Đang tải... (xem toàn văn)
bài giảng ôn giải tích III chi tiết nhất
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 14 §3. Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản • Quy tắc phân thức đơn giản • Sự cộng hưởng và nhân tử tích lặp bậc hai 1. Mở đầu. Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng có nghiệm là biến đổi Laplace nghịch đảo của hàm hữu tỉ = ( ) ( ) ( ) P s R s Q s Cần đưa ra kĩ thuật cho phép tính { } −1 ( ) R s L đượ c thu ậ n l ợ i. 2. quy tắc phân thức đơn giản a) Quy tắc 1. Phân thức đơn giản tuyến tính N ế u ( ) Q s có ( ) − n s a thì ( ) R s có các s ố h ạ ng sau ( ) ( ) + + + ∈ = − − − 1 2 2 , , 1, » n i n A A A A i n s a s a s a b) Quy tắc 2. Phân thức đơn giản bậc hai N ế u ( ) Q s có ( ) ( ) − + 2 2 n s a b thì ( ) R s có d ạ ng ( ) ( ) ( ) + + + + + + − + − + − + 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n A s B A s B A s B s a b s a b s a b ở đ ó ∈ = , , 1, » i i A B i n Định lí 1. Biến đổi trên trục s N ế u { } = ( ) ( ) F s f t L t ồ n t ạ i v ớ i > s c , thì t ồ n t ạ i { } ( ) at e f t L v ớ i > + s a c và có { } ( ) ( ) at e f t F s a = − L . Hay t ươ ng đươ ng v ớ i { } 1 ( ) ( ) at F s a e f t − − = L Chứng minh. Ta có ( ) ( ) ( ) ∞ − − − = ∫ 0 s a t F s a e f t dt ( ) ∞ − = ∫ 0 st at e e f t dt ( ) { } = − > , at e f t s a c L T ừ k ế t qu ả này và t ừ b ả ng 4.1.2 có ( ) f t ( ) F t at n e t ( ) + > − 1 ! , n n s a s a (2.1) cos( ) at e kt ( ) − > − + 2 2 , s a s a s a k (2.2) sin( ) at e kt ( ) > − + 2 2 , k s a s a k (2.3) PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví dụ 1. Tìm phép bi ế n đổ i Laplace ng ượ c c ủ a a) + = − − 2 3 2 1 ( ) 2 8 s R s s s s • ( ) ( )( ) + = = + + + − + − 2 1 2 4 2 4 s A B C R s s s s s s s • + = + − + − + + 2 1 ( 2)( 4) ( 4) ( 2) s A s s Bs s Cs s . • Thay = 0 s , = − 2 s , và = 4 s ta có − = 8 1 A , = 12 5 B , = 24 17 C ⇔ = − 1 8 A ; = 5 12 B , = 17 24 C • ( ) = − + + + − 1 1 5 1 17 1 . . . , 8 12 2 24 4 R s s s s • ( ) { } − − = − + + 1 2 4 1 5 17 . 8 12 24 t t R s e e L b) ( ) + = + + 2 4 2 2 5 4 s s F s s s ( ( ) ( ) = − − + 1 2 cos sin 2 cos 2 2 sin 2 3 f t t t t t ) c) ( ) − = + + 2 4 2 2 3 2 s s F s s s ( ( ) = − − + + 2 cos sin 2 cos 2 2 sin 2 f t t t t t ) Ví dụ 2. Gi ả i bài toán giá tr ị ban đầ u ′′ ′ + + = 2 4 4 y y y t ; ′ = = (0) (0) 0. y y • Tác độ ng phép bi ế n đổ i Laplace ta có + + = 2 3 2 ( ) 4 ( ) 4 ( ) . s Y s sY s Y s s • ( ) = = + + + + + + + 3 2 3 2 2 2 ( ) 2 ( 2) 2 A B C D E Y s s s s s s s s • Đồ ng nh ấ t các h ệ s ố ta có ( ) = − + − − + + 3 2 2 3 3 1 1 1 8 8 2 2 4 ( ) 2 2 Y s s s s s s • − − = − + − − 2 2 2 1 1 3 1 3 ( ) 4 2 8 4 8 t t y t t t te e . Ví dụ 3. Xét m ộ t h ệ con l ắ c lò xo v ớ i = 1 2 m , = 17 k , = 3 c đơ n v ị (mét, kilôgam, giây). ( ) x t là kho ả ng d ị ch chuy ể n c ủ a kh ố i l ượ ng m t ừ v ị trí cân b ằ ng c ủ a nó. N ế u kh ố i l ượ ng đượ c đặ t ở v ị trí = (0) 3 x , = '(0) 1 x . Tìm ( ) x t là hàm c ủ a dao độ ng t ự do t ắ t d ầ n. Hình 4.3.1. H ệ kh ố i l ượ ng-lò xo và v ậ t c ả n c ủ a Ví d ụ 1 • Ta có ph ươ ng trình vi phân t ươ ng ứ ng v ớ i bài toán là: ′′ ′ + + = 1 3 17 0 2 x x x v ớ i đ i ề u ki ệ n ban đầ u = (0) 3 x ; ′ = (0) 1 x PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn • Tác độ ng phép bi ế n đổ i Laplace vào hai v ế , chú ý { } = 0 0 L ta có [ ] − − + − + = 2 ( ) 3 1 6 ( ) 3 34 ( ) 0 s X s s sX s X s • ( ) ( ) + + = = + + + + + + + 2 2 2 3 19 3 5 ( ) 3. 2 6 34 3 25 3 25 s s X s s s s s • S ử d ụ ng (2.2), (2.3) có ( ) − = + 3 ( ) 3cos5 2sin5 t x t e t t Hình 4.3.2. Hàm v ị trí ( ) x t trong Ví d ụ 1. T ừ hình ta th ấ y đồ th ị c ủ a dao độ ng t ắ t d ầ n. Ví dụ 4. a) Xét h ệ con l ắ c lò xo - gi ả m xóc nh ư trong Ví d ụ 3, tuy nhiên v ớ i đ i ề u ki ệ n ′ = = (0) (0) 0 x x và v ớ i m ộ t l ự c tác độ ng bên ngoài = ( ) 15sin2 F t t . Tìm chuy ể n độ ng t ứ c th ờ i và ổ n đị nh c ủ a kh ố i l ượ ng đ ó. • Ta c ầ n gi ả i bài toán v ớ i giá tr ị ban đầ u + + = " 6 ' 34 30 sin2 x x x t ; = = (0) '(0) 0 x x . • Tác độ ng phép bi ế n đổ i Laplace vào ta có + + = + 2 2 60 ( ) 6 ( ) 34 ( ) 4 s X s sX s X s s • ( ) ( ) ( ) + + = = + + + + + + + 2 2 2 2 60 4 4 ( 3) 25 3 25 As B Cs D X s s s s s . • Đồ ng nh ấ t ta có = − 10 29 A , = 50 29 B , = = 10 29 C D . Vì v ậ y, • ( ) ( ) ( ) − + + − + + − = + = + + + + + + + 2 2 2 2 1 10 50 10 10 1 10 25.2 10( 3) 4.5 . 29 29 4 4 3 25 3 25 s s s s X s s s s s • Do đ ó ( ) ( ) − = − + + − 3 5 2 ( ) 2cos2 5sin2 5cos5 2sin5 29 29 t x t t t e t t . b) ( ) ( ) ( ) ( ) ′′ ′ ′ ′′ + − = = = = 3 6 0, 0 0, 0 0 1 x x x x x x +) ( ) ( ) ( ) − − + − − = 3 2 1 1 6 0 s X s s s X s sX s +) ( ) + = + − 3 2 2 6 s X s s s s = − − + + − 1 5 1 6 15 3 2 s s s +) { } { } { } ( ) − = − − + 3 2 1 5 1 6 15 t t e e L L L ( ) { } − = − − 2 3 1 6 5 15 t t e eL +) ( ) ( ) − = − − 2 3 1 6 5 15 t t x t e e PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn c) ( ) ( ) ′′ ′ ′ − + = = = 6 8 2, 0 0 0 x x x x x ( ( ) ( ) = − + 2 4 1 1 2 4 t t x t e e d) ( ) ( ) − ′′ ′ ′ + + = = = 4 8 , 0 0 0 t x x x e x x ( ( ) ( ) − − = − + 2 1 2 2cos2 sin2 10 t t x t e e t t ) e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ′ ′′ − = = = = = 4 3 0, 0 1, 0 0 0 0 x x x x x x ( ( ) ( ) = + 1 cosh cos 2 x t t t ) f) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ′′ ′′ ′ + + = = = = = − 4 3 13 36 0, 0 0 0, 0 2, 0 13 x x x x x x x ( ( ) = + 1 1 sin2 sin3 2 3 x t t t ) g) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ′′ ′ ′′ + + = = = = = 4 2 3 2 , 0 0 0 0 0 t x x x e x x x x ( ( ) ( ) ( ) = + − − + 2 1 2 10 2 cos 5 14 sin 50 t x t e t t t t ) h) ( ) ( ) ′′ ′ ′ + + = = = − 6 18 cos2 , 0 1, 0 1 x x x t x x ( ( ) ( ) ( ) − = + + + 3 1 1 489cos3 307 sin3 7cos2 6sin2 510 170 t x t e t t t t ) i) ( ) ( ) ( ) ( ) ′′ ′ ′ ′′ + − = = = = 3 12 0, 0 0, 0 0 1 x x x x x x ( ( ) − = − + − 3 4 1 5 1 6 21 14 t t x t e e ) k) ( ) ( ) ( ) ( ) ′′ ′ ′ ′′ + − = = = = 3 20 0, 0 0, 0 0 1 x x x x x x ( ( ) − = − + − 4 5 1 1 1 10 6 15 t t x t e e ) 3. Sự cộng hưởng và nhân tử tích lặp bậc hai Hay dùng hai phép bi ế n đổ i Laplace ng ượ c c ủ a hàm phân th ứ c đơ n gi ả n trong tr ườ ng h ợ p phân tích l ặ p b ậ c hai (nh ậ n đượ c khi s ử d ụ ng k ỹ thu ậ t nh ư ở Ví d ụ 5, Bài 2) ( ) − = + 1 2 2 2 1 sin 2 s t kt k s k L ; ( ) − = − + 1 2 3 2 2 1 1 (sin cos ) 2 kt kt kt k s k L Ví dụ 5. S ử d ụ ng phép bi ế n đổ i Laplace để gi ả i bài toán v ớ i giá tr ị ban đầ u ′′ + = 2 0 0 sin x x F t ω ω ; ′ = = (0) 0 (0) x x • Tác độ ng phép bi ế n đổ i Laplace vào có + = + 2 2 0 0 2 2 ( ) ( ) F s X s X s s ω ω ω • ( )( ) = + + 0 2 2 2 2 0 ( ) F X s s s ω ω ω = − − + + 0 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 F s s ω ω ω ω ω , ≠ 0 ω ω ⇒ tìm đượ c ( ) x t • N ế u = 0 ω ω ta có ( ) = + 0 0 2 2 2 0 ( ) F X s s ω ω , khi đ ó ( ) = − 0 0 0 0 2 0 ( ) sin cos 2 F x t t t t ω ω ω ω PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Hình 4.3.4. Nghi ệ m c ộ ng h ưở ng trong (18) v ớ i = 0 1 2 ω và = 0 1 F , cùng v ớ i đườ ng bao c ủ a nó = ± ( ) x C t Ví dụ 6. Gi ả i bài toán v ớ i giá tr ị ban đầ u ( ) + + = 4 2 " 4 t y y y te ; = = = = (3) (0) '(0) "(0) (0) 0 y y y y . • Có { } ′′ = 2 ( ) ( ) y t s Y s L , ( ) { } = 4 4 ( ) ( ) y t s Y s L , { } ( ) = − 2 1 1 t te s L . • Tác độ ng phép bi ế n đổ i Laplace vào có ( ) ( ) + + = − 4 2 2 4 2 1 ( ) 1 s s Y s s . • ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 ( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 A B Cs D E s F Y s s s s s s s + + = = + + + − − + − + + • Dùng h ệ s ố b ấ t đị nh có ( ) ( ) ( ) + = − + + − + − + 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 s s Y s s s s s • Do đ ó ( ) = − + + + ( ) ( 2) 1 sin 2cos t y t t e t t t . HAVE A GOOD UNDERSTANDING! HAVE A GOOD UNDERSTANDING!HAVE A GOOD UNDERSTANDING! HAVE A GOOD UNDERSTANDING! . PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 14 §3. Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản • Quy tắc phân thức. (2.2) sin( ) at e kt ( ) > − + 2 2 , k s a s a k (2.3) PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví dụ 1. Tìm phép bi ế n đổ i Laplace ng ượ c c ủ a a) + = − − 2 3 2 1 (. . Tìm ( ) x t là hàm c ủ a dao độ ng t ự do t ắ t d ầ n. Hình 4.3.1. H ệ kh ố i l ượ ng-lò xo và v ậ t c ả n c ủ a Ví d ụ 1 • Ta có ph ươ ng trình vi phân t ươ ng ứ ng v ớ i bài toán