1 CHƯƠNG 5 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 5.1 Hàm nhiều biến : 5.1.1 Khái niệm 1. Định nghĩa : Cho D ⊂ R n , ánh xạ f : D Æ R là một hàm nhiều biến xác định trên D f: D Æ R M a u = f(M) với M (x 1 ,x 2 ,…, x n ) ∈ D • D : miền xác định của f • f(D) ⊂ R : miền giá trị của f 2. Ví dụ : Tìm miền xác định a) f : D Æ R ( D ⊂ R 2 ) (x,y ) a u = f(x,y) = 22 4 yx −− b)f : D Æ R ( D ⊂ R 2 ) (x,y ) a u = f(x,y) với u = ln ( 6 - 6x 2 – 3y 2 ) 5.1.2 Giới hạn – Liên tục : 1. Giới hạn : Cho hàm số f : D Æ R với D ⊂ R n , M o ∈ D M a f(M) M (x 1 , x 2 ,…,x n ) ∈ D • Số L được gọi là giới hạn của hàm f(M) khi M Æ M o nếu : ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 sao cho o MM − < δ ⇒ ε <− LMf )( Ký hiệu L M f o MM = → )(lim • Số L được gọi là giới hạn của hàm f(M) khi M Æ M o nếu : Mọi dãy { M n } : { M n }ÆM o ⇒ { f(M n ) }ÆL Ghi chú : • Khoảng cách giữa 2 điểm M(x 1 ,x 2 ,…,x n ) và N(y 1 ,y 2 ,…,y n ) trong R n : d(M,N) = NM − = 22 22 2 11 )( )()( nn yxyxyx −++−+− • M Æ M o o MM −⇔ Æ 0 2. Liên tục : • f(M) liên tục tại M o ⇔ )()(lim o MM MfMf o = → (1) • f(M) liên tục trên D nếu f(M) liên tục tại mọi điểm của D 2 Ví dụ 1 : Cho hàm số f : D Æ R (D ⊂ R 2 ) (x,y ) a f(x,y) = 2 22 x y x y + Tìm 0 0 lim ( , ) x y f xy → → Ví dụ 2 : Cho hàm số f : D Æ R (D ⊂ R 2 ) (x,y ) a f(x,y) = 22 x y x y + CMR 0 0 lim ( , ) x y f xy → → không tồn tại . Ví dụ 3 : Cho hàm số f : D Æ R (D ⊂ R 2 ) f(x,y) = 2 22 (, ) (0,0) 0(,)(0,0) xy khi x y xy khi x y ⎧ ≠ ⎪ + ⎨ ⎪ = ⎩ Xét tính liên tục của hàm số f tại (0,0) . 5.2 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần : 5.2.1 Đạo hàm riêng : Cho hàm số u = f (x,y) xác định trên miền D ⊂ R 2 , M o (x o, y o )∈ D . Nếu 0000 0 (,)(,) lim x f xxyfxy x Δ→ +Δ − Δ tồn tại hữu hạn thì giới hạn này được gọi là đạo hàm riêng theo biến x của hàm f(x,y) tại điểm (x o, y o ) , ký hiệu : f’ x (x o ,y o ) hoặc ),( 00 yx x f ∂ ∂ Tương tự ,ta có đạo hàm riêng theo biến y của hàm f(x,y) là : f’ y (x o ,y o ) hoặc ),( 00 yx y f ∂ ∂ Ghi Chú : Tính đạo hàm riêng của hàm nhiều biến thực chất là tính đạo hàm theo một biến còn các biến kia không đổi . Ví dụ 1 : Cho f(x,y) = x 2 + 3xy + 2y 2 + 4x -5y +10. Tìm y f x f ∂ ∂ ∂ ∂ , Ví dụ 2 : Cho z =e x cosy .Tìm y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ , Ví dụ 3 : Cho f(x,y,z) = xsin(yz+z 3 ). Tìm f x ∂ ∂ , f y ∂ ∂ , f z ∂ ∂ . 3 5.2.2 Vi phân toàn phần : Cho hàm số u = f (x,y) xác định trên miền D ⊂ R 2 , M o (x o, y o )∈ D. Vi phân tòan phần của f(x,y) tại (x o, y o ) : df(x o, y o ) = f’ x (x o ,y o ) dx + f’ y (x o ,y o )dy df(x , y) = f’ x (x,y) dx + f’ y (x,y)dy hay df = f’ x dx + f’ y dy Tổng quát : u = f(x 1 , x 2 ,…, x n ) du = 1 1 f dx x ∂ ∂ + 2 2 f dx x ∂ ∂ +…+ n n f dx x ∂ ∂ Ví dụ : Tìm vi phân toàn phần của hàm số : a) f(x,y) = x 4 + 3xy + 2y 2 + arctgx b) f(x,y) = arctg yx yx − + Đạo hàm và vi phân cấp cao : 1. Đạo hàm riêng cấp cao : Đạo hàm riêng cấp hai là đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một. Hàm hai biến z = f(x,y)có các đạo hàm riêng cấp hai sau : '''' 2 2 2 )( x xx ff x f x f x == ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ '' 2 )( xy f yx f x f y = ∂∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ '' 2 )( yx f xy f y f x = ∂∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ '''' 2 2 2 )( y yy ff y f y f y == ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ Ví dụ : Tìm đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm a) f(x,y) = xlny b) f(x,y) = ln(x 2 + y 2 ) Ghi chú : f(x,y) là hàm xác định trên D ⊂ R 2 và có các đạo hàm riêng cấp 2 ),( 2 yx yx f ∂∂ ∂ và 2 (, ) f x y yx ∂ ∂∂ trong lân cận của (x o ,y o ) ∈ D. Nếu chúng liên tục tại (x o ,y o ) thì ),( 00 2 yx yx f ∂∂ ∂ = 2 00 (, ) f x y yx ∂ ∂∂ 2. Vi phân cấp cao : df = dy y f dx x f ∂ ∂ + ∂ ∂ 4 d 2 f = d(df) = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ dy y f dx x f d = 2 2 2 dx x f ∂ ∂ + dydx xy f ∂∂ ∂ 2 + dxdy yx f ∂∂ ∂ 2 + 2 2 2 dy y f ∂ ∂ Nếu đạo hàm hỗn hợp bằng nhau thì ta có : d 2 f = 2 2 2 dx x f ∂ ∂ + 2 dxdy yx f ∂∂ ∂ 2 + 2 2 2 dy y f ∂ ∂ Ví dụ : Cho f(x,y) = x 2 e y . Tìm vi phân cấp 2 . 5.3 CỰC TRỊ : 5.3.1 Cực trị tự do: 1/ Định nghĩa : Cho hàm f(x,y) xác định trên D ⊂ R 2 . Điểm M o (x o , y o ) gọi là điểm cực đại (hoặc điểm cực tiểu ) nếu f(M) ≤ f(M 0 ) (hoặc f(M) ≥ f(M 0 ) ) với mọi M(x,y) trong lân cận M o . 2/ Định lý 1 (điều kiện cần) Nếu hàm f(x,y) đạt cực trị tại M o (x o , y o ) mà tại đó hàm có các đạo hàm riêng y f x f ∂ ∂ ∂ ∂ , tồn tại thì x f ∂ ∂ (x o , y o ) = 0 và y f ∂ ∂ (x o , y o )= 0 . 3/ Định nghĩa : Nếu x f ∂ ∂ (x o , y o ) = 0 và y f ∂ ∂ (x o , y o ) = 0 thì M o (x o , y o ) được gọi là điểm dừng của hàm f(x, y). Ghi chú : Điểm cực trị là điểm dừng nhưng ngược lại chưa chắc đúng. Phản ví dụ : Cho f (x, y) = x 2 - y 2 xác định trên R 2 . Ta thấy p = q = 0 tại M o (0,0) nhưng M o (0,0) không phải là điểm cực trị vì f(x, 0) = x 2 ≥ 0 = f (0,0) còn f (0, y) = - y 2 ≤ 0 = f(0,0) 4/ Định lý 2 (điều kiện đủ) Giả sử điểm M o (x o , y o ) là điểm dừng của hàm số f(x,y). Đặt A = 2 2 x f ∂ ∂ (x o , y o ) , B = yx f ∂∂ ∂ 2 (x o , y o ) , C = 2 2 y f ∂ ∂ (x o , y o ) * AC – B 2 > 0 : M 0 (x o , y o ) là điểm cực trị 5 • A > 0 : M o (x o , y o ) là điểm cực tiểu • A < 0 : M o (x o , y o ) là điểm cực đại * AC – B 2 < 0 : M 0 (x o , y o ) không phải là điểm cực trị * AC – B 2 = 0 : Chưa kết luận được . Tìm cực trị : Ví dụ 1 : Cho hàm f(x, y) = x 3 + y 3 + 3xy HD : Hàm f(x, y) có hai điểm dừng là M o (0, 0) và M 1 ( - 1, - 1) * Tại M o (0,0) : AC – B 2 = - 9 < 0 : M o (0, 0) không phải là điểm cực trị * Tại M 1 (-1, -1) : AC – B 2 = 27 > 0 : M 1 (-1, -1) là điểm cực trị Ví dụ 2 : Cho hàm g(x, y) = x 2 + xy + y 2 – 3x – 6y Ví dụ 3 : Cho hàm f(x, y) = x 2 + y 4 HD : Ta thấy AC – B 2 = 0 nên không kết luận được , cần xét cụ thể f(x,y). Ví dụ 4 : Cho hàm f(x, y) = x 3 + y 4 5.3.2 Cực trị có điều kiện : * Cho hàm 2 biến u = f(x,y) . Cực trị của hàm f(x,y) thỏa điều kiện φ(x,y) = 0 được gọi là cực trị có điều kiện . * Phương pháp tìm cực trị có điều kiện : 1.Trường hợp 1 : Nếu từ điều kiện φ(x,y) = 0 ta suy ra được y = y(x) thì thay vào hàm u=f(x,y) ta được hàm một biến u=f(x,y(x)) .Từ đó ,ta tìm cực trị của hàm một biến thông thường . Ví dụ : Tìm cực trị của hàm z = f(x,y) = 22 1 yx −− với điều kiện x + y – 1 = 0 2.Trường hợp 2 : Nếu từ điều kiện φ(x,y) = 0 ta không suy ra được y = y(x) thì ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange như sau : • Tìm các điểm dừng M o (x o ,y o ) bằng cách giải hệ phương trình : 6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ 0),( 0 0 yx yy f xx f ϕ ϕ λ ϕ λ ( λ : nhân tử Lagrange) • Lập hàm Lagrange : L(x,y, λ ) = f(x,y) + λ φ(x,y) Xét vi phân toàn phần cấp 2 của hàm Lagrange : d 2 L = 2 2 x L ∂ ∂ dx 2 + 2 yx L ∂∂ ∂ 2 dxdy + 2 2 y L ∂ ∂ dy 2 tại các điểm dừng M o (x o ,y o ) . Chú ý điều kiện : x ∂ ∂ ϕ (x o ,y o ) = 0 .  d 2 L ≥ 0 : M o (x o ,y o ) là điểm cực tiểu  d 2 L ≤ 0 : M o (x o ,y o ) là điểm cực đại Ví dụ : Tìm cực trị của hàm f(x,y) = x + 2y với điều kiện φ(x,y) = x 2 + y 2 - 5 = 0 . 1 CHƯƠNG 5 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 5. 1 Hàm nhiều biến : 5. 1.1 Khái niệm 1. Định nghĩa : Cho D ⊂ R n , ánh xạ f : D Æ R là một hàm nhiều biến xác định trên D. ),( 00 yx y f ∂ ∂ Ghi Chú : Tính đạo hàm riêng của hàm nhiều biến thực chất là tính đạo hàm theo một biến còn các biến kia không đổi . Ví dụ 1 : Cho f(x,y) = x 2 + 3xy + 2y 2 + 4x -5y +10. Tìm y f x f ∂ ∂ ∂ ∂ ,. Ví dụ : Tìm vi phân toàn phần của hàm số : a) f(x,y) = x 4 + 3xy + 2y 2 + arctgx b) f(x,y) = arctg yx yx − + Đạo hàm và vi phân cấp cao : 1. Đạo hàm riêng cấp cao : Đạo hàm riêng cấp