Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Bộ môn Toán Ứng Dụng. Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 10 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút Câu 1 : Tính det( A) 100 , với I là ma trận đơn vò cấp 3 và A =    2 1 −1 3 0 4 −2 5 2    . Câu 2 : Trong không gian IR 3 với tích vô hướng chính tắc cho hai không gian con F = {( x 1 , x 2 , x 3 ) |x 1 + 2 x 2 − x 3 = 0 } và G =< ( 1 , 0 , 1 ) , ( 3 , −2 , 1 ) >. Tìm chiều và một cơ sở của ( F ∩ G) ⊥ . Câu 3 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR 3 −→ IR 3 , biết ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) } là A =    2 2 −2 1 3 −1 −1 1 1    . Tìm m để véctơ ( 2 , 1 , m) là véctơ riêng của f. Câu 4 : Tìm chiều và một cơ sở trực chuẩn của không gian nghiệm của hệ          x + y + z + t = 0 2 x + 3 y + 4 z − t = 0 3 x + 5 y + 7 z − 3 t = 0 4 x + 7 y + 1 0 z − 5 t = 0 Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR 2 −→ IR 2 , biết f( 1 , 1 ) = ( 5 , 1 ) ; f( 1 , −1 ) = ( 9 , −1 ) . Tìm cơ sở của IR 2 sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo D. Tìm D. Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR 3 −→ IR 3 thoả ∀( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ IR 3 : f( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( 3 x 1 + x 2 − x 3 , 2 x 1 − x 2 + 2 x 3 , x 1 − x 2 + 2 x 3 ) . Tìm ma trận A của f trong cơ sở E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 ) }. Câu 7 : Cho ma trận vuông cấp 2 A =  −1 1 6 −2 0 1 1  . Tìm ma trận B sao cho B 2010 = A. Câu 8 : Chứng minh rằng A là ma trận vuông cấp n khả nghòch khi và chỉ khi λ = 0 không là trò riêng của A. Giả sử λ 0 là trò riêng của ma trận A, chứng tỏ 1 λ 0 là trò riêng của A −1 Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 20 09- 201 0 Môn học : Đại số tuyến tính. Th ời gian làm b à i: 9 0 phú t. Đề thi go àm 7 câu. Sinh viên k hông đư ợc sử dụn g tài liệu. HÌNH THỨC THI : TỰ LUẬN CA 1 Câu 1 : C ho ma trậ n A =    7 4 1 6 2 5 8 −2 −2 −5    . T ính A 2010 , b ie át A có h ai trò riêng là 1 và 3 . Câu 2 : T ìm chie àu và mo ät cơ sơ û TRỰC C HUẨN của kh ông g ian n ghiệm củ a hệ ph ương trình          x 1 + x 2 − x 3 − 2 x 4 = 0 2 x 1 + x 2 − 3 x 3 − 5 x 4 = 0 3 x 1 + x 2 − 5 x 3 − 8 x 4 = 0 5 x 1 + 3 x 2 − 7 x 3 − 1 2 x 4 = 0 Câu 3 : C ho ánh x ạ tuyến tính f : IR 3 −→ IR 3 , b ie át ma trận của f tron g cơ sở chín h tắc là A =    2 1 −1 1 3 4 −1 1 0    . T ìm m a trận của f tro ng cơ sở E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) }. Câu 4 : C ho ánh x ạ tuyến tính f : IR 3 −→ IR 3 , b ie át ma trận của f tron g cơ sở E = {( 0 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =    2 1 −1 3 2 4 4 3 9    . T ìm cơ sở và s ố chiều của ker f. Câu 5 : C hoA là ma trận v uông tùy ý, th ực, cấp n, th oả A 10 = 0 . C hứn g tỏ rằng A chéo hoá được k hi và chỉ kh i A là ma trận kh ông. Câu 6 : T ìm m để ma trận A =    1 −2 3 −2 5 1 3 1 m    có ba trò ri êng dư ơng (c ó thể trùng n hau). Câu 7 : T rong h ệ trụ c toạ độ Oxy cho đư ờng cong ( C) có ph ương trìn h 5 x 2 +2 xy+5 y 2 −2 √ 2 x+4 √ 2 y = 0 . Nhận d ạng v à vẽ đường c ong ( C) . Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 1 Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm. Câu 1(1 .5đ) . Chéo hóa m a trận ( 1đ) A = P DP −1 ; P =    −2 −1 −4 −1 1 0 1 0 1    . D =    1 0 0 0 3 0 0 0 3    . A 2010 = PD 2010 P −1 , tính ra được P −1 =    1 1 4 1 2 4 −1 −1 −3    ; D 2010 =    1 0 0 0 3 2010 0 0 0 3 2010    . Câu 2 (1. 5đ). T ìm một cơ sơ û tùy ý của khôn g gian n ghiệm : E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) } Dùn g quá trình Gram -Schm id t đưa về cơ sở tr ực giao: E 1 = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 ) } Ch uẩn hóa, có cơ sở tr ực chuẩn: E 2 = { 1 √ 6 ( 2 , −1 , 1 , 0 ) , 1 √ 67 ( 4 , 1 , −7 , 1 ) } 1 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Câu 3 ( 1.5 đ). C ó nhiều cách làm. Ma trận ch uyển cơ sở từ chính tắc sang E là: P =    1 1 1 2 1 1 1 2 1    Ma trận của ánh x ạ tuyến tính tro ng cơ sở E là B = P −1 AP =    8 1 1 6 −2 −1 −2 −3 −9 −2    Câu 4(1. 5đ) . Giả sử x ∈ Kerf; [x] E = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T . Khi đó f ( x) = 0 ⇔ [f( x) ] E = 0 ⇔ A·[x] E = 0 ⇔    2 1 −1 3 2 4 4 3 9       x 1 x 2 x 3    =    0 0 0    ⇔ [x] E =    6 α −1 1 α α    ⇔ x = ( −1 0 α, 7 α, −4 α) . Dim( Kerf) = 1 , cơ sở: ( 1 0 , −7 , 4 ) . Câu 5 (1. 5đ). Vì A 10 = 0 nên A chỉ có một tr ò riêng là λ = 0 ( theo tính ch ất, nếu λ 0 là TR của A, thì λ 10 0 là TR của A 10 . A ch éo hóa được ⇔ A = P · D ·P −1 , D là ma tr ận 0 nên A = 0 . Câu 6 ( 1.5 đ). M a trận đối x ứng thực có ba trò riêng dương , suy r a dạng toàn p hươn g tươn g ư ùng xác đònh dương ( h ay ma t rận đ ã c ho xa ùc đònh dương ). Th eo Sylves ter, A xác đòn h d ương khi v à chỉ kh i các đònh th ức con chín h dương ⇔ δ 1 = 1 > 0 , δ2 = 1 > 0 , δ 3 = det( A) = m − 5 8 > 0 ⇔ m > 5 8 . Câu 7(1. 0đ) . Xét dạ ng toàn ph ương 5 x 2 1 + 2 x 1 x 2 + 5 x 2 2 có m a trận A =  5 1 1 5  . C héo h óa tr ực giao m a tr ận A bởi ma tr ậ n trực giao P = 1 √ 2  1 −1 1 1  v à ma tr ận chéo D =  6 0 0 4  Đường cong ( C) có pt rình tr ong h ệ trục Ouv v ới hai véctơ cơ sở là  1 √ 2 , 1 √ 2  ,  −1 √ 2 , 1 √ 2  là: 6 ( u + 1 6 ) 2 + 4 ( v + 3 4 ) 2 = 11 12 . Đây là đường cong ellipse. Hệ trục Ouv t hu đươ ïc từ hệ Oxy b ằng cá ch quay 1 góc 4 5 o ng ược chiều kim đồn g hồ. 2 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 20 09- 201 0 Môn học : Đại số tuyến tính. Th ời gian làm b à i: 9 0 phú t. Đề thi go àm 7 câu. Sinh viên k hông đư ợc sử dụn g tài liệu. HÌNH THỨC THI : TỰ LUẬN CA 2 Câu 1 : a/ C ho ma trận A =  7 −3 1 0 −4  . a/ Ché o hoá ma trận A. b/ Áp d ụng, tìm m a trận B s ao cho B 20 = A. Câu 2 : C ho ánh x ạ tuyến tính f : IR 3 −→ IR 3 , b ie át ma trận của f tron g cơ sở E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =    1 2 0 2 1 −1 3 0 2    . Tìm m a tr ận của f trong cơ sơ û ch ính tắc . Câu 3 : C ho m a tra än A =    3 2 2 −3 −2 −3 2 2 3    . Tìm tr ò r iêng, cơ sơ û của các k hôn g g ian con r ie âng của ma trận A 6 . Câu 4 : T ìm m để vectơ X = ( 2 , 1 , m) T là véctơ r iêng của m a tr ận A =    −5 3 3 −3 1 3 −3 3 1    . Câu 5 : T ìm m để ma trận A =    1 3 −2 3 m −4 −2 −4 6    có đúng hai trò r iêng d ương v à một trò riên g âm. Câu 6 : C ho ánh xạ tuyến tính f là p hép q uay trong hệ trục toạ độ Oxy quan h gốc tọa độ C ÙNG chie àu kim đồn g hồ một g óc 6 0 o . T ìm a ùnh xạ tuy ến tính f. Giải thích ro õ. Câu 7 : C ho A là ma tra än vuôn g cấp n. Ch ứng tỏ r ằng A kh ả ngh òch kh i và chỉ k hi λ = 0 KHÔNG là trò riê ng của A. Khi A kh ả nghòch ch ứng tỏ rằn g nếu λ là trò rie âng của A, thì 1 λ là trò riên g của A −1 . Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 2 Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm. Câu 1(1. 5đ) . Che ùo hóa ma trận ( 0. 5đ) A = P DP −1 ; P =  3 1 5 2  . D =  2 0 0 1  . Ta co ù A = P · D · P −1 . Giả sư û B = Q · D 1 · Q −1 , ta có B 20 = Q · D 20 1 · Q −1 = A. Chọn Q = P và D 1 =  20 √ 2 0 0 20 √ 1  . Vậy m a trận B = P · D 1 ·P −1 Câu 2 ( 1.5 đ). Co ù nhiề u cách làm. Gọi ma tr ận chuy ển cơ s ở từ E s an g chín h tắc làP . Khi đó ma trận chuyển cơ sở từ ch ín h tắc san g E là : P −1 =    1 1 1 2 1 1 1 2 1    Ma tr ậ n của ánh xạ tuyến t ín h tron g 1 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com cơ sở ch ín h tắc là B = P −1 AP =    −6 5 2 −9 6 4 −1 2 8 4    Câu 3 (1. 5đ). Giả sử λ 0 là trò riên g của A ⇔ ∃x 0 : A · x 0 = λ 0 ·x 0 . Kh i đó A 6 · x 0 = A 5 · A · x 0 = A 5 · λ 0 · x 0 = λ 0 ·A 5 · x 0 = ·· · = λ 6 0 · x 0 . Lập p trình đặc trưn g, tìm đươ ïc TR của A: λ 1 = 1 , λ 2 = 2 , Cơ s ở của E λ 1 : {( −1 , 1 , 0 ) T , ( −1 , 0 , 1 ) T }, của E λ 2 : {( 2 , −3 , 2 ) T }. TR c ủa A 6 : δ 1 = 1 6 , δ 2 = 2 6 , Cơ sở của: E δ 1 : {( −1 , 1 , 0 ) T , ( −1 , 0 , 1 ) T }, của E δ 2 : {( 2 , −3 , 2 ) T }. Câu 4 ( 1.5 đ). x là VT R cu ûa A ⇔ A · x = λ · x ⇔    −5 3 3 −3 1 3 −3 3 1       2 1 m    = λ ·    2 1 m    ⇔ m = 1 Câu 5 ( 1.5đ) . Ma tr ận đố i xứ ng th ực. Dạn g toàn p hương tươ ng ứn g f ( x, x) = x 2 1 + mx 2 2 + 6 x 2 3 + 6 x 1 x 2 − 4 x 1 x 3 − 8 x 2 x 3 . Đưa ve à chính tắc b ằng biến đổ i Lag rang e f ( x, x) = ( x 1 + 3 x 2 − 2 x 3 ) 2 + 2 ( x 3 + x 2 ) 2 + ( m −1 1 ) x 2 3 . M a trận A có một T R dươn g, 1 T R âm ⇔ m < 1 1 . Câu 6 ( 1.5 đ). f : IR 2 −→ IR 2 . f được xác đòn h h oàn toàn nếu biết ảnh của một cơ s ở của IR 2 . Ch ọn cơ sở ch ín h tắc E = {( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) }. Khi đó f ( 1 , 0 ) = ( 1 2 , − √ 3 2 ) ,f( 0 , 1 ) = ( √ 3 2 , 1 2 ) . f( x, y) = ( x 2 + y √ 3 2 , −x √ 3 2 + y 2 ) Câu 7 (1. 0đ). A kh ả ngh òch ⇔ det( A) = 0 ⇔ λ = 0 kh ông là T R của A. Giả sử λ 0 là TR của A ⇔ ∃x 0 : A · x 0 = λ 0 ·x 0 ⇔ A −1 · A · x 0 = A −1 · λ 0 · x 0 ⇔ A −1 · x 0 = 1 λ 0 · x 0 (vì λ 0 = 0 ) → đp cm. 2 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 20 09- 201 0 Môn học : Đại số tuyến tính. Th ời gian làm b à i: 9 0 phú t. Đề thi go àm 7 câu. Sinh viên k hông đư ợc sử dụn g tài liệu. HÌNH THỨC THI : TỰ LUẬN CA 3 Câu 1 : T rong k hông g ian IR 4 vớ i tích v ô hướng chín h tắc, cho k hông gi an c on F = {( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) |x 1 +x 2 −x 3 −2 x 4 = 0 & 2 x 1 +x 2 −3 x 3 −5 x 4 = 0 & 3 x 1 +x 2 −5 x 3 −8 x 4 = 0 } Tìm ch iều và một cơ s ở TRỰC CHUẨN của F . Câu 2 : C ho ánh x ạ tuyến tính f : IR 3 −→ IR 3 , b ie át ma trận của f tron g cơ sở E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =    −1 4 −2 −3 4 0 −3 1 3    . Ch éo hoá ánh x ạ tuyến tính f. Câu 3 : C ho ánh x ạ tuyến tính f : IR 3 −→ IR 3 , b ie át ma trận của f tron g cơ sở E = {( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =    1 1 2 2 3 0 3 5 −4    . Tìm cơ s ở và số chiều của Imf . Câu 4 : C ho A và B là hai m a trận đồn g d ạng. C hứn g to û rằn g A chéo hoá được k hi v à chỉ khi B ch éo hoá đươ ïc. Câu 5 : T ìm m để ma trận A =    1 4 −1 4 m 2 −1 2 4    có ít nhất m ột trò riêng a âm. Câu 6 : C ho án h x ạ tuyến tính f : IR 3 −→ IR 3 , biết f( x) = f( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( −x 2 + 2 x 3 , −2 x 1 + x 2 + 2 x 3 , x 1 − x 2 + x 3 ) . Tìm m để véctơ x = ( 2 , 2 , m) là v éctơ riêng của f. Câu 7 : C ho ánh x ạ tuyến tính f là phé p đối xứn g tron g hệ trục toạ độ Oxy qua đường tha úng 2 x−3 y = 0 . Tìm tất cả các trò riên g và cơ sơ û của các kh ông g ian con ri êng của f. Giải thích r õ. Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 3 Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 5, 6, 7: 1.5 điểm; câu 4: 1.0 điểm. Câu 1(1. 5đ) . Tìm m ột cơ sở tùy ý của F : E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) } Dùn g quá trình Gram -Schm id t đưa về cơ sở tr ực giao: E 1 = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 ) } Ch uẩn hóa, có cơ sở tr ực chuẩn: E 2 = { 1 √ 6 ( 2 , −1 , 1 , 0 ) , 1 √ 67 ( 4 , 1 , −7 , 1 ) } Câu 2(1. 5đ) . Ch éo hóa ma tra än (1. 0 đ) A = P · D · P −1 , P =    2 1 1 3 1 3 3 1 4    . D =    2 0 0 0 1 0 0 0 3    . Cơ s ở cần tìm là B = {( 8 , 1 0 , 1 1 ) , ( 3 , 4 , 4 ) , ( 8 , 9 , 1 1 ) }. Ma tr ận của f tr ong B là D. Các cột cu ûa P là các VTR của A, p hải đổi sang cơ sở chính tắc!! Câu 3(1. 5đ) . Dim( Imf ) = r( A) = 3 ; Im( f) =< f( E) >=< f( 1 , 0 , 1 ) , f( 1 , 1 , 0 ) , f( 1 , 1 , 1 ) >= 1 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com =< ( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) , ( −2 , −4 , −2 ) >. Cơ s ở của Im ( f) là {( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) ( −2 , −4 , −2 ) }. Cách khác: Vì Dim( Imf) = r( A) = 3 , nên I m( f) là IR 3 và cơ s ở của Im( f) là cơ sở chín h tắc của IR 3 . Câu 4(1 .0đ) . A đồ ng d ạng B ⇔ ∃Q : B = Q −1 · A · Q. Giả sử A chéo hóa được ⇔ A = P · D · P −1 . Khi đó B = Q −1 · P · D · P −1 · Q ⇔ B = ( P −1 Q) −1 · D · ( P −1 Q) ⇔ B = G −1 · D · G →đpcm. Câu 5 ( 1.5đ) . Ma tr ận đố i xứ ng th ực. Dạn g toàn p hương tươ ng ứn g f ( x, x) = x 2 1 + mx 2 2 + 4 x 2 3 + 8 x 1 x 2 − 2 x 1 x 3 + 4 x 2 x 3 . Đưa v ề chính tắc bằn g biến đổi L agr ang e f( x, x) = ( x 1 + 4 x 2 − x 3 ) 2 + 3 ( x 3 + 2 x 2 ) 2 + ( m − 2 8 ) x 2 2 . A có m ột TR âm ⇔ m < 2 8 . Câu 6 (1 .5đ) . x là VTR của f ⇔ f( x) = λ · x ⇔ ( f ( 2 , 2 , m) = λ · ( 2 , 2 , m) ⇔ ( −2 + 2 m, −2 + 2 m, m) = ( 2 λ, 2 λ, λm) ⇔ m = 0 ∨ m = 2 Câu 7 ( 1.5 đ).f : IR 2 −→ IR 2 . VTR là v éctơ q ua ph ép b iến đ ổi có ản h cu øng p hươn g vơ ùi véctơ b an đầu. Các vé ctơ cùn g p hương với véctơ ch ỉ ph ương a = ( 3 , 2 ) của đươ øng thẳng la ø tất c ả các VTR tương ứng với TR λ 1 = 1 ; các véctơ cùng ph ương với véctơ p háp tu yến n = ( 2 , −3 ) của đường thẳn g là tất cả các VTR tươn g ứn g v ới λ 2 = −1 . Vì f là ax tt củ a k hông g ian 2 ch ie àu n ên k hông còn VT R kh ác. Kluận: Cơ sơ û của E λ 1 : ( 3 , 2 ) của E λ 2 : ( 2 , −3 ) . 2 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com . Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Bộ môn Toán Ứng Dụng. Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 10 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian: 90 phút Câu