Đang tải... (xem toàn văn)
tập tài liệu này sẽ giúp các em giải tốt hơn phương trình vô tỉ..giúp các em có những định hướng nhanh chóng khi nhìn thấy đề bài..lời giải rõ ràng mạch lạc giúp các em có thể dễ dàng hình dung và ghi nhớ..giúp các em 1 phần không nhỏ trong việc ôn luyện thi đại học..chúc các em học tốt
THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 1 10 KĨ THUẬT HAY DÙNG KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ QUA 3 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Giải phương trình 2 2 1 2 1 2 x x x x x − + + = − ( R x ∈ ) 2 ( ) t Cách 1: (1. Biến ñổi tương ñương) Biến ñổi phương trình tương ñương : 2 2 2 1 2 1 x x x x x + + = − + + 2 2 2 2 2 2 3 2 ( 2 1) 0 (2 1) 0 4 ( 1) ( 2 1) 8 7 2 1 0 x x x x x x x x x x x x x x − + + ≥ − − ≤ ⇔ ⇔ + + = − + + + − − = ( ) 2 1 ; 0;1 2 1 ( 1)(2 1) 0 1 1 33 ( 1)(8 1) 0 16 1 33 16 x x x x x x x x x x x ∈ −∞ − ∪ = − − + ≤ ⇔ ⇔ ⇔ = − + + − − = = ± = Vậy phương trình có nghiệm 1 x = − hoặc 1 33 16 x + = Cách 2: (2. Dùng hằng ñẳng thức) Phương trình tương ñương : 2 2 2 2 1 ( 1) 4 x x x x x x x − + + + + + = ( ) 2 2 2 1 (2 ) x x x x ⇔ − + + = 2 2 2 2 1 2 1 (1) 1 2 1 3 (2) x x x x x x x x x x x x x x − + + = + + = − ⇔ ⇔ − + + = − + + = 2 2 0 0 (1) 1 1 1 x x x x x x x − ≥ ≤ ⇔ ⇔ ⇔ = − = − + + = ; 2 2 2 0 3 0 0 1 33 (2) 1 33 16 1 9 8 1 0 16 x x x x x x x x x x ≥ ≥ ≥ + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = ± + + = − − = = Vậy phương trình có nghiệm 1 x = − hoặc 1 33 16 x + = Cách 3: (3. ðưa phương trình về dạng ñồng cấp 2 2 0 au buv cv + + = ñể tạo tích bằng việc chia và ñặt ẩn phụ) Biến ñổi phương trình tương ñương : 2 2 2 1 2 1 x x x x x + + = − + + 2 2 2 2 1 3 ( 1) x x x x x x ⇔ + + = − + + + Nhận thấy 0 x = không là nghiệm của phương trình nên 2 1 0 x x x + + ≠ , chia cả hai vế của phương trình cho 2 1 x x x + + , khi ñó phương trình tương ñương: 2 2 2 2 3 1 2 1 1 x x x x x x x x x − + + = + + + + + 2 2 3 1 2 1 x x x x x x − + + ⇔ = + + + ðặt 2 1 x t x x = + + , phương trình có dạng: 2 1 1 2 3 3 2 1 0 1 3 t t t t t t = − = − + ⇔ + − = ⇔ = 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 1 x x x x x x x x x x x x = − + + = − + + ⇒ ⇔ + + = = + + …tiếp tục như Cách 2 ta ñược nghiệm : 1 x = − hoặc 1 33 16 x + = THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 2 Cách 4: (3. ðưa phương trình về dạng ñồng cấp 2 2 0 au buv cv + + = ñể tạo tích bằng việc ñặt ẩn phụ) (Thực chất ñây chỉ là cách trình bày khác của Cách 3 – song cách trình bày này các em sẽ thấy rõ hơn tính ñồng cấp xuất hiện ở phương trình trên) Biến ñổi phương trình tương ñương : 2 2 2 1 2 1 x x x x x + + = − + + 2 2 2 2 1 3 ( 1) x x x x x x ⇔ + + = − + + + ðặt 2 1 y x x = + + , khi ñó phương trình có dạng: 2 2 2 3 xy x y = − + 2 2 3 2 0 ( )(3 ) 0 x xy y x y x y ⇔ + − = ⇔ + − = 3 y x y x = − ⇔ = suy ra: 2 2 1 1 3 x x x x x x + + = − + + = … tiếp tục như Cách 2 ta ñược nghiệm: 1 x = − hoặc 1 33 16 x + = Cách 5: (4. ðặt ẩn phụ hoàn toàn) Biến ñổi phương trình tương ñương : 2 2 1 2 2 1 0 x x x x x + − − + + = Nhận thấy 0 x = không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho 2 x ta ñược: 2 2 1 1 2 1 2 0 x x x x x + + + − − = (*) +) Với 0 x > : (*) 2 2 1 1 1 1 2 2 1 0 x x x x ⇔ + − − + + = . ðặt 2 1 1 1t x x = + + ⇒ 2 2 1 1 1 t x x + = − ( 0) t ≥ Khi ñó phương trình có dạng: 2 2 1 2 2 0 2 3 0 3 t t t t t − − − = ⇔ − − = ⇔ = hoặc 1 t = − (loại) Suy ra 2 2 1 1 1 33 8 8 1 0 16 x x x x x ± + = ⇔ − − = ⇔ = , kết hợp với 0 x > ta ñược nghiệm: 1 33 16 x + = +) Với 0 x < : (*) 2 2 1 1 1 1 2 2 1 0 x x x x ⇔ + − + + + = . ðặt 2 1 1 1t x x = + + ⇒ 2 2 1 1 1 t x x + = − ( 0) t ≥ Khi ñó phương trình có dạng: 2 2 1 2 2 0 2 3 0 1 t t t t t − − + = ⇔ + − = ⇔ = hoặc 3 t = − (loại) Suy ra 2 1 1 0 1 0 1 x x x x + = ⇔ + = ⇔ = − thỏa mãn 0 x < . Vậy nghiệm của phương trình là: 1 x = − hoặc 1 33 16 x + = Cách 6: (5. Nhân biểu thức liên hợp) Biến ñổi phương trình tương ñương : ( ) 2 2 1 1 x x x x x + + + = + *) Nếu 2 2 2 2 0 0 1 0 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x − ≥ ≤ + + + = ⇔ + + = − ⇔ ⇔ ⇔ = − = − + + = Khi ñó thay 1 x = − ta nhận thấy nó là nghiệm của phương trình. *) Nếu 2 1 0 1 x x x x + + + ≠ ⇔ ≠ − . Khi ñó phương trình tương ñương: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 3 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 ( 1) 1 x x x x x x x x x x x + + + + + − = + + + − ( ) 2 2 ( 1) ( 1) 1 x x x x x x ⇔ + = + + + − 2 2 1 x x x x ⇔ = + + − (vì 1 x ≠ − ) 2 1 3 x x x ⇔ + + = ⇔ … ⇔ 1 33 16 x + = (các em xem lại cách giải phương trình này ở Cách 2) Vậy nghiệm của phương trình là: 1 x = − hoặc 1 33 16 x + = Chú ý: Ở cách 6 , khi ta nhân với một biểu thức chứa biến vào cả hai vế của phương trình thì có hai cách trình bày: +) Trước khi nhân, ta xét tính bằng 0 và khác 0 của biểu thức cần nhân ñể tránh tình huống thừa nghiệm. +) Tạo ra phương trình hệ quả (dùng dấu “ ⇒ ” ) và bước cuối cùng phải thử lại nghiệm (chỉ dùng khi bài toán có “nghiệm ñẹp” – ñể việc thử lại nghiệm không gặp “khó khăn”) . Ví dụ 2: Giải phương trình ( ) 2 2 3 2 15 15 3 15 4 x x x x x x − − + = − − − R x ∈ 2 ( ) t ðiều kiện: 0 15 x≤ ≤ Biến ñổi phương trình tương ñương: ( ) 2 2 2 (15 ) 3 . 15 4 2 15 0 x x x x x x − − − − + − + = Cách 1: (6. ðặt hai ẩn phụ ñể ñưa phương trình về dạng tích và ñánh giá) ðặt 2 15 u x v x = − = ( , 0) u v ≥ , khi ñó phương trình có dạng: 2 2 3 4 2( ) 0 u uv v u v − − + + = (*) Cách 1.1: Phân tích thành tích bằng kĩ thuật nhóm, tách ghép… (*) 2 2 2 3 2( 2 ) 0 u v uv u v ⇔ + − + − = ( 2 ) ( 2 ) 2( 2 ) 0 u u v v u v u v ⇔ − − − + − = ( 2 )( ) 2( 2 ) 0 u v u v u v ⇔ − − + − = ( 2 )( 2) 0 u v u v ⇔ − − + = 2 u v ⇔ = hoặc 2 u v = − Cách 1.2: Sử dụng phương pháp hằng số biến thiên – ñể tạo tích (*) 2 2 (3 2) 2 4 0 u v u v v ⇔ − − + − = 2 2 2 2 (3 2) 4(2 4 ) 4 4 ( 2) u v v v v v v∆ = − − − = + + = + Khi ñó 3 2 2 2 2 v v u v − + + = = hoặc 3 2 2 2 2 v v u v − − − = = − +) Với 2 u v = , khi ñó: 2 2 15 2 15 4 x x x x − = ⇔ − = (do có ðK) 2 4 15 0 x x ⇔ + − = 2 19 x⇔ = − + hoặc 2 19 x = − − (loại) +) Với 2 u v = − , khi ñó: 2 15 2 x x − = − (2*) Với ñiều kiện: 0 15 2 15 2 16 2 0 x x ≤ ≤ ⇒ − ≤ − < − = nên phương trình (2*) vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm: 2 19 x = − + THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 4 Cách 2: (7. ðặt ẩn phụ ñể ñưa phương trình về hệ) ðặt 2 15 u x v x = − = ( , 0) u v ≥ suy ra 2 4 15 u v + = . Khi ñó phương trình ñưa về hệ: 2 2 2 4 3 4 2( ) 0 15 u uv v u v u v − − + + = + = 2 2 2 4 2 3 2( 2 ) 0 15 u v uv u v u v + − + − = ⇔ + = 2 4 2 4 ( 2 )( ) 2( 2 ) 0 ( 2 )( 2) 0 15 15 u v u v u v u v u v u v u v − − + − = − − + = ⇔ ⇔ + = + = 2 4 2 4 2 (1) 15 2 (2) 15 u v u v u v u v = + = ⇔ = − + = *) Từ (1), suy ra: 2 4 4 2 2 4 15 4 15 0 2 19 v v v v v+ = ⇔ + − = ⇔ = − + hoặc 2 2 19 v = − − (loại) 2 19 x⇒ = − + *) Từ (2), kế hợp với ñiều kiện 0 u ≥ ta có: 2 0 u v = − ≥ 2 v ⇒ ≥ hay 2 4 x x ≥ ⇔ ≥ không thỏa mãn ñiều kiện 15 4 x ≤ < Nên hệ (2) vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm: 2 19 x = − + Cách 3: (8. Phân tích thành tích) ( ) 2 2 3 2 15 15 3 15 4 x x x x x x − − + = − − − 2 2 2 2 15 2 . 15 . 15 2 2 15 4 0 x x x x x x x x ⇔ − − − − − + + − − = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 15 15 2 15 2 2 15 2 0 x x x x x x x x ⇔ − − − − − − + − − = ( ) ( ) 2 2 15 2 15 2 0 x x x x ⇔ − − − − + = 2 2 15 2 15 2 x x x x − = ⇔ − = − … tiếp tục làm như Cách 1 ta ñược nghiệm của phương trình là: 2 19 x = − + Cách 4: (9. ðặt ẩn phụ không hoàn toàn và phương pháp hằng số biến thiên) (Một cách trình bày khác của Cách 1.2 ) ðặt 2 15 t x = − . Khi ñó phương trình có dạng: ( ) 2 3 . 4 2 0 t x t x t x − − + + = 2 (3 2) 2 4 0 t x t x x ⇔ − − + − = 2 2 (3 2) 4(2 4 ) 4 4 ( 2) t x x x x x x∆ = − − − = + + = + Suy ra: 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 x x t x x x t x − + + = = − − − = = − hay 2 2 15 2 15 2 x x x x − = − = − … tiếp tục làm như Cách 1 ta ñược nghiệm của phương trình là: 2 19 x = − + THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 5 Ví dụ 3: Giải phương trình 5 2 ( 7 3) 1 3 11 x x x x + + = − − ( R x ∈ ) 2 ( ) t (10. Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số. ) ðK: 1 3 x ≤ (*) Biến ñổi phương trình tương ñương: 6 3 3 ( 6 9) ( 3) 1 3 1 3 x x x x x + + + + = − + − ( ) 2 3 2 3 ( 3) ( 3) 1 3 1 3 x x x x ⇔ + + + = − + − (2*) +) Xét hàm số ñặc trưng: 2 ( ) f t t t = + với 0 t ≥ Ta có: '( ) 2 1 0 f t t = + > với 0 t ∀ ≥ , suy ra ( ) f t ñồng biến với 0 t ∀ ≥ Khi ñó (2*) ( ) 3 ( 3) 1 3 f x f x ⇔ + = − 3 3 3 1 3 1 3 3 0 x x x x ⇔ + = − ⇔ − − + = (3*) +) Với 1 3 x = không là nghiệm của phương trình, nên ta xét hàm số 3 ( ) 1 3 3 g x x x = − − + với 1 3 x < Ta có 2 3 '( ) 3 0 2 1 3 g x x x = + > − với 1 3 x ∀ < , suy ra ( ) g x ñồng biến với 1 3 x ∀ < . Khi ñó (3*) ( ) ( 1) 1 g x g x ⇔ = − ⇔ = − thỏa mãn ñiều kiện (*). Vậy phương trình có nghiệm 1 x = − . CẢM ƠN CÁC EM ðà ðỌC BÀI VIẾT NHỎ NÀY ! CHÚC CÁC EM ðẠT KẾT QUẢ THẬT TỐT TRONG KỲ THI SẮP TỚI !!!