MỤC LỤC 1. Lời cảm ơn 2. Lời cam đoan 3. Ghi chú chữ viết tắt PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 2. Mục đích nghiên cứu 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 4. Cấu trúc khóa luận PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian metric, không gian metric đầy đủ 1.2. Tô pô trong không gian metric 1.3. Ánh xạ liên tục 1.4 .Tập hợp compact và bị chặn 1.5. Không gian vectơ 1.6. Không gian định chuẩn không gian Banch 1.7. Tính lồi 1.8. Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 1.9. Phương trình vi phân thường CHƯƠNG 2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG 2.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach 2.2. Điểm bất động của ánh xạ không giãn 2.3. Định lý điểm bất động Brouwer 2.4. Định lý điểm bất động Schauder CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA ĐIỂM BẤT ĐỘNG 3.1. Áp dụng vào phương trình vi phân thường 3.2. Áp dụng vào phương trình tích phân 3.3. Áp dụng vào đại số giải tích LỜI CẢM ƠN Khóa luận này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã luôn quan tâm động viên và truyền cho tôi những kinh nghiệm quí báu trong quá trình hoàn thành khóa luận.Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy. Tôi xin chân thành cảm ơn BGH trường ĐHSP Hà Nội 2, khoa Toán và tổ giải tích cùng toán thể các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi kết thúc tốt đẹp chương trình đại học và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp. Hà Nội, ngày tháng năm 2013 Người thực hiện Lê Thị Vân LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài do chính tôi nghiên cứu và tìm hiểu dưới sự hướng dẫn của tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng. Đề tài được tôi nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở kế thừa và phát huy những công trình nghiên cứu có liên quan. Kết quả đề tài không trùng lặp với đề tài nào khác. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Người thực hiện Lê Thị Vân PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nhiều bài toán khác nhau của khoa học kĩ thuật đã dẫn tới việc nghiên cứu vấn đề sau: Cho X là một không gian bất kì nào đó, A là ánh xạ từ tập con M của không gian X vào chính nó, xét phương trình phi tuyến Ax = x, x ∈ M dưới các điều kiện cụ thể hãy khẳng định sự tồn tại nghiệm của phương trình đó.Điểm x ∈ M thỏa mãn phương trình Ax = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ A trên tập M. Việc nghiên cứu vấn đề trên góp phần đắc lực cho việc giải quyết hàng loạt các bài toán trong toán học nói riêng và trong khoa học kĩ thuật nói chung. Điều này dẫn tới một hướng nghiên cứu mới trong toán học và đã hình thành nên lý thuyết điểm bất động. Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực quan trọng của giải tích hàm phi tuyến. Ngay đầu thế kỉ 20, các nhà toán học đã quan tâm đến vấn đề này và cho tới nay có thể khẳng định lý thuyết điểm bất động đã phát triển hết sức sâu rộng, trở thành công cụ không thể thiếu để giải quyết những bài toán khác nhau do thực tế đặt ra. Sự phát triển của lĩnh vực này gắn liền với tên tuổi các nhà toán học lớn trên thế giới như: Banach, Brouwer, Schauder nhưng kết quả kinh điển của lý thuyết điểm bất động đồng thời cũng là những công trình khởi đầu cho lĩnh vực này đó là nguyên lý ánh xạ co Banach, nguyên lý điểm bất động Brouwer được áp dụng ở nhưng lĩnh vực của toán học hiện đại như: phương trình vi phân, phương trình tích phân, lý thuyết điều khiển, lý thuyết tối ưu hóa… Trên cơ sở các nguyên lý cơ bản trên điểm bất động được phát triển theo hai hướng chính: Hướng thứ nhất là nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ liên tục, mở đầu là nguyên lý điểm bất động Brouwer. Hướng thứ hai là nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ dạng co, mở đầu là nguyên lý ánh xạ co Banach. Vào những năm 60 của thế kỉ 20 một hướng mới có thể xem là trung gian của hai hướng trên đó là việc nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Tất cả kết quả của những nghiên cứu trên đã mang lại nhưng ứng dụng rất hiệu quả cho ngành toán học hiện đại. Vì các lý do đó mà em đã lựa chọn đề tài: “Điểm bất động và ứng dụng 2. Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Nghiên cứu một số vấn đề cơ bản về điểm bất động và việc áp dụng nó vào ngành toán học hiện đại. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số định lý điểm bất động trong không gian Banach, không gian định chuẩn hữu hạn chiều và không gian lồi địa phương. Nghiên cứu việc áp dụng các định lý điểm bất động trong việc giải bài tập về phương trình vi phân thường, phương trình tích phân và đại số giải tích. 4. Cấu trúc của khóa luận Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, nội dung chính của khóa luận gồm 3 chương. Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị quan trọng sẽ sử dụng trong chương 2 và chương 3. Chương 2: Nêu nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý điểm bất động Brouwer, định lý điểm bất động Schauder, chưng minh định lý, các ví dụ áp dụng. Bước đầu tìm hiểu về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian lồi địa phương. Chương 3: Áp dụng các định lý điểm bất động vào việc giải phương trình vi phân thường, phương trình tích phân và đại số giải tích. PHẦN 2: NỘI DUNG CHÍNH Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian metric, không gian metric đầy đủ. Định nghĩa 1.1.1 Cho X ≠ ∅, ta gọi là một metric trong X một ánh xạ d từ tích Descartes X×X vào tập số thực ¡ thỏa mãn 3 tiên đề sau: i) (∀x,y ∈ X ) d(x,y) ≥ 0, d(x,y) = 0 ⇔ x = y (tiên đề đồng nhất) ii) (∀x,y ∈ X) d(x,y) = d(y,x) (tiên đề đối xứng) iii) (∀x,y, z ∈ X ) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) (tiên đề tam ) Không gian metric là cặp (X,d) trong đó: ● X ≠ ∅ được gọi là tập nền ● d là metric trong X ● d(x,y) là khoảng cách giữa hai phần tử x, y ∈ X ● Các phần tử của X gọi là các điểm Ví dụ 1.1.1: Cho X ≠ ∅ , ∀ x,y ∈ X d(x,y) = 0 khi x y 1 khix y =   ≠  . Chứng minh d là metric trong X và (X,d) được gọi là không gian metric _ không gian metric rời rạc ( d còn được gọi là metric rời rạc )  Ta có mỗi cặp (x,y) ∈ X×X có duy nhất d(x,y) ∈ ¡ Ta kiểm tra ánh xạ thỏa mãn các tiên đề metric Tiên đề 1 : d(x,y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X , d(x,y) = 0 nếu x ≠ y thì d(x,y) = 1 (trái giả thiết) ⇒ x = y ∀x, y ∈ X Tiên đề 2 : Nếu x = y thì y = x do đó d(x,y) = d(y,x) = 0 ∀ x, y ∈ X Nếu x ≠ y thì y ≠ x do đó d(x,y) = d(y,x) = 1 ∀ x, y ∈ X Tiên đề 3 : ∀ x, y, z ∈ X Nếu x = y thì d(x,y) = 0 Ta có 0≤ d(x,z) + d(z,y) = d(x,y) Nếu x ≠ y thì x ≠ y ≠ z thì d(x,y) = 1 < d(x,z) + d(z,y) = 2 x ≠ y, x = z thì d(x,y) = 1 = 0 + 1 = d(x,z) + d(z,y) x ≠ y, y = z thì d(x,y) = 1 = 1 + 0 = d(x,z) + d(z,y) Vậy d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric (X,d) Dãy hội tụ : dãy x n ⊂ X gọi là hội tụ đến a∈ X nếu (∀ ε > 0) (∃ n 0 ∈ ¥ * ): (∀ n ≥ n 0 ) thì d(x n , a) < ε , kí hiệu: n n lim x a →∞ = hay x n → a (n → ∞) Điểm a còn được gọi là giới hạn của dãy (x n ) trong không gian metric (X,d) Dãy cơ bản : dãy x n ⊂ X gọi là dãy cơ bản ( dãy Cauchy ) ⇔ (∀ ε > 0) (∃ n 0 ∈ ¥ * ): (∀m, n ≥ n 0 ) thì d(x n , x m ) < ε ⇔ (∀ ε > 0) (∃ n 0 ∈ ¥ * ): (∀ n ≥ n 0 ) (∀ p ∈ ¥ * ) thì d(x n + p , x n ) < ε hay x n là dãy cơ bản ⇔ m n m,n lim d(x , x ) →∞ = 0 hoặc n p n n lim d(x , x ) + →∞ = 0 ∀ p = 1,2,… Không gian đủ: Không gian metric mà mọi dãy cơ bản đều hội tụ được gọi là không gian metric đủ. 1.2 Tô pô trong không gian metric Định nghĩa 1.2.1: Cho không gian (X,d), r > 0, a ∈ X Hình cầu mở: Ta gọi B(a, r) = { x ∈ X: d(x,a) < r } là hình cầu mở tâm a, bán kính r. Hình cầu đóng: Ta gọi B’(a, r) = { x ∈ X: d(x,a) ≤ r } là hình cầu đóng tâm a, bán kính r. Định nghĩa 1.2.2: Cho không gian (X,d), A ⊂ X Tập mở: A được gọi là tập mở nếu ∀ x∈ A thì x là điểm trong của A Điểm trong: x ∈ A được gọi là điểm trong của A nếu ∃ ε > 0 : B(x, ε) ⊂ A Tập đóng: Tập A được gọi là tập đóng nếu X\A = A c là tập mở Quy ước ∅ , X vừa là tập đóng vừa là tập mở Định lý 1.2.1: Trong không gian metric hình cầu đóng là tập đóng hình cầu mở là tập mở Định lý 1.2.2: Cho không gian metric (X,d), F ⊂ X F là tập đóng ⇔ ∀ {x n } ⊂ F và x n → x thì x ∈ F Định lý 1.2.3: Cho (X,d) là không gian metric thì: a) Hợp của một họ tùy ý cac tập mở la tập mở: G α mở ∀ α∈ ∧ ⇒ G α α∈∧ U là tập mở b) Giao của hữu hạn các tập mở là tập mở: G i là tập mở ∀ i = 1,n ⇒ n i i 1 G = I là tập mở c) Hợp của hữu hạn các tập đóng là tập đóng: F i đóng ∀ i = 1,n ⇒ n i i 1 F = U là tập đóng d) Giao của một họ tùy ý các tập hợp đóng là tập đóng: F α đóng ∀ α = 1,n ⇒ F α α∈∧ I là tập đóng 1.3. Ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.3.1: Ánh xạ f: X → Y từ không gian metric (X,d X ) vào không gian metric (Y,d Y ) được gọi là liên tục tại x 0 nếu (∀ ε > 0), (∃ δ > 0) (∀ x ∈ X): d X (x, x 0 ) < δ thì d Y (f(x),f(x 0 )) < ε Ánh xạ liên tục tại mọi điểm thuộc A ⊂ X thì ta nói f liên tục trên A ⊂ X Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X Định nghĩa 1.3.2: Ánh xạ f: X → Y từ không gian metric (X,d X ) vào không gian metric (Y,d Y ) được gọi là liên tục đều trên A ⊂ X nếu (∀ ε > 0), (∃ δ > 0) (∀ x, x’ ∈ X): d X (x, x’) < δ thì d Y (f(x),f(x’)) < ε Hiển nhiên ánh xạ f liên tục đều thì liên tục 1.4. Tập hợp compact và bị chặn. Định nghĩa 1.4.1: Không gian compact: Không gian metric (X,d) là không gian compact nếu với mỗi dãy điểm {x n } ⊂ X, ∃ { k n x } ⊂ {x n }: k n x → x ∈ X (k → ∞). Tập compact: Tập A ⊂ X là tập compact nếu không gian con A l à không gian compact nghĩa là ∀ {x n } ⊂ A, ∃ { k n x } ⊂ {x n }: k n x → x ∈ A (k→ ∞). Định lý 1.4.1: (Định lý về tính chất của ánh xạ liên tục trên tập compact) Ánh xạ lien tục f: X → Y từ không gian metric (X,d X ) vào không gian metric (Y,d Y ). K là tập compact trong X thế thì: 1. f liên tục đều trên K 2. f(K) là tập compact trong Y Định nghĩa 1.4.2: Tập hợp bị chặn: Cho A là tập hợp tùy ý trong không gian metric (X,d). Số δ(A) = x,y A supd(x,y) ∈ được gọi là đường kính của tập A, nó có thể là số hữu hạn hoặc vô hạn. Nếu δ(A) < ∞ thì A được gọi là tập hợp bị chặn Từ đó suy ra: A bị chặn ⇔ ∃ B(a,R): A ⊂ B(a,R). Tập hoàn toàn bị chặn: A được gọi là tập hoàn toàn bị chặn nếu ∀ ε > 0, ∃ x j ∈ X (j = 1,n ) sao cho A ⊂ n j j 1 B(x , ) = ε U . Tập A ⊂ X hoàn toàn bị chặn thì bị chặn Hệ quả: Tập con của tập hoàn toàn bị chặn là tập hoàn toàn bị chặn Hợp của hữu hạn các tập hoàn toàn bị chặn là tập hoàn toàn bị chặn Trong không gian Euclid k ℜ tập A bị chặn ⇔ A hoàn toàn bị chặn. 1.5. Không gian vectơ (không gian tuyến tính) Định nghĩa: Giả sử X là một tập hợp, K là một trường (K = £ ∨ ¡ ) trên có hai phép toán “+” và “.” thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1) ∀ x, y ∈ X ta có: x + y = y + x 2) ∀ x, y, z ∈ X ta có; (x + y) + z = x + (y+z) 3) ∀ x∈ X, θ ∈ X: x + θ = x 4) ∀ x∈ X, ∃ x’∈ X: x + (-x’) = θ kí hiệu: x – x’ = θ 5) ∀ x∈ X, ∀ α, β∈ K: α(β(x)) = (αβ)x 6) ∀ x, y ∈ X, α∈ K: α(x + y) = αx + αy 7) ∀ x∈ X, ∀ α, β∈ K: (α + β)x = αx + βx 8) ∀ x∈ X, α∈ K: αx = θ ⇔ x α =θ   =θ  Khi đó X được gọi là không gian vectơ trên trường K Ví dụ: [a ,b C ] = { x(t) liên tục trên [a,b] } được trang bị hai phép toán a) ∀ x, y ∈ [a ,b C ] : x + y = x(t) + y(t) b) ∀ x ∈ [a ,b C ] , α∈ ¡ : α x = α x(t) Khi đó nó là không gian vectơ Thật vậy 1) ∀ x, y ∈ [a ,b C ] : x + y = x(t) + y(t) = y(t) + x(t) = y + x 2) ∀ x, y, z∈ [a ,b C ] : x + (y + z) = x(t) + (y(t) + z(t)) = (x(t) + y(t)) + z(t) = (x + y)+z 3) ∀ x∈ [a ,b C ] , Xθ∈ : x + θ = x(t) + θ = x(t) = x 4) ∀ x∈ [a ,b C ] , ∃ -x∈ [a ,b C ] : x + (-x) = x(t) + (-x(t)) = x – x = θ 5) ∀ x∈ [a ,b C ] , ∀ α, β∈ ¡ : ( x) ( x(t)) ( )x(t) ( )xα β =α β = αβ = αβ 6) ∀ x, y ∈ [a ,b C ] , ∀ α∈ ¡ : (x y) (x(t) y(t)) x(t) y(t) x yα + =α + =α +α =α +α 7) ∀ x∈ [a ,b C ] , ∀ α, β∈ ¡ : ( )x ( )x(t) x(t) x(t) x xα+β = α +β =α +β =α +β 8) ∀ x∈ [a ,b C ] , ∀ α∈ ¡ : x x(t) x(t) x α=θ α=θ   α =θ⇔ α =θ ⇔ ⇔   =θ =θ   1.6. Không gian định chuẩn không gian Banach Định nghĩa 1.6.1: Không gian định chuẩn: Giả sử X là không gian vectơ (không gian tuyến tính), ánh xạ . :X x x →¡ a thỏa mãn các tính chất sau: a) x X : x 0, x 0 x 0 b) x X : K: x x c) x, y X : x y x y ∀ ∈ ≥ = ⇔ = ∀ ∈ ∀α∈ α = α ∀ ∈ + ≤ + Khi đó ánh xạ . được gọi là một chuẩn xác định trên không gian vectơ X. Không gian X cùng với một chuẩn xác định trên nó là một không gian định chuẩn. Kí hiệu là: ( X, . ) , x là chuẩn của x∈ X Định nghĩa 1.6.2: Sự hội tụ: Dãy điểm {x n } hội tụ đến a trong không gian định chuẩn X n n 0 0 n lim x a 0 0, n : n n x a →∞ − = ⇔∀ε> ∃ ∀ ≥ ⇒ − <ε Kí hiệu: n n n lim x a hay x a(n ) →∞ = → → ∞ Định nghĩa 1.6.3: Dãy cơ bản: Dãy điểm x n trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản (dãy Cauchy) ⇔ (∀ε > 0) (∃ n 0 ∈ ¥ * ): (∀m, n ≥ n 0 ) thì n m x x− < ε ⇔ (∀ε > 0) (∃ n 0 ∈ ¥ * ): (∀ n ≥ n 0 ) (∀ p = 1,2… thì n p n x x + − <ε Định nghĩa 1.6.4: Không gian Banach: Không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ Định lý 1.6.1: Cho không gian định chuẩn X. Với mọi x,y ∈ X thì: a) x y x y− ≤ − b) Đặt d(x, y) x y= − thì d là metric trong X gọi là metric sinh bởi (hay metric tương thích với) chuẩn.  a) Ta có: Từ (1) và (2) ta có: x y x y− ≤ − b) ∀x, y, z ∈ X ta có: d(x+z, y+z) = d(x,y) ∀x, y ∈ X ⇒ (x-y)∈ X do đó ∃ d(x,y) = x y− Kiểm tra các tiên đề: i)∀ x, y∈ X ta có d(x, y) x y= − ≥ 0 d(x,y) = 0 ⇔ x y− = 0 ⇔ x – y = 0 ⇔ x = y ii)∀ x, y∈ X ta có d(x, y) x y ( 1)(y x) 1 y x y x d(y, x)= − = − − = − − = − = iii)∀ x, y, z∈ X : d(x, y) x y (x z) (z y) x z z y d(x, z) d(z, y)= − = − + − ≤ − + − = + Vậy d(x, y) x y= − là một metric Từ đó ta suy ra mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric với metric ở định lý trên. Do đó mọi khái niệm mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn. Nhận xét: • Trong không gian Banach, một dãy là hội tụ nếu nó là dãy Cauchy • Không gian Banach cũng là một không gian định chuẩn đầy Định nghĩa 1.6.5: Tính liên tục: Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên trường K, M ⊆ X. Khi đó x (x y) y x y y x y x y (1) y (y x) x y x x x y x y (2) = − + ≤ − + ⇔ − ≤ − = − + ≤ − + ⇔ − ≥− − Toán tử A: M → Y được gọi là liên tục theo dãy điểm nếu với mỗi dãy {x n }⊂ M, n = 1, 2… sao cho: n n n n lim x x M suy ra lim Ax Ax →∞ →∞ = ∈ = 1.7. Tính lồi  Định nghĩa và tính chất Định nghĩa 1.7.1: Giả sử X là một không gian tuyến tính, ¡ là tập các số thực. Tập A ⊂ X được gọi là lồi nếu: ∀x 1, x 1 ∈ X, ∀ λ ∈ ¡ : 1 2 0 1 x (1 )x A≤ λ ≤ ⇒ λ + − λ ∈ Mệnh đề 1.7.1. Giả sử A α ∈ X (α ∈ I) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ. Khi đó A = I A α α∈ U cũng lồi. Chứng minh: Lấy x 1, x 1 ∈ A khi đó x 1, x 1 ∈ A α (∀α∈ I) ∀α∈ I, do A α là lồi nên: 1 2 x (1 )x A ( I) α λ + − λ ∈ ∀α∈ ⇒ 1 2 x (1 )x Aλ + − λ ∈ (∀ λ ∈ ¡ : 0 1 ≤ λ ≤ ) Mệnh đề 1.7.2. Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính, T: X → Y là toán tử tuyến tính, khi đó a) A ⊂ X lồi suy ra T(A) lồi b) B ⊂ Y lồi suy ra nghịch ảnh T -1 (B) của ảnh B là tập lồi Định lý 1.7.1: Giả sử A ⊂ X lồi, x 1 , x 2 ,…,x m ∈ A. Khi đó A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x 1 , x 2 ,…,x m .  Bao lồi và bao đóng Định nghĩa 1.7.2: Giả sử tập A⊂ X, giao của tất cả các tổ hợp chứa A được gọi là bao lồi của tập A và kí hiệu là CoA Nhận xét 1.7.1. a) CoA là một tập lồi và là tập lồi nhỏ nhất chứa A b) A lồi ⇔ CoA = A. Định nghĩa 1.7.3. Giả sử tập A⊂ X, giao của tất cả các tập lồi, đóng chứa A được gọi là bao lồi đóng của tập A và kí hiệu là CoA Nhận xét 1.7.2: CoA là tập đóng, đó là tập đóng nhỏ nhất chứa A Định nghĩa 1.7.4: Cho M ⊂ X, X là không gian tuyến tính trên trường K, khi đó ta định nghĩa: spanM là không gian con tuyến tính nhỏ nhất chứa M.  Liên tục trên tập compact Mệnh đề 1.7.3: Cho M →¡ là một hàm liên tục trên tập compact khác rỗng M của không gian định chuẩn X. Khi đó f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên M. Mệnh đề 1.7.4: Cho X và Y là các không gian định chuẩn trên cùng trường K, cho A : M ⊆ X → Y là toán tử tuyến tính liên tục trên tập compact khác rỗng M của X, khi đó A liên tục đều trên M. Định nghĩa 1.7.5: Toán tử compact: Cho X, Y là các không gian định chuẩn Toán tử tuyến tính A: X → Y được gọi là toán tử compact nếu A biến tập bị chặn bất kỳ trong X thành tập compact tương đối trong Y. Định lý 1.7.2. Cho A, B là các toán tử compact: X → Y (X, Y là các không gian định chuẩn) thì ∀ p, q ta có pA + qB là toán tử compact  Giả sử E là tập bị chặn trong X, {y n } là dãy tùy ý các phần tử của tập [...]... đơn hình tốt bằng k-h là số lẻ Vậy bổ đề đúng với n = 1 * Giả sử bổ đề đúng với n = m Ta đi chứng minh bổ đề đúng với n = m+1 Gọi k là số các m-diện (diện m chiều), mà các đỉnh được gán các số 0, 1, ,m (gọi tắt là diện tốt) của (m+1)-đơn hình con Khi đó k = k1 + k2 trong đó: k1: số diện tốt nằm trên biên của đơn hình gốc S k2: số các diện tốt thuộc phần trong của S Vì biên của S chứa các diện tốt chính... phân đã biết cách giải: a) Phương trình vi phân có biến số phân li: dy = f(x) ⇒ y= dx ∫ f ( x)dx +c dy = f(y) ⇒ dx dy ∫ f ( y) = x+c M1(x) N1(y) dx + M2(x) N2(y) dy = 0 M 1 ( x) N 2 ( y) ⇔ M ( x) dx + N ( y ) dy =0 2 1 (M2(x).N1(y) ≠0) b) Phương trình vi phân cấp 1 thuần nhất: y x y’ = f( ) y x Giả thiết hàm số xác định với mọi x ≠0.Để giải phương trình này ta đặt u= , sau đó đưa về việc giải phương trình... thiết quy nạp k1 lẻ, k2 chẵn vì chung 2 đơn hình con nên được tính 2 lần Vậy k lẻ Gọi h là số diện tốt mà đỉnh còn lại không được gán số m+1 do vậy đỉnh đó sẽ được gán một trong các số 0, 1, , m Vì vậy (m+1)-đơn hình con của S chứa diện đó phải chứa 2 diện tốt Do đó h là số chẵn Vì vậy (m+1)-đơn hình tốt bằng k-h phải là số lẻ Định nghĩa 2.2.2 Cho n = 1, 2, và X là không gian tuyến tính trên trường... số i0, i1, , ik Như vậy, đỉnh ui phải được gán số i Ta gọi đó là phép gán số Sperner Bổ đề Sperner: Với phép gán số Sperner, trong một phép tam giác phân một đơn hình bất kỳ luôn có một số lẻ đơn hình tốt  Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo số chiều *n=1 Đơn hình là đoạn u0u1, đỉnh u0 được gán số 0, đỉnh u1 được gán số 1, các đỉnh còn lại của các đơn hình con nhận các số 0 hoặc 1 0 1 1 0... 0 ⇔ x = x* Vậy điểm bất động là duy nhất Ví dụ 2.1.1 Cho ánh xạ f ánh xạ nửa khoảng [1+∞) vào chính nó xác định bằng công thức f(x) = x + f có phải là ánh xạ co không? f có điểm bất động không?Vì sao? Giải: Ta có [1+∞) là tập con đóng của ¡ với metric d(x,y) = x − y Do đó [1+∞) cùng với metric trên lập thành một không gian metric đầy Xét ánh xạ f: [1+∞) a [1+∞) x a f(x) = x + 1 x Giả sử f là ánh xạ... ∞ Cho n → ∞ từ xn+1 = Axn ta có x = Ax 2.2 Định lý điểm bất động Brouwer Định lý điểm bất động Brouwer là định lý trung tâm của lý thuyết điểm bất động,đó cũng là một trong những nguyên lý cơ bản của giải tích phi tuyến.Định lý này được Brouwer chứng minh năm 1910 dựa vào công cụ tôpô là lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục Trước tiên ta sẽ nhắc lại một vài định nghĩa sau: Định nghĩa 2.1.1 Cho X là một . lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy. Tôi xin chân thành cảm ơn BGH trường ĐHSP Hà Nội 2, khoa Toán và tổ giải tích cùng toán thể các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi kết. Người thực hiện Lê Thị Vân PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nhiều bài toán khác nhau của khoa học kĩ thuật đã dẫn tới việc nghiên cứu vấn đề sau: Cho X là một không gian bất kì nào đó,. trên góp phần đắc lực cho việc giải quyết hàng loạt các bài toán trong toán học nói riêng và trong khoa học kĩ thuật nói chung. Điều này dẫn tới một hướng nghiên cứu mới trong toán học và đã hình