi ®ång ®iỊu vµnh Mac Lane, mối liên hệ toán mở rộng vành lý thuyết cản trở Ann-hàm tử Gần (2013), toán phân lớp Ann-phạm trù trường hợp tổng quát đà N T Quang giải trọn vẹn Môđun chéo nhóm J H C Whitehead đưa vào năm 1949 công trình nghiên cứu ông biểu diễn 2-dạng đồng luân mà trợ giúp lý thuyết phạm trù Vào năm 1976, R Brown C Spencer đà môđun chéo xác định G -groupoid (nghĩa là, nhóm phạm trù chặt chẽ) ngược lại, môđun chéo nghiên cứu lý thuyết phạm trù Kết cho phép xác lập mối liên hệ lý thuyết nhóm phạm trù với môđun chéo, khái niệm có nguồn gốc từ tôpô đại số Bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo, dạng khái quát toán mở rộng nhóm cổ điển, P Dedeker giới thiệu năm 1964 đà R Brown O Mucuk giải (1994), tác giả đà giải thích chứng minh định lý tồn phân lớp mở rộng loại cách sử dụng phương pháp phức chéo, tương tự phương pháp phức xích đại số đồng điều Một dạng khái quát khác toán mở rộng nhóm cổ điển toán mở rộng nhóm đẳng biến đà A M Cegarra đồng tác giả giải có sử dụng kết lý thuyết nhóm phạm trù phân bậc Khái niệm môđun chéo nhóm J H C Whitehead (1949) đà tổng quát hóa theo nhiều cách khác Vào năm 2002, H -J Baues đà giới thiệu khái niệm môđun chéo k-đại số (k trường) Sau đó, H -J Baues T Pirashvili (2004) đà thay trường gọi môđun chéo K-đại số k vành giao hoán K song môđun chéo Đặc biệt, với K = Z thu khái niệm song môđun chéo vành Khái niệm môđun chéo nhóm xác định vành theo cách khác, mà gọi E-hệ Trường hợp đặc biệt E-hệ, E-hệ quy, trùng với khái niệm song môđun chéo vành, khái niệm E-hệ yếu khái niệm song môđun chéo vành Tương tự môđun chéo nhóm, biểu diễn E-hệ quy thông qua Ann-phạm trù chặt chẽ, từ phân lớp phạm trù E-hệ quy Đồng thời, đưa giải toán mở réng vµnh kiĨu E-hƯ chÝnh quy, xem nh­ lµ mét øng dơng cđa kh¸i niƯm E-hƯ cịng nh­ cđa lý thuyết Ann-phạm trù Một phiên khác khái niệm môđun chéo nhóm khái niệm môđun chéo -đẳng biến (hay -môđun chéo) Khái niệm đà B Noohi đưa vào năm 2011 so sánh phương pháp khác để định nghĩa đối đồng điều nhóm với hệ tử môđun chéo Với khái niệm này, giới thiệu khái niệm nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ để biểu diễn kiểu -môđun chéo, phát biểu giải toán mở rộng nhóm đẳng biến -môđun chéo Ngoài phần mở đầu kết luận, luận án gồm chương sau Chương 1, Một số kiến thức chuẩn bị, trình bày số khái niệm kết đà biÕt cđa lý thut ph¹m trï víi cÊu tróc sÏ sử dụng cho chương sau Chương 2, Phân lớp hàm tử monoidal kiểu (, f ) øng dơng, bao gåm mét sè néi dung sau Tr­íc hết, mô tả hàm tử monoidal nhóm phạm trù kiểu (, A), trình bày lý thuyết cản trở định lý phân lớp cho hàm tử loại Từ chứng minh định lý phân lớp cho phạm trù nhóm phạm trù phạm trù nhóm phạm trù bện, đồng thời giới thiệu ứng dụng đại số lý thuyết cản trở hàm tử monoidal liên quan đến toán mở rộng nhóm Cũng Chương này, chứng minh định lý phân lớp cho phạm trù nhóm phạm trù bện phân bậc phương pháp hệ nhân tử Chương 3, Nhóm phạm trù chặt chẽ mở rộng nhóm kiểu môđun chéo, nghiên cứu mối liên hệ môđun chéo, nhóm phạm trù chặt chẽ toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo Chúng mối liên hệ đồng cấu môđun chéo với hàm tử monoidal nhóm phạm trù chặt chẽ liên kết với môđun chéo đó, từ thu định lý phân lớp cho phạm trù môđun chéo mở rộng kết đà biết R Brown C Spencer Chóng t«i cịng sư dơng lý thut nhãm phạm trù chặt chẽ để thu lại kết toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo R Brown cộng Chương 4, Nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ mở rộng nhóm đẳng biến kiểu -môđun chéo, trình bày lý thuyết mở rộng nhóm đẳng biến kiểu -môđun chéo, khái quát chung cho hai lý thuyết mở rộng nhóm kiểu môđun chÐo cđa R Brown vµ lý thut më réng nhãm đẳng biến A M Cegarra Chúng biểu diễn -môđun chéo qua nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ để từ phân lớp -môđun chéo Chương 5, Ann-phạm trù chặt chẽ mở rộng vành kiểu E-hệ quy, nghiên cứu E-hệ, mối liên hệ chúng với số khái niệm liên quan đà biết tìm kiếm ứng dụng liên quan đến toán mở rộng Chúng giới thiệu khái niệm E-hệ E-hệ quy phiên môđun chéo nhóm cho vành, E-hệ quy biểu diễn thông qua Ann-phạm trù chặt chẽ, đồng thời E-hệ quy song môđun chéo vành Chúng đưa giải toán mở rộng vµnh kiĨu E-hƯ chÝnh quy, xem nh­ lµ mét øng dơng cđa kh¸i niƯm E-hƯ cịng nh­ cđa lý thut Ann-phạm trù Việc đánh số chương, mục, định lý, mệnh đề, tóm tắt giữ nguyên luận án Các kết luận án viết thành báo, có đà đăng (với t¹p chÝ qc tÕ thc danh mơc MathSciNet), dạng tiền công bố Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số khái niệm kết liên quan đến nhóm phạm trù, nhóm phạm trù phân bậc, nhóm phạm trù bện phân bậc Ann-phạm trù 1.1 1.1.1 Nhóm phạm trù (bện) phân bậc Nhãm ph¹m trï Mét nhãm ph¹m trï (G, ⊗, I, a, l, r) phạm trù monoidal tất vật khả nghịch (theo nghĩa với vật X tồn vật Y cho X ⊗ Y I Y ⊗ X ) vµ phạm trù groupoid, nghĩa tất mũi tên đẳng cấu Nếu với vật X tồn vật Y cho X ⊗ Y = I = Y ⊗ X vµ ràng buộc kết hợp a, ràng buộc đơn vị l, r phép đồng G nhóm phạm trù chặt chẽ 1.1.2 Nhóm phạm trù thu gọn tương đương tắc Mỗi nhóm phạm trù G xác định hoàn toàn ba bất biến: nhóm , -môđun trái A 3-đối chu trình k Z (, A) Khi đó, ta xây dựng nhóm phạm trù SG tương đương monoidal với nhóm phạm trù G nhờ tương đương monoidal tắc, SG gọi thu gọn nhóm phạm trù G Ta nói SG có kiểu (, A, k), đơn giản kiểu (, A) 1.1.3 Nhóm phạm trù phân bậc Một phạm trù monoidal i) phạm trù -phân bậc G = (G, gr, ⊗, I, a, l, r) bao gồm: -phân bậc ổn định (G, gr), hàm tử -phân bậc : G ì G G I : G, ii) đẳng cấu tù nhiªn bËc aX,Y,Z ∼ ∼ : (X ⊗ Y ) ⊗ Z → X ⊗ (Y ⊗ Z), lX : ∼ I ⊗ X → X, rX : X I X thỏa mÃn điều kiện khíp cđa mét ph¹m trï monoidal Mét nhãm ph¹m trï phân bậc phạm trù monoidal phân bậc G vật khả nghịch mũi tên đẳng cấu 1.1.4 Nhóm phạm trù bện phân bậc Một nhóm phạm trù bện G nhóm phạm trù trang bị thêm ràng buộc bện tương thích với ràng buộc đơn vị kết hợp Một nhóm phạm trù bện -phân bậc (G, gr) phạm trù monoidal -phân bậc thỏa mÃn điều kiện khớp nhóm phạm trù bện 1.2 1.2.1 Ann-phạm trù Ann-phạm trù Ann-phạm trù lớp phạm trù mô cấu trúc vành N T Quang đưa vào năm 1988, phạm trù A với hai song hàm tử , ⊗ : A × A → A tháa m·n mét số tiên đề tương tự vành Đặc biệt, tất ràng buộc hai phép toán , đồng ta thu khái niệm Ann-phạm trù chặt chẽ 1.2.2 Ann-hµm tư Mét Ann-hµm tư lµ mét hµm tư F hai Ann-phạm trù cho F vừa hàm tử monodial đối xứng phép toán monoidal phép toán 1.2.3 , vừa hàm tử tương thích với ràng buộc phân phối Ann-phạm trù thu gọn N T Quang đà Ann-phạm trù xác định hoàn toàn ba bất R, R-song môđun M phần tư h ∈ ZM acL (R, M ) Tõ ®ã, xây dựng Ann-phạm trù thu gọn SA = (R, M, h) tương đương với A, gọi Ann-phạm trù kiểu (R, M ) biến: vành Chương Phân lớp hàm tử monoidal kiểu (, f ) ứng dụng Trong chương này, mô tả kiểu hàm tử monoidal nhóm phạm trù thu gọn trình bày vài ứng dụng chúng 2.1 Phân lớp đối đồng điều hàm tử monoidal kiểu (, f ) Mệnh đề đưa H X Sính (1975) Mệnh ®Ị 2.1 Gi¶ sư (F, F ) : G → G hàm tử monoidal Khi (F, F ) cảm sinh cặp đồng cấu nhóm F0 : G → π0 G , [X] → [F X], −1 F1 : π1 G → π1 G , u → F I (F u), thoả mÃn điều kiện bởi: F1 (su) = F0 (s)F1 (u), đẳng cấu X (u) cho X (u) = lX (u id) l1 X Trước hết, làm mạnh Mệnh đề 2.1 Mệnh đề 2.4 khẳng định hàm tử monoidal (F, F ) : G G cảm sinh hàm tử monoidal SG SG Chúng cần tới hai bổ đề sau: -phạm trù G, G với ràng buộc tương øng lµ (I, l, r) vµ (I , l , r ) Gi¶ sư (F, F , F∗ ) : G G -hàm tử tương thích với 1 ràng buộc đơn vị Khi đó, F I (F u) = F∗ F (u)F∗ Bỉ ®Ị 2.2 Cho hai Bổ đề 2.3 Với giả thiết cđa Bỉ ®Ị 2.2, ta cã −1 F γX (u) = γF X (γF I F u) Cho S, S nhóm phạm trù kiểu (, A, h) vµ (Π, A, h ) Mét hµm tư F : S S gọi hàm tử kiểu (ϕ, f ) nÕu F (x) = ϕ(x), F (x, a) = (ϕ(x), f (a)), víi ϕ : Π → Π , f : A → A lµ mét cặp đồng cấu nhóm thỏa mÃn f (xa) = (x)f (a) víi x ∈ Π, a ∈ A (F, F ) : G → G c¶m sinh mét (ϕ, f ), víi ϕ = F0 , f = F1 Hơn Mệnh đề 2.4 Mỗi hàm tử monoidal tử monoidal SF : SG → SG SF = G F H, với H, G kiểu hàm nữa, tương đương tắc Mệnh đề 2.5 Mỗi hàm tử monoidal (F, F ) : S → S lµ mét hµm tư kiĨu (ϕ, f ) Ký hiƯu Hom(ϕ,f ) [S, S ] tập lớp đồng luân hàm tö monoidal (ϕ, f ) tõ S = (Π, A, h) vµo S = (Π, A , h ) Ta gäi hµm k = ϕ∗ h − f∗ h lµ cản trở hàm tử F kiểu (, f ) kiĨu F :S→S (ϕ, f ) lµ mét hµm tử monoidal cản trở k triệt tiêu H (, A ) Khi tồn song ánh: i) Hom(,f ) [S, S ] H (, A ), Định lý 2.6 Hµm tư kiĨu ii) Aut(F ) ↔ Z (Π, A ) 2.2 Phân lớp nhóm phạm trù Ký hiệu CG phạm trù có vật nhóm phạm trù, mũi tên hàm tử monoidal chúng Ký hiệu H3 phạm trù có vật lµ bé ba (Π, A, h) Gr h ∈ H (Π, A), mịi tªn (ϕ, f ) : (Π, A, h) → (Π , A , h ) lµ cặp (, f ) cho tồn g : A để (, f, g) hàm tö monoidal (Π, A, h) → (Π , A , h ) với Định lý 2.7 (Định lý phân lớp) Tồn hàm tử phân lớp: d: CG G → H3 Gr → (π0 G, π1 G, hG ) (F, F ) → (F0 , F1 ) cã c¸c tính chất sau: i) dF đẳng cấu F tương đương ii) d toàn ánh tập vật iii) d đầy đủ không trung thành Với (, f ) : dG → dG song ¸nh d : Hom(ϕ,f ) [G, G ] → H (π0 G, π1 G ) th× cã mét HomBr ) [B, B ] ∼ Hab (π0 B, π1 B ), = (ϕ,f where HomBr ) [B, B ] is the set of homotopy classes of braided monoidal (ϕ,f functors from B to B inducing the pair (ϕ, f ) We write BCG[M, N ] for the set of equivalence classes of braided categorical groups whose pre-sticks are of type (M, N ) We obtains a similar result to Theorem 2.8 Theorem 2.11 There exists a bijection Γ : BCG[M, N ] → Hab (M, N ), −1 [B] → q∗ p∗ (h, η)B 2.4 Classification of graded braided categorical groups by factor sets The notion of factor set was introduced by A Grothendieck in 1971 and then was developed by many authors (A M Cegarra, N T Quang, ) For a group Γ and a category C, let Psd(Γ, C) be the category of (normalized) factor sets from Γ to C, and let Γ BCG be the category of Γ-graded braided categorical groups Theorem 2.13 For a group Γ, there is an isomorphism: Γ BCG 2.5 2.5.1 Psd(Γ, BCG) Applications on classical group extensions The categorical group of an abstract kernel An abstract kernel is a triple (Π, G, ψ), where ψ : Π → AutG/InG is a group homomorphism The obstruction of (Π, G, ψ) is an element k ∈ H (Π, ZG) We can construct a strict categorical group AutG , whose objects are elements of the group of automorphisms AutG and whose morphisms are given by Hom(α, β) = {c ∈ G|α = µc ◦ β} Its three invariants are: Aut G/InG, ZG and ψ ∗ h, where ψ ∗ h = k Using this result we prove that each categorical group is equivalent to a strict one This proof is different from that done by H X Sinh (1978) 2.5.2 Monoidal functors and the group extension problem In this subsection, we used the results of the categorical group theory to obtain those of the classical group extension problem 10 Chapter Strict categorical groups and group extensions of the type of a crossed module In this chapter we represent the equivalence of the category of crossed modules and that of G-groupoids by means of strict categorical groups, hence we obtain the classification theorem of crossed modules which extends the well-known result of R Brown and C Spencer (1976) 3.1 Categorical group associated to a crossed module d A crossed module is a quadruple M = (B, D, d, θ) (or B → D, B → D), where d : B → D, θ : D → AutB are group homomorphisms Definition satisfying the following relations: C1 θd = µ, C2 d(θx (b)) = µx (d(b)), x ∈ D, b ∈ B, where µx is an inner automorphism given by conjugation with x Proposition 3.1 Let M = (B, D, d, θ) be a crossed module i) Kerd ⊂ Z(B), ii) Imd is a normal subgroup in D, iii) The homomorphism θ induces one ϕ : D → Aut(Kerd) by ϕx = θx |Kerd , iv) Kerd is a left Cokerd-module under the action: sa = ϕx (a) For any crossed module (B, D, d, θ) we construct a strict categorical group PB→D called the associated one to the crossed module, and vice versa 3.2 Classification of crossed modules We obtain the following results on the relation between homomorphisms of crossed modules and monoidal functors of associated categorical groups 11 Lemma 3.2 Let (f1 , f0 ) : (B, D, d, θ) → (B , D , d , θ ) be a homomorphism of crossed modules Let P, P be the two categorical groups associated to the crossed modules (B, D, d, θ) and (B , D , d , θ ), respectively i) There exists a functor F : P → P defined by F (x) = f0 (x), F (b) = f1 (b), for x ∈ ObP, b ∈ MorP ii) Natural isomorphisms Fx,y : F (x)F (y) → F (xy) together with F is a monoidal functor if and only if Fx,y = ϕ(x, y), where ϕ ∈ Z (Coker d, Ker d ) Denote by Cross the category whose objects are crossed modules and whose morphisms are triples (f1 , f0 , ϕ), where (f1 , f0 ) is a homomorphism of crossed modules and ϕ ∈ Z (Cokerd, Kerd ) A monoidal functor (F, F ) : P → P is called regular if: S1 F (x) ⊗ F (y) = F (x ⊗ y), for all x, y ∈ ObP S2 F (b) ⊗ F (c) = F (b ⊗ c), for all b, c ∈ MorP Lemma 3.3 Let P, P be corresponding categorical groups associated to the crossed modules (B, D, d, θ), (B , D , d , θ ), and (F, F ) : P → P be a regular monoidal functor Then, the triple (f1 , f0 , ϕ), where f1 (b) = F (b), f0 (x) = F (x), ϕ(x, y) = Fx,y , for b ∈ B, x ∈ D, x ∈ Coker d, is a morphism in the category Cross We write Grstr for the category of strict categorical groups and regular monoidal functors One obtains the following result Theorem 3.4 (Classification Theorem) There exists an equivalence Φ : Cross → Grstr, (B → D) → PB→D (f1 , f0 , ϕ) → (F, F ) where F (x) = f0 (x), F (b) = f1 (b), Fx,y = ϕ(x, y), for x, y ∈ D, b ∈ B 3.3 Group extension of the type of a crossed module: obstruction theory and classification theorem d Definition Let M = (B → D) be a crossed module and Q be a group An extension of B by Q of type M is a diagram of group homomorphisms E: / B B j d / 12 / E  ε D p / Q / 1, where the top row is exact, the quadruple (B, E, j, θ0 ) is a crossed module, θ0 is given by conjugation, (idB , ε) is a homomorphism of crossed modules Each such extension induces a homomorphism ψ : Q → Coker d Our objective is to study the set ExtB→D (Q, B, ψ) of equivalence classes of extensions of B by Q of type B → D inducing ψ : Q → Cokerd Let Dis Q denote the categorical group of type (Q, 0, 0) (it is just the categorical group associated to the crossed module (0, Q, 0, 0)) The following lemma shows that monoidal functors Dis Q → P are the appropriate systems of data to construct the manifold of all such group extensions Lemma 3.5 Let B → D be a crossed module and ψ : Q → Coker d be a group homomorphism Then, for each monoidal functor (F, F ) : Dis Q → P with F (1) = and inducing the pair (ψ, 0) : (Q, 0) → (Cokerd, Kerd), there exists an extension EF of B by Q of type B → D inducing ψ Theorem 3.6 (Schreier theory for group extensions of the type of a crossed module) There is a bijection Ω : Hom(ψ,0) [DisQ, PB→D ] → ExtB→D (Q, B, ψ) Let P = PB→D be the categorical group associated to the crossed module B → D Since π0 P = Coker d and π1 P = Ker d, its reduced category SP is of form SP = (Cokerd, Kerd, k), k ∈ H (Cokerd, Kerd) Then, the homomorphism ψ : Q → Cokerd induces an obstruction ψ ∗ k ∈ Z (Q, Kerd) Thus, one obtains the theorem on the existence and classification of group extensions of the type of a crossed module Theorem 3.7 Let (B, D, d, θ) be a crossed module and ψ : Q → Cokerd be a group homomorphism Then, the vanishing of ψ ∗ k in H (Q, Kerd) is necessary and sufficient for there to exist an extension of B by Q of type B → D inducing ψ Further, if ψ ∗ k vanishes, then the equivalence classes of such extensions are bijective with H (Q, Kerd) 13 Chapter Strict graded categorical groups and equivariant group extensions of the type of a Γ-crossed module In this chapter we introduce the notion of strict graded categorical group to represent the notion of Γ-crossed module, then classify Γ-crossed modules and state the theory of equivariant group extensions of the type of a Γ-crossed module 4.1 Equivariant group cohomology theory of Cegarra Theory of equivariant group cohomology of A M Cegarra and his coauthors (2002) will be used to prove the result on classification Γ-graded monoidal functors of type (ϕ, f ) and to classify equivariant group extensions of the type of a Γ-crossed module The equivariant cohomology i groups are denoted by HΓ (Π, A), i = 1, 2, 4.2 Reduced graded categorical groups and graded monoidal functors of type (ϕ, f ) In this subsection we construct the reduced graded categorical group of a given one, and classify Γ-graded monoidal functors of type (ϕ, f ) 4.2.1 Construction of reduced categorical groups by means of skeletal categories For any Γ-graded categorical group G, A M Cegarra and his co-authors construct a Γ-graded categorical group, denoted by Γ (Π, A, h), and they state (without proof) that it is monoidally equivalent to G We prove this through the following proposition 14 Proposition 4.1 Γ-functor (HΓ , HΓ , id) : Γ (Π, A, h) → G defined by  HΓ (s) = Xs    γXs (a)◦Υ(r,σ) ˆ (a,σ) HΓ (r → s) = (Xr − − − − Xs ) − − −→    (H ) = i−1 , Γ r,s Xr ⊗Xs where σr = s, is a Γ-graded monoidal equivalence 4.2.2 Construction of the reduced categorical group by means of factor sets In this subsection, using the method of factor sets developed by N T Quang (2010) we show that for each Γ-graded categorical group G, one can construct one, dented by ∆F, which is monoidally equivalent to G Further, ∆F is just the Γ-graded categorical group 4.2.3 Γ (Π, A, h) Classification of graded monoidal functors of type (ϕ, f ) The result on the classification of graded monoidal functors of type (ϕ, f ) is stated in the following proposition Proposition 4.5 Let G, G , S = (Π, A, h), S = (Π , A , h ) be Γ-graded categorial groups i) Each Γ-graded functor (F, F ) : G → G induces a Γ-graded monoidal functor SF : SG → SG of type (ϕ, f ), in which ϕ = F0 , f = F1 are given by F0 : π0 G → π0 G , [X] → [F X], F1 : π1 G → π1 G , u → γF I (F u) ˆ −1 Further, SF = GΓ F HΓ , where HΓ , GΓ are canonical Γ-graded equivalences ii) Each Γ-graded monoidal functor (F, F ) : S → S is one of type (ϕ, f ) iii) Γ-graded functor F : S → S of type (ϕ, f ) is realizable, that is, it induces a Γ-graded monoidal functor, if and only if its obstruction ξ vanishes in HΓ (Π, A ) Then, there is a bijection Hom(ϕ,f ) [S, S ] ↔ HΓ (Π, A ) 4.3 Γ-crossed modules and associated graded categorical groups Let B, D be Γ-groups A Γ-crossed module is a quadruple M = (B, D, d, θ) where d : B → D, θ : D → AutB are Γ-homomorphisms Definition 15 satisfying the following conditions: C1 θd = µ, C2 d(θx (b)) = µx (d(b)), C3 σ(θx (b)) = θσx (σb), where σ ∈ Γ, x ∈ D, b ∈ B, µx is the inner automorphism given by conjugation with x The notion of strict Γ-graded categorical group introduced below is to represent Γ-crossed modules Firstly, a factor set F = (G, F σ , η σ,τ ) on Γ with coefficients in a categorical group G is termed regular if η σ,τ = id and F σ is a regular monoidal functor, for all σ, τ ∈ Γ A graded categorical group (P, gr) is said to be strict if: i) Ker P is a strict categorical group,, Definition ii) P induces a regular factor set F on Γ with coefficients in the categorical group Ker P We proved that from a given Γ-crossed module M one can construct a strict Γ-graded categorical group PM associated to M, and vice versa 4.4 Classification of Γ-crossed modules The following lemmas state the relation between homomorphisms of Γcrossed modules and graded monoidal functors of corresponding associated graded categorical groups Lamma 4.7 Let (f1 , f0 ) : M → M be a homomorphism of Γ-crossed modules Then, there exists a Γ-graded monoidal functor (F, F ) : PM → PM defined by F (x) = f0 (x), F (b, 1) = (f1 (b), 1) if and only if f = p∗ ϕ, where ϕ ∈ ZΓ (Coker d, Ker d ), and p : D → Coker d is a canonical projection Let Γ Cross denote a category whose objects are Γ-crossed modules and whose morphisms are triples (f1 , f0 , ϕ), where (f1 , f0 ) : M → M is a homomorphism of Γ-crossed modules and ϕ ∈ ZΓ (Coker d, Ker d ) A Γ-graded monoidal functor (F, F ) : P → P between two strict Γgraded categorical groups is called regular if: S1 F (x ⊗ y) = F (x) ⊗ F (y), S2 F (b ⊗ c) = F (b) ⊗ F (c), S3 F (σb) = σF (b), 16 S4 F (σx) = σF (x), for x, y ∈ Ob P, and b, c are morphisms of grade in P Let p : D → Coker d be the canonical projection, one has: Lemma 4.8 Let P and P be corresponding strict Γ-graded categorical groups associated to Γ-crossed modules M and M , and let (F, F ) : P → P be a regular Γ-graded monoidal functor Then, the triple (f1 , f0 , ϕ), where i) f0 (x) = F (x), (f1 (b), 1) = F (b, 1), σ ∈ Γ, b ∈ B, x, y ∈ D, ii) p∗ ϕ = f , is a morphism in the category Γ Cross Denote by Γ Grstr the category of strict Γ-graded categorical groups and regular Γ-graded monoidal functors, we have the following result Theorem 4.9 [Classification Theorem] There exists an equivalence Φ : Γ Cross → (B → D) → (f1 , f0 , ϕ) → Γ Grstr, PB→D (F, F ) in which F (x) = f0 (x), F (b, 1) = (f1 (b), 1), and (0,σ) F (x → σx) = (ϕ(px, σ), σ), Fx,y = (ϕ(px, py), 1), for x, y ∈ D, b ∈ B, σ ∈ Γ 4.5 Equivariant group extensions of the type of a Γcrossed modules: obstruction theory and classification theorem In this section we develop a theory of equivariant group extensions of the type of a Γ-crossed module which extends both group extension theory of the type of a crossed module of P Dedeker - R Brown and equivariant group extension theory A M Cegarra d Definition Let B → D be a Γ-crossed module and Q be a Γ-group An d equivariant group extension of B by Q of type B → D is a diagram of − Γ-homomorphisms E / B B j d / 17 / E  ε D p / Q / 1, where the top row is exact, the family (B, E, j, θ0 ) is a Γ-crossed module in which θ0 is given by conjugation, and (id, ε) is a homomorphism of Γ-crossed modules Each such extension induces a Γ-homomorphism ψ : Q → Cokerd Our objective is to study the set ExtΓ (Q, B, ψ) of equivalence classes of B→D equivariant extensions of B by Q of type B → D inducing ψ : Q → Cokerd Let DisΓ Q denote the strict Γ-graded categorical group associated to the Γ-crossed module (0, Q, 0, 0) The following lemma shows that Γgraded monoidal functors DisΓ Q → PB→D are the appropriate system of data to construct all of such extensions d Let B → D be a Γ-crossed module, and let ψ : Q → Coker d be a Γ-homomorphism For each Γ-graded monoidal functor (F, F ) : DisΓ Q → PB→D , which satisfies F (1) = and induces a pair of Γ-homomorphisms (ψ, 0) : (Q, 0) → (Coker d, Ker d), there exists an equivariant group extenLemma 4.10 sion EF of B by Q of type B → D inducing ψ Theorem 4.11 [Schreier theory for equivariant group extensions of the type of a Γ-crossed module] There is a bijection Ω : Hom(ψ,0) [DisΓ Q, PB→D ] → ExtΓ (Q, B, ψ) B→D One obtains the following consequence of equivariant group extensions Lemma 4.12 For Γ-groups B and Q, there exists a bijection HomΓ [DisΓ Q, HolΓ B] → ExtΓ (Q, B) Since the reduced graded categorical group of PB→D is SP = (Cokerd, Kerd, h), h ∈ ZΓ (Cokerd, Kerd), Γ-homomorphism ψ : Q → Cokerd induces an obstruction ψ ∗ h ∈ ZΓ (Q, Kerd) Under this notion of obstruction, we state the following theorem Theorem 4.13 Let (B, D, d, θ) be a Γ-crossed module, and let ψ : Q → Cokerd be a Γ-homomorphism Then, the vanishing of ψ ∗ h in HΓ (Q, Kerd) is necessary and sufficient for there to exist an equivariant extension of B by Q of type B → D inducing ψ Further, if ψ ∗ h vanishes, then the equivalence classes of such extensions are bijective with HΓ (Q, Kerd) 18 Chapter Strict Ann-categories and ring extensions of the type of a regular E-system In this chapter we introduce a ring version of crossed modules over groups of J H C Whitehead, called E-systems, classify regular E-systems and solve the ring extension problem of the type of a regular E-system 5.1 The theory of ring cohomology of Mac Lane and of Shukla The cohomology group HShu (R, M ) in the sense of Shukla (in which the ring R is regarded as a Z-algebra) is used by N T Quang to classify regular Ann-categories (1988) Then, the cohomology group HM acL (R, M ) of rings in the sense of Mac Lane is used by N T Quang and D D Hanh to classify Ann-functors between Ann-categories (2009), and recently the group HM acL (R, M ) is used by N T Quang to classify Ann-categories in the general case (2013) 5.2 Crossed bimodules and regular E-systems i) A crossed bimodule is a triple (B, D, d), where D is an associative K-algebra, B is a D-bimodule and d : B → D is a homomorphism of D-bimodules such that d(b)b = bd(b ), b, b ∈ B Definition ii) A morphism (k1 , k0 ) : (B, D, d) → (B , D , d ) of crossed bimodules is a pair k1 : B → B , k0 : D → D , where k1 is a group homomorphism, k0 is a K-algebra homomorphism such that for all x ∈ D, b ∈ B, k0 d = d k1 , k1 (xb) = k0 (x)k1 (b), k1 (bx) = k1 (b)k0 (x) 19 When the base ring K is the ring of integers Z, then a crossed bimodule (B, D, d) is called a crossed bimodule over rings The notion of E-system introduced below can be seen as a version of the concept of a crossed module over rings Definition An E-system is a quadruple M = (B, D, d, θ) where d : B → D, θ : D → MB are the ring homomorphisms satisfying the following conditions for all x ∈ D, b ∈ B: θ ◦ d = µ, d(θx b) = x.d(b), d(bθx ) = d(b).x An E-system (B, D, d, θ) is regular if θ is a 1-homomorphism (a homomorphism carries the identity to the identity), and the elements of θ(D) are permutable A morphism (f1 , f0 ) : (B, D, d, θ) → (B , D , d , θ ) of E-systems consists of ring homomorphisms f1 : B → B , f0 : D → D such that f0 d = d f1 , f1 (θx b) = θf0 (x) f1 (b), f1 (bθx ) = f1 (b)θf0 (x) By the following theorem, the notion of an E-system can be seen as a weaken version of the notion of a crossed bimodule over rings The categories of regular E-systems and of crossed bimodules over rings are isomorphic Theorem 5.2 5.3 Classification of regular E-systems For a given E-system B → D we can construct a strict Ann-category AB→D , called the Ann-category associated to the E-system, and vice versa The following lemmas show the relation between homomorphisms of regular E-systems and Ann-functors of associated Ann-categories Lemma 5.3 Let (f1 , f0 ) : (B, D, d, θ) → (B , D , d , θ ) be a morphism of regular E-systems i) There is a functor F : AB→D → AB →D defined by F (x) = f0 (x), F (b) = f1 (b), x ∈ Ob A, b ∈ Mor A ˘ ii) The isomorphisms Fx,y : F (x + y) → F x + F y, Fx,y : F (xy) → F xF y ˘ together with the functor F is an Ann-functor if and only if F and F are 20 constants in Ker d and for all x, y ∈ D, θF x (F ) = (F )θF y = F , ˘ ˘ ˘ θF x (F ) = (F )θF y = F + F Then, we say that F is an Ann-functor of form (f1 , f0 ) ˘ ˘ An Ann-functor (F, F , F ) is single if F (0) = 0, F (1) = and F , F are constants Then we state the converse of Lemma 5.3 ˘ Lemma 5.4 Let (F, F , F ) : AB→D → AB →D be a single Ann-functor Then, there is a morphism of regular E-systems (f1 , f0 ) : (B → D) → (B → D ) given by f1 (b) = F (b), f0 (x) = F (x), for b ∈ B, x ∈ D ˘ ˘ Lemma 5.5 Two Ann-functors (F, F , F ), (F , F , F ) : AB→D → AB →D of the same form are homotopic ˘ ˘ Two Ann-functors (F, F , F ), (F , F , F ) are strong homotopic if they are homotopic and F = F Corollary 5.6 Two Ann-functors F, F : AB→D → AB →D are strong homotopic if and only if they are of the same form We write Annstr or the category of strict Ann-categories and their single Ann-functors We can define the strong homotopy category HoAnnstr of Annstr to be the quotient category with the same objects, but morphisms are strong homotopy classes of single Ann-functors: HomHoAnnstr (A, A ) = HomAnnstr (A, A ) strong homotopies Denote ESyst the category whose objects are regular E-systems and whose morphisms are homomorphisms of regular E-systems, we obtain the following result Theorem 5.7 [Classification Theorem] There exists an equivalence of cat- egories Φ : ESyst → HoAnnstr, (B → D) → AB→D (f1 , f0 ) → [F ] where F (x) = f0 (x), F (b) = f1 (b), for x ∈ ObA, b ∈ MorA 21 5.4 Ring extensions of the type of an E-system Definition Let (B, D, d, θ) be a regular E-system A ring extension of B by Q of type B → D is a diagram of ring homomorphisms / B B j / E  p / Q / 0, ε d / D where the top row is exact, the quadruple (B, E, j, θ0 ) is an regular Esystem where θ0 is given by the bimultiplication type, and the pair (id, ε) is a morphism of regular E-systems Each such extension induces a ring homomorphism ψ : Q → Coker d We use the obstruction theory of Ann-functors to study the set ExtB→D (Q, B, ψ) of equivalence class of extensions of B by Q of type regular E-system B → D inducing ψ The following lemma shows that the Ann-functors Dis Q → AB→D are the appropriate data to construct such extensions Lemma 5.8 Let (B, D, d, θ) be a regular E-system, ψ : Q → Coker d be a ˘ ring homomorphism Then, for each Ann-functor (F, F , F ) : Dis Q → A inducing the pair (ψ, 0) there exists an extension EF of B by Q of type B → D inducing ψ : Q → Coker d The following theorem is a version of Schreier theory for ring extensions of the type of a regular E-system Theorem 5.9 [Schreier theory for ring extensions of the type of a regular E-system] There is a bijection Ω : HomAnn [DisQ, A] → ExtB→D (Q, B, ψ) (ψ,0) Since the reduced Ann-category of the associated Ann-category AB→D is of form SA = (Cokerd, Kerd, k), where k ∈ HShu (Cokerd, Kerd), the homo3 morphism ψ : Q → Cokerd induces an obstruction ψ ∗ k ∈ HShu (Q, Kerd) Theorem 5.10 Let (B, D, d, θ) be a regular E-system, ψ : Q → Cokerd be a ring homomorphism Then, the vanishing of ψ ∗ k in HShu (Q, Kerd) is necessary and sufficient for there to exist a ring extension of B by Q of type B → D inducing ψ Further, if ψ ∗ k vanishes then there is a bijection ExtB→D (Q, B, ψ) ↔ HShu (Q, Kerd) 22 Conclusion Crossed modules and categorical groups have been used widely and independently, and in various contexts The results on categorical groups of H X Sinh (1975) are raised to the graded categorical groups by A M Cegarra and his co-authors, and to the categorical rings (or Ann-categories) by N T Quang Besides, R Brown and C Spencer (1976) showed that crossed modules can be studied by means of strict categorical groups This suggests us to study the more complex categorical algebras, such as: strict graded categorical groups, strict Ann-categories, and then to study the structures which are analogous to crossed modules, such as: equivariant crossed modules, E-systems The main results of this thesis are the followings: We describe type of a monoidal functor between two categorical groups and the obstruction theory of a functor Therefore, the precise theorems on the classification categorical groups and on that of braided categorical groups are stated Based on the results of the strict categorical group theory, we classify crossed modules and construct the Schreier theory for group extensions of the type of a crossed module Our results extend the results of R Brown and his co-authors We study strict graded categorical groups to classify equivariant crossed modules and construct the Schreier theory for equivariant group extensions of the type of a Γ-crossed module Our results contain the theory of equivariant group exteniosn of A M Cegarra - J M Garca-Calcines J A Ortega and the theory of group extensions of the type of a crossed modules of R Brown - O Mucuk We study strict Ann-categories to classify crossed bimodules over rings and to classify ring extensions of the type of a regular E-system We classify the category of Γ-graded braided categorical groups by means of factor sets on the group Γ with coefficients in the category of braided categorical groups of type (M, N) 23 List of the author's articles related to the thesis N T Quang, N T Thuy, P T Cuc, Monoidal functors between (braided) Gr-categories and their applications, East-West J of Mathematics, 13, No (2011), 163-186 N T Quang, P T Cuc, Crossed bimodules over rings and Shukla cohomology, Math Commun., 17 No (2012), 575-598 N T Quang, P T Cuc, Classification of graded braided categorical groups by pseudo-functors, Journal of Science, Hue University, Vol 77, No (2012), 59-68 N T Quang, P T Cuc, N T Thuy, Strict Gr-categories and crossed modules, Communications of Korean Mathematical Society, Vol 29, No.1 (2014), 9-22 N T Quang, P T Cuc, Equivariant crossed bimodules and cohomology of groups with operators, arXiv: 1302.4573v1 [math.CT] 19 Feb 2013 The results of the thesis have reported and discussed in: - Science workshop on “Some of new research directions in modern mathematics and their applications”, Thanhhoa (by Hongduc University, Institute of Mathematics and Hanoi National University of Education jointly organized), May 2011 - National conference on Algebra - Geometry - Topology, Thainguyen, November 2011 - 8th Mathematical Congress, Nhatrang, August 2013 - Seminar at Dept of Algebra - Geometry, Mathematical Faculty, Hue University’s College of Education - Seminar at Dept of Algebra, Natural Science Faculty, Hongduc University, Thanhhoa 24 ... quan đến nhóm phạm trù, nhóm phạm trù phân bậc, nhóm phạm trù bện phân bậc Ann -phạm trù 1.1 1.1.1 Nhóm phạm trù (bện) phân bậc Nhóm phạm trù Mét nhãm ph¹m trï (G, ⊗, I, a, l, r) phạm trù monoidal... kiện khớp phạm trù monoidal Một nhóm phạm trù phân bậc phạm trù monoidal phân bậc G vật khả nghịch mũi tên đẳng cấu 1.1.4 Nhóm phạm trù bện phân bậc Một nhóm phạm trù bện G nhóm phạm trù trang... thu gọn nhóm phạm trù phân bậc cho trước, phân lớp hàm tử monoidal -phân bậc kiểu (, f ) 4.2.1 Xây dựng nhóm phạm trù phân bậc thu gọn thông qua phạm trù khung Từ nhóm phạm trù -phân bậc G, A M

Ngày đăng: 25/06/2014, 12:28

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan