chương 3 phép tính tích phân

16 1.1K 1
chương 3 phép tính tích phân

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

1 Chương 3 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 3.1. Tích phân bất định 3.1.1. Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định 1. Nguyên hàm a. Định nghĩa: F(x) là nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a,b)  F(x) = f(x) , x  (a,b) b. Định Lý : Mọi hàm số f(x) liên tục trên (a,b) đều có nguyên hàm trên khoảng đó Ví dụ. Cho () cos f xx , dễ thấy () sinxFx  là một nguyên hàm của () f x trên R. Ngoài ra nó còn có nguyên hàm dạng sinx+C , với C là hằng số tùy ý. c. Định Lý 2  Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trên (a,b) thì F(x) + C ( C : hằng số) cũng là nguyên hàm của f(x).  Mọi nguyên hàm của f(x) trên (a,b) đều có dạng F(x) + C 2. Tích phân bất định a. Định nghĩa. Dạng tổng quát của nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a,b), kí hiệu là  dxxf )( , được gọi là tích phân bất định của hàm f(x) trên khoảng đó.  dxxf )( = F(x) +C b. Tính chất cơ bản 1)     dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ 2)    dxxfkdxxkf )()( (k : hằng số ) 3. Bảng tích phân (1) Codx   (7) Cxxdx   cossin (2) Cxdx   1 (8) Cxxdx   sincos (3) C x dxx      1 1    (9) Ctgx x dx   2 cos (4) Cx x dx   ln (10) Cgx x dx   cot sin 2 (5) C a a dxa x x   ln (11) Cx x dx    arcsin 1 2 (6) Cedxe xx   (12) Carctgx x dx    2 1 2 Ví dụ. Tính các nguyên hàm a. 53 7 5 3 1 2 222 2 2 2 242 (1) ( 2 ) 753 x xdxx xxdxx x xC     b. 2 1os2 sin2 sin 224 cx x x x dx dx C    3.1.2. Các phương pháp tính tích phân 1. Phương pháp đổi biến số a.  dxxf )( =  duug )( = G [u(x)] + C b.  dxxf )( =    )()()(')).(( tGdttgdtttf  Ví dụ a) Tính 2 4 I xx dx  Đặt 222 4422tx tx tdtxdx . Từ đó: 23 3 22 (4) 4 33 x t I xx dx tdt C C     . b) Tính 22 I axdx  , (a > 0) Đặt cos a sin x atdx tdt . Từ đó: 22 222 2 2 222 os (1 os ) sin ( a sin ) ( os2 1) sin 2 242 Iaxdxaactdtactdt aaa at tdt ctdt t tC           . 2. Phương pháp tích phân từng phần  udv = uv -  vdu Ghi chú : Phương pháp tích phân từng phần thường được dùng để tính các tích phân có dạng sau:     axdxxPaxdxxPdxexP ax cos)(,sin)(,)( Dùng phương pháp trên với phép đặt ax () , os(ax ),sin(ax ) b uPx dv e c b b dx       .     arctgxdxxPxdxxPxdxxP )(,arcsin)(,ln)( 3 Dùng phương pháp trên với phép đặt ln , arcsin , ar () ux xctgx dv P x dx      . Ví dụ a) Tính ar I xctgxdx  Đặt 2 2 ar 1 2 dx du uctgx x dv xdx x v                . Suy ra: 222 22 22 2 11(1)111 ar ar ar 1 221221 221 x x dx x x dx x I ctgx ctgx ctgx dx xx x           2 1 ar ar 222 xx ctgx ctgx C . b) Tính 2 cos I xxdx  Đặt 2 2 sinx cos du xdx ux v dv xdx           . Suy ra: 2 sinx 2 sin I xxxdx  Tính sinKxxdx  Đặt sin osx ux dudx dv xdx v c       . Suy ra: osx os cos sinxKxc cxdxxx C      Vậy 22 cos sinx 2 cos 2sin I xxdxx xx xC  3.1.3. Tích phân một số hàm đặc biệt 1. Tích phân hàm hữu tỉ f(x) = )( )( xQ xP  f(x) là phân thức thật sự nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x)  Lúc nào ta cũng có thể đưa hàm hữu tỉ về dạng một đa thức cộng với một phân thức thật sự bằng cách chia đa thức.  Có 3 dạng cơ bản I / I = CaxAdx ax A    ln II/ I = C ax k A dx ax A kk         1 )( 1 . 1 )( 4 III / I = dx qpxx NMx    2 Dạng I =     ) 4 () 2 ( 2 2 2 p q p x dx qpxx dx Tùy thuộc q - 4 2 p ta có các dạng : o  2 u du Ví Dụ : I =   44 2 x x dx o   k u du 2 Ví Dụ : I =   42 2 x x dx o   22 k u du Ví Dụ : I =   64 2 x x dx Dạng : I = dx qpxx MP Npx M dx qpxx NMx       22 ) 2 ()2( 2 =    qpxx dxMp Nqpxx M 2 2 ) 2 (ln 2 Ví dụ a) Tính 2 (1)( 1) dx I xx    Ta có: 22 2 11 (1)( 1)(1)(1) 1(1) 1 ABC x xxxxxx       22 2 2 2 (1)(1)(1) 1(1) 1 ()(2) (1)( 1) Ax Bx Cx xx x ACx B CxABC xx          Suy ra: 1 4 0 1 20 2 1 1 4 A AC BC B ABC C                    Vậy 22 11 1 (1)( 1) 4 12(1) 4 1 dx dx dx dx I x xxxx       5 1111 ln 1 . ln 1 4214 x xC x        . b) Tính 2 (3 2) (3)( 2) x dx I xx     Ta có: 2 22 2 32 ( 2)( )(3) (3)( 2) 3 2 3 2 xABxCAxBxCx xx x x x x              2 2 ()(3)23 (3)( 2) x AB xBC A C xx      Suy ra: 01 33 1 23 2 0 AB A BC B AC C            Vậy 2 22 (3 2) 1 ln 3 ln( 2) (3)( 2) 3 2 2 xdx dx xdx I xxC xx x x        . 2. Tích phân hàm lượng giác a. Dạng  dxxxR )sin,(cos trong đó R(u,v) là biểu thức hữu tỉ theo cosx,sinx Phương pháp chung : Đặt t = 2 x tg Khi đó : sin x = 2 1 2 t t  , cosx = 22 2 1 2 , 1 1 t dt dx t t     Ví dụ a) Tính (1) cos dx Ia ax    Đặt t = 2 x tg thì 2 2 22 1 ar (1)(1) 12 1 dt a x I ctg tg C aat a a             b) Tính 4sin cos 5 dx I xx    Đặt t = 2 x tg thì 2 2 22 22 2 1 2 21 288 (2) 4. 3. 5 11 dt dt dt t I tt tt t tt         11 2 2 2 CC x t tg       . b. Dạng    bxdxaxbxdxaxbxdxax sincos,sinsin,coscos Biến đổi tích thành tổng : 6 Nhớ công thức : coscos  =  )cos()cos( 2 1   sinsin  =  )cos()cos( 2 1   sincos  =  )sin()sin( 2 1   Ví Dụ : I =    xdxxIxdxx 7cos4cos,3cossin c. Dạng  xdxxdx nn cos,sin Phương pháp :  n lẻ : Đặt t = cosx hoặc sin x  n chẵn : Dùng công thức hạ bậc cos 2 x = 2 2cos1 sin, 2 2cos1 2 x x x    Ví Dụ a) Tính 3 4 cos sin x I dx x   Đặt t = sinx cosdt xdx thì 22 44423 3 cos cos 1 1 1 1 1 1 1 sin 3 3sin sinx xx t I dx dt dt C C xttttt x       b) Tính 32 sin .cos I xxdx  Đặt t = osx sincdt xdx thì 53 32 22 22 os os sin .cos sin .cos .sinx (1 ). 53 cxcx I x xdx x x dx t t dt C    c) Tính 2 6 sin os x I dx cx   Đặt t = 2 os dx tgx dt cx  thì 22 53 22 6222 sin sin 1 .(1) os os os os 5 3 xxdx tgxtgx I dx t t dt C cx cxcxcx     3. Tích phân hàm vô tỉ Phương pháp chung để tính tích phân các hàm vô tỉ là tìm cách đưa về tích phân hàm hữu tỷ. Trong một vài trường hợp ta chuyển về dùng các tích phân cơ bản của hàm vô tỷ sau: 1. 22 1 arcsin x dx C a ax    7 2. 2 2 1 lndx x x k C xk    3. 22 22 2 11 arcsin 22 x axdx xax a C a     4. 22 2 1 ln 22 k x kdx x x k x x k C    Dạng 1 : Tính (, ax ) n I fx bdx  Cách giải: Đặt 1 1 ax ax n nn n nt dt t b t b nt dt adx dx a     . Dạng 2: Tính (ax ,ax ) mn I fbbdx  Cách giải: Đặt 1 1 ax a k kk kt dt t b kt dt dx dx a      .(trong đó k là bội chung nhỏ nhất của m và n) Ví dụ Tính 3 4 1 x I dx x    Đặt 43 4tx tdtdx  . Từ đó: 23 5 2 3 3 2 33 3 3 44(1) 44 4. 11 1 331 ttdt tdt t t dt Itdt tt t t              33 3 3 44 44 ln 1 ln 1 33 tt C x x C     Dạng 3: Tính tích phân: 2 (, a ) ,( 0)Rx x bx cdx a    TH1: 2 2 2 2 11 4 4 dx dx ax bx c bbac ax aa                 Đặt 2 2 4 ; 4 bbac ux k aa    . Suy ra: 2 2 2 2 1 () 4 4 du dx au k bbac ax aa             TH2: 22 (2 ) 22 AAb ax b B Ax B aa dx dx ax bx c ax bx c           2 22 (ax ) 22 Ad bxc Ab dx B aa ax bx c ax bx c         . Ví dụ Tính 2 1 dx I x xx    8 Đặt 222 2 22 1 2 (2 1) 2( 1) 2 2 2 1 2 1 (2 1) (2 1) tttttt x x t x x dx dt dt ttt       . Suy ra: 2 22 1233 22 (2 1) 2 1 (2 1) ttdt I dt tt t t t        33 2ln ln 2 1 22(21) tt C t     . 3.2. Tích phân xác định 3.2.1. Khái niệm về tích phân xác định 1. Định nghĩa. Giả sử hàm số f(x) xác định trên đoạn [a,b] . a) Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm : x o = a <x 1 < x 2 <… <x n =b b) Trên mỗi đoạn nhỏ [x i-1 ,x i ] ta chọn điểm ξ i tùy ý c) Lập tổng tích phân In = ))(( 1 1     ii n i i xxf  d) Nếu n d I 0 lim  tồn tại không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a,b] và các cách chọn điểm ξ i thì nó được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a,b] Ký hiệu : I = n b a d Idxxf    0 lim)( ( d =max (x i -x i-1 ) với 1  i  n ) Ghi chú :  Hàm số có tích phân xác định trên đoạn [a,b] thì gọi là khả tích trên đoạn [a,b]  I n : tổng tích phân của f(x) trên đoạn [a,b]  [a,b] : đoạn lấy tích phân ; a: cận dưới, b: cận trên   b a : dấu tích phân xác định, f(x) : hàm số dưới dấu tích phân. Quy ước:  Cho f(x) xác định tại a, ta có 0)(   a b dxxf  Cho f(x) xác định trên đoạn [a,b] và a < b , ta có :  a b dxxf )( = -  b a dxxf )( 2. Hàm khả tích  Điều kiện cần. Hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a,b] thì bị chặn trên đoạn nầy Suy ra : f(x) không bị chặn trên [a,b] ==> f(x) không khả tích trên [a,b]  Điều kiện đủ. Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì f(x) khả tích trên đoạn nầy Ví Dụ Dùng định nghĩa tính tích phân xác định : a) I =  1 0 2 dxx b) I =   2 1 9 Ghi chú : 6 )12)(1( , 2 )1( 1 2 1       nnn i nn i n i n i , 4 )1( 22 1 3     nn i n i Tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm số dưới dấu tích phân và đoạn lấy tích phân chứ không phụ thuộc vào ký hiệu biến số tích phân    b a b a b a duufdttfdxxf )()()( 3. Các tính chất (1)   b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ (2)   b a b a dxxfkdxxkf )()( ( k : hằng số ) (3)   b c c a b a dxxfdxxfdxxf )()()( (4) abdx b a   (5) Nếu f(x)  g(x) , x  [a,b] thì  b a dxxf )(   b a dxxg )( (6) Nếu m  f(x)  M , x  [a,b] thì : m(b-a)   b a dxxf )(  M(b-a) 4. Các định lý cơ bản a. Định Lý về giá trị trung bình  Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì c [a,b] :  b a dxxf )( = f (c) (b-a) Chứng Minh: f(x) liên tục trên [a,b] ==> m = y min và M = y max : m  f(x)  M , x  [a,b]. Theo tính chất (6) : m (b-a)  Mdxxf ab mabMdxxf b a b a     )( 1 )()( f(x) liên tục trên [a,b] nên đạt được mọi giá trị trung gian giữa m và M : c [a,b] : f(c) =   b a dxxf ab )( 1 hay  b a dxxf )( =f(c). (b-a) b. Định lý về đạo hàm theo cận trên  Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì hàm   x a dttfx )()( với a  x  b ,là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b]. 10 Vậy : ],[),()()(' ' baxxfdttfx x a          Chứng Minh:  x (a,b) , cho xố gia  x, ta có :    xx x x a xx a x a x a xx x dttfxxx )()()( Theo đl giá trị trung bình c (x+x+  x) sao cho : )()(')(limlim)().()( 00 xfxcf x cf x xcfdttf xx xx x             x = a , x=b : ),()(),()( '' bfbafa   Vậy x [a,b] : ’(x)=f(x) Hệ quả. Mọi hàm số liên tục trên [a,b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. Ví Dụ Tính đạo hàm hàm số : )sin(sin)(' 2 ' 0 2 xdttx x          Mở rộng :   v u uufvvfxdttfx ').(').()(')()( Ví Dụ Tính đạo hàm các hàm số : (a) dttx x   0 2 1)( (b) dttx x x   1 sin 2 cos)( c. Định Lý Newton – Leibnitz Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì : )()()( aFbFdxxf b a   Chứng Minh: f(x) liên tục trên [a,b] nên theo đl đạo hàm cận trên ta có :   x a dttfx )()( là một nguyên hàm của f(x), x [a,b]. Vậy (x) =F(x) +C hay  x a dttf )( = F(x) + C Cho x =a  a a dttf )( = F(a)+C = 0 ==> C =-F(a) Cho x =b  b a dttf )( = F(b)+C = F(b)-F(a) Vậy )()()( aFbFdxxf b a   Bổ sung :  Có những hàm số bị chặn nhưng không khả tích. Chẳng hạn : [...]... Oy thì thể tích là: d V    [g ( y )]2 dy c 3. 3 Tích phân suy rộng 3. 3.1 Tích phân suy rộng có cận vô hạn Định nghĩa Nếu f(x) xác định trên [a,   ) và f(x) khả tích trên [a,t] với t > a Tích phân suy rộng của f(x) trên [a,   ) là :   a t f ( x)dx  lim  f ( x)dx t   a Nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn ,ta nói tích phân suy rộng hội tụ , ngược lại là phân kỳ Tương tự ,ta có : 13 b   ...  x 1 3. 3 a  x x 2  1dx dx x ln 5 x b  b  3x  2 dx 2 x  4x  5 c  xdx c  x2 1 dx x3  x2  x  4 dx dx d  3 2 x  2x  3 x x x 2 dx d  dx 1 x6 b  x 1  ln x c  cos x.e sin x dx 3. 5 a  e 2 x  1dx b  dx x e 1 c  3. 6 a  sin 5 xdx b  sin 3 xdx c  cos 7 x cos 5 xdx b  dx sin x  cos x 3. 4 a  3. 7 a  dx 2  5 cos x 3. 8 a  x 2 sin xdx 3. 9 a  3 cos x c e 2 dx e 2 x 1  3 sin 2... 1 1 3. 3.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn 1 Định nghĩa Cho f(x) khả tích trên [a,  ] với a <  < b và lim f ( x)   Khi đó ,ta có : x b b  a  f ( x)dx  lim  f ( x)dx  b a 2 Ví dụ Tính các tích phân suy rộng: 1 1 dx a)  x 1 0 b)  0 dx 1 x2 BÀI TẬP CHƯƠNG 3 Tính các tích phân bất định sau 3. 1 a  xdx x4  4 b  x 4 dx x2  4 c  14 x3  4x dx x2  4 d  dx x  x4 2 3. 2 a  x 1... dx dx d  3 2 x  5 cos x cos x b  xarctgxdx xdx ex xdx d  ln 2 xdx ln x dx x3 d  Tính các tích phân xác định sau 1 3. 10 a  0 x4 dx x 2 e sin(ln x) b  dx x 1 1 dx c  2 x  4x  5 0  d  cos 4 xdx 0  1 3. 11 a x  x3  9 0 1 2 dx xdx b  2 x  3x  2 0 c 4  tgxdx  e2 d dx  x ln x e 4  3. 12 a 2 dx  3  2 cos x 0 5 b dx  x  2x  1 1 ln 8 1 c arctgx  1  x 2 dx 0 d ln 3  2 3. 13 a  e cos... ln 3  Phương pháp tích phân từng phần Với tích phân xác định, công thức tích phân từng phần chỉ thêm các cận b b  udv  uv a   vdu a b a 1 Ví dụ Tính I   arctgxdx 0 dx  u  arctgx du  Đặt   1  x2 dv  dx v  x  1 1 1 xdx 1 1 Suy ra: I   arctgxdx  xarctgx 0    xarctgx 0  ln(1  x 2 ) 2 1 x 2 0 0 0 1  arctg1  ln 2  ln 2   2 4 2 3. 2 .3 Ứng dụng của tích phân xác định 1 Tính. .. dx 0 d ln 3  2 3. 13 a  e cos xdx 0 x 1 b  arcsin xdx 0 Tính các tích phân suy rộng 15  1 c  x e dx 3 2x 0  d dx ex 1 x sin x dx 3 x  cos 1  3. 14 a   cos xdx 0  3. 15 a  dx c  2 2 x  x2 dx b  2 0 1 x 1 2x  e dx b 0  d e 1 dx x 0 c dx  ex 1 0 dx  x ln 2 d x 1 2 x dx 1 3 Ứng dụng tích phân xác định 3. 16 Tính diện tích giới hạn bởi các đường a y = cosx và trục Ox với 0  x... dụng của tích phân xác định 1 Tính diện tích hình phẳng 12 Diện tích hình phẳng H giới hạn bởi hai đường thẳng x  a, x  b và các đường cong y  f ( x), y  g ( x) trên đoạn [a,b] là: b S H   f ( x)  g ( x) dx a Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x2 và đường thẳng y = x + 2 1 x 2 x3 S   (2  x  x )dx  2 x   2 3 2 1 9 2  2 2 2 Tính độ dài cung Giả sử cung AB là đồ thị... I =  2 x ln 2 x dx x e 1 3. 2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định  Phương pháp đổi biến số a Định Lý 1 Xét tích phân xác định  b a f ( x)dx với f(x) liên tục trên [a,b] Giả sử x= (t) thỏa các điều kiện: (1) (t) có đạo hàm liên tục trên [,] (2) ()=a, () =b (3) Khi t biến thiên trên [,] thì x biến thiên trên [a,b]  Khi đó: a 1  Ví Dụ Tính I = b 0 f ( x)dx =   f  (t ). ' (t )dt... hàm số khả tích nhưng chưa chắc liên tục Bài tập: 1/ Xét sự khả tích 1  f(x) =  x 0  Nếu x [0,1] Nếu x =0 Hướng dẫn : Không bị chặn ==> không khả tích 2 / Xét sự khả tích :  x ln x 1 x  f(x)  0  1   Khi 0 < x < 1 Khi x = 0 Khi x = 1 Hướng dẫn : f(x) liên tục ==> khả tích Ví Dụ : a) I = c) I =   2 1  2 0 b) I = 2 x dx dx  cos 4 6 1  x dx d) I =  2 x ln 2 x dx x e 1 3. 2.2 Các phương... phân kì của các tích phân suy rộng sau   a 0  dx 2 x 1 b dx  x ,   R 1 Giải:  a x 0 dx    arctgx 0  lim arctgx  arctg 0  x  1 2 2  b Nếu   1 , ta có   Nếu   1 , ta có 1  KL: dx  x ,   R  1 dx  x   1 dx  ln x x   lim ln x   1 x   0,  >1 1 1 1 dx  1  lim  1     x  x 1 x 1 x ,  . 3 4 1 x I dx x    Đặt 43 4tx tdtdx  . Từ đó: 23 5 2 3 3 2 33 3 3 44(1) 44 4. 11 1 33 1 ttdt tdt t t dt Itdt tt t t              33 3 3 44 44 ln 1 ln 1 33 tt C x x C . 1 Chương 3 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 3. 1. Tích phân bất định 3. 1.1. Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định 1. Nguyên hàm a. Định nghĩa: F(x).      . b) Tính 2 (3 2) (3) ( 2) x dx I xx     Ta có: 2 22 2 32 ( 2)( ) (3) (3) ( 2) 3 2 3 2 xABxCAxBxCx xx x x x x              2 2 () (3) 23 (3) ( 2) x AB xBC A

Ngày đăng: 21/06/2014, 16:51

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan