Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 For Evaluation Only ĐỀ ÔN SỐ Theo giả thiết, ta đặt u = 2x − y hàm h hàm hợp h = h(u), u = 2x − y tính đạo hàm hàm h h0x = h0 u0x = 2h0 ; h0y = h0 u0y = −h0 Đặt P (x, y) = −2x − 9y, Q(x, y) = 6x + 2y phương trình P.hdx + Q.hdy = 0(1) phương trình vi phân tồn phần Suy (P.h)0y = (Q.h)0x ⇔ Py0 h + P.h0y = Q0x h + Q.h0x ⇔ −9h + (−2x − 9y)(−h0 ) = 6h + (6x + 2y).2h0 ⇔ −15h = (10x − 5y)h0 dh dh ⇔ −15h = 5(2x − y) (= 5u ) du du du dh ⇔ −3 = u h C C ⇔h= = u (2x − y)3 Thay vào phương trình (1), giản ước vế cho C, ta phương trình vi phân tồn phần −2x − 9y 6x + 2y dx + dy (2x − y)3 (2x − y)3 Rx −2x − 9y Ry 2y x + 2y Chọn (x0 , y0 ) = (0, 1) U (x, y) = dx + dy = 3 (2x − y) (−y) (2x − y)2 Thay y(0) = vào U (x, y) = C vừa tìm, ta C = x + 2y =2 Vậy nghiệm riêng cần tìm (2x − y)2 Câu 2: ytn = C1 e−2x + C2 e−3x Dạng yr yr = (ax + b)e2x NTQ pt y = ytn + yr = C1 e−2x + C2 e−3x + Câu  Ma trận A =  −4 20t − 400  −12 −1 −3 −1  12 CÁCH TÌM ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG CỦA MT : A = (aij )3 : f (λ) = −λ3 + a.λ2 + b.λ + c Trong a, b, c tính sau: a = a11 + a22 + a33 b = −(a11 a22 + a22 a33 + a33 a11 ) + (a31 a13 + a12 a21 + a23 a32 ) c = |A| Pt đặc trưng −λ  + 6λ −11λ + 6 =   1 0 3 ,S −1 =  −1 Ma trận D =  , S =  −2 −8 −3 0 Đặt Y = S −1 X ta pt tuyến tính cấp = 3y3  y10 = y1 , y20= 2y , y3  y1 C et Nên Y =  y2  =  C2 e2t  y3 C e3t    C1 et   C2 e2t  Vậy X = SY = S =  −2 −8 −3 C3 e3t Câu 4: Đã sửa lớp Câu 5:   R1 R2 Vx = π x dx + (2x − x )dx = π Câu 6: Đã sửa lớp Tính cách phần Câu 7: Khi x → +∞ *Nếu α < ta đặt β = −α ≤ biến đổi hàm f (x) −2  −1  Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 For Evaluation Only (x2 + sin(x2 + 1))(xβ (lnx + 1)β ) ∼ x2 (lnx + 1)β nên cho PK xβ + (lnx + 1)β * Nếu α ≥ : x2 + sin(x2 + 1) ∼ x2 xα + (lnx + 1)α ∼ xα nên f (x) ∼ α−2 x Vậy cho HT α > f (x) = ĐÊ ÔN SỐ 2: Câu 1: Phương trình Bernulli với α = Đặt z = y −1 ⇒ y = −z y thay vào pt ban đầu để pt tuyến tính cấp 1: z + 2z = −3x Dùng công thức nghiệm để R  R R 3x z = e −2dx −3xe 2dx dx + C = Ce−2x − + 3x Suy ra, nghiệm TQ pt cho = Ce−2x − + , thay điều kiện y(0) = −4 vào, ta C = −1 y Vậy nghiệm riêng cần tìm y = −e−2x − 3x + Câu 2: ytn = C1 ex + C2 e2x 2x2 + 6x + yr = ax2 + bx + c + e2x (ex + f ) = + e2x (x − 1) NTQ: y = ytn + yr Câu  3:      1 −1 A= ,D= ,S = ,S −1 = S 1 Đặt Y = S −1 X ta 2 pt: y10 = y1 − e3t − 2t; y20 = 3y2 + e3t − 2t e3t   t −1  C1 e − + 2t −  Vậy X = SY = 2t  1  C2 e3t + te3t + + Câu 4: MXĐ : R+ Không có tiệm cận −1 yct = y( √ ) = 2e e Câu 5: D phần nằm đường trịn tâm (0, 1) bán kính R = parabol Ta tính dt nửa bên phải trục Oy nhân √
 R1  π S(D) = x2 − − − x2 dx = − Câu 6: √ Đặt u = − x2 x2 = − u2 , xdx = −udu thay vào cho R2 (4 − u2 )udu 16 I= = u Câu 7: Khi x → +∞ ta so sánh: √ 2x − ∼ 2x; (3 + xα ) x5 + ∼ xα x = xα+ nên bắt buộc phải chia ban đầu thành tổng sau: +∞ R1 R 2x − 2x − √ √ I= dx + dx = J1 + J2 α α (3 + x ) x + 1 (3 + x ) x + Tp J1 hàm liên tục đoạn lấy nên xác định (tp HT) +∞ R Tp J2 HT dx HT (theo so sánh trên) α+ x Do vậy, cho HT α >