VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC HỒNG NGỌC TUY BÀI TỐN TỐI ƯU TRÊN TẬP HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU HÀM PHÂN THỨC A-PHIN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU HÀ NỘI - NĂM 2011 i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 Các kiến thức tập lồi, hàm lồi 1.1 Tổ hợp lồi 1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện 1.3 Nón lồi 12 1.4 Định lý tách tập lồi đa diện 15 1.5 Định lý minimax 17 Bài toán tối ưu véc-tơ phân thức a-phin 19 2.1 Bài toán tối ưu véc-tơ 19 2.2 Hàm phân thức a-phin 20 2.3 Bài toán tối ưu véc-tơ phân thức a-phin 23 Tiếp cận quy hoạch song tuyến tính giải toán tối ưu tập hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu phân thức a-phin 28 3.1 Bài toán tối ưu tập hữu hiệu 28 3.2 Phương pháp giải 34 3.2.1 Phép tính cận theo đối ngẫu Lagrange 35 3.2.2 Phép chia đơi đơn hình 39 ii 3.2.3 Thuật tốn dựa cách tính cận Lagrange (Thuật tốn LB) 3.3 39 Phương pháp nới lỏng 43 3.3.1 3.3.2 Phương pháp giải 44 3.3.3 3.4 Bài toán nới lỏng 43 Thuật toán nới lỏng (Thuật toán RLB) 44 Ví dụ 46 KẾT LUẬN CHUNG 49 Tài liệu tham khảo 51 iii Lời cảm ơn Trong suốt trình làm luận văn, nhận hướng dẫn giúp đỡ GS Lê Dũng Mưu (Viện Toán học Việt Nam) Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tôi xin cảm ơn quý thầy, giảng dạy Viện Tốn học, mang đến cho tơi nhiều kiến thức bổ ích khoa học sống Tôi xin chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp, bạn đồng môn giúp đỡ tơi thời gian học tập Viện Tốn học q trình hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 8-2011 Người viết Luận văn Hoàng Ngọc Tuy Mở đầu Bài toán tối ưu đa mục tiêu, cịn gọi tốn tối ưu véc-tơ nảy sinh trình phát triển kinh tế-xã hội, phục vụ cho hoạt động kinh tế-xã hội Ví dụ, cơng ty muốn tìm phương án sản xuất cho lợi nhuận cao nhất, chất lượng sản phẩm tốt nhất, giá thành sản phẩm rẻ lại ảnh hưởng tới mơi trường Việc lựa chọn phương án sản xuất công ty dẫn tới việc giải toán tối ưu đa mục tiêu Các mục tiêu toán tối ưu véc-tơ thường độc lập với nhau, chí đối kháng (chẳng hạn, giảm chi phí sản xuất khó đảm bảo chất lượng, tăng lợi nhuận khó đảm bảo mơi trường ) Một phương án tốt cho mục tiêu thường khơng tốt mục tiêu khác, tức phương án tốt cho tất mục tiêu (phương án lý tưởng) xảy Điều dẫn tới khái niệm nghiệm toán tối ưu đa mục tiêu nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu yếu (hay nghiệm Pareto, nghiệm Pareto yếu) Khái niệm đưa từ cuối kỷ 19, tối ưu đa mục tiêu trở thành chuyên nghành toán học phá triển mạnh vòng 40 năm gần Một phận quan trọng tối ưu đa mục tiêu tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Cho đến nay, lớp tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính nghiên cứu gần hoàn chỉnh phương diện định tính định lượng Mặc dù tốn tối ưu đa mục tiêu phân thức a-phin (bài toán (VP)), cịn gọi tốn tối ưu véc-tơ phân thức a-phin mở rộng tự nhiên tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính lớp toán tối ưu đa mục tiêu phân thức a-phin thực rộng lớp toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Các kết nghiên cứu cho thấy rằng, tập nghiệm hữu hiệu toán (VP) khác biệt phức tạp nhiều so với tập nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính, nhiều tính chất trường hợp tuyến tính khơng cịn cho trường hợp phân thức a-phin Nhiều vấn đề nghiên cứu lớp tốn (VP) chưa có kết Trong nhiều vấn đề thực tế kinh tế-xã hội, người ta phải giải toán tối ưu tập hữu hiệu hữu hiệu yếu Ví dụ, nhà máy bánh kẹo sản xuất n loại sản phẩm gồm số loại đường, số loại bánh kẹo Số lượng sản phẩm x = (x1 , x2 , , xn ) Nhà máy muốn tìm phương án sản xuất số sản phẩm x cho thu lợi nhuận cao Tuy nhiên, nhà máy muốn có phương án sản xuất cho đảm bảo nguồn cung cấp nguyên liệu lâu dài Như vậy, thay tìm phương án sản xuất số sản phẩm x∗ tập phương án sản xuất chấp nhận cho thu lợi nhuận cao nhất, nhà máy phải tìm phương án sản xuất số sản phẩm x0 cho thu lợi nhuận cao tập phương án sản xuất đảm bảo việc cung cấp nguyên liệu Tất nhiên, phương án sản xuất số sản phẩm x0 thường không cho lợi nhuận cao phương án sản xuất số sản phẩm x∗ phương án sản xuất số sản phẩm x0 đảm bảo nguồn cung cấp nguyên liệu cho nhà máy sản xuất lâu dài Việc tìm phương án sản xuất số sản phẩm x0 việc giải tốn cực đại hàm lợi nhuận tập hữu hiệu tốn tối ưu véc-tơ tuyến tính Bài tốn tối ưu tập hữu hiệu hữu hiệu yếu thuộc lớp toán tối ưu hai cấp Bài toán đưa lần vào năm 1972 quan tâm ứng dụng thực tế Bài tốn tối ưu tập hữu hiệu toán (VP) (bài toán (P)) toán tối ưu tập hữu hiệu yếu toán (VP) (bài toán (WP)) dạng toán tối ưu hai cấp Bài toán (P) toán (WP) phát triển tự nhiên toán tối ưu tập hữu hiệu hữu hiệu yếu toán tối ưu véc-tơ tuyến tính Trong nhiều hoạt động kinh tế-xã hội thực tế đòi hỏi phải giải tốn Ví dụ, cơng ty bánh kẹo có p nhà máy (đặt địa phương khác nhau), nhà máy sản xuất n loại bánh kẹo khác Hàm lợi nhuận f (x) công ty phụ thuộc vào phương án sản xuất số lượng sản phẩm x = (x1 , x2 , , xn ) (n loại bánh kẹo) Công ty muốn tìm phương án sản xuất số lượng sản phẩm x cho lợi nhuận thu cao Để tuân thủ luật bảo vệ môi trường, công ty phải tìm phương án sản xuất số lượng sản phẩm x cho tỷ số chi phí bảo vệ môi trường nhà máy tổng chi phí nhà máy nhỏ Như vậy, thay tìm cực đại hàm f (x) tập phương án sản xuất chấp nhận được, công ty phải thực toán cực đại hàm f (x) tập hữu hiệu toán tối ưu véc-tơ phân thức a-phin (sẽ trình bày chương 3), tức là, tìm phương án sản xuất số lượng sản phẩm x0 cho thu lợi nhuận cao tập phương án sản xuất thỏa mãn yêu cầu luật bảo vệ môi trường Hiện nay, toán (P) toán (WP) nhiều người quan tâm việc nghiên cứu toán khó khăn Bài tốn tối ưu tập hữu hiệu hữu hiệu yếu toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính tốn khó nghiên cứu có số phương pháp giải cơng bố Trong đó, có số ý tưởng thuật tốn thuật tốn để tìm nghiệm tốn (P) tốn (WP) cơng bố (xem [11], [14]) Việc nghiên cứu toán (P) tốn (WP) gặp nhiều khó khăn tập nghiệm tốn (VP) thường khơng lồi, khơng cịn hợp số mặt đa diện ràng buộc có cấu trúc phức tạp Mặt khác, khó khăn cịn toán đươc nghiên cứu thời gian gần Hầu hết thuật toán đưa yêu cầu tất đỉnh khối đa diện ràng buộc X phải biết trước Do đó, thuật toán xây dựng đỉnh X dễ tính tốn Trong đó, việc tính toán tất đỉnh X thường khó Thuật tốn nới lỏng trình bày chương đòi hỏi biết trước đỉnh X, đỉnh X tính (nếu cần) bước lặp thủ tục nhánh-cận Vì thế, mong thuật tốn tìm thấy lời giải tối ưu tồn cục mà khơng cần phải tính tất đỉnh X Mục đích luận văn trình bày toán (VP), toán (P) toán (WP), trình bày hai phương pháp với hai thuật tốn giải toán (WP) Luận văn bao gồm chương Chương 1: trình bày lại số kiến thức giải tích lồi tập lồi, tập lồi đa diện, nón lồi số định lý định lý tách tập lồi đa diện, định lý minimax, định lý đối ngẫu Lagrange Chương 2: trình bày tốn (VP), trình bày định lý Malivert hệ định lý điều kiện cần đủ nghiệm hữu hiệu hữu hiệu yếu tốn (VP) Chương 3: trình bày tốn (P) tốn (WP), trình bày cách chuyển hai toán dạng dễ khảo sát (P Λ) Sau đó, trình bày hai phương pháp để giải toán (WP) phương pháp tính cận theo đối ngẫu Lagrange phương pháp nới lỏng Với phương pháp, trình bày thuật tốn chứng minh tính dừng thuật tốn Luận văn hồn thành Viện Tốn học, Viện Khoa học tự nhiên Cơng nghệ quốc gia, hướng dẫn GS.TSKH Lê Dũng Mưu Mặc dù tác giả cố gắng, thời gian có hạn kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong Thầy, Cơ bạn đọc góp ý Chương Các kiến thức tập lồi, hàm lồi Trong chương này, trình bày lại số khái niệm kết giải tích lồi Các khái niệm kết hầu hết trích dẫn từ tài liệu [1] [12] sử dụng cho chương sau 1.1 Tổ hợp lồi Ta ký hiệu Rn không gian Euclid n-chiều trường số thực R, phần tử x ∈ Rn véc tơ gồm n-toạ độ số thực Một đường thẳng nối hai điểm (hai véc-tơ) a,b Rn tập hợp tất véc-tơ x ∈ Rn có dạng {x ∈ Rn | x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1} Đoạn thẳng nối hai điểm a b Rn tập hợp véc-tơ có dạng {x ∈ Rn | x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1} Tập lồi khái niệm giải tích lồi, định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1 Một tập C ⊆ Rn gọi tập lồi, C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C Ta nói x tổ hợp lồi điểm (véc-tơ) x1 , , xk k k j λj x , λj ≥ ∀j = 1, , k x= j=1 λj = j=1 Tương tự, x tổ hợp a-phin điểm (véc-tơ) x1 , , xk k k j λj x với x= j=1 λj = j=1 Mệnh đề 1.1 Tập hợp C lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức là: C lồi k k k λj = 1, ∀x , , x ∈ C ⇒ ∀k ∈ N, ∀λ1 , , λk > : j=1 λj xj ∈ C j=1 Chứng minh Điều kiện đủ hiển nhiên từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần quy nạp theo số điểm Với k = 2, điều cần chứng minh suy từ định nghĩa tập lồi tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề với k − điểm Ta cần chứng minh mệnh đề với k điểm Giả sử x1 , , xk ∈ C tổ hợp lồi k điểm Tức k k j λj x , λj > ∀j = 1, , k x= j=1 j=1 Đặt k−1 ξ= λj j=1 Khi < ξ < k−1 λj xj + λk xk x= j=1 k−1 =ξ j=1 Do λj = k−1 j=1 λj j x + λ k xk ξ λj =1 ξ 38 Do β (S) = sup min dT x + uT (H (λ) x − h (λ)) u≥0 λ∈S x≥0 kéo theo β (S) = sup min ( dT + uT H (λ) x − uT h (λ) u≥0 λ∈s x≥0 (3.6) Nếu λ ∈ S cho dT + uT H (λ) ≥ với u ≥ dT + uT H (λ) x = −∞ x≥0 Do đó, supremum (3.6) xác định tất u ≥ thoả mãn H T (λ) u + dT ≥ ∀λ ∈ S, (3.7) điều kéo theo uT H (λ) + dT x = x≥0 Bởi H T (λ) u + d ≥ ∀λ ∈ S ⇔ H T (λ) u + dT ≥ ∀λ ∈ V (S) , với (3.6) (3.7) ta có β (S) = sup −uT h (λ) H (λ) u + dT ≥ i = 1, , p u≥0 λ∈S (3.8) với λi ∈ V (S) , i = 1, , p Bằng định lý minimax (định lý 1.4), ta đổi supremum cho infimum (3.8) để đạt được:  T  sup −h (λ) u  với ràng buộc β (S) := T λi u + d ≥ 0, i = 1, , p, λ∈V (S)  H  u ≥ Điều chứng minh cho hệ 39 3.2.2 Phép chia đơi đơn hình Tại bước lặp k thuật toán mơ tả sau đây, đơn hình đơn hình Λ chia đơi theo cách mà thuật toán thực để đạt việc cận cận tiến giới hạn (khi k tiến tới vơ cùng) Điều thực cách sử dụng phương pháp chia đôi đơn hình (theo cạnh dài nhất) biết tới tối ưu tồn cục (xem [7]) Phương pháp chia đơi đơn hình mơ tả sau: Đặt Sk đơn hình có số chiều đầy đủ đơn hình Λ, Sk đơn hình mà ta muốn chia đơi bước lặp k Gọi v k , wk hai đỉnh Sk cho đường nối hai đỉnh dài Đặt uk = tk v k +(1 − tk ) wk với < tk < (khi uk nằm cạnh dài nhất, đoạn nối v k wk ) Chia Sk thành hai đơn hình Sk1 Sk2 , Sk1 Sk2 có từ Sk cách thay v k wk uk Ta biết (xem [7]), Sk = Sk1 ∪ Sk2 {Sk } dãy vơ hạn đơn hình lồng (nested simplices) sinh tiến trình chia đơi đơn hình cho < δ0 < tk < δ1 < k dãy {Sk } hội tụ điểm Bây mơ tả thuật tốn giải toán P Λ với Λ = Λ 3.2.3 Thuật toán dựa cách tính cận Lagrange (Thuật tốn LB) Khởi tạo Chọn ε ≥ đặt S0 := Λ Đối với v ∈ V (S0 ), giải quy hoạch tuyến tính  T  max − h (v) u,  với ràng buộc β (v) :=  H T λi u + d ≥ , ∀λi ∈ V (S0 ) ,  (Lv ) u ≥ Đặt β (S0 ) := β (v), chọn λ0 ∈ S0 , u0 ≥ cho β (S0 ) = −hT λ0 u0 v∈V (S0 ) Giải tốn quy hoạch tuyến tính 40  T  f (x) := d x ,  với ràng buộc  H λ0 x − h λ0 ≤ 0,  x ≥ để đạt x0 Đặt α0 := ϕ λ0 := dT x0 , đặt β0 := β (S0 ) Γ0 :=   {S0 } α0 − β0 > ε (|α0 | + 1) ,  ∅ ngược lại Gán k ← sang bước lặp k Bước lặp k (k = 0, 1, ) Bước k1 (lựa chọn) a) Nếu Γk = ∅, dừng: xk nghiệm ε-tối ưu αk giá trị ε-tối ưu tốn (WP) b) Nếu Γk = ∅ chọn Sk ∈ Γk cho βk := β (Sk ) = {β (S) | S ∈ Γk } Bước k2 (chia đơi): Chia Sk thành hai đơn hình Sk1 Sk2 phương pháp chia đơi đơn hình mô tả (Chia Sk theo cạnh dài thành hai đơn hình Sk1 Sk2 ) Bước k3 (tính cận): Với v ∈ V (Ski ), ta giải quy hoạch tuyến tính sau:  T  max − h (v) u,  với ràng buộc β (v) :=  H T λi u + d ≥ , ∀λi ∈ V Skj ,  (LSkj ) u ≥ Đặt β Skj := β (v) v∈V (Skj ) đặt ukj nghiệm tối ưu đạt λkj ∈ V Skj cho β Skj = −hT λkj ukj , (k = 1, 2) 41 Bước k4 (cập nhật): Ứng với λkj , giải quy hoạch tuyến tính  T  f (x) := d x ,  với ràng buộc  H λkj x − h λkj ≤  x ≥ ta đạt nghiệm chấp nhận Sử dụng nghiệm chấp nhận để tính cận nhỏ thời Gọi xk+1 nghiệm chấp nhận tốt xk nghiệm chấp nhận sinh Đặt αk+1 := dT xk+1 thành lập Γk+1 ← {S ∈ (Γk \ {Sk }) ∪ {Sk1 , Sk2 } | αk+1 − β (S) > ε (|αk+1 | + 1)} Tăng k thêm trở bước lặp k Định lý sau khẳng định tính dừng thuật tốn LB Định lí 3.1 (xem [15]) (i) Nếu thuật toán LB dừng bước lặp k, xk nghiệm ε-tối ưu tồn cục tốn (WP) (ii) Nếu thuật tốn khơng dừng βk w∗ , αk w∗ k → +∞, điểm tụ dãy xk nghiệm tối ưu tồn cục tốn (WP) Chứng minh (i) Nếu thuật toán LB dừng Bước lặp k Γk = ∅ Điều suy αk − βk ≤ ε (|αk | + 1) Vì βk ≤ w∗ αk = f xk kéo theo f xk − w∗ ≤ ε f xk +1 Do xk nghiệm ε-tối ưu tồn cục tốn (WP) (ii) Vì với bước lặp k , ta có Sk = Sk1 ∪ Sk2 , qui tắc tính tốn cận β (Sk ) có: βk = β (Sk ) ≤ β (Sk+1 ) = βk+1 ∀k 42 Cũng αk+1 điểm cận nhỏ tính tốn bước k4, nên ta có αk+1 ≤ αk ∀k Do đó, β∗ = lim βk α∗ = lim αk tồn thoả mãn β∗ ≤ ω∗ ≤ α∗ (3.9) Giả sử thuật tốn khơng dừng, sinh dãy vơ hạn đơn hình lồng Ta ký hiệu dãy đơn hình {Sk } Vì chia nhỏ vét kiệt (exhaustive), nên dãy hội tụ tới điểm gọi λ∗ ∈ Λ Bằng qui tắc tính tốn cận βk , có: βk = sup m (u, λ) ≥ m (u, λ) ∀u ≥ u≥0 λ∈Sk λ∈Sk Vì dãy {Sk } tiến tới λ∗ k → +∞ nên ta đạt β∗ = lim βk ≥ m (u, λ∗ ) ∀u ≥ (3.10) Vì ϕ λk cận tính bước k1 αk+1 cận nhỏ tính bước 4, nên ta có αk+1 ≤ ϕ λk ∀k Vì λk → λ∗ , từ tính liên tục ϕ (theo [4]) kéo theo: α∗ = lim αk = lim αk+1 ≤ lim ϕ λk = ϕ (λ∗ ) (3.11) Mặt khác, theo đối ngẫu Lagrange áp dụng cho toán ϕ (λ∗ ), ta có: sup m (u, λ∗ ) = ϕ (λ∗ ) u≥0 Từ (3.10) (3.11) kéo theo α∗ ≤ ϕ (λ∗ ) ≤ β∗ , với (3.9) suy β∗ = ω∗ = α∗ = ϕ (λ∗ ) 43 Gọi x∗ điểm hội tụ dãy {xn } Bằng định nghĩa, ta có αk = f xk Vì αk w∗ , theo tính liên tục f ta có w∗ = f (x∗ ) Vì xk ∈ W E(F, X) với k W E (F, X) tập đóng (xem [6]), x∗ ∈ W E (F, X) Do x∗ nghiệm tối ưu toàn cục toán (WP) Nhận xét 3.2 (i) Khi ε > 0, thuật toán phải dừng sau số hữu hạn bước lặp Thật vậy, thuật tốn khơng dừng bước lặp k, αk −βk > ε (|αk | + 1) Mặt khác, αk − βk → k → +∞, kéo theo: ε > bất đẳng thức αk − βk > ε (|αk | + 1) xảy k tiến vơ cực Vậy thuật tốn dừng sau số hữu hạn bước lặp (ii) Việc phân nhánh diễn đơn hình Λ mà chiều với số mục tiêu toán (VP), số mục tiêu với số quy hoạch tuyến tính cần phải giải cho việc tính tốn cận Do thuật tốn dự kiến hữu hiệu số mục tiêu toán (VP) nhỏ, cho dù số biến lớn 3.3 Phương pháp nới lỏng Thuật tốn LB mơ tả phần trước yêu cầu tất đỉnh khối đa diện ràng buộc X biết trước Do đó, thuật tốn xây dựng đỉnh khối đa diện dễ tính tốn Trong trường hợp việc tính tốn đỉnh khối đa diện X khó, sử dụng thuật tốn nới lỏng Thuật tốn địi hỏi biết trước đỉnh X, đỉnh tính (nếu cần) bước lặp thủ tục nhánh-cận Có thể mong rằng, thuật tốn tìm thấy lời giải tối ưu tồn cục mà khơng cần phải tính tất đỉnh X 3.3.1 Bài toán nới lỏng Trước tiên, giả sử biết r đỉnh X v , , v r Với đỉnh v k ta định nghĩa: 44 p λi Gk (λ) := ti + Bi v k Ai − si + Ai v k Bi , i=1 p λi [(ti Ai − si Bi )]v k bk (λ) := i=1 Ký hiệu Gr (λ) ma trận (r × p) có hàng k Gk (λ) (k = 1, , r) ký hiệu br (λ) véctơ r-chiều với tọa độ thứ k bk (λ) (b = 1, , r) H r (λ) := Ta xét toán G Gr (λ) , hr (λ) = b br (λ)   f (x) := dT x ,  với ràng buộc  H r (λ) x − hr (λ) ≤ 0,  (Br Λ) x ≥ 0, λ ∈ Λ Do ràng buộc H r (λ) x − hr (λ) ≤ định nghĩa với đỉnh X, nên (Br Λ) toán nới lỏng toán (BΛ) 3.3.2 Phương pháp giải Gọi (λr , xr ) nghiệm tối ưu toán (Br Λ) Nếu xr nghiệm hữu hiệu yếu xr nghiệm tối ưu toán (WP) Ngược lại, giá trị tối ưu (Br Λ) cận giá trị tối ưu (BΛ), tập chấp nhận (BΛ) tập tập chấp nhận (Br Λ) Nên ta tăng cận cách thêm đỉnh khối đa diện X để tạo toán (Br+1 Λ), làm Bởi số lượng đỉnh X hữu hạn, nên trình phải dừng sau hữu hạn bước lặp cho nghiệm tối ưu (BΛ) Q trình mơ tả chi tiết sau 3.3.3 Thuật tốn nới lỏng (Thuật toán RLB) Bước chọn ε > Chọn hay nhiều đỉnh v , , v r X 45 Bước Giải (Br Λ) cách sử dụng thuật tốn LB có nghiệm ε-tối ưu toán (Br Λ) Gọi nghiệm (λr , xr ) Bước Giải quy hoạch tuyến tính max {M (λr , xr , y) | y ∈ X} (Lr ) để tìm nghiệm tối ưu v r+1 ∈ V (X) a) Nếu M λr , xr , v r+1 ≤ dừng (λr , xr ) nghiệm ε-tối ưu (BΛ) (do đó, xr hữu hiệu yếu nghiệm ε-tối ưu toán (WP)) b) Nếu M λr , xr , v r+1 > 0, sử dụng v r+1 để xây dựng toán (Br+1 Λ) Tăng r thêm quay bước Định lí 3.2 (xem [3]) Thuật toán RLB dừng sau thực số hữu hạn bước cho nghiệm ε-tối ưu toán (BΛ) Chứng minh Bằng định nghĩa hàm M (λ, x, y) ta thấy toán (BΛ) tương ứng với toán  T  f (x) := d x ,  với ràng buộc  M λ, x, v i ≤ 0, ∀v i ∈ V (X) ,  λ ∈ Λ, x ∈ X, toán nới lỏng (Br Λ) tương ứng với toán  T  f (x) := d x ,  với ràng buộc  M λ, x, v i ≤ 0, i = 1, , r  λ ∈ Λ, x ∈ X Vì (λr , xr ) nghiệm chấp nhận (Br Λ), ta có M λr , xr , v i ≤ với i = 1, , r Vì M λr , xr , v r+1 = max M (λr , xr , x) , x∈X từ định lý 2.2 kéo theo, M λr , xr , v r+1 ≤ xr điểm hữu hiệu yếu (λr , xr ) nghiệm tối ưu toán (BΛ) Nếu M λr , xr , v r+1 > 0, 46 v r+1 = v j với j = 1, , r, M λr , xr , v j ≤ cho j = 1, , r Do đó, thuật tốn khơng dừng bước bước 2, tìm thấy đỉnh X phân biệt so với tất đỉnh có trước Và số lượng đỉnh X hữu hạn, thuật tốn phải dừng sau thực số hữu hạn bước 3.4 Ví dụ Bây ta minh hoạ thuật toán LB ví dụ Ví dụ giới thiệu mục 3.1 V F (x) = (f1 (x) , f2 (x)) = x∈X −x1 3x1 − 2x2 , x1 + x2 x1 − x2 + X = {x | Gx ≤ b, x ≥ 0} ,   −1 G= −1  −2 −2  ,     −2  b=  Đặt Λ = {λ = (λ1 , λ2 ) | λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0, λ1 + λ2 = 1} , d = [−1, −1] Bài toán phải giải là: dT x = −x1 − x2 | x ∈ W E (F, X) Ta tính 47  −λ1 + 8λ2  9λ2 G (λ) =  −2λ1 + 7λ2 −7λ1 + 2λ2  −6λ2 −2λ1 − 4λ2  , 6λ1  6λ1   −6λ2  18λ2  b (λ) =  42λ2  12λ2 Do      H (λ) =     −1 −1 λ1 + 8λ2 9λ2 −2λ1 + 7λ2 −7λ1 + 2λ2 −2 −2 −6λ2 −2λ1 − 4λ2 6λ1 6λ1       ,        h (λ) =     −2 −6λ2 18λ2 42λ2 12λ2      ,    H T λ1 = +1 −1 −1 +1 −2 −2 +1 −λ1 + 8λ1 9λ1 (−2λ1 + 7λ1 ) (−7λ1 + 2λ1 ) 2 −6λ1 (2λ1 − 4λ1 ) −λ2 + 8λ2 9λ2 6λ1 6λ1 H T λ2 = +1 −1 −1 +1 −2 −2 +1 −6λ2 (−2λ2 + 7λ2 ) (−7λ2 + 2λ2 ) 2 (2λ2 − 4λ2 ) 6λ2 6λ2 Với λ = (λ1 , λ2 ) cố định thuộc V (Sk ) tốn xác định cận cận là: α=                                {−x1 − x2 } , với ràng buộc     −1    −1     −λ + 8λ    9λ2    −2λ1 + 7λ2   −7λ + 2λ2 −2 −2 −6λ2 +2λ1 − 4λ2 6λ1 6λ1               ≤     x1 x2 −2 −6λ2 18λ2 42λ2 12λ2      ,    48 β = (Sk ) =                                     β(λ1 ),β(λ2 )                                    β λ1 := max − 4u1 − 2u2 + u3 + 6u4 − 6λ1 u5 +18λ1 u6 + 42λ1 u7 + 12λ1 u8 2 β λ2 := max − 4u1 − 2u2 + u3 + 6u4 − 6λ2 u5 +18λ2 u6 + 42λ2 u7 + 12λ2 u8 2 với ràng buộc 2u1 − u2 − u3 + u4 + −λ1 + 8λ1 u5 + 9λ1 u6 + 2 −2λ1 − 7λ1 u7 + −7λ1 + 2λ1 u8 − ≥ 2 −4u1 − 2u2 + u3 + 4u4 − 6λ1 u5 + 2λ1 − 4λ1 u6 + 6λ1 u7 + 6λ1 u8 − ≥ 1 2u1 − u2 − u3 + u4 + −λ1 + 8λ2 u5 + 9λ2 u6 2 + −2λ2 + 7λ2 u7 + −7λ2 + 2λ2 u8 − ≥ 2 −4u1 − 2u2 + u3 + 0u4 − 6λ2 u5 + 2λ2 − 4λ2 u6 + 6λ2 u7 + 6λ2 u8 − ≥ 1 u1 ≥ 0, u2 ≥ 0, u3 ≥ 0, u4 ≥ 0, u5 ≥ 0, u6 ≥ 0, u7 ≥ 0, u8 ≥ Khởi đầu Chọn ε = 0, 05 đặt S0 = [(0, 1) , (1, 0)], β (S0 ) = {β ((0, 1)) , β ((1, 0))} = {−13, −13} = −13 Lấy λ = (1, 0) ∈ S0 , α0 = [−1, −1] [2, 0]T = −2 β0 = β (S0 ) = −13 α0 − β0 = −2 + 13 = 11 ≥ 0, 05 (|−2| + 1) = 0, 15 Ta có Γ0 = {S0 } Cho k := sang bước lặp k Bước lặp k : (xem [11]) Theo công bố [11], sau 27 bước lặp thuật tốn LB viết theo ngơn ngữ Maple V, ta được: Nghiệm ε-tối ưu x = (63/32, 189/64) Giá trị ε-tối ưu là: w∗ε = −4.92 49 Kết luận chương Trong chương này, trình bày tốn tối ưu tập nghiệm hữu hiệu hữu hiệu yếu toán (VP), biến đổi hai toán toán dễ khảo sát toán (P Λ) Chúng ta trình bày hai phương pháp để giải toán tối ưu tập hữu hiệu yếu tốn (VP) Phép tính cận theo đối ngẫu Lagrange Phương pháp nới lỏng Với phương pháp, trình bày thuật tốn chứng minh tính dừng thuật tốn Cuối ví dụ minh họa cho Thuật tốn dựa cách tính cận Lagrange (Thuật tốn LB) KẾT LUẬN CHUNG Luận văn đề cập đến vấn đề sau: • Nhắc lại số khái niệm tính chất giải tích lồi như: tập lồi, tập lồi đa diện, nón lồi nhắc lại số định lý quan trọng với số ví dụ minh họa • Giới thiệu định nghĩa hàm phân thức tuyến tính, trình bày tốn tối ưu véc tơ, tốn tối ưu véc tơ phân thức tuyến tính, toán tối ưu đa mục tiêu (bài toán (VP)), toán tối ưu tập nghiệm hữu hiệu hữu hiệu yếu toán (VP) với định nghĩa tập nghiệm hữu hiệu hữu hiệu yếu tốn • Trình bày toán tối ưu tập nghiệm hữu hiệu hữu hiệu yếu toán (VP), biến đổi hai toán toán dễ khảo sát 50 toán tối ưu với buộc tuyến tính Trình bày hai phương pháp để giải toán tối ưu tập hữu hiệu yếu toán (VP) với thuật toán để giải tốn Trình bày ví dụ việc tìm nghiệm hữu hiệu tốn (VP) ví dụ minh họa cho hai thuật toán 51 Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [2] Nguyễn Thị Minh Nguyệt (2004), Khảo sát toán tối ưu véc tơ phân thức tuyến tính phương pháp hàm phạt, Luận văn thạc sĩ toán học, Viện Tốn học, Hà Nội [3] Hồng Quang Tuyến (2001), Phương pháp tối ưu không lồi tập Pareto tốn đa mục tiêu phân tuyến tính, Luận án tiến sĩ toán học, Viện Toán học, Hà Nội Tài liệu Tiếng Anh [4] C Berge (1969), Topological Spaces, Macmillan, New York [5] E U Choo, D R Atkins (1982), Bicriteria Linear Fractional Programming, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol 36, pp 203-220 [6] E U Choo, D R Atkins (1983), Connectedness in Multiple Linear Fractional Programming,Management Science, Vol 29, pp 250-255 [7] R Horst and H Tuy (1996), Global Optimization (Deterministic Approaches), third edition, Springer, Berlin [8] C Malivert (1995), Multicriteria Fractional Optimization, in: Proceedings of the 2nd Catalan Days on Applied Mathematics, Presses of Universitaires de Perpinan, pp 189-198 52 [9] L D Muu and W Oetli (1989), An algorithm for indefinite quadratic programming with convex constraints, Operational Research Letters Vol 10, pp 323-327 [10] L D Muu and W Oetli (1993), A combimed branch-and-bound and cutting plane method for solving a certain class of nonconvex optimization problems, Journal Global Optimization Vol 3, pp 377-391 [11] L D Muu and H Q Tuyen (2002), Bilinear programming approach to optization over the efficient sets of a vector affine fractional problem, ACTA Mathematica Vietnamica, Vol 27, Number 2, pp 119-139 [12] R T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, New Jersey [13] S Schaible (1981), Fractional programming: Applications and Algorithms, European Operational Research Vol 7, pp 111-120 [14] R E Steuer (1986), Multiple Criteria Optimization: Theory, Computation, Applications, Jonh Willey and Sons, New York [15] H Q Tuyen and L D Muu (2001), Biconvex programming approach to optimization over the weakly efficient set of a multiple objective affine fractional problem, Operations Research Letters Vol 28, pp 81-92 ... giải toán tối ưu tập hữu hiệu toán tối ưu ? ?a mục tiêu phân thức a- phin Trong chương này, trình bày tốn tối ưu tập nghiệm hữu hiệu toán (VP) (bài toán (P)) toán tối ưu tập nghiệm hữu hiệu yếu toán. .. tốn tối ưu tập hữu hiệu toán (VP) (bài toán (P)) toán tối ưu tập hữu hiệu yếu toán (VP) (bài toán (WP)) dạng toán tối ưu hai cấp Bài toán (P) toán (WP) phát triển tự nhiên toán tối ưu tập hữu hiệu. .. gọi toán tối ưu véc-tơ phân thức a- phin mở rộng tự nhiên toán tối ưu ? ?a mục tiêu tuyến tính lớp toán tối ưu ? ?a mục tiêu phân thức a- phin thực rộng lớp toán tối ưu ? ?a mục tiêu tuyến tính Các kết