1 CHƯƠNG 4 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 4.1. Vi phân hàm nhiều biến 4.2.1. Khái niệm 1. Định nghĩa. Cho D  R n , ánh xạ f : D  R là một hàm nhiều biến xác định trên D f: D  R x  u = f(x) với x = (x 1 ,x 2 ,…, x n )  D  D : miền xác định của f  U = f(D)  R : miền giá trị của f 2. Ví dụ. Tìm miền xác định a. f : D  R ( D  R 2 ) (x,y )  u = f(x,y) = 22 4 yx  Hàm số xác định 22 22 40 4xy xy  . Vậy   22 2 (, ) : 4DxyRxylà hình tròn tâm 0 bán kính 2. b. f : D  R ( D  R 2 ) (x,y)  u = f(x,y) với u = ln (x + y) Hàm số xác định 0 x yyx  . Vậy   2 (, ) : 0DxyRxylà nửa mặt phẳng nằm phía trên đường thẳng y = -x. 4.1.2. Giới hạn – Liên tục 1. Giới hạn Cho hàm số f : D  R với D  R n , M o  D M  f(M) M = (x 1 , x 2 ,…,x n )  D Số L được gọi là giới hạn của hàm f(M) khi M  M o nếu :   > 0 ,   > 0 sao cho o MM  <     LMf )( Ký hiệu L M f o MM   )(lim Ghi chú :  Khoảng cách giữa 2 điểm M(x 1 ,x 2 ,…,x n ) và N(y 1 ,y 2 ,…,y 3 ) trong R n : d(M,N) = NM  = 22 22 2 11 )( )()( nn yxyxyx   M  M o o MM   0 2 2. Liên tục  f(M) liên tục tại M o  )()(lim o MM MfMf o   (1)  Điểm M o gọi là điểm gián đoạn nếu (1) không thỏa mãn.  f(M) liên tục trên D nếu f(M) liên tục tại mọi điểm của D Ví dụ : Cho hàm số f : D  R (D  R 2 ) (x,y )  u = f(x,y) = yx yx   Xét tính liên tục của f(x,y) tại (0,0). 4.1.3. Đạo hàm và vi phân 1. Đạo hàm riêng Cho hàm số u = f (x,y) xác định trên miền D  R 2 , M o (x o, y o ) D . Nếu x yxfyxxf x u x x x         ),(),( limlim 0000 00 tồn tại hữu hạn thì giới hạn này được gọi là đạo hàm riêng theo biến x của hàm f(x,y) tại điểm (x o, y o ) , ký hiệu : f’ x (x o ,y o ) hoặc ),( 00 yx x f   Tương tự ,ta có đạo hàm riêng theo biến y của hàm f(x,y) là : f’ y (x o ,y o ) hoặc ),( 00 yx y f   Ví dụ Tính đạo hàm riêng của hàm số (, ) sin( ) f xy xy  bằng định nghĩa. Ta có 00 00 (,)(,) sin()sin() lim lim 2cos sin sin 22 2 lim lim cos cos( ) 2 2 xx xx f fxxyfxy xxy xy xx x yx yx yx xy yx y xy y xy yx x                       Tương tự: cos( ) f x xy y    . Ghi Chú : Tính đạo hàm riêng của hàm nhiều biến thực chất là tính đạo hàm theo một biến còn các biến kia không đổi . Ví dụ Tìm đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau a. f(x,y) = x 2 + 3xy + 2y 2 + 4x -5y +10 b. z =e x cosy c. 22 ln( )zxxy d. y x zx Giải 3 a. Từ công thức đạo hàm của hàm một biến ta có 234; 345 ff x yxy xy     . b. cos ; sin xx zz ey ey xy    c.     22 22 22 22 22 22 1 1 x xy xxy z x x y xxy xyxxy                .     22 22 22 22 y xy zy x x xy xyx xy            d. Lấy ln hai vế, ta được: ln ln y zx x . Suy ra 111 1 yx ln ( ln 1) ( ( ln 1)) y yyy xy x x z xx x y x z x x y x z        222 ln ln ln yy y yxyxy y z x xzxx xx x z      2. Vi phân toàn phần Cho hàm số u = f (x,y) xác định trên miền D  R 2 , M o (x o, y o ) D. Vi phân tòan phần của f(x,y) tại (x o, y o ) : df(x o, y o ) = f’ x (x o ,y o ) dx + f’ y (x o ,y o )dy Tổng quát : u = f(x 1 , x 2 ,…, x n ) du = n n x x f x x f dx x f          2 2 1 1 Ví dụ Tìm vi phân toàn phần của hàm số 22 zxy Ta có: 22 22 ; zxzy xy x yxy     Vậy: 22 22 xy dz dx dy xy xy   4.1.4. Đạo hàm và vi phân cấp cao 1. Đạo hàm riêng cấp cao 4 Đạo hàm riêng của f’ x (x,y) theo biến x được gọi là đạo hàm riêng cấp hai theo biến x và ký hiệu ),( '' yxf xx hoặc ),( yx x f x           hoặc ),( 2 2 yx x f   Tương tự ta có đạo hàm riêng cấp hai theo biến y : ),( '' yxf yy hoặc ),( yx y f y             hoặc ),( 2 2 yx y f   Đạo hàm riêng của f’ x (x,y) theo biến y được gọi là đạo hàm hỗn hợp theo x và theo y , ký hiệu ),( '' yxf xy hoặc ),( yx x f y           hoặc ),( 2 yx yx f   . Tương tự ta có đạo hàm hỗn hợp theo y và theo x: ),( '' yxf yx hoặc ),( yx y f x             hoặc ),( 2 yx xy f   Ví dụ 1 Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số 35 (, ) ysin2 y f xy xe x 2 25 5 2 32cos2 64sin2 yy ff x eyx xeyx xx     2 35 35 2 5sin2 25 yy ff x ex xe yy    2 35 25 5sin2 152cos2 yy ff x ex xe x yyx     Ví dụ 2 Chứng minh rằng hàm số 22 (, ) ln( ) f xy x ythỏa mãn phương trình: 22 22 0 ff xy    .     22 22 2 2 22 22 2 22 22 2 22 2 y x xy x fx f xx y x xy xy          Tương tự:   22 2 2 2 22 2 x y f y xy      Suy ra:       22 22 22 22 22 22 22 22 0 yx xy ff VP xy xy xy        (đpcm). 5 Ghi chú : f(x,y) là hàm xác định trên D  R 2 và có các đạo hàm riêng cấp 2 ),( 2 yx yx f   và ),( 2 yx yx f   trong lân cận của (x o ,y o )  D. Nếu chúng liên tục tại (x o ,y o ) thì ),( 00 2 yx yx f   = ),( 00 2 yx yx f   2. Vi phân cấp cao  df = dy y f dx x f       d 2 f = d(df) =              dy y f dx x f d = 2 2 2 dx x f   + dydx xy f   2 + dxdy yx f   2 + 2 2 2 dy y f   Nếu đạo hàm hỗn hợp bằng nhau thì ta có : d 2 f = 2 2 2 dx x f   + 2 dxdy yx f   2 + 2 2 2 dy y f   4.1.5. Đạo hàm hàm số hợp và hàm ẩn 1. Đạo hàm hàm hợp  Nếu f(x,y) khả vi trong miền D và x = x(t) và y = y(t) khả vi trong khoảng (a,b) thì hàm hợp f(x(t),y(t)) cũng khả vi trong khoảng (a,b) và: dt df = dt dx x f   + dt dy y f    Nếu f(u,v) khả vi theo u,v và u(x,y) ,v(x,y) lại khả vi theo x,y thì hàm hợp f(u(x,y),v(x,y)) có đạo hàm : x f   = u f   x u   + v f   x v   y f   = u f   y u   + v f   y v   Ví dụ: Tìm đạo hàm u = (3x – y) ln (x 2 + y 2 ) 2. Đạo hàm hàm ẩn a. Định Nghĩa: Cho F (x,y) = 0 trong đó F (x,y) là hàm hai biến xác định trên D  R 2 . Nếu tồn tại hàm một biến y = f(x) xác định trên I 6 sao cho (x, f(x))  D và F (x, f(x)) = 0 thì hàm y = f(x) gọi là hàm ẩn xác định bởi phương trình F(x,y) = 0 b. Ví dụ: (1) x 2 + y 2 – 1 = 0  x  [-1, 1] : y = 2 1 x , y = - 2 1 x là các hàm ẩn xác định bởi phương trình đã cho (2) 01 2 2 2 2  b y a x  x  [-a, a] : y = + 22 xa a b  là các hàm ẩn c. Định lý: Giả sử F(x o , y o ) = 0. Nếu hàm F(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận điểm M o (x o , y o ) và nếu F’ y (x o , y o )  0 thì F (x, y) = 0 xác định một hàm ẩn y = y(x) trong lân cận của x o . Hàm y = y(x) liên tục, có đạo hàm liên tục ở lân cận x o và y(x o ) = y o . Ngoài ra : y’(x) = - ' ' y x F F hay dx dy = - y F x F     Mở rộng đối với hàm 3 biến F (x, y, z) = 0 , ta có z = z(x,y) thì : x z   = - z F x F     và y z   = - z F y F     Ví dụ 1 : Tìm đạo hàm các hàm ẩn , xác định bởi các phương trình : a) F(x,y) = x 2 + y 2 – 1 = 0 b)F(x,y) = 01 2 2 2 2  b y a x Ví dụ 2 : Tìm đạo hàm y’ và y’’của hàm ẩn y = f(x) ; xác định bởi phương trình: 1 + xy – ln(e xy + e -xy ) = 0 4.2. CỰC TRỊ 4.2.1. Cực trị tự do a. Định nghĩa 7 Cho hàm f(x,y) xác định trên D  R 2 . Điểm M o (x o , y o ) gọi là điểm cực đại (hoặc điểm cực tiểu) nếu f(M)  f(M 0 ) (hoặc f(M)  f(M 0 ) ) với mọi M(x,y) trong lân cận M o . Ta sử dụng ký hiệu : p = x f   ; q = y f   ; r = 2 2 x f   ; s = yx f   2 ; t = 2 2 y f   b. Định lý 1 (điều kiện cần) Nếu hàm f(x,y) đạt cực trị tại M o mà tại đó hàm có các đạo hàm riêng y f x f     , tồn tại thì p = x f   = 0 và q = y f   = 0 tại M o (x o , y o ). c. Định lý 2 : Nếu p = x f   = 0 và q = y f   = 0 tại M o (x o , y o ) thì M o (x o , y o ) được gọi là điểm dừng của hàm f(x, y). Ghi chú : Điểm cực trị là điểm dừng nhưng ngược lại chưa chắc đúng. Phản ví dụ : Cho f (x, y) = x 2 - y 2 xác định trên R 2 . Ta thấy p = q = 0 tại M o (0,0) nhưng M o (0,0) không phải là điểm cực trị vì f(x, 0) = x 2  0 = f (0,0) còn f (0, y) = - y 2  0 = f(0,0) d. Định lý 3 (điều kiện đủ) Giả sử hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của M o (x o , y o ) và tại M o ta có p = 0 và q = 0 . * s 2 – rt < 0 : f (x,y) đạt cực trị tại M 0 (x o , y o )  r > 0 : M o là điểm cực tiểu  r < 0 :  o là điểm cực đại * s 2 – rt > 0 : f (x,y) không đạt cực trị tại M 0 * s 2 – rt = 0 : Chưa kết luận được . Ví dụ 1 Cho hàm g(x, y) = x 3 + y 3 + 3xy HD : Hàm f(x, y) có hai điểm dừng là M o (0, 0) và M 1 ( - 1, - 1) * Tại M o (0,0) : s 2 – rt = 9 > 0 : f(x, y) không đạt cực trị * Tại M o (-1, -1) : s 2 – rt = -27 < 0 : : f(x, y) đạt cực trị M o (-1, -1) 8 Ví dụ 2 Cho hàm f(x, y) = x 2 + y 4 HD : Ta thấy s 2 – rt = 0 nên không kết luận được , cần xét cụ thể f(x,y). Ví dụ 3 Khảo sát cực trị của các hàm số sau 22 32 1021zx xyy xy D = R 6210; 222 zz xy xy xy     Giải hệ phương trình: 62100 2 2220 1 xy x xy y           . Tính các đạo hàm cấp 2: 22 2 22 6; 2; 2 zz z rst xyxy       Suy ra: 2 80srt, và r = 6 > 0. Vậy M(-2; 1) là cực tiểu. Ví dụ 4 Khảo sát cực trị của các hàm số sau 33 3zx y xy MXĐ: D = R 2 22 33; 33 zz x yyx xy     Giải hệ phương trình: 2 2 0 0 330 1 330 1 x y xy x yx y                         . Vậy có hai điểm tới hạn: M 1 (0; 0) và M 2 (1; 1). Tính các đạo hàm cấp 2: 22 2 22 6; 6; 3 zz z rxtys xy xy          Tại M 1 (0; 0) ta có: 2 90srt   nên điểm này không phải là điểm cực trị của hàm số.  Tại M 1 (1; 1) ta có: 2 27 0srt    và r = 6 > 0 nên điểm này là điểm cực tiểu của hàm số và giá trị cực tiểu là - 1. 9 4.2.2. Cực trị có điều kiện *Cho hàm 2 biến u = f(x,y) . Cực trị của hàm f(x,y) thỏa điều kiện φ(x,y)=0 được gọi là cực trị có điều kiện . * Phương pháp tìm cực trị có điều kiện :  Trường hợp 1 : Nếu từ điều kiện φ(x,y) = 0 ta suy ra được y = y(x) thì thay vào hàm u=f(x,y) ta được hàm một biến u=f(x,y(x)) .Từ đó ,ta tìm cực trị của hàm một biến thông thường . Ví dụ : Tìm cực trị của hàm z = f(x,y) = 22 1 yx  với điều kiện x + y – 1 = 0  Trường hợp 2 : Nếu từ điều kiện φ(x,y) = 0 ta không suy ra được y = y(x) thì ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange như sau :  Tìm các điểm dừng M o (x o ,y o ) bằng cách giải hệ phương trình :                       0),( 0 0 yx yy f xx f      (  : nhân tử Lagrange)  Lập hàm Lagrange : L(x,y,  ) = f(x,y) +  φ(x,y) Xét vi phân toàn phần cấp 2 của hàm Lagrange : d 2 L = 2 2 x L   dx 2 + 2 yx L   2 dxdy + 2 2 y L   dy 2 tại các điểm dừng M o (x o ,y o ) . Chú ý điều kiện : x    (x o ,y o ) = 0 .  d 2 L  0 : Hàm đạt cực tiểu tại M o (x o ,y o )  d 2 L  0 : Hàm đạt cực đại tại M o (x o ,y o ) Ví dụ 1 Tìm GTLN và GTNN của hàm số 22 (, ) f xy x xy y trên đường tròn 22 1xy   . Lập hàm Lagrange: 2222 (, , ) ( 1)Lxy x xy y x y     22 22; 22; 1 LL L xy x x y y x y xy          10 Giải hệ phương trình: 22 220 22 0 10 xy x xy y xy              Ta được 12 13 à 22 v    .  Với 1 1 2   có hai điểm tới hạn: 12 11 11 ,; , 22 22 MM     .  Với 2 3 2   có hai điểm tới hạn: 34 11 1 1 ,; , 22 2 2 MM     . 12 1 () () 2 fM fM , hàm đạt giá trị bé nhất. 34 3 () () 4 fM fM, hàm đạt giá trị lớn nhất. Ví dụ 2 Tìm cực trị của hàm số (, ) 2 f xy x y   với điều kiện 22 5xy 22 (, ) f xy x xy y trên đường tròn 22 1xy   . Lập hàm Lagrange: 22 (, , ) 2 ( 5)Lxy x y x y     22 12 ; 22 ; 5 LL L xyxy xy             Giải hệ phương trình: 22 12 0 22 0 50 x y xy            Ta được 12 11 à 22 v    .  Với 1 1 2   có điểm tới hạn:   1 1, 2M .  Với 2 1 2   có hai điểm tới hạn:   2 1, 2M   . Tại  1 1, 2M ta có 22 1 (, ) 2 ( 5) 2 Lxy x y x y    và 222 (1, 2) 0d L dx dy   . Do đó tại   1 1, 2M hàm (, ) f xy đạt cực đại. [...]... x y y y 4. 8 Tính đạo hàm các hàm số hợp a) f(x,y) = xy với x = lnt , y = sint y2 ln( x 2  y 2 ) 2 x 4. 9 Tính đạo hàm các hàm số ẩn b)f(x,y) = arctg y với x=e2t+1 , y=e2t-1 x d)f(x,y)=(x2sin2y)ycosx–(y2cos2x)xsiny c) f(x,y) = a) f(x,y) = ysinx - cos(x-y) = 0 Tính dy (0) dx z z (1,2) và (1,2) biết rằng x y z(1,-2) = 2 Tính dz biết rằng yz = arctg(xz) 4. 10 Tìm cực trị của các hàm số a) f(x,y)... xz 4. 5 Tính vi phân toàn phần cấp 1 x b) u = e a) u = e (cosy + xsiny) c) u = x y 2 x y d) u = xey + yez + zex z 11 4. 6 Tính các đạo hàm riêng cấp 2 a) f(x,y) = xy2 + y x b) f(x,y) = xln(x +y) c) f(x,y) = ln(x + x 2  y 2 ) d) f(x,y) = arctg y x 4 7 a) Chứng minh rằng nếu z  xy  xe thì: x y x z z  y  xy  z x y b) Chứng minh rằng nếu z  y ln( x 2  y 2 ) thì: 1 z 1 z z   2 x x y y y 4. 8...  hàm f ( x, y ) đạt cực tiểu BÀI TẬP CƯƠNG 4 4.1 Tìm miền xác định a) f(x,y) = ln( x 2  y 2  1) b)f(x,y) = 4  x2  y2 d)f(x,y) = ln(108 -27x2 – 18y2 – 12z2) y + ln(sinx) c) f(x,y) = y ln x 4. 2 Tìm giới hạn a) f(x,y) = x y x y b) f(x,y) = x2 y2 x 2 y 2  ( x  y) 2 khi (x,y)  (0,0) c) f(x,y) = xy 2 x2  y4 khi (x,y)  (0,0) d) f(x,y) = x y x  xy  y 2 khi (x,y)  (, ) khi (x,y)  (0,0) 2 4. 3... rằng yz = arctg(xz) 4. 10 Tìm cực trị của các hàm số a) f(x,y) = (x – 1)2 + 2y2 b) f(x,y) = 2x4 + y4 – x2 – 2y2 b) F(x,y,z) = z3 – 4xz + y2 – 4 = 0 Tính c) f(x,y) = x2 + y2 – 2xy + 2x – 2y d) f(x,y) = 1 e) f) f ( x, y )  ( x 2  y 2 )e  ( x f ( x, y )  4( x  y )  x 2  y 2 g) f ( x, y )  x  y  xe y 4. 11 Tìm cực trị có điều kiện a f(x,y) = xy b f(x,y) = xy c f(x,y) = x2 + y2 d f(x,y) = 1 1... sự liên tục của các hàm số sau đây tại điểm (0,0)  x3  y3  khi ( x, y )  (0,0) a) f(x,y) =  x 2  y 2 0 khi ( x, y )  (0,0)   x2 y  khi ( x, y )  (0,0) b) f(x,y) =  x 2  y 2 0 khi ( x, y )  (0,0)  4. 4 Tính các đạo hàm riêng cấp 1 a) f(x,y) = x3+y3+x2y+xy2+xy b) f(x,y) = ln(x + x 2  y 2 ) c) f(x,y) = arcsin(x+3y) d) f(x,y) = exycosxsiny cos y x e) f ( x, y )  ln (4  x  y ) f) f ( x, . 1 CHƯƠNG 4 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 4. 1. Vi phân hàm nhiều biến 4. 2.1. Khái niệm 1. Định nghĩa. Cho D  R n , ánh xạ f : D  R là một hàm nhiều biến xác định trên. ) f x xy y    . Ghi Chú : Tính đạo hàm riêng của hàm nhiều biến thực chất là tính đạo hàm theo một biến còn các biến kia không đổi . Ví dụ Tìm đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau a. f(x,y). Tìm vi phân toàn phần của hàm số 22 zxy Ta có: 22 22 ; zxzy xy x yxy     Vậy: 22 22 xy dz dx dy xy xy   4. 1 .4. Đạo hàm và vi phân cấp cao 1. Đạo hàm riêng cấp cao 4 Đạo