Đang tải... (xem toàn văn)
Câu 1 (3,0 điểm) Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đường thẳng d y mx m : cắt đồ thị U của hàm số 3 2 y x m x m ( 1) tại ba điểm phân biệt A B C , , sao cho OA OB OC , , là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông (O là gốc tọa độ) ? Câu 2 (5,0 điểm) a) Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ; ) x y thỏa mãn 2 2 2 2 log ( 1) 6 2 4 2 y x x y ? b) Giải hệ phương trình 2 2 2 1 2 3 3 4 4( ) 7 ( ) x x y xy x y x y trên tập số thực. Câu 3 (2,0 điểm) Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 7 chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất để lấy được số có dạng abcdefg , trong đó a b c d và d e f g . Câu 4 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC a CA b AB c , , và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp thỏa mãn R a b c ab 2( ) 3 . Chứng minh tam giác ABC đều. Câu 5 (2,0 điểm) Cho dãy số n u có số hạng tổng quát 1 1 2 5 . , n n n n n P C u n A . Tính 1 2 3 lim( ... )n u u u u . Câu 6 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có tâm I(0 ;1), M là trung điểm của cạnh AB . Hình chiếu vuông góc của đỉnh D lên đường thẳng CM là điểm K(2 ; 3) . Tìm tọa độ đỉnh C biết điểm M thuộc đường thẳng d x y : 2 2 0 . Câu 7 (2,0 điểm) Cho khối chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a . Gọi M N, lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB CD , và E F, là hai điểm lần lượt thuộc hai cạnh SB SC , . a) Khi ES EB và SC SF 3 , hãy tính theo a thể tích của khối đa diện BCNMEF . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đường gấp khúc MEFN theo a . Câu 8 (2,0 điểm) Cho hai số thực x y, thỏa mãn 2 3 x và 2 3 y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 4 4 4 5 11 5 11 9( 1) x y y x P x y y x x y . HẾ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CẤP TỈNH (BẢNG B) NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Gồm 08 câu, 01 trang) Mơn: TỐN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 17/12/2022 Họ tên thí sinh: ………………………………… ….…… Số báo danh: ………….….…… Câu (3,0 điểm) Có giá trị tham số m để đường thẳng d : y mx m cắt đồ thị hàm số y x3 (m 1) x m ba điểm phân biệt A, B, C cho OA, OB, OC độ dài ba cạnh tam giác vuông ( O gốc tọa độ) ? Câu (5,0 điểm) a) Có cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn log ( x 1) 22 y x y ? 2 x x y b) Giải hệ phương trình tập số thực 2 4 xy 4( x y ) 7 ( x y)2 Câu (2,0 điểm) Lấy ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số đơi khác Tính xác suất để lấy số có dạng abcdefg , a b c d d e f g Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c R bán kính đường tròn ngoại tiếp thỏa mãn R 2(a b) c ab Chứng minh tam giác ABC Câu (2,0 điểm) P C Cho dãy số un có số hạng tổng quát un n n1 n , n Tính lim(u1 u2 u3 un ) An Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có tâm I (0 ;1) , M trung điểm cạnh AB Hình chiếu vng góc đỉnh D lên đường thẳng CM điểm K (2 ; 3) Tìm tọa độ đỉnh C biết điểm M thuộc đường thẳng d : x y Câu (2,0 điểm) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy SA a Gọi M , N trung điểm hai cạnh AB, CD E, F hai điểm thuộc hai cạnh SB, SC a) Khi ES EB SC 3SF , tính theo a thể tích khối đa diện BCNMEF b) Tìm giá trị nhỏ độ dài đường gấp khúc MEFN theo a Câu (2,0 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức x 4y y 4x P x y 11 y x 11 9( x y 1) - HẾT * Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay; * Giám thị khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CẤP TỈNH (BẢNG B) NĂM HỌC 2022-2023 Mơn: TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM (Hướng dẫn chấm có 05 trang) Câu Đáp án Điểm d : y mx m Có giá trị tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số y x3 (m 1) x m ba điểm phân biệt A, B, C cho OA, OB, OC độ dài ba cạnh tam giác vuông ( O gốc tọa độ) ? Phương trình hồnh độ giao điểm d : x3 (m 1) x2 m mx m x3 (m 1) x mx x x( x 1)( x m) x x m d cắt ba điểm phân biệt A, B, C m m Khi đó, khơng tổng qt, giả sử A(0 ; m), B(1; 0), C(m ; m2 m) TH1: OB2 OC OA2 m2 (m2 m) m2 (không xảy ra) TH2: OA2 OB2 OC m2 m2 (m2 m)2 m2 m (có hai giá trị m ) (3,0 điểm) TH3: OA2 OC OB m2 m2 (m2 m)2 m4 2m3 3m2 () 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 Xét hàm số f (m) m 2m 3m Ta có: f (m) 4m3 6m2 6m 2m(2m2 3m 3) f (m) m Bảng biến thiên: 0,25 Suy phương trình () có hai nghiệm phân biệt khác Nếu m2 m m2 m Khi đó, m2 m2 (m2 m)2 m (khơng thỏa mãn) Do đó, giá trị m TH2 TH3 không trùng Vậy số giá trị m thỏa mãn đề Có cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn log ( x 1) 22 y x y ? Đặt log ( x 1) t suy x2 2t x 2t 2y t Phương trình trở thành t 4(2 1) y 2a (3,0 điểm) 2 t 2 2y t y () 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Hàm số f ( x) x đồng biến nên () f (t 2) f (2 y) t y 0,5 Hay log ( x 1) y x y 0,25 Do x số nguyên dương không nhỏ nên y phải số nguyên dương 0,25 x Nếu y x x 0,25 Trang Nếu y x2 y x2 22( y 1) (2 y 1 x)(2 y 1 x) y 1 y 1 x x 1 y 1 (không thỏa mãn) y 1 x x 1 Vậy có cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn đề ( x ; y ) (0 ;1) 2 x x y Giải hệ phương trình tập số thực 2 4 xy 4( x y ) 7 ( x y)2 Điều kiện: x y 1 2 x x y x y x y x y Ta có 3 2 4 xy 4( x y ) 3( x xy y ) ( x xy y ) 7 7 ( x y) ( x y )2 2b (2,0 điểm) x y x y 3 x y 3( x y ) ( x y ) 7 ( x y) a x y x y Khi hệ có dạng: Đặt b x y a b 2 3a b 13 a 2, b b a a , b a a 2 2 a x y x x y x y +) b x y 1 y x y 1 x y a x y 2 +) (vô nghiệm) 7 b x y Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) (1; 0) 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Lấy ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số đơi khác Tính xác suất để lấy số có dạng abcdefg , a b c d d e f g Số phần tử không gian mẫu: n( ) A107 A96 544320 (2,0 điểm) a b c d Để chọn số có dạng abcdefg cho , ta xét hai trường hợp d e f g TH1: Chọn số khơng có số từ tập {0;1; ; 9} , có C97 cách Vì d lớn nên d có cách chọn 0,5 0,5 Có C 63 cách xếp vị trí abc có cách xếp vị trí cịn lại efg Trường hợp có C97 C63 720 cách TH2: Chọn số có số từ tập {0;1; ; 9} , có C96 cách Vì d lớn nên d có cách chọn Trang 0,5 Có C53 cách xếp vị trí abc có cách xếp vị trí cịn lại efg Trường hợp có C96 C53 840 cách Vậy có tất 720 840 1560 cách tạo số thỏa yêu cầu toán 1560 13 Xác suất cần tìm: p 544320 4536 Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c R bán kính đường trịn ngoại tiếp 0,25 0,25 thỏa mãn R 2(a b) c ab Chứng minh tam giác ABC (2,0 điểm) (2,0 điểm) Ta có: R 2(a b) c ab R 2(2 R sin A R sin B) R sin C 3R sin A.sin B 0,5 2(sin A sin B ) sin C sin A.sin B 0,25 sin A.sin B 2(sin A sin B ) sin( A B ) 0,25 sin A.sin B 2(sin A sin B ) sin A.cos B cos A.sin B 0,25 1 2sin A sin B cos B 1 2sin B sin A cos A 2 sin A cos( B ) 1 sin B cos( A ) 1 3 cos( B ) B cos( A ) A 3 Vậy ABC P C Cho dãy un có số hạng tổng quát un n n1 n , n Tính lim(u1 u2 u3 un ) An 10.(n 1)!n ( n 2)! Ta có: Pn 1 (n 1)!, Cn1 n, Ann nên un 2! (n 2)! 10 10 (n 1)(n 2) n 1 n 1 1 1 1 1 1 Khi đó: u1 10 ; u2 10 ; u3 10 ; 3 3 4 5 1 1 1 1 Suy ra: lim(u1 u2 un ) lim 10 10 10 3 4 n n 2 3 1 5n lim 10 lim n2 n Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có tâm I (0 ;1) , M trung điểm cạnh AB Hình chiếu vng góc đỉnh D lên đường thẳng CM điểm K (2 ; 3) Tìm tọa độ đỉnh C biết điểm M thuộc đường thẳng d : x y 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 (2,0 điểm) 0,25 Vì điểm M thuộc đường thẳng d : x y nên M (2t ; t ) với t Trang Lấy điểm N đối xứng với M qua I Khi đó, N (2t ; t 2) trung điểm CD IDC vuông I NI NC ND KDC vuông K NK NC ND Suy NI NK (2t 2) (t 1) (2t 4) (t 1) t Khi đó, M 4 ; 3 N ; 1 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Phương trình đường trịn có tâm N qua K x y 1 20 Phương trình đường thẳng MK y y Điểm C MK nên có tọa độ nghiệm hệ: 2 ( x 4) y 1 20 x x y y 0,25 0,25 0,25 Suy C ; 3 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy SA a Gọi M , N trung điểm hai cạnh AB, CD E, F hai điểm thuộc hai cạnh SB, SC a) Khi ES EB SC 3SF , tính theo a thể tích khối đa diện BCNMEF b) Tìm giá trị nhỏ độ dài đường gấp khúc MEFN theo a a) 0,25 Ta có VBCNMEF VF BCNM VF BEM (2,0 điểm) 1 a 2a a VF BCNM SBCNM d F , ( BCNM ) ; 3 1 a a a VF BEM SBEM d F , ( BEM ) 3 72 a3 a3 a3 Vậy VBCNMEF 72 b) 0,25 0,25 0,25 0,25 Để độ dài đường gấp khúc MEFN nhỏ E, F tương ứng vị trí “trải phẳng” mặt bên khối chóp S ABCD Chọn hệ trục Oxy hình vẽ chọn a DS DC Ta có OB OD , OS SD OD , OC SC OS SC Trang Do đó, B ; , D ; , S ; , C ; 1 0,25 ;1 Trung điểm SB I SB Giả sử A (u ; v) ( u 0, v ) Do A thuộc đường tròn I , IA SB nên 2 2 2 2 u u v 1 v u 2 v 2 v 1 u u v 1 2 0,25 2 2 2 2 1 ; ; ; , Suy A , M , N 2 4 2 2 25 4 18 a 54 21 MN Thay a MN 4 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức x 4y y 4x P x y 11 y x 11 9( x y 1) x Ta có: x ( x 2)( x 3) x x x x x x 4y x 4y x y 11 x y (1) x y 11 x y y 4x y 4x (2) Tương tự ta có: y x 11 x y x y y 4x x y P 5x y 9( x y 1) x y 9( x y 1) t , 4 t Đặt: t x y P f (t ) t 9(t 1) Ta có: f (t ) (t 1) 9(t 1) t ( N ) 2 f (t ) 9(t 1) 4(t 1) t ( L) 128 17 298 f (4) ; f (5) ; f (6) 135 18 315 17 17 Suy f (t ) P [4;6] 18 18 Đẳng thức xảy ( x ; y) (2 ; 3) ( x ; y) (3 ; 2) 17 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 18 0,25 0,5 0,25 Khi đó: P (2,0 điểm) Lưu ý: - Thí sinh giải cách khác, lập luận chặt chẽ chấm điểm tối đa - Khơng làm trịn điểm câu điểm toàn Hết -Trang 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25