SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC NINH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2011 – 2012 TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐĂNG ĐẠO MÔN: TOÁN KHỐI A Thời gian làm bài: 180 phút CÂU I ( 2 điểm): Cho hàm số: 2 1 1 x y x − = + (C) 1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2, Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận của (C). Tìm m để đường thẳng (d): y x m= + cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 4. CÂU II ( 2 điểm): 1, Giải phương trình: ( ) ( ) 2 cos 1 2 1 sin 1 tan sin cos x x x x x − + + = + 2, Giải hệ phương trình: { 4 2 2 5 6 5 6 x y x y x + = + = , ( ) ,x y R∈ CÂU III ( 1 điểm): Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt thuộc [ ] 0;2 : 4 4 2 1 0 x x m+ − − = CÂU IV ( 2 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có góc 0 60BAC∠ = ; AB = a; AC = 4a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy; SD tạo với đáy góc 0 45 . 1, Tính thể tích khối chóp. 2, Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và CF. CÂU V ( 1 điểm): Cho a, b, c là 3 số thực dương thoả mãn: 1abc ≥ . Chứng minh rằng: 1 1 1 27 1 1 1 8 a b c a b c     + + + ≥  ÷ ÷ ÷ + + +     CÂU VI ( 1 điểm): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 3 đường thẳng 1 : 2 6 0d x y+ − = ; 2 : 2 0d x y+ = và 3 :3 2 0d x y− − = . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d 3 , cắt d 1 tại A và B, cắt d 2 tại C và D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông. CÂU VII ( 1 điểm): Cho khai triển: ( ) 2 2 2 0 1 2 2 3 1 n k n n k x a a x a x a x a x+ = + + + + + + , ( ) , ;0 2k n N k n∈ ≤ ≤ Biết rằng: ( ) 0 1 2 2 1 4096 k n k a a a a a− + − + − + + = . Tìm hệ số của 8 x trong khai triển. ………………….Hết……………… ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM I 1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 1 TXĐ: { } D = R\ -1 limy = 2 x ±→ ∞ ⇒ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang: y = 2 limy = - + x -1 limy = + - x -1        ∞ → ⇒ ∞ → Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: x = -1 ( ) 3 y = > 0, x D 2 x+1 ′ ∀ ∈ ⇒ Hàm số luôn đồng biến trên ( ) ( ) - ;-1 ; -1;+ ∞ ∞ và không có cực trị Bảng biến thiên: x −∞ 1 − +∞ y’ y +∞ 2 2 −∞ Đồ thị: Giao Ox tại: 1 ;0 2    ÷   ; Giao Oy tại (0; -1) -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y 0,25 0,25 0,25 0,25 I 2, Tìm m 1 Phương trình hoành độ giao: ( ) 2x - 1 2 = x + m x + m - 1 x + m + 1 = 0 x + 1 ⇔ (1) (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi pt(1) có 2 nghiệm phân biệt m > 3 + 2 3 2 Δ = m - 6m - 3 > 0 m < 3 - 2 3     ⇔ ⇔ (A) Gọi ( ) ( ) ( ) A x ; x + m ; B x ; x + m , x x 1 1 2 2 1 2 ≠ ( ) ( ) 2 2 AB = 2 x - x = 2 x + x - 4x x 2 1 1 2 1 2   ⇒     Theo Viet: x + x = 1 - m 1 2 x x = m + 1 1 2      ( ) 2 AB = 2 m - 6m - 3 ⇒ I là giao điểm của 2 tiệm cận ( ) I -1;2 ⇒ m - 3 d = d = I,AB I,d 2      ÷  ÷     2 m - 3 m - 6m - 3 1 S = AB.d = IAB I,AB 2 2    ÷   ⇒ ∆ ( ) ( ) 2 2 S = 4 m - 3 m - 6m - 3 = 64 ΔIAB ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 m - 3 m - 3 - 12 = 64 4 2 m - 3 - 12 m - 3 - 64 = 0 2 m - 3 = -4 m = 7 (t/m) 2 m = -1 (t/m) m - 3 = 16                ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Vậy: m = 7; m = -1 là các giá trị phải tìm. 0,25 0,25 0,25 0,25 II 1, Giải phương trình lượng giác 1 Đk: cosx 0 sinx + cosx 0      ≠ ≠ Khi đó, pt tương đương: ( ) 1 cosx-1 2 1+sinx = 2 sinx+cosx cos x 2 cosx - 1 = 1 - sinx sinx + cosx sinx + cosx + sinxcosx + 1 = 0 ⇔ ⇔ ( ) ( ) sinx+1 cosx+1 = 0⇔ 0,25 0,25 sinx = -1 cosx = -1  ⇔   x = π + k2π⇔ 0,25 0,25 II 2, Giải hệ phương trình 1 Trừ từng vế của 2 phương trình ta được: ( ) ( ) 2 3 2 x = y x - y x x + y - 5 = 0 5-x y = x     ⇔      *) Với: x = y, thay vào pt(1) ta có: x 4 + 5x – 6 = 0 ( ) ( ) ( ) 2 x - 1 x + 2 x - x + 3 = 0 x = 1 y = 1 x = -2 y = -2 ⇔ ⇒  ⇔  ⇒  *) Với: 3 2 5 - x y= x , thay vào pt(1) ta có: 3 4 4 2 2 2 25 - 5x 25 25 x + = 6 x + + - 5x = 6 (*) x 2x 2x ⇔ Từ (2) 2 2 6-5x y 6 x = -5x -6 5 5 ⇒ ≤ ⇒ ≥ (a) Lại có: 3 25 25 625 4 x + + 3 > 12 2 2 4 2x 2x ≥ (b) Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức (a) và (b) suy ra: VT(*) > 6 ⇒ (*) vô nghiệm Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x ; y) = (1 ; 1); (-2; -2). 0,25 0,25 0,25 0,25 III Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt [ ] 0 ; 2 ∈ 1 Đặt: [ ] x 2 =t, t 1 ; 4 ∈ Pt trở thành: 2 t +4=m t-1 t = 1 không là nghiệm của pt. Do đó pt tương đương: 2 t + 4 = m (1) t - 1 Pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt [ ] 0 ; 2 ∈ khi và chỉ khi pt(1) có 2 nghiệm phân biệt ( ] 1 ; 4 ∈ Xét: ( ) 2 t + 4 f t = t - 1 trên (1 ; 4] 0,25 0,25 ( loại ) ( t/m ) 2 3t - 4t - 4 f (t) = (t - 1) t - 1 ′ t = 2 f (t) = 0 2 t = - 3   ′ ⇔   Bảng biến thiên: t 1 2 4 f’(t) - 0 + f(t) + ∞ 20 3 8 Từ bảng biến thiên suy ra: 20 8 < m 3 ≤ là các giá trị cần tìm 0,25 0,25 IV Hình học không gian IV 1, Tính thể tích khối chóp 1 IV Ta có: (SAB) (ABCD) SA (ABCD) (SAC) (ABCD ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  SDA⇒ ∠ là góc giữa SD và (ABCD) 0 SDA = 45⇒ ∠ Trong ΔABC có: ( ) 2 2 2 BC = AB + AC - 2AB.ACcos BAC ∠ 2 = 13a AD = BC = a 13 ⇒ Trong tam giác SAD vuông tại A, ta có: SA = ADtan( SDA) = a 13 ∠ 2 ABCDΔABC S = 2S = AB.ACsin(BAC) = 2a 3 3 S.ABCD ABCD 1 2a 39 V = SA.S = 3 3 ⇒ 2, Tính khoảng cách giữa DE, CF 0,25 0,25 0,25 0,25 1 Trong mp(ABCD), dựng CI // ED ( I AD )∈ ED // (CFI)⇒ (DE,CF) (DE,(CFI)) (D,(CFI)) d = d = d⇒ Gọi H là trung điểm của AD ⇒ D là trung điểm HI ⇒ (D,(CFI)) (H,(CFI)) 1 d = d 2 Hạ HK vuông góc với CI tại K; HJ vuông góc với FK tại J Ta có: 0,25 S A B C D E F J I H K FH // SA FH (ABCD) FH CI CI (FHK) (FCI) (FHK)⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ (H,(FCI)) HJ (FCI) HJ = d⇒ ⊥ ⇒ Ta thấy: 2 ΔHCI ABCD 1 S = S = a 3 2 ΔHCI 2S HK = CI ⇒ Ta có: 2 2 2 AD +CD -AC 1 1 cos( ADC) = = - cos( BCD)= 2AD.CD 13 13 ∠ ⇒ ∠ 2 2 a 13 CI = DE = DE +CD -2DE.CD.cos(BCD) = 2 4a 3 HK = 13 ⇒ 1 a 13 HF = SA = 2 2 Trong tam giác FHK vuông tại H, có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 13 4 361 = + = + = HJ HK HF 48a 13a 624a ( ) D,(CFI) 4a 39 2a 39 HJ = d = 19 19 ⇒ ⇒ Vậy: (DE, CF) 2a 39 d = 19 0,25 0,25 0,25 V Bất đẳng thức 1 Ta có: ( ) ( ) ( ) a+1 1 3 3 1 3 + + a+1 1+ a+1 a+ a+1 0 4 a+1 4 4 a+1 4 ≥ ⇒ ≥ > Tương tự: ( ) 1 3 b+ b+1 0 b+1 4 ≥ > ( ) 1 3 c+ c+1 >0 c+1 4 ≥ ( ) ( ) ( ) 27 27 27 VT a+1 b+1 c+1 abc 64 8 8 ⇒ ≥ ≥ ≥ (đpcm) 0,5 0,25 0,25 VI Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng 1 Gọi I(a; 3a – 2) Vì ABCD là hình vuông ⇒ d (I, AB) = d (I, CD) = d 7a - 10 7a - 4 3 = a = 1 I(1;1) d = 5 5 5 ⇔ ⇔ ⇒ ⇒ 0,25 0,25 0,25 A B C D I d Bán kính: 3 2 R = d 2 = 5 ⇒ pt(C): ( ) ( ) 2 2 18 x - 1 + y - 1 = 5 0,25 VII Nhị thức Niu-Tơn 1 Ta có: ( ) 2n 2 k 2n 0 1 2 k 2n 3x + 1 = a + a x + a x + + a x + + a x Thay x = -1, ta có: (-2) 2n = a 0 – a 1 + a 2 - … + (-1) k a k +…+ a 2n Từ giả thiết suy ra: (-2) 2n = 4096 n = 6 ⇒ Với n = 6, ta có khai triển: ( ) 12 0 1 2 2 12 12 12 12 12 12 1+3x =C + C .(3x) + C (3x) + + C (3x) ⇒ Hệ số của x 8 trong khai triển là: 8 8 12 C .3 0,25 0,25 0,25 0,25 . ) 2 2 18 x - 1 + y - 1 = 5 0,25 VII Nhị thức Niu-Tơn 1 Ta có: ( ) 2n 2 k 2n 0 1 2 k 2n 3x + 1 = a + a x + a x + + a x + + a x Thay x = -1 , ta có: (-2 ) 2n = a 0 – a 1 + a 2 - … + ( -1 ) k a k. ) a+ 1 1 3 3 1 3 + + a+ 1 1+ a+ 1 a+ a+ 1 0 4 a+ 1 4 4 a+ 1 4 ≥ ⇒ ≥ > Tương tự: ( ) 1 3 b+ b +1 0 b +1 4 ≥ > ( ) 1 3 c+ c +1 >0 c +1 4 ≥ ( ) ( ) ( ) 27 27 27 VT a+ 1 b +1 c +1 abc 64 8 8 ⇒ ≥ ≥ ≥ . (SAB) (ABCD) SA (ABCD) (SAC) (ABCD ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  SDA⇒ ∠ là góc gi a SD và (ABCD) 0 SDA = 45⇒ ∠ Trong ΔABC có: ( ) 2 2 2 BC = AB + AC - 2AB.ACcos BAC ∠ 2 = 1 3a AD = BC = a 13 ⇒ Trong tam