Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 11 Khi 1 x x       . Chọn 1 1 0 1 1M x M x            Định lí 1.4. Cho hàm số ( ), ( ), ( ) f x u x v x xác định trong một lân cận của 0 x có thể trừ tại 0 x và ( ) ( ) ( ) u x f x v x   với mọi x thuộc lân cận, 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x u x v x L     . Khi đó 0 lim ( ) x x f x L   Vidụ 5 Chứng minh 0 sin lim 1 x x x   Thật vậy :0 2 x x     ta có bất đẳng thức sin cos 1 x x x   , mà 0 lim cos 1 x x   suy ra 0 sin lim 1 x x x   1.3.3 Một số tính chất 1) Nếu 0 lim ( ) x x f x L   thì giới hạn đó là duy nhất 2) 0 lim x x C C   (C : hằng số) 3) Nếu ( ) ( ), f x g x x   thuộc một lân cận nào đó của 0 x hoặc ở vô cực thì 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x    (nếu các giới hạn này tồn tại). 4) Nếu ( ) ( ) ( ), f x g x h x x    thuộc một lân cận nào đó của 0 x hoặc ở vô cực và 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x L h x     thì 0 lim ( ) x x g x L   5) Giả sử các hàm số ( ), ( ) f x g x có giới hạn khi 0 x x  khi đó ta có các kết quả sau : 0 0 0 lim( ( ) ( )) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x g x f x g x       lim ( ) lim ( ) x x x x o o kf x k f x    lim ( ). ( ) lim ( ). lim ( ) x x x x x x o o o f x g x f x g x       0 0 0 0 , lim ( ) ( ) lim lim ( ) 0 ( ) lim ( ) x x x x x x x x f x f x g x g x g x       1.3.4 Vô cùng bé, vô cùng lớn Giả sử ta xét các hàm trong cùng một quá trình, chẳng hạn khi o x x  . (Những kết quả đạt được vẫn đúng trong một quá trình khác) 1) Vô cùng bé (VCB) Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 12 Hàm ( ) x  được gọi là một VCB trong một quá trình nào đó nếu 0 lim ( ) 0 x x x    Ví dụ 6 sin , , 1 cos x tgx x  là những VCB khi 0 x  2 1 2 x x   là một VCB khi x   2) So sánh hai VCB Cho ( ) x  và ( ) x  là hai VCB trong một quá trình nào đó (chẳng hạn khi o x x  ). Khi đó: (i) Nếu ( ) lim 0 ( ) x x    thì ta nói ( ) x  là VCB bậc cao hơn VCB ( ) x  trong quá trình đó ( ( ) x  dần tới 0 nhanh hơn ( ) x  ) (ii) Nếu ( ) lim 0 ( ) x L x     thì ta nói ( ) x  và ( ) x  là hai VCB ngang cấp trong quá trình đó ( ( ) x  và ( ) x  dần tới 0 ngang nhau). Đặc biệt khi 1 L  ta nói ( ) x  và ( ) x  là hai VCB tương đương, kí hiệu là ( ) ( ) x x    . 3) Một số VCB tương đương cơ bản khi 0 x  sin ; ; arcsin ; ; x x tgx x x x arctgx x     2 ( ) 1 cos 2 ax ax  ; 1 log (1 ) ln x x a a   ;   1 1 x x      ; ln(1 ) ; - 1 ln ; - 1 ; x x x x a x a e x     1 1 , ( , 0) n n p p n n p p p a x a x a x a x n p a         Ví dụ 7 So sánh cấp của các VCB: ( ) sin ; ( ) 1 cos x x tgx x x       , khi 0 x  Ta có:   0 0 0 0 1 sin 1 ( ) sin sin cos lim lim lim lim 0 ( ) 1 cos 1 cos cos x x x x x x x tgx x x x x x x               Do đó, ( ) x  là VCB cấp cao hơn ( ) x  Ví dụ 8 So sánh cấp của các VCB: 2 ( ) 1 cos , ( ) , 0 x x x x x       Ta có: 2 0 0 ( ) 1 cos 1 lim lim 0 ( ) 2 x x x x x x         Do đó, ( ) x  và ( ) x  là hai VCB cùng cấp. 4) Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 13 Định lí 1.5. i) Nếu 1 ( ) ( ) x x    và 1 ( ) ( ) x x    thì trong cùng một quá trình thì trong quá trình ấy 1 1 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x      ii) Cho ( ) x  và ( ) x  là hai VCB trong một quá trình và ( ) x  có cấp cao hơn ( ) x  . Khi đó ( ) ( ) ( ) x x x      . Từ hai kết quả trên ta suy ra quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: Giả sử ( ( ) x  và ( ) x  là hai VCB trong một quá trình nào đó, ( ) x  và ( ) x  đều là tổng của nhiều VCB . Khi đó giới hạn của tỉ số ( ) ( ) x x   bằng giới hạn của tỉ số hai VCB cấp thấp nhất trong ( ) x  và ( ) x  . Ví dụ 9 Tìm các giới hạn sau: (1) 2 3 3 8 0 3 sin 4 sin lim 5 x x x x x x x      Ta có 2 3 3 8 0 0 3 sin 4 sin 1 lim lim 5 5 5 x x x x x x x x x x         (2) 3 0 1 1 lim 1 1 x x x      . Khi 0 x  ta có 1 2 1 1 1 (1 ) 1 2 x x x       ; 3 1 3 1 1 1 (1 ) 1 3 x x x       Suy ra 3 1 1 3 1 1 2 x x      Vậy 3 0 1 1 3 lim 1 1 2 x x x       (3) 0 sin lim x tgx x x   Khi 0 x  , ta có: sin 2 khi 0 tgx x x x x x x      . Do đó 0 sin lim 2 x tgx x x    (4) Tính 3 3 0 sin sin lim x tgx x x x    . Ta có 2 3 1 . sin (1 cos ) 1 2 sin cos 1 2 x x x x tgx x x x      khi 0 x  Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 14 Do đó 3 3 3 3 1 3 sin sin 2 2 tgx x x x x x      khi 0 x  Suy ra 3 3 3 3 3 sin sin 3 2 2 x tgx x x x x     khi 0 x  Vậy 0 3 3 sin sin 3 lim 2 x x tgx x x x     5) Vô cùng lớn (VCL) Hàm ( ) f x được gọi là một VCL trong một quá trình nào đó nếu 0 lim ( ) x x f x    Ví dụ 10 (1) 1 1 , , cot sin gx x x là những VCL khi 0 x  (2) 2 , 2 1 x x  là những VCL khi x   6) So sánh hai VCL Cho ( ) f x và ( ) g x là hai VCL trong một quá trình nào đó (chẳng hạn khi o x x  ). Khi đó: (i) Nếu ( ) lim ( ) f x g x   thì ta nói ( ) f x là VCL cấp (bậc) cao hơn ( ) g x (theo nghĩa ( ) f x tiến tới  nhanh hơn ( ) g x (ii) Nếu ( ) lim 0 ( ) f x L g x   thì ta nói ( ) f x và ( ) g x là hai VCL ngang cấp trong quá trình đó ( ( ) x  và ( ) x  dần tới  ngang nhau). Đặc biệt khi 1 L  ta nói ( ) x  và ( ) x  là hai VCL tương đương, kí hiệu là ( ) ( ) x x    Ví dụ 11 (1) So sánh cấp của các VCL 3 ( ) 2, ( ) ; f x x g x x x      Ta có 3 2 ( ) 2 2 lim lim lim ( ) x x x f x x x x g x x x                    Do đó f (x) là một VCL có cấp cao hơn g(x) (2) So sánh cấp của các VCL: 6 3 ( ) 2 1 f x x x    và 8 2 4 ( ) 2 4 2 1 g x x x x     khi x   Ta có: 6 3 8 2 4 ( ) 2 1 lim lim ( ) 2 4 2 1 x x f x x x g x x x x         Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Toán Cao Cấp 1 Nguyễn Quốc Tiến 15 3 5 6 4 4 6 7 8 2 1 1 1 lim 4 2 1 2 2 x x x x x x         Do đó, 6 3 ( ) 2 1 f x x x    và 8 2 4 ( ) 2 4 2 1 g x x x x     là hai VCL cùng cấp 7) Qui tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Định lí 1.6. Cho ( ) f x và ( ) g x là hai VCL trong một quá trình nào đó, (chẳng hạn x   ) và 1 ( ) ( ) f x f x  , 1 ( ) ( ) g x g x  . Khi đó trong cùng một quá trình ấy 1 1 ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) f x f x g x g x  Giả sử ( ) f x và ( ) g x là hai VCL trong quá trình nào đó, ( ) f x và ( ) g x đều là tổng của nhiều VCL. Khi đó giới hạn của tỉ số ( ) ( ) f x g x bằng giới hạn của tỉ số hai VCL cấp cao nhất trong ( ) f x và ( ) g x . Ví dụ 12 4 3 4 4 4 3 4 1 3 3 lim lim 2 8 2 2 x x x x x x x x         1.4 Tính liên tục của hàm số 1.4.1 Các định nghĩa 1) Hàm số ( ) y f x  được gọi là liên tục tại o x D  nếu 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x   . Khi đó 0 x gọi là điểm liên tục của hàm ( ) f x . 2) Hàm số ( ) y f x  được gọi là liên tục trên ( , ) a b nếu ( ) f x liên tục tại mọi điểm thuộc ( , ) a b 3) Hàm số ( ) y f x  được gọi là liên tục bên trái (bên phải) 0 x D  nếu 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x    ( 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x    ) 4) ( ) f x liên tục trên [ , ] a b nếu ( ) f x liên tục trên ( , ) a b và liên tục bên phải tại a, bên trái tại b. Nhận xét: ( ) f x liên tục tại 0 x D   liên tục bên phải và bên trái 0 x . Nếu hàm số sơ cấp ( ) f x có miền xác định là D thì ( ) f x liên tục trên D. Nếu ( ) f x liên tục trên [ , ] a b thì đồ thị của Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com . Quốc Tiến 14 Do đó 3 3 3 3 1 3 sin sin 2 2 tgx x x x x x      khi 0 x  Suy ra 3 3 3 3 3 sin sin 3 2 2 x tgx x x x x     khi 0 x  Vậy 0 3 3 sin sin 3 lim 2 x x tgx x x x  . 1 2 1 1 1 (1 ) 1 2 x x x       ; 3 1 3 1 1 1 (1 ) 1 3 x x x       Suy ra 3 1 1 3 1 1 2 x x      Vậy 3 0 1 1 3 lim 1 1 2 x x x       (3) 0 sin lim x tgx x x   Khi. giới hạn sau: (1) 2 3 3 8 0 3 sin 4 sin lim 5 x x x x x x x      Ta có 2 3 3 8 0 0 3 sin 4 sin 1 lim lim 5 5 5 x x x x x x x x x x         (2) 3 0 1 1 lim 1 1 x x x  