Nâng cao việc dạy và học môn toán học ở đại học Bây giờ chúng ta cùng xem xét nhiệm vụ của một giảng viên toán học (người thầy?) đang đối mặt với các sinh viên năm thứ nhất mới từ phổ thông trung học lên. Khi làm việc này, chúng tôi sẽ trình bày trên cơ sở nhu cầu củng cố hành vi đầu vào của sinh viên mà dựa vào đó việc dạy và học trong nhà trường được xây dựng. Chúng tôi áp dụng các chiến lược cho giảng viên một số điểm gợi ý để dạy môn toán có hiệu quả đối với sinh viên mới học hoặc đối với sinh viên năm thứ nhất. i. Xua tan chuyện hoang tưởng: Các sinh viên năm thứ nhất bước vào trường thường hoang tưởng rằng toán học là một tập hợp các con số, ký hiệu và chữ trừu tượng vô nghĩa cần biến đổi để có được một câu trả lời đúng định trước nào đó. Chuyện hoang tưởng này cần phải được xua tan ngay lập tức. Một cách có hiệu quả để làm việc đó là trình bày tối đa các ký hiệu và các biểu thức toán học dưới dạng lời nói và liên hệ chúng với thực tế. Ví dụ, thật ngạc nhiên rằng nhiều sinh viên mới viết dễ dàng biểu thức định lý Pi ta go, nhưng khi được yêu cầu biểu diễn dưới dạng lời nói và liên hệ với thực tế thì họ lại không đạt yêu câu. Cũng tương tự như vậy đối với ba phương trình động học cơ bản: ii. V = U + at; S = ut + (1/2)at 2 ; v 2 = u 2 + 2as. Có rất ít các sinh viên năm nhất có thể diễn đạt ba phương trình này bằng lời và liên hệ chúng với những tình huống thực tế mặc dù họ có thể thuộc lòng chúng khi sử dụng kinh nghiệm học vẹt ở phổ thông trung học. Do vậy, giảng viên đại học phải dạy cho họ cách phát biểu các biểu thức toán học bằng lời và chỉ cho họ thấy mối liên hệ của chúng với cuộc sống. iii. Giải thích các chữ và các ký hiệu: Lấy ví dụ trường hợp các chữ và các ký hiệu trong đại số, lượng giác và toán cao cấp. Sinh viên đã quen các chữ cái tiếng Anh – a, b, c, … x, y, z – trong đại số, nhưng liệu họ có biết rằng các chữ này thay cho các lượng chưa biết có thể được tìm thấy thông qua các thuật toán lô gic? Họ cũng biết một vài chữ “lạ” khác như là , , ,  từ môn lượng giác cơ sở được học ở phổ thông trung học. Nhưng hầu như họ không biết nguồn gốc hoặc tên của các chữ này, vì chính ngay thầy giảng của họ ở trình độ thấp hơn cũng không biết (thật là một vòng luẩn quẩn!). Giảng viên cần cho các sinh viên biết rằng đó là các chữ cái Hy Lạp mà chúng ta sử dụng khi có sự lẫn lộn trong việc sử dụng lặp lại các chữ cái tiếng Anh. Chữ cái Hy Lạp đầu tiên là  (alpha) và chữ cái cuối cùng là  (omega). (Nhớ rằng  và  là Alpha và Omega, chữ bắt đầu và kết thúc …). Một số các chữ khác là  (beta),  (gamma),  (delta),  (theta),  (phi) … iv. Các phép tính tích phân trong toán học cao cấp là một tình huống khác mà dường như thường mơ hồ đối với sinh viên khi dựa trên một kiến thức nền tảng trừu tượng. Ta lấy ví dụ, sinh viên có kiến thức về phép tính vi phân sơ cấp mà ở đó họ đã được học cách các đại lượng có thể được nghiên cứu chi tiết bằng cách chia nhỏ chúng thành các phần tử nhỏ ký hiệu là dx. Trong quá trình tích phân chúng ta muốn tập hợp tất cả những phần tử nhỏ trở lại hợp thành một chỉnh thể (giải nghĩa từ “tích phân”). Do đó ta nói “tổng của các vi phân dx”, tức là, “tổng của tất cả dx”. Vì toán học sử dụng ký hiệu để diễn đạt tóm tắt các câu và mệnh đề, chúng ta có thể dùng “S” đại diện cho “tổng tất cả” và vì thế viết Sdx. Nhưng điều đó có thể nhầm lẫn với các ký hiệu “S” khác sau này trong công việc của chúng ta, vì thế chúng ta sẽ biến đổi chữ “S” bằng cách kéo dài nó để có ký hiệu đặc biệt trông như: I. Chữ này được gọi là ký hiệu của tích phân, vì thế ta viết Idx. Nhưng do dx rất nhỏ, ta thường viết ký hiệu dx để biểu diễn các biểu thức quen thuộc Idx, Ixdx, Ix 2 dx, … trong những trường hợp có thể. Mục đích của chúng ta ở đây là nhấn mạnh rằng để có một cơ sở vững chắc, điều luôn luôn cần thiết đối với giảng viên biết giới thiệu các chủ đề mới theo cách đơn giản và quen thuộc bằng việc giải thích kiên nhẫn các ký hiệu có hình thức lạ và nhìn đáng sợ và nâng cao mức độ tham chiếu của sinh viên để trang bị ngôn ngữ mới cho chủ đề mới. Nên nhớ rằng sự bổ sung trang bị thêm tương tự việc tổ chức lại bản đồ nhận thức, là một quá trình học tập phức tạp hơn sự đồng hoá mà nhờ đó đầu vào “mới” tìm được chỗ neo đậu sẵn sàng. v. Liên hệ đến công nghệ: Bên cạnh đó, cần thiết phải chỉ ra, ở bất cứ chỗ nào có thể được, sự áp dụng của toán học vào các tình huống thực tế, đặc biệt là trong sự phát triển của công nghệ. Việc nghiên cứu sóng điện từ hiện đang là một phần của toán học cao cấp. Điều đó liên quan như thế nào đến việc truyền bức xạ trong phát thanh và việc truyền tin trong du hành vũ trụ? Thuyết lượng tử và phương trình Schroedinger hiện đang là một phần của toán học cao cấp. Chúng có liên quan như thế nào trong việc truyền tải năng lượng điện trong những bộ vi xử lý dùng trong cấu trúc của các máy tính hiện đại? Nếu muốn bông đùa, có thể nói thêm rằng phương trình điện từ trường của Maxwell là cái mà Chúa đã viết trên trời và “ ở đó đã là ánh sáng”. vi. Nhấn mạnh quá trình và giảm nhẹ các câu trả lời: Đa số sinh viên toán cho rằng mục đích của việc học toán là để đạt tới những câu trả lời đúng cho các bài toán. Câu trả lời đương nhiên là quan trọng, nhưng chắc chắn không phải là điểm trọng yếu trong việc học toán. Thực ra, một số vấn đề trong toán học cao cấp có thể không yêu cầu một câu trả lời là một con số xác định rõ ràng. Các trường hợp đó như là “chứng tỏ rằng…”, “chỉ ra rằng …” không yêu cầu những câu trả lời bằng con số. Điều quan trọng hơn là dạy quá trình thao tác toán học như là một loạt các suy luận lô gic. Vì thế, phương pháp giảng dạy được phần lớn chấp nhận là cái mà Nagel (1966) gọi là “ kiểu giảng giải logic diễn dịch (deductive-nomological)”. Như Oguntonade (1971) chỉ ra, “trong việc giảng giải theo kiểu này, hiện tượng cần được giải thích, (được gọi là hiện tượng cần giảng giải) thể hiện là hậu quả cần thiết hoặc tất yếu của bộ giả thuyết (các luận giải) trong đó có ít nhất một quy luật phổ biến (L) và vài trường hợp cá biệt của các quy luật phổ biến được rút ra từ hiện tượng cần giảng giải. Dạng đơn giản nhất là mẫu giải thích kiểu “nếu có x, thì có y, với điều kiện z”. . Nâng cao việc dạy và học môn toán học ở đại học Bây giờ chúng ta cùng xem xét nhiệm vụ của một giảng viên toán học (người thầy?) đang đối mặt với các. nhất mới từ phổ thông trung học lên. Khi làm việc này, chúng tôi sẽ trình bày trên cơ sở nhu cầu củng cố hành vi đầu vào của sinh viên mà dựa vào đó việc dạy và học trong nhà trường được xây. dạy môn toán có hiệu quả đối với sinh viên mới học hoặc đối với sinh viên năm thứ nhất. i. Xua tan chuyện hoang tưởng: Các sinh viên năm thứ nhất bước vào trường thường hoang tưởng rằng toán