Bài tập giới hạn hàm số

6 4,092 45
  • Loading ...
1/6 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 20/06/2014, 17:36

Tìm giới hạn dạng xác địnhBài 28: Tính các giới hạn sau: 1) 2) 3) 4) ; 5) 2Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại sốBài 29: Tính các giới hạn sau 3Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc haiBài 30: Tính các giới hạn sau4Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và bậc caoBài 31: Tính các giới hạn sau 5Tính giới hạn dạng của hàm số sử dụng phương pháp gọi hằng số vắngBài 32: Tính các giới hạn sau -Tìm giới hạn dạng xác định Bài 28: Tính các giới hạn sau: 1) 2 1 lim( 2 1) x x x →− + + 2) 1 lim( 2 1) x x x → + + 3) ( ) 2 3 lim 3 4 → − x x 4) 1 1 lim 2 1 x x x → + − ; 5) 2 5 1 1 lim ; 2 3 →− + + + x x x x 3 4 2 4 2 x 0 x 0 x 1 x 2 x 3 1 1 1 x x x 3x 1 x 6) lim x 1 ; 7)lim ; 8)lim ; 9) lim x 4 ; 10)lim . 1 x (2x 1)(x 3) 2x 1 1 x → → → → → − − + +   − −  ÷ − − −   + 2-Tìm giới hạn dạng 0 0 của hàm phân thức đại số Bài 29: Tính các giới hạn sau ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 2 2 x 1 x 3 x 2 x 1 3 3 3 2 3 x 1 x 1 x 0 h 0 2 3 2 3 2 2 x 1 x 2 x 1 x 3 x 3x 2 x 1 1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ; x 1 x 2x 15 x 2x 3 x 2 x 2 8 2 x h 2x x x 1 3 5)lim ; 6)lim ; 7) lim ; 8)lim ; 1 x 1 x x h x 1 2x 3x 1 x x 2x 8 9)lim ; 10)lim x x x 1 x → → → → → → → → → → − − − + − − + − + − − − + + − −   −  ÷ − − −   − + + − − − − + − 3 2 3 2 2 1 x 3 x 2 x 4x 4x 3 8x 1 ; 11)lim ; 12)lim ; 3x 2 x 3x 6x 5x 1 → → − + − − + − − + ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 3 4 3 2 2 4 x 1 x 3 x 1 3 100 3 50 x 2 x 0 x 1 2 n x 1 x 1 2x 5x 3x x 1 x 5x 6 x 3x 2 13)lim ; 14)lim ; 15)lim ; 3x 8x 6x 1 x 8x 15 x 4x 3 1 x 1 2x 1 3x 1 x 3x 9x 2 x 2x 1 16)lim ; 17) lim ; 18)lim ; x x 6 x x 2x 1 x x x n x 19)lim ; 20)lim x 1 → → → → → → → → − + + − − + − + − + − − + − + + + + − + − − − + − − − + + + + − − ( ) ( ) ( ) m n m n x 1 n n n 1 n n n m 2 2 x a x a x 0 x 4 x 0 x 0 1 m n ; 21)lim ; x 1 1 x 1 x x a n.a x a x a (1 mx) (1 nx) 22)lim ; 23)lim ; 24)lim ; x a x x a 3 x 1 1 sin 2x cos2x 2 25)lim ; 26)lim ; 28)lim cotx . x 2 2 1 sin 2x cos2x sin 2x → − → → → → → → −   −  ÷ − − −   − − − − + − + − − − − − −   −  ÷ − − + −   3-Tìm giới hạn dạng 0 0 của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai Bài 30: Tính các giới hạn sau 4-Tìm giới hạn dạng 0 0 của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và bậc cao Bài 31: Tính các giới hạn sau 3 3 3 3 3 x 2 x 0 x 1 x 1 2 3 3 3 3 3 3 x 1 x 0 x 1 x 8 5 4 x 0 x 1 4x 2 1 x 1 2x 1 1 x 1 1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ; x 2 x x 1 x 2 1 2x 1 x x 1 x 1 x x x 1 9 2x 5 5)lim ; 6)lim ; 7) lim ; 8)lim ; x 1 x 1 2x 1 x 1 x 2 5x 1 1 4x 3 1 9)lim ; 10)lim ; 11)li x x 1 → → → → → → →− → → → − − − − − − − − − + − − − + + + + + + − + − + − + − + − − − − 7 4 x 1 x 1 3 n m n n 1 n x 0 x 1 4x 3 1 2 x 1 m ; 12)lim ; x 1 x 1 1 x 1 x 1 (1 x)(1 x ) (1 x) 13)lim ; 14)lim ; 15)lim . x (1 x) x 1 → → − → → − − − − − − + − − − − − − − 5-Tính giới hạn dạng 0 0 của hàm số sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng Bài 32: Tính các giới hạn sau 5 43 3 3 2 x 0 x 1 x 1 x 0 2 1 x 8 x 2x 1 x 2 2x 2 7x 1 1 2x 1 3x 1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ; x x 1 x 1 x → → → → + − − − + − + − + − − + − − ( ) 2 7 33 2 3 3 2 x 1 x 0 x 0 2 m 3 n 2 3 4 x 7 x 0 x 1 x 2009 1 2x 2009 2 5 x x 7 1 2x 1 3x 1 4x 1 5)lim ; 6)lim ; 7)lim ; x 1 x x 1 x 1 x 1 x 2 x 20 2x 1 x 3x 1 8)lim ; 9)lim ; 10)lim . x x 9 2 x 2 x x 1 → → → → → → + − − − − + + + + − − + α +β − + − + − + − + + − − + − + → − − + − 3 1 2 2 1. 5 3 11) lim 1 x x x x → + − + − − 3 2 2 3 2 2 12) lim ; 2 x x x x x → + + + − − 1 4 5 3 1 5 13) lim 1 x x x x 6-Tính giới hạn dạng ∞ ∞ của hàm số Bài 33: Tính các giới hạn sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) →+∞ →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ →−∞   − + + − + − + + +   − − + − +   + +   + + + + + + − + + + + + + + 2 5 3 2 2 5 4 2 2 2 100 100 100 2 3 2 100 10 2 2 2 1 3 1 6 7 4 3 3 2 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 8 5 2 1 2 1 4 8 5 2 1 2 100 2 3 4 7 2 3 4) lim ; 5) lim ; 6) lim 10 100 3 1 10 9 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) →−∞ →+∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →+∞ + − + − − − − − + + + + + + − − + − + − + − + + + + − + − − + + 2 2 2 5 2 2 2 2 2 2 ; 1 2 1 2 3 4 5 1 7) lim ; 8) lim ; 9) lim ; 2 1 5 1 3 1 4 1 2 1 5 3 1 4 5 2 1 10) lim ; 11) lim ; 12) lim ; 13) lim ; 1 4 3 1 3 2 7 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 6 6 4 3 2 2 2 3 x x x x 2 4 5 2 2 x x x x 2 x x 3x x 3x x x 11 2x x 10 14) lim ; 15) lim ; 16) lim ; 17) lim ; 2x 1 2x 1 2x 7 9 3x x 7x 12 x 4 x x 11 3x 1 18) lim ; 19) lim ; 20) lim ; 21) lim ; 3 x 17 x 4 2x x 1 1 x 4x x x x x 22) lim x 10 →−∞ →+∞ →+∞ →+∞ →−∞ →−∞ →+∞ →−∞ →−∞ − − − + + − + + − − − + + + − + − + + + − + − + + + 4 2 2 2 x x x 2x x 1 x x 5 x x 1 ; 23) lim ; 24) lim ; 25) lim . 1 2x 2x 1 x →+∞ →−∞ →−∞ + − − + + + − − 7-Tính giới hạn dạng ∞ − ∞ của hàm số Bài 34: Tính các giới hạn sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x x x 2 2 2 x x x 2 2 2 2 2 2 x x x 3 3 2 x 1) lim x 1 x ; 2) lim x x 1 x ; 3) lim x 1 x 1 ; 4) lim 3x x 1 x 3 ; 5) lim 3x x 1 x 3 ; 6) lim 2x 1 x ; 7) x x x 4 ; 8) lim x 2x 4 x 2x 4 ; 9) lim x 8x 4 x 7x 4 ; lim 10) lim x 3x x 2x ; →+∞ →+∞ →−∞ →+∞ →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ + − + + − + + − + + − + + + + + + − + + + − − + + + − + + + − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n 2 2 2 2 n x x n 1 2 n x x x 2 2 2 x x x 2 x x x 1 x x 1 11) lim x( x 2x 2 x x x); 12) lim ; x 13) lim (x a )(x a ) (x a ) x ; 14) lim x x x ; 15) lim x a x b x ; 16) lim 2x 5 4x 4x 1 ; 17) lim x 4x 9 2x ; 18) lim x x 1 x ; 19) lim x 3 →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →−∞ →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ − − + + − + − + + + + + − + − + + − − − − − + + + − ( ) ( ) ( ) 3 4 4 2 2 3 x x x 5 3x 2 ; 20) lim x x 2x x 2 x x ; 21) lim x 1 x . →+∞ →−∞ + − − + + − + + − 8-Tính giới hạn dạng 0.∞ của hàm số Bài 35: Tính các giới hạn sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 x x x 2 x 1 x x x 1 2x 1 1) lim x 2 ; 2) lim x 1 ; 3) lim x 2 ; 4) lim x 1 ; x 4 x 1 x x x x 2 + + →+∞ →−∞ → → − − + − + + + − − + + + ( ) ( ) 3 2 3 5 2 x x x 2 3x 1 2x x 3 x 4 5) lim 1 2x ; 6) lim x ; 7)lim . x 1 x x 3 4 x x 2 →+∞ →−∞ → + + + − + − + − − VIII. Giới hạn một bên Bài 36: Dựa vào định nghĩa giới hạn một bên, tìm các giới hạn sau ( ) x 1 x 5 x 3 x 1 1 1 a) lim x 1; b) lim 5 x 2x ; c) lim ; d) lim . x 3 x 3 + − + − → → → → − − + − − Bài 37: Tính các giới hạn sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 4 x 0 x 2 x 3 x 1 2 2 x 2 x 2 x 1 x 1 2 3 2 2 x 2 x 1 x 2 x 4 x x 7x 12 x 3x 2 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ; x x 2 x 9 x x x 3x 6 3x 6 x 3x 2 x 3x 2 5) lim ; 6) lim ; 7) lim ; 8) lim ; x 2 x 2 x 1 x 1 x 4 x 1 9) lim ; 10) lim ; 11) x 1 x 1 2 x + − − + + − − + − + → → → → − → − → − → − → − → → + − − + + + − − − + + + + + + + + + + + − − − + − 2 2 2 3 x 3 x 1 1 x x 1 9 x lim ; 12) lim 2x 7x 3 x x − →− → − + − − + + − Bài 38: Gọi d là hàm dấu: ( ) − <   = =   >  1víi x 0 d x 0 víi x 0 1 víi x 0 . Tìm ( ) ( ) ( ) − + → → → x 0 x 0 x 0 lim d x , lim d x vµ lim d x (nếu có). Bài 39: Cho hàm số ( )   =  − ≥ −   3 2 x víi x<-1 f x 2x 3 víi x 1 . Tìm ( ) ( ) ( ) − + → → → x 1 x 1 x 1 lim f x , lim f x vµ lim f x (nếu có). Bài 40: Cho hàm số ( )  − ≤  =  + > −   2 2 x 1 víi x -2 f x 2x 1 víi x 2 . Tìm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − + →− → − → − x 2 x 2 x 2 lim f x , lim f x vµ lim f x (nếu có). Bài 41: Cho hàm số ( )  − + ≤ =  − >  2 x 2x 3 víi x 2 f x 4x 3 víi x 2 . Tìm ( ) ( ) ( ) − + → → → x 2 x 2 x 2 lim f x , lim f x vµ lim f x (nếu có). Bài 42: Cho hàm số ( )  − ≤   = =   − >   2 2 9 x víi -3 x<3 f x 1 víi x 3 x 9 víi x 3 . Tìm ( ) ( ) ( ) − + → → → x 3 x 3 x 3 lim f x , lim f x vµ lim f x (nếu có). Bài 43: Tìm giới hạn một bên của hàm số ( )  + ≤    =    ≥ −   2 2 2x 3 víi x 1 5 f x 6-5x víi 1<x<3 x-3 víi x 3 x 9 khi ± ± → →x 1 vµ x 3 . Bài 44: Ta gọi phần nguyênn của số thực x là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x và kí hiệu nó là [x]. Chẳng hạn [5]=5; [3,12]=3; [-2,587]=-3. Vẽ đồ thị hàm số y=[x] và tìm [ ] [ ] [ ] − + → → → x 3 x 3 x 3 lim x , lim x vµ lim x (nếu có). IX. Một vài qui tắc tìm giới hạn Bài 45: Tìm các giới hạn sau ( ) 33 2 2 3 x x x 3 2 2 3 3 2 x x x 1) lim 3x 5x 7 ; 2) lim 2x 3x 12; 3) lim 1000 x ; 1 4) lim ; 5) lim 3x 5x; 6) lim x 3x ; 2x x 3x 5 →−∞ →+∞ →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ − + − + − − − − + + Bài 46: Tìm các giới hạn sau 2 2 x 0 x 2 x 2 x 2 2x 1 2x 1 1 1 1 1 1) lim ; 2) lim ; 3)lim ; 4) lim ; x 2 x 2 x x x 2 x 4 + − − → → → → + +     − −  ÷  ÷ − − − −     ( ) 2 2 2 2 3 2 x 0 x 2 x 3 x 2 2 x x 3 1 2x x 4 5)lim ; 6)lim ; 7) lim ; 8) lim . x x x 3 x 2 x 2 + + → → → → − − − − + − − − Bài 47: Tìm các giới hạn sau 3 4 4 2 2 2 x x x x x 5 x x 2x x 1 x 5x 2 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim . x 1 1 2x x x 1 2 | x | 1 →+∞ →−∞ →−∞ →−∞ − − − − − + + − + + + Bài 48: Tìm các giới hạn sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 3 2 2 x 1 x 1 x 1 x 2 1 2x 3 5 1 1 1 4x 3 1)lim . ; 2)lim ; 3)lim . ; 4) lim . 2x 3 x 3 2x 3x 2 x 1 x 3x 2 x 1 x 3 + → → → → −   + +   −    ÷ − + − − − +  − −     X. Hàm số liên tục tại một điểm Bài 49: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước ( ) ( ) − = − + = + 3 3 2 x 1 1)f x x x 3 vµ g x x 1 tại điểm ∈¡ 0 x . ( ) ( ) ( ) ( )   − + − ≠ ≠   = = − −        ≠  = =    2 3 x 3x 2 x 1 víi x 2 víi x 1 2)f x t¹i ®iÓm x=2; 3)f x t¹i ®iÓm x=1; x 2 x 1 1 víi x=2 2 víi x=1 1 víi x 0 4)f x t¹i ®iÓm x=0; 5)f x | x | t¹i ®iÓm x=0; x 0 víi x=1 ( ) ( )  − −  + ≠ − ≠    = =        2 1 1 x x 1 víi x 1 víi x 0 x 6)f x t¹i ®iÓm x=0; 7)f x t¹i ®iÓm x=-1; 1 víi x=-1 1 víi x=0 2 2 ( )  − ≠  = +   −  2 x 4 víi x -2 8)f x t¹i ®iÓm x=-2. x 2 4 víi x=-2 Bài 50: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=1 ( ) ( ) +   − + − ≠   = = −   − ≠   +  −  3 2 2 x a víi x=1 x x 2x 2 víi x 1 1)f x ; 2)f x . x 1 x 1 víi x 1 3x a víi x=1 x 1 Bài 51: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x=1 và x=3 ( )   − −  = − ≠  −    2 2 2 a víi x=0 x x 6 f x víi x 3x 0 . x 3x b víi x=3 Bài 52: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước ( ) ( ) ( ) ( )   + ≤ + < = =   − + ≥     − ≤   = =   − ≥     2 2 2 2 3 x 1víi x 1 x 4 víi x 2 1)f x t¹i ®iÓm x=1; 2)f x t¹i ®iÓm x=2; x 1 víi x>1 2x 1 víi x 2 x víi x<0 4 3x víi x -2 3)f x t¹i ®iÓm x=0; 4) f x t¹i ®iÓm x=-2. x víi x>-2 1 x víi x 0 . Bài 53: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x=0 ( ) ( ) 2 2 x a khi x 0 x 2a khi x 0 a)f x ; b)f x . x 1 khi x 0 x x 1 khi x 0 + < + <   = =   + ≥ + + ≥   Bài 54: Cho hàm số ( ) 2 x 3x 2 khi x 1 x 1 f x a khi x 1  − + ≠  − =   =  . a)Tìm a để hàm số liên tục trái tại x=1; b)Tìm a để hàm số liên tục phải tại x=1; c)Tìm a để hàm số liên tục trên .R Bài 55: Tổng của hai hàm f(x)+g(x) có nhất thiết phải gián đoạn tại điểm x 0 đã cho hay không nếu: a)Hàm f(x) liên tục, còn hàm g(x) gián đoạn tại điểm x 0 . b)Cả hai hàm f(x) và g(x) gián đoạn tại điểm x 0 . Nêu ví dụ tương ứng. XI. Hàm số liên tục trên một khoảng Bài 56: Chứng minh rằng: a)Hàm số f(x)= 4 2 x x 2− + liên tục trên .R b)Hàm số ( ) 2 1 f x 1 x = − liên tục trên khoảng (-1; 1). c)Hàm số f(x)= 2 8 2x− liên tục trên nửa khoảng 1 [ ; ) 2 +∞ . Bài 57: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó: ( ) ( ) ( ) 2 2 x 3x 4 1 a)f x ; b)f x 1 x 2 x; c)f x x x 3 . 2x 1 x 2 + + = = − + − = + + + + − Bài 58: Giải thích vì sao: a)Hàm số f(x)= 2 2 x sinx-2cos x+3 liên tục trên .R b)Hàm số ( ) + = 3 x xcosx+sinx g x liªn tôc trªn . 2s inx+3 R c)Hàm số ( ) ( ) + = ≠ π ∈ 2x 1 s inx-cosx h x liªn tôc t¹i mäi ®iÓm x k , k . xs inx R Bài 59: Tìm các khoảng, nửa khoảng trên đó mỗi hàm số sau đây liên tục: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = = − = + + = + + + 2 2 x 1 a)f x ; b)f x 3x 2; c)f x x 2 x 3; d)f x x 1 sinx. x 7x 10 Bài 60: Hàm số ( )  + ≠  = +    3 x 8 víi x 2 f x 4x 8 3 víi x=2 có liên tục trên R không? Bài 61: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ≤   + <  = = =    − ≥ ≥      − + + ≤   ≤ ≤  = = = −   ≤ + ≤ ≤   ≥  2 2 2 2 2 2 2 2 a x víi x 2 x x khi x 1 x víi x<1 1)f x ; 2)f x ; 3)f x ; 1 a x víi x>2 ax+1 khi x 1 2ax+3 víi x 1 x 3x 2 2x a víi 0 x<1 x víi 0 x 1 víi x<2 4)f x ; 5)f x ; 6)f x x 2x 2-x víi 1<x 2 ax 2 víi 1 x 2 mx+m+1 víi x 2   . Bài 62: Xét tính liên tục của hàm số  − − +   − =   + ≤   2 2 2x 1 2x 2 nÕu x > 1 x 1 f(x) x mx nÕu x 1 2 trên ¡ . XII. Ứng dụng hàm số liên tục Bài 63: Cho hàm số f liên tục trên [0; 1]. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực c thuộc [0; 1] sao cho f(c)=c. Bài 64: Chứng minh rằng: 1)Phương trình + − = 5 x x 1 0 có nghiệm thuộc khoảng (-1; 1). 2)Phương trình sinx-x+1=0 có nghiệm. 3)Phương trình + + = 3 2 x 1000x 0,1 0 có ít nhất một nghiệm âm. 4)Phương trình − − = 3 2 1 x 1000x 0 100 có ít nhất một nghiệm dương. 5)Phương trình − + − = 4 2 x 3x 5x 6 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2). 6)Phương trình + + = 3 x x 1 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1. 7)Phương trình 4 2 4x 2x x 3 0+ − − = có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-1; 1). 8)Phương trình 2x+ − 3 6 1 x =3 có ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc (-7; 9). 9)Phương trình − + = 3 2x 6x 1 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trên khoảng (-2; 2). 10)Phương trình + − = 3 2 x mx 1 0 luôn có nghiệm dương. 11)Phương trình + + + = 3 2 x ax bx c 0 luôn có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c. 12)Nếu 2a+3b+6c=0 thì phương trình 2 atan x+btanx+c=0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng k ; k , k . 4 π   π + π ∈  ÷   R Bài 65: Cho hàm số ( )  ≠  =   −  1 víi x 0 f x . x 1 víi x=0 a)Chứng tỏ f(-1).f(2)<0. b)Chứng tỏ f(x) không có nghiệm thuộc khoảng (-1; 2). c)Điều khẳng định trong b) có mâu thuẫn với định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục không? Bài 66: Cho a, b là hai số dương khác nhau. Người ta lập hai dãy (u n ) và (v n ) bằng cách đặt n n 1 1 n 1 n 1 n n u v u a, v b, u , v u v (n 1,2,3, ) 2 + + + = = = = = . Chứng minh rằng n n lim u lim v .= Bài 67: Cho dãy (s n ) với k n n n 1 k 1 n 1 2 s ,n *. 2 k + = + = ∈ ∑ ¥ Tính n lims . Bài 68: Tính các giới hạn p p p p 1 n! 1 2 n a)lim ; b)lim ,p *. (2n 1)!! n + + + + ∈ + ¥
- Xem thêm -

Xem thêm: Bài tập giới hạn hàm số, Bài tập giới hạn hàm số, Bài tập giới hạn hàm số

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn