SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI Trường THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn: TOÁN, Khối D Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH: (7 điểm) CÂU I (2 điểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x - = - có đồ thị ( ) .C 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số. 2. Tìm điểm M trên ( ) C để tổng các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất. CÂU II (2 điểm) 1. Giải phương trình: 2 sin sin sin cos 1.x x x x+ + + = 2. Giải phương trình: 1 5 .8 500. x x x - = CÂU III (1 điểm) Tính tích phân: 1 0 1 . I x xdx = - ò CÂU IV (1 điểm) Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi , I K lần lượt là trung điểm của ' 'A D và '. BB Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng , IK AD và tính thể tích của khối tứ diện . IKAD CÂU V (1 điểm) Cho các số thực , ,a b c không âm thỏa mãn điều kiện 2 2 2 3.a b c+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 2 2 2 . 1 1 1 a b c P b c a = + + + + + PHẦN RIÊNG: (3 điểm) Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình chuẩn CÂU VI. a (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với điểm ( ) 2; 4A - và hai đường phân giác trong của các góc , B C lần lượt có phương trình 1 2 : 2 0; : 3 6 0.d x y d x y+ - = - - = Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh . BC 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm ( ) 1;2;3 .M Hãy viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua điểm M và cắt các trục , ,Ox Oy Oz tương ứng tại các điểm , , A B C sao cho .O ABC là hình chóp đều. CÂU VII. a (1 điểm) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 2. B. Theo chương trình nâng cao CÂU VI.b 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC và điểm ( ) 0; 1 .M - Phương trình đường phân giác trong của góc A và phương trình đường cao tại C lần lượt là 0,x y- = 2 3 0.x y+ + = Hãy viết phương trình cạnh BC biết rằng đường thẳng AC đi qua M và độ dài 2 .AB AM= 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1 2 4 : ; 1 1 2 x y z d - + = = 2 8 6 10 : . 2 1 1 x y z d + - - = = - Chứng minh 1 2 ,d d là hai đường thẳng chéo nhau và viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng này. CÂU VII. b (1 điểm) Giải phương trình ( ) 3 2 2 2 log 2 2log 9.x x= - Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ………………………………… Số báo danh: ……………. www.VNMATH.com 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn: TOÁN, Khối D ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm Câu I (2 điểm) 1. (1 điểm)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  Tập xác định:   \ 1 .D    Sự biến thiên:  Chiều biến thiên:   2 1 ' 1 y x D x        hàm số nghịch biến trên các khoảng   ;1 và   1; .  TCĐ 1;x  TCN: 2.y   BBT: x  1  ' y   y 2   2  Đồ thị: 1đ 2. (1 điểm) Tìm M để tổng khoảng cách tới các TC nhỏ nhất Giả sử   1 ;2 . 1 M m C m          Khoảng cách từ M đến TCĐ là 1 1 1 ; M d x m    khoảng cách từ M đến TCN là 2 1 2 . 1 M d y m     Tổng khoảng cách từ M đến 2 TC là 1 2 1 1 2, 1 T d d m m        dấu '' '' xảy ra     2 1 0 1 1 0;1 2 m m M m           hoặc   2;3 .M 1đ www.VNMATH.com 2 Câu II (2 điểm) 1. (1 điểm) giải phương trình lượng giác PT 2 2 2 1 1 sin sin cos cos sin cos 2 2 x x x x x x                     1 1 sin cos 2 2 x x    hoặc 1 1 sin cos . 2 2 x x    Giải các phương trình này ta được nghiệm 2x k   hoặc 2x k       trong đó 0; 2          sao cho 5 1 sin . 2    1đ 2. (1 điểm) Điều kiện 0.x  phương trình tương đương 3 3 3 3 2 2 3 3 1 5 .2 5 .2 5. 1 . 1 log 5 2 5. 1 2 x x x x x x x x x                          1đ Câu III (1 điểm) Đặt 2 1 1 2 .t x t x dx tdt        Khi đó   1 2 2 0 4 2 1 . 15 I t t dt    1đ Câu IV (1 điểm) Gọi M là trung điểm của ',CC   ' 'A D MK là mặt phẳng chứa IK và song song với .AD  khoảng cách giữa AD và IK bằng khoảng cách từ D đến 'D M và bằng 2 5 . 5 HD  2 2 6 1, ' ' . 2 AD IK IA KA          ' sin , sin ' ', KA AD IK A D IK KI   30 . 6     1 1 . .sin , . 6 6 IKAD V AD IK AD IK  1đ Câu V (1 điểm) AD BĐT Cô si: 3 3 2 2 3 2 2 1 1 3 . 4 2 16 2 2 1 2 1 a a b a b b       Tương tự cho các BĐT còn lại. Cộng các BĐT theo vế và chú ý 2 2 2 3 2 3 2 3 min 1. 2 2 a b c P P a b c           1đ Câu VI.a (2 điểm) 1. (1 điểm) Viết phương trình cạnh BC Gọi 1 1 ,H A lần lượt là hình chiếu của A trên 1 d và điểm đối xứng của A qua     1 1 1 4; 2 , 6;0 .d H A  Tương tự, gọi 2 2 ,H A lần lượt là hình chiếu của A trên 2 d và điểm đối xứng qua 2 d của 2 2 6 8 2 12 ; , ; . 5 5 5 5 A H A               phương trình đường thẳng BC là 3 7 6 0.x y   1đ www.VNMATH.com 3 2. (1 điểm) Viết phương trình mặt phẳng (P) Phương trình đoạn chắn: 1. x y x a a a    Thay toạ đọ điểm M vào   : 6 0.P x y z     1đ Câu VII.a (1 điểm) Xét các TH: + TH 1: Số có dạng 2 4 2 3 36.bcd A  (Cách) + TH 2 : Số có dạng 2 3.3.3 27.a cd   (Cách) + TH 3: Số có dạng 2 3.3.3 27.ab d   (Cách) Tổng cộng có 90 cách. 1đ Câu VI.b (2 điểm) 1. (1 điểm) Viết phương trình cạnh BC Lấy N đối xừng với M qua AD, vì 1 2 N AB N AM AN AB          là trung điểm của   0; 1 .AB N    : 2 1 0.AB x y   Toạ độ     1;1 , 3; 1 .A B     1 : 2 1 0; ; 2 2 AC x y C               : 2 5 11 0.BC x y   1đ 2. (1 điểm) CM hai đường thẳng vuông góc và viết PT đường vuông góc chung 1 d đi qua   1 0;2; 4M  và có VTCP   1 2 1;1;2 ;u d  đi qua   2 8;6;10M  và có VTCP   2 2;1; 1 .u    Vì 1 2 1 2 1 2 , . 20 0 ,u u M M d d           chéo nhau. Chuyển 2 phương trình về dạng tham số 1 2 8 2 : 2 ; : 6 . 4 2 10 x t x u d y t d y u z t z u                        Giả sử       ; 2;2 4 , 2 8; 6;10 2 8; 4; 2 14 .A t t t B u u u AB u t u t u t               Giải hệ 1 2 . 0 34 36 18 30 6 ; ; . 7 7 7 7 7 . 0 MN u t u AB MN u                           Đường vuông góc chung d của 1 2 ,d d nhận vecto   7 3; 5;1 6 u AB      làm VTCP, do đó phương trình của d là:   34 48 40 3 ; 5 ; . 7 7 7 x t y t z t t       1đ Câu VII.b (1 điểm) Điều kiện 0.x  Biến đổi phương trình về dạng 3 2 2 2 2 2 1 log log 3log 10 0 log 2 . 4 x x x x         1đ www.VNMATH.com . SỞ GIÁO D C VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI Trường THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn: TOÁN, Khối D Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG. ……………. www.VNMATH.com 1 BỘ GIÁO D C VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn: TOÁN, Khối D ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm . đi qua M và độ d i 2 .AB AM= 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1 2 4 : ; 1 1 2 x y z d - + = = 2 8 6 10 : . 2 1 1 x y z d + - - = = - Chứng minh 1 2 ,d d là hai đường