Khóa luận tốt nghiệp Ts Nguyễn Văn Hùng LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận tốt nghiệp này, trước hết em xin chân thành cảm ơn thầy giáo khoa Tốn, thầy tổ giải tích tạo điều kiện, giúp đỡ em thời gian vừa qua Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng tận tình hướng dẫn, bảo cho em suốt trình nghiên cứu khóa luận Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2013 Sinh viên Trần Hồng Hạnh Trần Hồng Hạnh –K35G SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Ts Nguyễn Văn Hùng LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận cơng trình nghiên cứu riêng em Trong nghiên cứu, em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Những kết nêu khóa luận chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2013 Sinh viên Trần Hồng Hạnh Trần Hồng Hạnh –K35G SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Ts Nguyễn Văn Hùng LỜI NÓI ĐẦU Thoạt đầu, toán học phát sinh nhu cầu giải tốn có nguồn gốc thực tiễn Cùng với phát triển nội toán học ngành khoa học khác, toán học chia thành hai lĩnh vực : tốn học lí thuyết tốn học ứng dụng Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều toán liên quan tới phương trình vi phân thường Vì vậy, nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trị quan trọng lí thuyết tốn học Chúng ta biết có số phương trình vi phân thường tìm nghiệm xác,trong phần lớn phương trình vi phân thường nảy sinh từ tốn thực tiễn khơng tìm nghiệm xác Do số vấn đề đặt tìm phương pháp để xác định nghiệm gần phương trình vi phân thường Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn đó, nhà tốn học tìm nhiều phương pháp để giải gần phương trình vi phân thường Trong phương pháp đó, người ta phân làm nhóm: nhóm thứ gọi phương pháp giải tích cho phép tìm nghiệm gần dạng biểu thức giải tích, nhóm thứ hai gọi phương pháp số cho phép tìm nghiệm dạng bảng Là sinh viên khoa Toán, khn khổ khóa luận, em xin trình bày hiểu biết số phương pháp số giải gần phương trình vi phân thường Được hướng dẫn tận tình tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng với lịng nhiệt tình say mê nghiên cứu khoa học, em chọn đề tài: “ Một số phương pháp giải gần phương trình vi phân” Em sâu nghiên cứu phương pháp số: phương pháp Euler Euler cải tiến, phương pháp Runge –Kutta Nội dung khóa luận gồm chương : Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương 2: Một số phương pháp giải gần phương trình vi phân Trần Hồng Hạnh –K35G SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Ts Nguyễn Văn Hùng Chương 3: Bài tập áp dụng Do thời gian lực có hạn nên khóa luận em cịn nhiều thiếu sót, kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn sinh viên Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2013 Sinh viên Trần Hồng Hạnh Trần Hồng Hạnh –K35G SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Ts Nguyễn Văn Hùng MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN…………………………………………………………………….1 LỜI CAM ĐOAN……………………………………………………………… LỜI NÓI ĐẦU……………………………………………………………… CHƯƠNG : CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ………………………………… §1: Số gần sai số……………………………………………………… §2: Sai phân………………………………………………………………………11 §3:Phương trình vi phân thường…………………………………………………14 CHƯƠNG : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN…………………………………………………………………………19 §1:Phương pháp Euler Euler cải tiến………………………………………….19 §2: Phương pháp Runge –Kutta………………………………………………….23 CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG…………………………………………… 37 KẾT LUẬN………………………………………………………………………49 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………… 50 Trần Hồng Hạnh –K35G SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Ts Nguyễn Văn Hùng CHƯƠNG :CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 : SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Khái niệm số gần đúng,sai số tuyệt đối, sai số tương đối a , Số gần đúng, sai số tuyệt đối sai số tương đối: Trong thực tế tính tốn, ta thường khơng biết số a* mà biết số gần a* a Đại lượng ∆ = a* - a gọi sai số thực a Do a* nên ∆ ta tìm ∆a ≥0 cho : a * − a ≤ ∆a ; (1.1) Số ∆a nhỏ thỏa mãn (1.1) gọi sai số tuyệt đối a ∆a Tỷ số δa = a gọi sai số tương đối a Ví dụ 1: Giả sử a= 3,14 ; a*= ᴨ Do 3,14 < a* < 3,15=3,14+0,01 nên ∆a= 0,01 Mặt khác: 3,14 < a* < 3,142=3,14+0,002 nên ∆b = 0,002 Trong phép đo nói chung sai số tuyệt đối nhỏ tốt Ví dụ 2: A :100 m ; ∆a = 0,5 m B :6 km ; ∆b= 20 m δa = 0,5 = 100 200 ; δb = 20 = 6000 300 Phép đo B xác phép đo A Vậy độ xác phép đo phản ánh qua sai số tương đối b , Sự thu gọn số, sai số thu gọn: Trần Hồng Hạnh –K35G SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Ts Nguyễn Văn Hùng Giả sử a biểu diễn dạng thập phân : a = ± (βp 10p + βp-1 10p-1 + …+ βp-q 10p-q) Trong : ≤ βi ≤ ,βi ∈ Z ,( i= p,p-1,…,p-q) Chẳng hạn : a = 597,36= 5.102 + 9.101 +7.100+3.10-1+6.10-2 p=2, q=4, β2=5, β1=9, β0=7, β-1=3, β-2=6 Thu gọn a vứt bỏ số chữ số hàng bên phải biểu diễn a để số gần a gọn đảm bảo độ xác cần thiết Quy ước : chữ số bỏ tính từ bên phải qua có giá trị lớn thu gọn ta tăng thêm vào chữ số cuối giữ lại đơn vị, nhỏ giữ nguyên Trong trường hợp chữ số bỏ chữ số toàn chữ số chữ số cuối giữ lại để nguyên số chẵn tăng thêm đơn vị số lẻ (tính tốn với số chẵn thuận lợi hơn) Ví dụ 3: Thu gọn đến chữ số sau dấu phẩy với số sau: a = 57,96564 ; a = 57,97 a = 65,752648 ; a = 65,75 a = 903,28500 ; a = 903,28 a = 423,23500 ; a = 423,24 c , Cách viết số gần đúng: Ta thường viết số gần kèm theo sai số (tuyệt đối tương đối)  + 0,05     − 0,002  Chẳng hạn : a= 16,52   ; b= 0,085 (± 0,003) ; c= 154 (±2%) Trong bảng số thường giữ lại chữ số chắc, tức số mà chữ số cuối giữ lại có bậc tương ứng sai số tuyệt đối theo quy tắc làm trịn số (ở khơng đưa định nghĩa xác chữ số chắc) Sai số tính tốn : Trần Hồng Hạnh –K35G SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Ts Nguyễn Văn Hùng Giả sử ta phải tính đại lượng y theo cơng thức y = f (x1,…,xn) Gọi x *= (x*1, … ,x*n) ; y* = f (x*) giá trị Giả sử ta giá trị này, ta biết giá trị gần là: x=(x1, … ,xn) ; y=f(x) Giả sử ∆xi(i=1,…,n) ; δxi (i=1, … ,n) sai số tuyệt đối tương đối tương đối tương ứng đối số Khi : sai số hàm y =f(x1, … ,xn) gọi sai số tính tốn Giả sử hàm f hàm số khả vi liên tục theo tất biến xi thì: * * * ∆y = y − y = f ( x1 , , x n ) − f ( x1 , , x n ) n * = ∑ f ' x ( x1 , , xn ) xi − xi i =1 i Với x =( x1 ,…, x n ) x điểm nằm x x* * Vì f khả vi liên tục, ∆xi= xi − xi bé nên: n ∆y = ∑ f ' x ( x) ∆xi i i =1 với x =(x1, … ,xn) ∆y n ∂ ln f ( x) ∆xi Vậy δy = y = ∑ i =1 ∂xi ; (1.2) Và đơi viết δy= ∆ln y ; (1.2’) a , Sai số tổng: n Nếu y= ∑x i =1 y’x i =1 (i=1,…,n) Vậy ta có: i n ∆y = ∑ i =1 f ' xi ( x) ∆xi =∆x1 +…+ ∆xn = n ∑ ∆x i =1 i ; (1.3) Sai số tuyệt đối tổng tổng sai số tuyệt đối số hạng b , Sai số tích: Trần Hồng Hạnh –K35G SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Ts Nguyễn Văn Hùng y = x1.x2…xn y = x1 x … x n Ln y =ln x1 +ln x2 +…+ln xn → ∆ln y =∆ln x1 +…+ ∆ln xn → δy= δx1 + … +δxn ∆y = y δy Sai số tương đối tích tổng sai số tương đối số hạng thành phần c , Sai số thương: x1 y= x y’x = x ∆y= − x1 ; y’x = x 2 x1 ∆x2 + x2 ∆x1 x2 δy= δx1+ δx2 d , Sai số y= lnx : ∆y =δx Bài toán ngược toán sai số Giả sử y=f(x1,x2,…,xn) Cần tính ∆xi để ∆y ≤ ɛ , (ɛ