1 HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM HỘI ĐỒNG RA ĐỀ THI MÔN HỌC, HỌC PHẦN Độc lập - Tự do – Hạnh phúc NGÂN HÀNG ĐỀ THI Môn: ĐẠI SỐ Ban hành kèm theo Quyết định số: ………/QĐ-TTĐT1của Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông ký ngày /04/2006 DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC TỪ XA NGÀNH VIỄN THÔNG, CÔNG NGHỆ THÔNG TIN THỜI GIAN : 120 phút MỖI ĐỀ 4 CÂU ( một câu loại 1, một câu loại 2, một câu loại 3 và một câu loại 4) A. LOẠI CÂU HỎI 1 ĐIỂM Câu 1: D C B A , , , là tập con của E . Chứng minh rằng: Nếu D C B A   , thì D B C A D B C A       , . Câu 2: D C B A , , , là tập con của E . Chứng minh rằng: Nếu B A C A B A C A       , thì B C  . Câu 3: Hệ véc tơ sau của không gian 3  độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính 1 2 3 (1,2, 3); (1, 3,2); (2, 1,5) v v v       . Câu 4: Tìm hạng của hệ véc tơ sau của không gian 3  : 1 2 3 (2,3,4); (5, 3,1); (0,7, 2) v v v      . Câu 5: Tìm hạng của hệ véc tơ sau của không gian 3  : 1 (1, 1, 1) v    ; 2 (4, 3, 1) v    ; 3 (3, 1,3) v   . Câu 6: Tính định thức 1 3 9 1 5 25 1 7 49 D  . Câu 7: Tính định thức 8 6 7 5 8 5 6 5 4 D  . Câu 8 : Cho               32 23 10 A ,                14 21 32 B . Tính t AB . 2 Câu 9: Tính tích ma trận 2 5 6 3 1 4 2 1 2 5 0 2 1 5 1 3 2 4 6 3 1                        . Câu 10: Cho ma trận 1 3 4 5 3 3 2 1 4 A               , hãy tính 2 4 4 A A I   . Câu 11: Cho hai ánh xạ tuyến tính 23 :,  gf có công thức xác định ảnh ( , , ) ( 2 3 ,2 ) f x y z x y z x y z      , ( , , ) (2 , 2 ) g x y z x y z x y      . Viết ma trận của 3 4 f g  trong hai cơ sở chính tắc. Câu 12: Cho ánh xạ tuyến tính 2 3 :f    và 3 2 :g    có công thức xác định ảnh ( , ) ( 2 , , 3 4 ) f x y x y x x y     , ( , , ) ( 2 5 ,3 4 ) g x y z x y z x y     . Viết ma trận của g f  trong cơ sở chính tắc. Câu 13: Tìm hạng của ma trận: 8 4 6 2 3 1 4 2 6 2 8 3 A            . Câu 14: Tìm hạng của ma trận: 5 2 3 1 4 1 2 3 1 1 1 2 A             . Câu 15: Tìm , , x y z và w nếu 6 4 3 1 2 3                        x y x x y z w w z w . B. LOẠI CÂU HỎI 2 ĐIỂM Câu 1: Rút gọn công thức sau của đại số Boole:               ' ' ' ' A x y z y z y z x x z x z y                      . Câu 2 : Rút gọn công thức sau của đại số Boole:               ' ' ' ' A x z x z y x y z y z y z x                      . Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của m để véc tơ (1,3,5) u  biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của các véc tơ: 1 (3,2,5) v  , 2 (2,4,7) v  , 3 (5,6, ) v m  . Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của m để (7, 2, ) u m   biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của: 1 (2,3,5) v  , 2 (3,7,8) v  , 3 (1, 6,1) v   . 3 Câu 5: Tìm điều kiện của a , b , c để hệ phương trình sau có nghiệm 2 3 2 6 11 2 7 x y z a x y z b x y z c               Câu 6: Viết 3 1 1 2 E         thành tổ hợp tuyến tính của: 1 1 0 1 A         , 1 1 1 0 B         và 1 1 0 0 C         . Câu 7: Viết 2 1 1 2 E          thành tổ hợp tuyến tính của: 1 1 0 1 A         , 1 1 1 0 B         và 1 1 0 0 C         . Câu 8: Biểu diễn véc tơ (3,6, 6,0) u   thành tổ hợp tuyến tính của 3 véc tơ sau: 1 (3,2, 4,1) v   , 2 (1,5,0,3) v  , 3 (4,3, 2,5) v   . Câu 9: Chứng tỏ rằng hệ véc tơ 1 2 3 (1, 1,1); (2,1, 3); (3,2, 5) v v v       là một cơ sở của không gian 3  . Tìm toạ độ của véc tơ (5,3, 4) u   trong cơ sở này. Câu 10 : Chứng tỏ rằng hệ véc tơ 1 2 3 (5,3, 8); (3,2, 5); (4,1, 4) v v v       là một cơ sở của không gian 3  . Tìm toạ độ của véc tơ ) 7 , 2 , 6 (   u trong cơ sở này. Câu 11 : Chứng tỏ rằng hai hệ véc tơ:   )1,7,3(;)3,3,2(;)1,2,1( 321    vvv   )6,1,1(,)1,2,5(,)4,1,3( 321     uuu là hai cơ sở của không gian 3  . Tìm ma trận chuyển từ cơ sở thứ nhất sang cơ sở thứ hai. Câu 12: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 8 12 8 3 4 6 3 2 3 2 3 9 7 3 2 3 1 x x mx x x x x x x x x x x x x x                        Câu 13: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 3 2 4 3 7 3 7 17 4 2 3 7 1 8 6 5 9 x x x x x x x x m x x x x x x x x                        4 Câu 14: Cho hai ma trận 2 3 1 3 A         và 6 2 12 8 B         . Tìm ma trận X thỏa mãn AX B  Câu 15: Cho hai ma trận 5 3 4 2 A        và 2 3 1 4 B        . Tìm ma trận X thỏa mãn XA B  C. LOẠI CÂU HỎI 3 ĐIỂM Câu 1: Đặt   4 1 ( , , , ) 0; 2 V x y z t x y z t      ,   4 2 ( , , , ) 0 V x y z t y z t       . Hãy tìm chiều và một cơ sở của các không gian con 1 V , 2 V , 1 V  2 V . Suy ra chiều của 1 2 V V  . Câu 2: Đặt 1 V , 2 V lần lượt là hai không gian véc tơ con của 4  gồm các véc tơ ),,,( 4321 xxxxv  thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II): 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4 5 2 3 0 ( ) 3 5 6 4 0 2 4 3 0 x x x x I x x x x x x x x                  , 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 3 2 0 ( ) 4 7 5 6 0 2 2 0 x x x x II x x x x x x x x                  Hãy tìm số chiều của các không gian con 1 V , 2 V , 1 V + 2 V , 1 V  2 V . Câu 3: Trong không gian 4  xét các véc tơ: )3,1,4,2( 1   v ; )2,1,2,1( 2   v ; )3,2,2,1( 3   v ; )7,3,8,2( 1   u ; )1,1,0,1( 2   u ; )8,4,8,3( 3   u . Đặt 1 V , 2 V là hai không gian véc tơ con của 4  lần lượt sinh bởi hệ véc tơ   321 ,, vvv và   321 ,, uuu . Hãy tìm số chiều của các không gian con 1 V , 2 V , 1 V + 2 V , 1 V  2 V . Câu 4: Trong không gian 4  xét các véc tơ: 1 (2,1,2,1) v  ; )3,2,4,3( 2  v ; 3 v (2,3,1,2)  ; )3,1,1,1( 1    u ; )1,0,1,1( 2   u ; 3 (1,1,1,1) u  . Đặt 1 V , 2 V là hai không gian véc tơ con của 4  lần lượt sinh bởi hệ véc tơ   321 ,, vvv và   321 ,, uuu . Hãy tìm số chiều của các không gian con 1 V , 2 V , 1 V + 2 V , 1 V  2 V . Câu 5: Cho ánh xạ tuyến tính 33 :  f có công thức xác định ảnh ( , , ) ( 3 4 ,3 6 , 5 )         f x y z x y z x y z x y z . a) Chứng minh rằng định thức ma trận chính tắc của f khác không. b) Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược ),,( 1 zyxf  . 5 Câu 6: Cho ánh xạ tuyến tính 33 :  f có công thức xác định ảnh ( , , ) ( 2 2 ,3 , )       f x y z x y z x y x y z . a) Chứng minh rằng định thức ma trận chính tắc của f khác không. b) Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược ),,( 1 zyxf  . Câu 7: Tự đồng cấu tuyến tính f có ma trận ứng với cơ sở   4321 ,,, eeee là               3121 1352 2103 1021 A . Hãy tìm ma trận của f trong các cơ sở sau: a)   4231 ,,, eeee b)   4321321211 ,,, eeeeeeeeee       . Câu 8 : Cho ánh xạ tuyến tính 4 4 :f    xác định bởi: ( , , , ) (2 3 5 8 ,3 2 , , 4 5 9 ) f x y z t x y z t x y z t x y t x y z t              a) Viết ma trận của f trong cơ sở chính tắc của 4  . b) Tìm một cơ sở của Ker f và Im f . Câu 9: Cho ánh xạ tuyến tính 33 :  f có ma trận trong cơ sở chính tắc là 2 1 1 2 6 5 6 4 7 A             a) Viết công thức xác định ảnh ( , , ) f x y z . b) Tìm một cơ sở của Ker f và Im f . Câu 10: a) Chứng tỏ )3,2,1( 1  v , )3,5,2( 2  v , )10,0,1( 3  v là một cơ sở của 3  . b) Cho ánh xạ tuyến tính 23 :  f xác định bởi )0,1()( 1  vf , )0,1()( 2  vf , )1,0()( 3  vf . Tìm công thức xác định ảnh ),,( zyxf . Câu 11: Cho f là ánh xạ từ không gian véc tơ các ma trận vuông cấp 2 vào chính nó xác định bởi công thức: ( ) f A AM MA   , trong đó 1 2 0 3 M        . a) Chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính. b) Tìm một cơ sở của Ker f . c) Tìm hạng của f . 6 Câu 12: Cho f là ánh xạ từ không gian véc tơ các ma trận vuông cấp 2 vào chính nó xác định bởi công thức: ( )  f A MA , trong đó 1 1 2 2          M . a) Chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính. b) Tìm một cơ sở của Ker f . c) Tìm một cơ sở của Im( ) f . Câu 13: Trong không gian 3  xét các không gian véc tơ con:   ( , , ) : 0     U x y z x y z ,   ( , , ):   V x y z x z ,   (0,0, ):   W z z  . Chứng minh rằng: (i) 3   U V  , (ii) 3   U W  , (iii) 3   V W  . Trường hợp nào ở trên là tổng trực tiếp. Câu 14: Cho hai véc tơ 1 (1, 3,2) u   và 2 (2, 1,1) u   của không gian véc tơ 3  . a) Biểu diễn véc tơ (1,7, 4) v   thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ 1 u , 2 u . b) Tìm tất cả các giá trị k để véc tơ (1, ,5) w k  biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ 1 u , 2 u . Câu 15: Cho hai véc tơ 1 (2,1, 1) u   , 2 (1,2, 3) u   của 3  . a) Viết (2, 5,9)  thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ 1 u , 2 u . b) Tìm điều kiện , , x y z để ( , , ) x y z viết được thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ 1 u , 2 u . D. LOẠI CÂU HỎI 4 ĐIỂM Câu 1 : Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 :f    xác định bởi: ( , , ) (3 ,2 4 2 , 3 ) f x y z x y z x y z x y z        a) Hãy viết ma trận A của ánh xạ f trong cơ sở chính tắc. b) Tính det( ) A . c) Tìm ma trận P sao cho 1 P AP có dạng chéo. Câu 2: Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 :f    xác định bởi: ( , , ) ( 5 3 3 , 3 3 , 6 6 4 )           f x y z x y z x y z x y z a) Hãy viết ma trận A của ánh xạ f trong cơ sở chính tắc. b) Tính det( ) A . c) Tìm ma trận P sao cho 1 P AP có dạng chéo. Câu 3 : Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 :f    xác định bởi: 7 ( , , ) ( 3 , 3 5 , 3 3 ) f x y z x y z x y z x y z           a) Viết ma trận A của f trong cơ sở chính tắc. b) Tính det( ) A . c) Tìm một cơ sở của 3  để ma trận của f trong cơ sở này có dạng chéo. Câu 4: Cho ánh xạ tuyến tính 4 4 :f    xác định bởi: ( , , , ) ( , , , ) f x y z t x y z at x y az t x ay z t ax y z t              1) Viết ma trận của f trong cơ sở chính tắc. 2) Tìm các giá trị a để: a) f là một đẳng cấu; b) 1 dimKer f  . Câu 5: Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 :f    xác định bởi: ( , , ) (3 2 4 , 2 2 , 4 2 3 ) f x y z x y z x z x y z       a) Viết ma trận của f trong cơ sở chính tắc. b) Tìm một cơ sở của 3  để ma trận của f trong cơ sở này có dạng chéo. Viết ma trận của f trong cơ sở này. Câu 6: Cho ma trận               313 311 513 m m m A ;   m . a) Với giá trị nào của m thì tồn tại ma trận nghịch đảo 1 A . b) Cho 1   m tìm 1 A . Câu 7: Cho ma trận            41 14 23 m m m A ;   m . a) Với giá trị nào của m thì tồn tại ma trận nghịch đảo 1 A . b) Cho 2  m tìm 1 A . Câu 8 : Cho dạng song tuyến tính  của không gian véc tơ 2  xác định bởi:   1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ( , );( , ) 3 x y x y x x x y y y     a) Viết ma trận A của  trong cơ sở   1 2 (1,0), (1,1) u u  . b) Viết ma trận B của  trong cơ sở   1 2 (2,1), (1, 1) v v    . 8 c) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở   1 2 , u u sang cơ sở   1 2 , v v , và nghiệm lại rằng t B P AP  . Câu 9: Cho dạng toàn phương 3 :Q    xác định bởi: 2 2 2 ( , , ) 5 2 2 4 Q x y z x y z xy xz yz        a) Viết ma trận của Q trong cơ sở chính tắc. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số  để Q là dạng toàn phương xác định dương. Câu 10 : Cho dạng toàn phương 3 :Q    xác định bởi: 2 2 2 ( , , ) 14 17 14 4 8 4 Q x y z x y z xy xz yz       . a) Viết ma trận của Q trong cơ sở chính tắc. b) Tìm một cơ sở trực chuẩn của 3  để biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc. Câu 11 : Cho ma trận 5 3 3 3 1 3 6 6 4 A               . a) Tìm ma trận P sao cho AP P 1  có dạng chéo. b) Tính   5 3 det 4 6 A A I   . Câu 12 : Cho ánh xạ tuyến tính 3 3 :f    xác định bởi: ( , , ) (2 , 4 ,3 ) f x y z y z x y x    a) Hãy viết ma trận A của ánh xạ f trong cơ sở chính tắc. b) Hãy viết ma trận ' A của ánh xạ f trong cơ sở   1 2 3 ' ' , ' , ' e e e B , 1 2 3 ' (1, 1,2), ' ( 1,1, 1), ' (1, 2,1) e e e       . c) Tính det( ) A , det( ') A . Câu 13: a) Trong không gian véc tơ 3  xét tích vô hướng thông thường. Trực chuẩn hoá Gram-Shmidt của hệ véc tơ       1,0,0,1,1,0,1,1,1 3 2 1    uuu . b) Trong không gian véc tơ 4  xét tích vô hướng thông thường. Tìm một cơ sở của không gian W gồm các véc tơ trực giao với hai véc tơ     1 2 1, 2,3, 4 , 3, 5,7,8 v v    . Câu 14 : Cho ma trận 11 2 8 2 2 10 8 10 5 A              , tìm ma trận trực giao P sao cho t P AP là ma trận chéo. 9 Câu 15: Cho ma trận 17 8 4 8 17 4 4 4 11 A                , tìm ma trận trực giao P sao cho t P AP là ma trận chéo. .   . a) Viết ma trận c a Q trong c sở chính t c. b) Tìm một c sở tr c chuẩn c a 3  để biểu th c toạ độ c a Q trong c sở này c dạng chính t c. C u 11 : Cho ma trận 5 3 3 3 1 3 6.  a) Viết ma trận c a f trong c sở chính t c. b) Tìm một c sở c a 3  để ma trận c a f trong c sở này c dạng chéo. Viết ma trận c a f trong c sở này. C u 6: Cho ma trận               313 311 513 m m m A . A c a f trong c sở chính t c. b) Tính det( ) A . c) Tìm một c sở c a 3  để ma trận c a f trong c sở này c dạng chéo. C u 4: Cho ánh xạ tuyến tính 4 4 :f    x c định bởi: