1 CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN – LIÊN TỤC 1.1. Giới hạn hàm số 1.1.1. Bổ túc về hàm số 1. Định nghĩa. Cho   D  R, mỗi ánh xạ f : D  R được gọi là một hàm số một biến số thực. f : D  R x  y = f(x)  D : miền xác định    () | : () f DyRxDyfx  : miền giá trị  x: biến số hay đối số  y = f(x) giá trị của hàm số f tại x Ví dụ. a. Cho hàm số : f: X  R x  y = 2 4 2 x x   Tìm miền xác định của hàm số . b. Tìm miền xác định và vẽ đồ thị của hàm số y = 2 2 x x   Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số f : X  R là tập hợp : C = M(x,f(x)) / x  X  . Nói chung đây là một đường cong trong mặt phẳng Oxy. 2. Các loại hàm số với tính chất đặc biệt a. Hàm bị chặn Ta nói hàm số f:  Bị chặn trên trên D, nếu M  sao cho () , f xMxD   .  Bị chặn dưới trên D, nếu N  sao cho () , f xNxD. Ví dụ. Hàm số f(x) = sinx hay f(x) = cosx bị chặn trên R. b. Hàm đơn điệu Cho hàm số f(x) xác định trên D. Ta nói hàm số f(x) là:  Đơn điệu tăng nếu 12 1 2 () () x xfxfx  .  Đơn điệu giảm nếu 12 1 2 () () x xfxfx  . Hàm đơn điệu tăng hay giảm gọi chung là hàm số đơn điệu. 2 c. Hàm số chẳn, lẽ Tập con DR được gọi là đối xứng nếu x DxD  . Cho hàm số f(x) có miền xác định D. Khi đó:  f(x) là hàm chẳn nếu D đối xứng và f(-x) = f(x), x D .  f(x) là hàm lẽ nếu D đối xứng và f(-x) = - f(x), x D . Ví dụ: Hàm f(x) = x 2 là hàm chẳn, hàm f(x) = x 3 là hàm lẽ. 3. Hàm hợp – Hàm ngược a. Hàm hợp Cho các tập ,, X YZ R và các hàm số : , g:Y ZfX Y. Khi đó hàm số: :hX Z (): ( ()) x hx g f x   Được gọi là hàm hợp của hai hàm f và g, kí hiệu: hgf  . Ví dụ: Cho hai hàm số f(x) = x 2 và () 1gx x   . Khi đó: 22 ()()(())()1gfx gfx gx x   ()()(())(1)1 f gx fgx f x x   b. Hàm ngược Cho hàm số : f XY là một song ánh. Khi đó tồn tại hàm số 1 : f YX   Xác định như sau: với mỗi y Y  ta được duy nhất x X mà f(x) = y. Hàm số 1 : f YX   xác định như trên được gọi là hàm ngược của f và: 1 () () y fx x f y   Ví dụ: Xét hàm số y = sinx trên -; 22         . Trên đoạn này hàm sinx đơn điệu tăng thật sự từ -1 đến 1 nên tồn tại hàm ngược, kí hiệu là arcsinyx  . 4. Hàm số sơ cấp:  Hàm số sơ cấp cơ bản : a. Hàm lũy thừa : y = x  y = 2 1 xx  , y = x , y = x 2 … Miền xác định tùy thuộc  . Nếu N   thì MXĐ là R, nếu  vô tỷ thì MXĐ là (0; +  ) b. Hàm số mũ : y = a x ( 0 < a  1 ) Miền xác định R, miền giá trị (0; )   . Nếu a > 1 thì hàm mũ tăng, nếu a < 1 thì hàm giảm trên R. c. Hàm logarit : y = log a x ( 0 < a  1 ) 3 Hàm y = log a x là hàm ngược của hàm số y = a x , nó có MXĐ là (0; )   và miền giá trị là R. Tương tự hàm mũ hàm logarith tăng nếu a > 1, giảm nếu 0 < a < 1. d. Hàm số lượng giác y = sinx , y = cosx, y = tgx , y =cotgx e. Hàm số lượng giác ngược y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arccotgx f. Hàm số hyperbolic y = shx = 2 x x ee   , y = chx = 2 x x ee   y = thx = shx chx = x x x x ee ee     , y = cothx = chx shx = x x x x ee ee      Hàm số sơ cấp : Hàm số y = f(x) trong đó f(x) cho bởi một công thức lập thành từ các hàm số sơ cấp cơ bản với các phép tính số học và phép lấy hàm hợp. Ví dụ 1: y = 2 arcsin 2)1ln( 2 x exx x  Ví dụ 2: Các hàm không sơ cấp  Hàm phần nguyên y = [x] ( n  n < n+1 )  Hàm dấu : y = sgnx       1 0 1 1.1.2. Giới hạn của hàm số Bổ sung :  Khoảng : (a,b) = x  R/ a < x < b  Đoạn : [a,b] = x  R / a  x  b  Nửa khoảng ( hay nửa đoạn )  (a,b] = x  R / a < x  b  Lân cận : Cho x o  R và  > 0, khoảng ( x o -  , x o +  ) được gọi là một lân cận của x o (lân cận tâm x o , bán kính  ) Vậy x thuộc lân cận của x o  x o -  < x < x o +   -  < x –x o <    x-x o  <  1. Định nghĩa Khi x < 0 Khi x = 0 Khi x > 0 4 Cho hàm số f(x) xác định trong lân cận của x o . Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến x o nếu :   > 0 ,   >0 :  x-x o  <   () f xL  <  Ký hiệu: Lxf xx   )(lim 0 2. Ví dụ a) Dùng định nghĩa để chứng minh 7)34(lim 1    x x b) Hàm số f : X  R x  y = 2 4 2   x x Tìm miền xác định của f và chứng minh rằng 4)(lim 2   xf x 3. Các tính chất của giới hạn  Nếu các hàm số f(x) và g(x) có giới hạn khi x  x o thì tổng, hiệu , tích,thương của chúng cũng có giới hạn khi x  x o và: lim o x x [ f(x)  g(x) ] = lim o x x f(x)  lim o x x g(x) lim o x x [ f(x) .g(x) ] = lim o x x f(x) . lim o x x g(x) lim o x x )( )( xg xf = lim ( ) lim ( ) o o xx xx f x gx   ( lim o x x g(x)  0)  Nếu f(x)  g(x) với mọi x thuộc lân cận của x o thì lim o x x f(x)  lim o x x g(x)  Nếu f(x)  g(x)  h(x) với mọi x thuộc lân cận của x o và  Nếu lim o x x f(x) = lim o x x h(x) = L thì lim o x x g(x) = L 1.1.3. Mở rộng khái niệm giới hạn 1. Giới hạn một bên Bổ sung : Ký hiệu x  x o + hiểu là x  x o và x > x o x  x o - hiểu là x  x o và x < x o a. Định nghĩa  Số L được gọi là giới hạn trái của hàm số f(x) khi x tiến đến x o từ bên trái (x  x o - ) nếu với mọi  >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại  > 0sao cho: 0< x o – x <   | f(x) – L | <  5 Ký hiệu Lxf o xx    )(lim  Số L được gọi là giới hạn phải của hàm số f(x) khi x tiến đến x o từ bên phải (x  x o , x > x o ) nếu với mọi  >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại  > 0 sao cho 0< x – x o <   | f(x) – L | <  Ký hiệu Lxf o xx    )(lim b. Định Lý lim o x x f(x) tồn tại  )(lim 0 xf xx   = )(lim 0 xf xx   Ví dụ Tìm giới hạn của hàm số f(x) = x x khi x  0 Hàm số không xác định tại x = 0, ta thấy : Vậy    )(lim xf Ox 1)1(lim     Ox    )(lim xf Ox    Ox )1lim( 1 Do đó )(lim xf Ox không tồn tại, chỉ có giới hạn một bên. 2. Giới hạn ở vô cực a. Định nghĩa Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến vô cực (x  ) nếu với mọi  >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại M > 0 sao cho với mọi x mà x > M ta có f(x) - L <  . Ký hiệu Lxf x   )(lim b. Ví dụ Ví dụ 1 : Chứng minh rằng x x 1 lim  = 0 Ví dụ 2 :Tìm 243 12 lim 2 2     x x xx x 3. Giới hạn vô cực a. Định nghĩa: Hàm Số f(x) được gọi là tiến đến vô cực khi x tiến tới x o nếu với mọi M >0 tùy ý, tồn tại  > 0 sao cho với mọi x mà 0 xx   thì () f xM 6 Ký hiệu:    )(lim xf x b. Ví dụ. Chứng minh rằng    2 5 lim 2 x x 1.1.4. Dạng vô định của giới hạn hàm số 1. Dạng vô định 0 0 a) Định nghĩa. Nếu 0 lim ( ) 0 xx fx   và 0 lim ( ) 0 xx gx   thì: 0 () lim () xx f x gx  được gọi là có dạng vô định 0 0 . b) Ví dụ. 0 sin 2 lim 3 x x x  , 3 0 sinx lim x tgx x   , 3 8 92 5 lim 2 x x x     , 2 0 ln( os ) lim ln(1 ) x cx x   . Cách khử dạng vô dịnh 0 0 TH1. Nếu f(x), g(x) có chứa đa thức hoặc căn thức thì ta áp dụng công thức sau: 00 0 0 1 01 ()() () () lim lim lim () ( ) () () xx xx xx xxfx f x fx gx x x g x g x        . Ví dụ Tính các giới hạn a. 4 12 3 lim 2 x x x    Bước 1 : Khử căn bằng cách nhân tử và mẫu với lượng liên hợp ta có: 44 4 12 3 (12 3)(12 3)( 2) (12 9)( 2) lim lim lim 2 ( 2)( 1 2 3)( 2) ( 4)( 1 2 3) xx x xxxxxx xxxxxx                Bước 2 : Áp dụng CT trên 444 (1 2 9)( 2) 2( 4)( 2) 2( 2) 4 lim lim lim 3 (4)(123) (4)(123) (123) xxx xx xx x xx xx x             . b. 3 8 92 5 lim 2 x x x    Làm tương tự câu a 32 32 33 3 88 8 ( 9 2 5) (9 2 25)( 2 4) 2( 2 4) 12 lim lim lim 5 (2) (8)(925)(2) 925 xx x x x xx xx xxxx x          TH2. Nếu f(x), g(x) có chứa các hàm lượng giác, mũ, logarith, hàm ngược. Áp dụng các giới hạn cơ bản sau, trong đó nếu 0x  , thì () 0ux 7 1. 0 sin ( ) lim 1 () x ux ux   2. 0 () lim 1 () x tgu x ux   3. 0 ar sin ( ) lim 1 () x cux ux   4. 0 ar ( ) lim 1 () x ctgu x ux   5. () 0 1 lim 1 () ux x e ux    6. 0 ln(1 ( )) lim 1 () x ux ux    Ví dụ Tính các giới hạn a. 00 sin 2 2sin 2 2 lim lim 33.23 xx xx xx   (Áp dụng giới hạn cơ bản 1) b. 33 2 00 0 sinx sinx(1 osx) 1 sinx 1 osx 1 1 lim lim lim . . 1.1. .cos cos 2 2 xx x tgx c c xxxxxx       . 2. Dạng vô định   a. Định nghĩa. Nếu 0 lim ( ) xx fx    và 0 lim ( ) xx gx    thì: 0 () lim () xx f x gx  được gọi là có dạng vô định   . b. Ví dụ: 2 2 21 lim 321 x xx x x      , lim 1 x x x x    . Cách khử dạng vô dịnh   TH1: Nếu f(x), g(x) có chứa đa thức hoặc căn thức thì ta đặt x k với k là bậc nhỏ hơn giữa đa thức ở tử và mẫu số làm thừa số chung rồi đơn giản đi. Ví dụ Tính các giới hạn a. 2 2 22 2 2 22 31 31 (1 ) 1 31 1 lim lim lim 52 52 352 3 (3 ) 3 xx x x xx xx xx xx x xx xx           . b. 2 3 22 2 2 22 19 19 (4 ) 4 49 lim lim lim 22 22 22 (1 ) 1 xx x xx x xx xx xx xx x xx xx           . c. 1 1 lim lim 1 11 .1 xx x x xx x x x           8 TH2. Nếu f(x), g(x) có chứa hàm mũ thì ta đặt biểu thức mũ có cơ số lớn nhất làm thừa số chung rồi đơn giản để tính giới hạn Ví dụ Tính các giới hạn a. 23 41 44 234 1 lim lim 232.4 2 23 42 44 xx x xx x xx x xx xx x                            . b. 3 51 53 1 5 lim lim 4 2.5 4 2 52 5 x x x x xx x x              . 3. Dạng vô định  a. Định nghĩa. Nếu 0 lim ( ) xx fx    và 0 lim ( ) xx gx    thì: 0 lim ( ) ( ) xx f xgx   được gọi là có dạng vô định  . b. Ví dụ.   22 lim 2 2 x x xx x    , 2 1 15 lim 11 x xx        . Cách khử dạng vô dịnh   TH1. Nếu f(x), g(x) là các hàm hữu tỷ thì ta quy đồng mẫu số rồi đưa giới hạn về dạng 0 0 . Ví dụ: Tính giới hạn 222 1111 12 12 1 11 lim lim lim lim 11 1 1 12 xxxx xx xx x x x               . TH2. Nếu f(x), g(x) có chứa hàm căn thức thì ta nhân lượng liên hợp rồi đưa giới hạn về dạng   Ví dụ Tính các giới hạn a.   22 22 1 lim 2 lim lim 2 21 22 11 xxx xx xxxx xxxx x xx               . b.     33 2 2 33 2 2 lim 4 lim 4 xx x xxx xxxxxx     9 =     2 3223322 2 3 4415 lim lim 326 (4) 4 xx xx xx xxxx xxx       4. Dạng vô định 1  a. Định nghĩa: Nếu 0 lim ( ) 1 xx fx   và 0 lim ( ) xx gx    thì:   0 () lim ( ) g x xx fx  được gọi là có dạng vô định 1  . b. Ví dụ:  2 1 2 0 lim 1 sinx x x  , 4 2 lim 1 x x x x       . Cách khử dạng vô dịnh 1  Áp dụng giới hạn của số 1 () 0 lim(1 ( )) , 0 ux x euxx    thì () 0ux . Ví dụ Tính các giới hạn a. 13 44 4 12 31 lim 12 1 23 3 lim lim 1 lim 1 . 111 x x xx x x x x xx x x ee xxx                             . b.   2 0 22 sinx 11(sinx)1 lim 2 (sinx) 1 22 00 lim 1 sinx lim 1 ( sinx) 0 x x xx xx ee        . 1.1.5. Vô cùng lớn, vô cùng bé – Khử dạng vô định: 1. Vô cùng bé a. Định nghĩa Hàm f(x) được gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x  x o nếu o xx lim f(x)= 0 Ví dụ: Các hàm số x, x + 2x 2 , sinx, tgx, là các VCB khi 0x  . b. Vô cùng bé tương đương Hai vô cùng bé f(x) và g(x) được gọi là tương đương khi 0 x x , kí hiệu () () f xgx khi 0 x x nếu 0 () lim 1 () xx fx gx   . Ví dụ Vì 0 1 lim 1 x x e x    nên 1 x ex  khi 0x  . 10 Vì 2 2 2 00 sin 1cos 1 2 lim lim 2 2 2 xx x x x x       nên 2 1 1cos 2 x x  khi 0x  . Theo định nghĩa ta có các VCB tương đương quan trọng sau khi 0x   sinx ~ x  tgx ~x  2 1cos 2 x x   arcsin x x  arctgx x  1 x ex   ln(1 ) x x   1 111 nn nn ax a x ax ax    c. Ứng dụng vô cùng bé tính giới hạn Nhận xét. Nếu các VCB 11 () (); () () f xfxgxgx khi 0 x x thì 00 1 1 () () lim lim () () xx xx f x fx gx g x   , do đó có thể dùng vô cùng bé để tính giới hạn. Ví dụ Tính các giới hạn a. 2 45 0 (1 cos ) lim 2 x x x x    Vì 24 2 1cos (1cos) 24 x x xx ; 454 2 , khi 0xxx x   nên 4 2 45 4 (1 cos ) 1 4 lim lim 24 xx x x xx x      . b. 2 23 3 0 ln(1 ) lim 2sin x tgx x xx    Vì 222 ln(1 )tgx tgx x ; 23 3 2332 2 sin 2 , khi 0xx xxxxx x    nên 22 23 3 2 00 ln(1 ) lim lim 1 2sin xx tgx x xx x x     . 2. Vô cùng lớn a. Định nghĩa Hàm f(x) được gọi là một vô cùng lớn (VCL) khi x  x o nếu o xx lim |f(x)|=  [...]... hàm liên tục trên R và f (0)  2  0; f (1)  e  2  0 Theo hệ quả trên phương trình f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1) BÀI TẬP CHƯƠNG I Tính các giới hạn 1. 1 a) lim x2 x2  2 x  1 x3 ( x  2)( x  1) x 1 ( x  1) ( x  3) b) lim x100  2 x  1 c) lim 50 x 1 x  2x 1 ( x 2  x  2 )10 d) lim 3 x  2 ( x  12 x  16 ) 20 x 3  3x 2  5 x  ( 2 x 2  4)(6  x ) 3   1   x 1 1  x 1. .. 1 1  x 1  x3   1. 2 a) lim b) lim x2 1 1 c) lim x 0 x 1 m d) lim n x 1 x 1 x  16  4 2 cos mx  cos nx x 0 x2 sin mx x 0 tgnx b) lim 1  sin x  cos x x 0 1  sin x  cos x d) lim 1. 3 a) lim c) lim e) lim x 0 x 0 x  sin x esinx  1 (e 2 x  1) ln cos 2 x x.sin 3x.( x  1  1) (1  e x ) (1  cos x) x 0 x3  sin 4 x f) lim 2 (e1 x  1) tg ( x  1) g) lim x 1 ( x  1) ln x e 2 x  cos2... x  1   2  3x  x  1  1 sin 2 x f) lim  x  x 0  g) lim cos x x 0  1 x 2 x2 x 1 1 h) lim 1  tg 2 x  x x 0 1. 7 Xét tính liên tục của các hàm số trên R  x 1 khi x  1  a) f(x) =  x  1 1 khi x  1   x 1 khi x  1 3  b) f(x) =  x  1 3 khi x  1 2  1  khi x  0  x sin c) f(x) =  x 0 khi x  0   sin x khi x  0  d) f(x) =  x  1 khi x  0  1. 8 Tìm các điểm gián đoạn... f(x) liên tục tại x0  0 Giải Ta có: f (0)  a và x lim f ( x)  lim e  1 x  xo  x 0 lim f ( x)  lim x  a  a x  xo  x 0 Ta thấy hàm số liên tục phải tại x0  0 Để f(x) liên tục trái tại x0  0 thì a = 1 Vậy với a = 1 thì f(x) liên tục tại x0  0 1. 2.3 Hàm số liên tục trong một khoảng, đoạn a Định nghĩa  f(x) liên tục trên khoảng (a,b)  f(x) liên tục tại mọi x  (a,b) f(x) liên tục trên... x)  lim 1 , g ( x) x  x0 g1 ( x) do đó có thể dùng vô cùng lớn để tính giới hạn Ví dụ Tính các giới hạn x3  3x 2  2 x  1 x3 1  lim 3  x 0 2 x 3  4 x 2  3 x  3 x 0 2 x 2 a lim 2.4 x  3x  2 2.4 x  lim x  2 x  4 x  2 x  1 x  4 b lim 1. 2 Hàm số liên tục 1. 2 .1 Hàm số liên tục tại một điểm a Định nghĩa Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại xo nếu lim f ( x)  f ( xo ) x  xo 1   x sin... (a,b) f(x) liên tục bên phải tại a  f(x) liên tục trên đoạn [a,b]  f(x) liên tục bên trái tại b b Định lý Mọi hàm số sơ cấp đều liên tục trong những khoảng mà hàm số đó xác định Ví dụ  ex 1 ,  a Cho hàm số: f ( x)   ln (1  x 2 ) 0,  3 khi x  0 khi x  0 Xét tính liên tục của f(x) trên R Giải 3 ex 1  Với x  0 , f ( x)  liên tục vì là hàm sơ cấp ln (1  x 2 )  Chỉ cần xét tính liên tục của... x ln (1  x ) s inx  sin a x a xa  1 1    x 0 sin x tgx    d) lim 1  tgx  1  sin x x3 b) lim 1. 4 a) lim x 0 c) lim  x 0 1. 5 a) lim ( x 2  2 x  2  x 2  3x ) b) lim x   x 1 1. 6 a) lim  x  x  1   x   x c) lim (1  sin x) tgx  s inx x3  3 x3  x2 1  x  3x  2  b) lim  x  3 x  1   1 2 x d) lim(cos x) x 0 x 0 15 x2 2x  e) lim 1  tgx   3x  x  1  ... = 2 thì 1 3 a 4 16 3 Vậy với a   thì f(x) liên tục tại x = 2, hay f(x) liên tục trên R 16 4a  1  1. 2.4 Điểm gián đoạn  Định nghĩa xo gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu f(x) không liên tục tại xo  Phân Loại Loại 1 : lim f ( x) và lim f ( x) tồn tại hữu hạn  x  x0  x  x1 Loại 2 : Có ít nhất một giới hạn một bên không tồn tại hữu hạn 1 Ví Dụ Hàm số y  e x gián đoạn tại x = 0 Ngoài... xo Một số kết quả : a) Đa thức P(x) = anxn+an-1xn -1+ …+a1x+ao liên tục trên R b) Hàm hữu tỉ f(x) = P( x) liên tục tại mọi điểm không phải là nghiệm của Q(x) Q( x) c) Hàm số sơ cấp cơ bản liên tục tại mọi điểm nó xác định d) Các hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó 1. 2.6 Tính chất của hàm số liên tục a Định Lý (giá trị trung gian) Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) . 222 11 11 12 12 1 11 lim lim lim lim 11 1 1 12 xxxx xx xx x x x               . TH2. Nếu f(x), g(x) có chứa hàm căn thức thì ta nhân lượng liên hợp rồi đưa giới hạn. 1 CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN – LIÊN TỤC 1. 1. Giới hạn hàm số 1. 1 .1. Bổ túc về hàm số 1. Định nghĩa. Cho   D  R, mỗi ánh xạ f : D  R được. các giới hạn a. 13 44 4 12 31 lim 12 1 23 3 lim lim 1 lim 1 . 11 1 x x xx x x x x xx x x ee xxx                             . b.   2 0 22 sinx 11 (sinx )1 lim