Chuyên đề 3: TỨ GIÁC – HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN *) Khái niệm chung tứ giác: +) Định nghĩa : a) Tứ giác ABCD hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA hai đoạn thẳng khơng nằm đường thẳng A, B, C, D đỉnh ; AB, BC, CD, DA cạnh Ta xét tứ giác đơn cạnh cắt đỉnh Trong tứ giác đơn ABCD, ta phân biệt : hai đỉnh kề (cùng nằm cạnh ) với hai đỉnh đối nhau(không kề nhau(xuất phat từ đỉnh) với hai cạnh đối (không kề nhau) Đường chéo tứ giác đoạn thẳng nối hai đỉnh đối Trong tập hợp , điểm mặt phẳng chứa tứ giác đơn, ta phân biệt điểm thuộc tứ giác, điẻm tứ giác, điểm tứ giác b) ABCD tứ giác lồi  ABCD thuộc nửa mặt phẳng với bờ đường A thẳng chứa cạnh B Tứ giác (đơn) khơng lồi tứ giác lõm Trong hình, ABCD tứ giác lồi D C Định lí: Tổng gọc tứ giác 3600 *) Tìm hiểu sâu tứ giác giác lồi: Định lí : Trong tứ giác lồi , hai đường chéo cắt Đảo lại, tứ giác có hai đường chéo cắt tứ giác lồi ABCD lồi  ABCD có hai đường chéo cắt Để chứng minh định lí, cần nhớ lại định lí sau đây: (I) Tia Oz nằm gọc xOy  tia Oz cắt đoạn thẳng MN, với M  Oz, N Oy (II) Néu tia Oz nằm xOy Oz Oy nằm nửa mặt phẳng bờ chứa Oy; Oz O x nằm nửa mặt phẳng bờ chứa Oy (III) Cho tam giác ABC a) Các trung tuyến xuất phát từ điểm A C cắt điểm M Tứ giác ABCM lồi hay khơng lồi? Vì sao? b) M điểm tuỳ ý thuộc miền tam giác ABC( không thẳng hàng với hai đỉnh tam giác) Với vị trí điểm M ABCM tứ giác lồi? c) M N hai điểm tuỳ ý thuộc miền tam giác ABC( không thẳng hàng với đỉnh tam giác) Chứng minh năm điểm A, B, M, N, C chọn bốn điểm đỉnh tứ giác lồi B Giải a) ABCM khơng lồi (lõm), B C nằm hai M nửa mặt phẳng đối có bờ chứa AM (h 2a) A b) Kết câu a/ M điểm thuộc miền tam giác ABC Nếu M thuộc miền ngồi ABC có hai trường hợp : - M góc đối đỉnh góc tam giác h 2b, M góc đối đỉnh góc B Dễ thấy lúc đỉng B lại điểm thuộc miền tam giác MAC, AMCB khơng lồi(lõm) C - M góc tam giác hình 2b, M’ nằm góc A Do AM’ tia góc A, mà A M’ nằm hai phía cạnh BC, đoạn Am’ cắt đoạn thẳng BC ABM’C tứ giác lồi Tóm lại, h 2b, miền gạch chéo tập hợp điểm M mà MABC tứ giác lõm Các miền khác (để trắng ) tập hợp điểm M mà M, A, B, C j M đỉnh tứ giác lồi B A M' C c) Đường thẳng qua hai điểm M N không cắt cạnh tam giác ABC Trong h 2c, đường thẳng MN không cắt giác MNCA tứ giác lồi(điểm N thuộc miền B M AC Tứ N tam giác MAC nằm góc MAC) C A H 2a CÁC VÍ DỤ : Ví dụ 1: Chứng minh tứ giác lồi tổng độ dài cạnh(chu vi) lớn tổng độ dài đường chéo nhỏ hai lần tổng độ dài đường chéo *) Nhận xét : Đây toán chứng minh bất đẳng thức độ dài nên kẻ thêm đường phụ, xét tam giác để áp dụng mệnh đề :” Trong tam giác, toỏng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh thứ ba” Giải B C o A D Cho tứ giác ABCD(h 7) Ta phải chứng minh : AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) 1) Chứng minh AC + BD < AB + BC + CD + DA Ta có : AC < AB +BC (bất đẳng thức  ABC) AC < AD + DC (bất đẳng thức  ADC) BD < BC + CD (bất đẳng thức  BCD) BD < BA + AD (bất đẳng thức  BAD) Từ : 2( AC + BD) < 2(AB +BC + CD + DA) AC + BD < AB + BC + CD + DA 2) Chứng minh AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) Trong tam giác ABO CDO, ta có : AB < BO + OA (1) CD < CO + OD (2) Cộng (1) (2) ta có : AB + CD < BO + OD + CO + OA AB + CD < BD + AC (3) Tương tự, tam giác BCO ADO, ta có : AD + BC < BD + AC (4) Từ (3) (4) ta : AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) (đpcm) *) Nhận xét: 1) Từ bất đẳng thức (3) (4) ta thấy vế trái tổng hai cạnh tứ giác, vế phải tổng hai đường chéo Vậy phát biểu mệnh đề : “ Trong tứ giác giác lồi, tổng hai cạnh đối nhỏ tổng hai đường chéo” 2) Nếu tứ giác ABCD khơng lồi, hai bất đẳng thức có cịn khơng ? sao? Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD, Tronh AB + BD không lớn AC + C CD B Chứng minh : AB < AC O D Giải Gọi giao điểm AC BD O A Trong tam giác AOB, ta có : AB < AO + OB (1) Trong tam giác COD, ta có : CD < CO + OD (2) Từ (1) (2) ta có : AB + CD < BO + OD + CO + OA AB + CD < AC + BD (3) Theo giả thiết : AB + BD  AC + CD (4) Từ (3) (4) suy AB < AC.(đpcm) Ví dụ : Cho tứ giác lồi ABCD Gọi P Q trung điểm hai cạnh AD BC Chứng minh : PQ  DC  AB Gợi ý : B có bất đẳng thức độ dài đoạn A thẳng , nên kẻ đường phụ để có hình tam Q P D F C giác, lại có trung điểm cạnh, nên nhgĩ đến việc áp dụng định lí đường trung bình tam giác Giải GT Tứ giác ABCD PA = PD, QB = QC KL PQ  DC  AB CM: Ta kẻ thêm đường chéo AC lấy trung điểm F AC Trong tam giác ACD, PF đường trung bình, : PF = DC Trong tam giác ACD, PF đường trung bình : QF = AB Nếu P,Q F không thẳng hàng tam giác PQF ta có: PQ < PF + QF = DC  AB Nếu P, Q, F thẳng hàng F điểm nằm hai đoạn thẳng PQ ta có : PQ = PF + QF = DC  AB Như trường hợp, ta có : PQ  DC  AB ( đpcm) Nhận xét : Có thể thấy : P, Q, F thẳng hàng  AB//CD Do ta chứng minh : PQ  DC  AB Trong dấu = xảy AB//CD Như vậy, qua việc giải toán trên, ta chứng minh lúc hai định lí: (1) Nếu ABCD hình thang (AB//CD) PQ = CD  AB (2) Nếu ABCD khơng hình thang (AB//CD) PQ  CD  AB DC  AB PQ < 2 CÁC BÀI TẬP : Bài tập 1: Cho A, B, C, D bốn đỉnh tứ giác lồi,E điểm thuộc miền ttam giác OCD, với O giao điểm hai đoạn thẳng AC BD Chỉ tứ giác lồi nhận bốn năm điểm A, B, C, D, E Bài tập 2: Chứng minh từ năm điểm mặt phẳng(khơng có ba điểm thẳng hàng) Bao chọn bốn điểm đỉnh tứ giác lồi Bài tập 3: Chứng minh tứ giác lồi có góc khơng có góc tù Bài tập 4: Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD BC kéo dài gặp E, hai cạnh AB CD kéo dài gặp M Kẻ hai phân giác hai góc CED BMC cắt K tính góc EKM theo góc tứ giác ABCD  ...1 Định lí: Tổng gọc tứ giác 3600 *) Tìm hiểu sâu tứ giác giác lồi: Định lí : Trong tứ giác lồi , hai đường chéo cắt Đảo lại, tứ giác có hai đường chéo cắt tứ giác lồi ABCD lồi  ABCD có... j M đỉnh tứ giác lồi B A M'' C c) Đường thẳng qua hai điểm M N không cắt cạnh tam giác ABC Trong h 2c, đường thẳng MN không cắt giác MNCA tứ giác lồi(điểm N thuộc miền B M AC Tứ N tam giác MAC... thấy vế trái tổng hai cạnh tứ giác, vế phải tổng hai đường chéo Vậy phát biểu mệnh đề : “ Trong tứ giác giác lồi, tổng hai cạnh đối nhỏ tổng hai đường chéo” 2) Nếu tứ giác ABCD khơng lồi, hai bất