ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN VĂN THÌN TÍNH CHUẨN TẮC CỦA HỌ HÀM PHÂN HÌNH MỘT BIẾN VÀ BÀI TOÁN DUY NHẤT ĐỐI VỚI ĐA THỨC VI PHÂN Tai Lieu Chat Luong TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2016 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS TSKH Trần Văn Tấn PGS TS Hà Trần Phương Phản biện 1: GS TSKH Đỗ Đức Thái Phản biện 2: PGS TSKH Tạ Thị Hoài An Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp sở họp tại: Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên Vào hồi 30 ngày 10 tháng năm 2016 i Möc löc Mð Ưu Hồ chuân tưc cĂc hm phƠn hẳnh 11 1.1 Lỵ thuyát Nevanlinna cho hm phƠn h¼nh 11 1.2 Hồ chuân tưc cừa cĂc hm phƠn hẳnh 12 Mởt số nh lỵ kiu Lappan cho hm - chu©n t­c v  hå chu©n t­c 18 2.1 H m phƠn hẳnh - chuân tưc 18 2.2 nh lỵ kiu Lappan cho hồ chuân t­c 20 Sỹ nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh vợi a thực Ôo hm v 3.1 q - sai phƠn chung mởt hm nhọ Sỹ nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh vợi a thực Ôo hm chung mët h m nhä 3.2 24 24 Sü nh§t cõa c¡c h m phƠn hẳnh vợi a thực q - sai phƠn chung mët h m nhä Kát luên v à ngh 27 30 M Ưu Lỵ chồn à ti ữủc hẳnh thnh tứ nhỳng nôm Ưu cừa thá k XX, vợi nguỗn gốc tứ nhỳng cỉng tr¼nh cõa J Hadamard, E Picard, E Borel v  c biằt cổng trẳnh nôm 1925 cừa R Nevanlinna, Lỵ thuyát Nevanlinna luổn thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh toĂn hồc v ngoi nữợc, ngy cng Ôt ữủc nhiÃu kát quÊ sƠu sưc v cõ nhiÃu ùng dưng mët sè l¾nh vüc kh¡c cõa toĂn hồc nhữ hẳnh hồc phực, lỵ thuyát số Cốt lói cừa Lỵ thuyát Nevanlinna chừ yáu nơm hai dÔng nh lỵ, ữủc gồi l cĂc nh lỵ cỡ bÊn thự nhĐt v thự hai Sỹ kát hủp cừa hai nh lỵ ny cho ta thổng tin và sỹ phƠn bố giĂ tr cừa cĂc hm (Ănh xÔ) phƠn hẳnh Mội thnh tỹu Ôt ữủc và cĂc nh lỵ ny thữớng ko theo cĂc ựng dửng viằc nghiản cựu hm (Ănh xÔ) phƠn hẳnh Ngữủc lÔi  giÊi quyát nhiÃu bi toĂn và hm (Ănh xÔ) phƠn hẳnh, ta cụng cƯn xƠy dỹng nhỳng dÔng nh lỵ cỡ bÊn tữỡng thẵch Trong thỹc tá õ, chúng tổi chồn à ti Tẵnh chuân tưc cừa hồ hm phƠn hẳnh mởt bián v bi toĂn nhĐt ối vợi a thực vi phƠn  nghiản cựu hai ựng dửng tiảu biu v àp  cừa Lỵ thuyát Nevanlinna  giÊi quyát ữủc cĂc vĐn à luên Ăn, nhữ  bẳnh luên trản, khổng ch khai thĂc sỷ dửng cĂc kát quÊ  biát cừa Lỵ thuyát Nevanlinna, chúng tổi phÊi thiát lêp nhỳng dÔng nh lỵ cỡ bÊn thự hai phũ hủp vợi tẳnh cừa bi toĂn ang t Sau Ơy chúng tổi à cêp chi tiát hỡn và bối cÊnh nÊy sinh tứng vĐn à VĐn à nghiản cựu và hồ chuân tưc ữủc nguỗn tứ nhỳng nôm Ưu cừa thá k XX bơng cĂc cổng trẳnh cừa P Montel, G Julia, P Fatou Nôm 1912, P Montel ữa khĂi niằm hồ chuân tưc: Mởt hồ F cĂc hm phƠn hẳnh trản miÃn D C ữủc gồi l chuân tưc náu vợi mồi dÂy {fn } F luổn chựa mởt dÂy {fnk } hởi tử Ãu trản mội têp compact cừa D theo khoÊng cĂch cƯu tợi hm phƠn hẳnh f hoc Nôm 1931, F Marty ữa tiảu chuân quan trồng nhên biát hồ chuân tưc: Mởt hồ F cĂc hm phƠn hẳnh f trản mởt miÃn D C l chuân tưc náu v ch náu trản mội têp compact K cừa D, Ôo h m c¦u |f (z)| # cõa f bà ch°n bði mët h¬ng sè C(K) phư thc K f (z) = + |f (z)|2 nh÷ng khỉng phư thc v o f Nguyản lỵ Bloch nõi rơng: Mội nh lỵ kiu Picard (tiảu chuân cho mởt hm l hơng) Ãu tữỡng ựng vợi mởt tiảu chuân hồ chuân tưc Nhơm trin khai nguyản lỵ Bloch, nôm 1975, L Zalcman ữa kát quÊ chuyn sỹ kim tra mởt hồ chuân tưc và viằc ch sỹ khổng tỗn tÔi cĂc dÂy nhiạu hởi tử Ãu trản cĂc têp compact tợi mởt hm khĂc hơng Nôm 1998, xem xt lÔi vĐn à trản v Ôt ữủc kát quÊ quan trồng sau: Cho hồ F cĂc hm phƠn hẳnh xĂc nh trản ắa ỡn v U cho mồi khổng iºm cõa c¡c h m hå F câ bëi ½t nhĐt p v mồi cỹc im cõ ẵt nhĐt q Cho α l  sè thüc thäa m¢n −p < α < q Khi â hå F khỉng chu©n t­c tÔi z0 U náu v ch náu tỗn tÔi sè thüc < r < 1, d¢y iºm zn : |zn | < r v  zn → z0 , dÂy hm fn F v dÂy số thỹc dữỡng ρn → 0+ cho gn (ξ) = ραn fn (zn + ρn ξ) hëi tö ·u theo kho£ng c¡ch cƯu trản mội têp compact cừa C án g(), õ g l hm phƠn hẳnh khĂc hơng trản C, måi khæng iºm v  cüc iºm cõa g câ tữỡng ựng ẵt nhĐt p v q Hỡn nỳa g # (ξ) ≤ g # (0) = K¸t quÊ trản thữớng ữủc gồi l Bờ à Zalcman  ỵ rơng, phừ nh kát luên Bờ à Zalcman, ta thu ữủc hm hởi tử g l hơng Trong â mët nhúng ùng dưng µp ³ cừa Lỵ thuyát Nevanlinna l nõ cho ta tiảu chuân  kim tra mởt hm l hơng, chng hÔn tứ nh lỵ cỡ bÊn thự nhĐt v nh lỵ cỡ bÊn thự hai, ta dng nhên lÔi nh lỵ Picard b: Mởt hm phƠn hẳnh trản mt phng phực l hm hơng náu nõ khổng nhên ba giĂ tr phƠn biằt Nhữ vêy, Bờ à Zalcman l cƯu nối quan trồng thuên tiằn cho viằc sỷ dửng Lỵ thuyát Nevanlinna vo nghiản cựu Lỵ thuyát hồ chuân tưc Theo quan im nảu trản cừa Bloch, nh lỵ Picard b ựng vợi tiảu chuân chuân tưc sau cừa Montel: Mởt hồ F cĂc hm phƠn hẳnh trản miÃn D l chuân tưc náu mội hm hồ bọ qua ba giĂ tr phƠn biằt cho trữợc no õ Nhơm l m gi£m sè gi¡ trà m  h m bä qua nh lỵ Picard b, nôm 1959, W Hayman  chựng minh mởt nh lỵ kiu Picard cho hm v Ôo hm: Mởt hm phƠn hẳnh f l hm hơng náu f khổng Ơu triằt tiảu v f (k) khổng nhên giĂ tr 1, õ k l số nguyản dữỡng cho trữợc Dỹa theo nguyản lỵ Bloch, W Hayman  ữa giÊ thuyát và tẵnh chuân tưc cừa hồ cĂc hm phƠn hẳnh tữỡng ựng vợi nh lỵ trản Kát hủp tiảu chuân Marty v Lỵ thuyát Nevanlinna, D Drasin  trÊ lới giÊ thuyát ny trữớng hủp hå c¡c h m ch¿nh h¼nh Sau â, Y X Gu  trÊ lới giÊ thuyát cừa Hayman nhữ sau: Cho k l số nguyản dữỡng, mởt hồ F cĂc hm phƠn hẳnh f trản miÃn D mt phng phực, khổng Ơu triằt tiảu s chuân tưc náu f (k) 6= (Ôo hm cĐp k cừa f khổng nhên giĂ tr 1) vợi mồi f F Chú ỵ rơng kát quÊ cừa Gu, hm cƯn trĂnh tợi hai gi¡ trà (méi f v  f (k) tr¡nh mët gi¡ trà) Trong mët sü cè g­ng nh¬m gi£m sè im xuống mởt, nôm 1989, W Schwick Ôt ữủc kát quÊ tữỡng tỹ m õ iÃu kiằn trản và Ôo hm ữủc thay thá bi (f n )(k) 6= 1, vợi n, k l số tỹ nhiản cho trữợc thọa mÂn n k + Trong trữớng hủp hå c¡c h m ch¿nh h¼nh, Schwick chùng minh i·u ki»n n ≥ k + câ thº gi£m th nh n ≥ k + N«m 2010, J M Chang cơng  tờng quĂt kát quÊ cừa Gu v nhên ữủc kát quÊ: Hồ F cĂc hm phƠn hẳnh khổng cõ khổng im trản miÃn D s chuân tưc náu f (k) cõ nhiÃu nhĐt k khổng im phƠn bi»t vỵi méi f ∈ F, â k l  số nguyản dữỡng NhiÃu cổng trẳnh cừa cĂc tĂc giÊ kh¡c nh÷ X C Pang v  L Zalcman, M L Fang v  L Zalcman, P C Hu v  D W Meng, L Yang, W Bergweiler v  J K Langley cụng  nghiản cựu tiảu chuân cho hồ chuân tưc cĂc hm phƠn hẳnh dữợi iÃu kiằn khổng im cừa cĂc a thực Ôo hm cử th Trong bối cÊnh nhữ vêy, chúng tổi t vĐn à thự nhĐt luên Nghiản cựu tiảu chuân cho hồ chuân tưc ựng vợi iÃu kiằn trản a thực Ôo hm tờng quĂt VĐn à ny ữủc giÊi quyát Chữỡng Ăn l: cừa luên Ăn Liản quan cht ch tợi kh¡i ni»m hå chu©n t­c l  kh¡i ni»m h m chu©n tưc, nõ ữủc bưt Ưu nghiản cựu tứ cĂc cổng tr¼nh cõa K Noshiro, O Lehto v  K L Virtanen Mởt hm phƠn hẳnh f trản ắa ỡn v U ữủc gồi l chuân tưc náu hồ {f : T } chuân tưc trản U, õ T l têp tĐt cÊ cĂc Ănh xÔ bÊo gi¡c cõa U v o ch½nh nâ Lehto v  Virtanen ch¿ rơng: Hm phƠn hẳnh f trản ắa ỡn v U ⊂ C l  chu©n t­c v  ch¿ supz∈U (1 − |z|2 )f # (z) < ∞ K½ hiằu N l têp cĂc hm phƠn hẳnh chuân tưc trản U Và ỵ nghắa hẳnh hồc, vợi mởt hm |z − w| chu©n t­c f, ta ln câ χ(f (z), f (w)) ≤ ||f ||N supξ∈[z,w] , − |ξ|2 â ||f ||N = supz∈U (1 − |z|2 )f # (z) Quan sĂt kát quÊ trản cừa Lehto v Virtanen, C Pommerenke  ữa cƠu họi: Cho số thỹc M > 0, liằu cõ tỗn tÔi têp E hỳu hÔn cho vợi mội hm phƠn hẳnh f trản ắa ỡn v U thọa mÂn iÃu kiằn (1 − |z|2 )f # (z) ≤ M vỵi måi z f (E) thẳ f l hm chuân tưc? Nôm 1974, P Lappan  trÊ lới mÔnh m cho cƠu họi trản, ch tỗn tÔi têp E C gỗm im phƠn biằt Nôm 1995, A Hinkkanen v P Lappan  ởc lêp chựng minh kát quÊ tữỡng tỹ cho hồ chuân tưc: Mởt hồ F cĂc hm phƠn hẳnh trản miÃn D C l chuân tưc v ch vợi mội têp compact K D, tỗn tÔi têp E C chựa im phƠn biằt v hơng số dữỡng M cho sup{f # (z) : f ∈ F, z ∈ f −1 (E) ∩ K} < M V§n à nghiản cựu chẵnh thự hai luên Ăn l: Thiát lêp cĂc dÔng nh lỵ Lappan cho trữớng hủp ẵt hỡn im VĐn à ny ữủc giÊi quyát Chữỡng cừa luên Ăn Viằc nghiản cựu sỹ xĂc nh nhĐt hm phƠn hẳnh dữợi iÃu kiằn và nghch Ênh cừa mởt têp hủp im ữủc nguỗn tứ cổng trẳnh cừa Nevanlinna nôm 1926, chựng minh rơng: Náu hai hm phƠn hẳnh trản mt phng phực cõ Ênh ngữủc khổng tẵnh cừa im phƠn biằt thẳ chúng trũng v chúng l biu diạn phƠn tuyán tẵnh cừa náu cõ Ênh ngữủc tẵnh cÊ cừa im phƠn biằt K tứ õ, vĐn à ny thu hút ữủc sü quan t¥m cõa nhi·u nh  to¡n håc v  ngoi nữợc nhữ: H H KhoĂi, D D ThĂi, T V TĐn, T T H An, H T Phữỡng, S  Quang, V H An, G Gundersen, C C Yang, M Shirosaki, S Mori Khi x²t b i to¡n nhĐt hm phƠn hẳnh dữợi iÃu kiằn nghch Ênh cừa a thực Ôo hm dÔng f n f , n«m 1997, C C Yang v  X H Hua chùng minh rơng: Náu hai hm phƠn hẳnh f v g khĂc hơng cho cĂc a thực Ôo hm f n f −1 v  g n g −1 cõ khổng im tẵnh cÊ (vợi n nguyản dữỡng no õ, n 11) thẳ f = c1 ecz v  g = c2 e−cz ho°c f = tg, â c¡c h¬ng sè c1 , c2 , c v  t thäa m¢n 4(c1 c2 )n+1 c2 = −1, tn+1 = Kº tø ¥y, nhi·u nh  to¡n håc  thu ữủc cĂc kát quÊ theo hữợng nghiản cựu ny cho cĂc dÔng a thực Ôo hm khĂc nhau: K Boussaf, A Escassut v  J Ojeda, R S Dyavanal, J Grahl v  S Nevo, C C Yang v  H X Yi, M L Fang, Chó ỵ rơng xt nhỳng dÔng a thực Ôo hm khĂc nhau, cĂc tĂc gi cụng  thiát lêp ữủc cĂc kiu nh lỵ cỡ bÊn thự hai tữỡng thẵch Nôm 2007, Lỵ thuyát Nevanlinna  ữủc nghiản cựu cho toĂn tỷ q - sai phƠn cổng trẳnh cừa R G Halburd v  c¡c cëng sü Kº tø â, viằc nghiản cựu ựng dửng cừa Lỵ thuyát Nevanlinna cho toĂn tỷ q - sai phƠn  thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh toĂn hồc trản thá giợi nhữ J Zhang v R Korhonen, A Fletcher, J K Langley v  J Meyer, T B Cao, K Liu v  N Xu, K Liu v  X Qi Hi»n nay, cĂc nghiản cựu theo hữợng ny têp trung vo cĂc vĐn Ã: sỹ nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh kát hủp vợi a thực q - sai phƠn, phƠn bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai phƠn, phữỡng trẳnh q - sai phƠn Và vĐn à ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai phƠn, nôm 2010, J Zhang v R Korhonen chựng minh mởt kát quÊ phƠn bố giĂ tr kiu Hayman cho a thực q - sai phƠn dÔng f n (z)f (qz) ỗng thới cĂc cụng chựng minh kát quÊ nh§t kiºu Yang - Hua cho a thùc q - sai ph¥n: Cho f (z) v  g(z) l  hai hm phƠn hẳnh (nguyản) siảu viằt vợi bêc khổng GiÊ sû r¬ng q l  h¬ng sè phùc kh¡c khỉng v  n l mởt số nguyản dữỡng thọa mÂn n (n ≥ 6) N¸u f n (z)f (qz) − v  g n (z)g(qz) − câ còng sè khỉng iºm v  cüc iºm kº c£ bëi th¼ f tg, õ t l hơng số thọa mÂn tn+1 = N«m 2015, Q Zhao v  J Zhang chùng minh r¬ng: (f n (z)f (qz + c))(k) − cõ vổ hÔn khổng im náu f (z) l hm phƠn hẳnh siảu viằt vợi bêc khổng, õ q 6= 0, c l  c¡c sè phùc v  n, k l cĂc số nguyản dữỡng thọa mÂn n > k + Hìn núa, Q Zhao v  J Zhang cụng chựng minh nh lỵ nhĐt tữỡng ựng: Náu hai hm nguyản siảu viằt f (z) v g(z) vợi bêc khổng thọa mÂn (f n (z)f (qz + c))(k) − v  (g n (z)g(qz + c))(k) − câ cịng sè khỉng iºm kº c£ bëi th¼ f ≡ tg, â q 6= 0, c l  c¡c số phực, n, k l cĂc số nguyản dữỡng v t l hơng số thọa mÂn tn+1 = 1, n > 2k + VĐn à nghiản cựu thự ba luên Ăn l: M rởng kát quÊ cừa Zhao v  Zhang thay f n bði mët a thùc P (f ) VĐn à ny ữủc giÊi quyát Chữỡng cừa luên Ăn Mửc ẵch cừa à ti luên Ăn 2.1 Mửc ẵch thự nhĐt cừa à ti luên Ăn l thiát lêp tiảu chuân chuân tưc cho hồ cĂc hm phƠn hẳnh ối vợi trữớng hủp a thực Ôo hm tờng quĂt, thay vẳ cĂc a thực Ôo hm cử th nhữ cĂc tĂc giÊ i trữợc 2.2 Mửc ẵch thự hai cừa à ti luên Ăn l thiát lêp tiảu chuân chuân tưc cho hm phƠn hẳnh v cho hồ cĂc hm phƠn hẳnh dữợi iÃu kiằn Ôo hm cƯu b chn trản têp tÔo £nh cõa mët sè gi¡ trà 2.3 Mưc ½ch thù ba cừa à ti luên Ăn l nghiản cựu bi toĂn xĂc nh nhĐt hm phƠn hẳnh dữợi iÃu kiằn Ênh ngữủc cừa a thực Ôo hm v q - sai ph¥n, ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai phƠn kát hủp vợi Ôo hm ối tữủng v phÔm vi nghiản cựu Hồ chuân tưc cừa cĂc hm phƠn hẳnh, hm phƠn hẳnh chuân tưc, bi toĂn nhĐt hm phƠn hẳnh vợi a thực Ôo hm v q - sai phƠn, phƠn bè gi¡ trà cõa a thùc q - sai ph¥n kát hủp Ôo hm Phữỡng phĂp v cổng cử nghiản cựu Luên Ăn sỷ dửng cĂc phữỡng phĂp v k thuêt cừa GiÊi tẵch phực mởt bián, Lỵ thuyát Nevanlinna ị nghắa khoa hồc Luên Ăn gõp phƯn lm sƠu sưc thảm nhỳng nghiản cựu và ựng dửng cừa Lỵ thuyát Nevanlinna cĂc bi toĂn và hồ chuân tưc, hm chuân tưc, bi toĂn nhĐt hm phƠn hẳnh v phƠn bố giĂ tr cừa a thực Ôo hm CĐu trúc v kát quÊ luên Ăn Ngoi cĂc phƯn m Ưu, kát luên, ti liằu tham khÊo, Luên Ăn ữủc chia lm ba chữỡng tữỡng ựng vợi ba vĐn à nghiản cựu chẵnh: Chữỡng dnh cho viằc nghiản cựu tiảu chuân chuân tưc cho hồ cĂc hm phƠn hẳnh dữợi iÃu kiằn và têp khổng im cừa a thực Ôo hm Trong chữỡng ny, chúng tổi nghiản cựu hồ chuân tưc theo quan im cừa Bloch Bê · Zalcman âng vai trá quan trång c¡c k¸t qu£ cõa chóng tỉi º chùng minh c¡c kát quÊ cừa mẳnh, mởt mt chúng tổi thiát lêp cĂc nh lỵ kiu Picard, mt khĂc chúng tổi phÊi sỷ lỵ khõ khôn gp phÊi viằc Ăp dửng Bờ à Zalcman tẳnh nh lỵ kiu Picard cừa chúng tổi khổng cho tiảu chuân hm hơng nh lỵ 1.8, nh lỵ 1.10 v nh lỵ 1.12 l cĂc tiảu chuân cho hồ chuân tưc cừa cĂc hm phƠn hẳnh, chnh hẳnh dữợi iÃu kiằn khổng im cừa a thực Ôo hm tờng quĂt Trong nh lỵ 1.8, cho q = v  `1 = +∞, chóng tỉi nhên ữủc Hằ quÊ 1.9 Khi n = 0, k = 1, Hằ quÊ 1.9 nhên lÔi kát quÊ cừa Schwick cho hồ cĂc hm phƠn hẳnh Trong nh lỵ 1.10, cho q = v  `1 = +∞, chóng tổi nhên ữủc Hằ quÊ 1.11 Hằ quÊ 1.11 v nh lỵ 1.12 l tờng quĂt kát quÊ cừa Schwick cho hồ cĂc hm nguyản Nhữ vêy nh lỵ 1.8, nh lỵ 1.10 v nh lỵ 1.12 l nhỳng m rëng 13 Cho q (q ≥ 1) gi¡ trà phùc ph¥n bi»t kh¡c khỉng a1, , aq v q số nguyản dữỡng (hoc + ) `1, , `q Cho n l  mët sè nguyản khổng Ơm v cho n1, , nk , t1, , tk l  c¡c số nguyản dữỡng (k 1) Cho F l mởt hồ cĂc hm phƠn hẳnh xĂc nh trản miÃn D m°t ph¯ng phùc cho vỵi måi f ∈ F v  vỵi måi m ∈ {1, , q}, måi khæng iºm cõa f n(f n )(t ) · · · (f n )(t ) − am cõ ẵt nhĐt `m GiÊ sỷ rơng a) nj ≥ tj vỵi måi j k, v  `i ≥ vỵi måi i q; P nh lỵ 1.8 Pq i=1 `i b) < k k qn−2+ kj=1 q(nj −tj ) P n+ kj=1 (nj +tj ) Khi â hå F l chuân tưc trản D Cho q = v `1 = +, chúng tổi nhên ữủc hằ quÊ sau ¥y Cho a l  mët sè phùc kh¡c khỉng, cho n l mởt số nguyản khổng Ơm v n1, , nk , t1, , tk l cĂc số nguyản dữỡng Cho F l mởt hồ cĂc hm phƠn hẳnh trản miÃn D cho måi f ∈ F, f n(f n )(t ) · · · (f n )(t )− a khỉng ¥u tri»t tiảu trản D GiÊ sỷ rơng a) nj tj vỵi måi j k; H» qu£ 1.9 1 k Pk n ≥ + j j=1 tj j=1 Khi â hå F l  chu©n t­c tr¶n D Trong H» qu£ 1.9, cho k = 1, n = 0, chúng tổi nhên lÔi kát quÊ cừa Schwick cho hồ cĂc hm phƠn hẳnh Trong nh lỵ 1.8, F l  hå c¡c h m nguy¶n, chóng tỉi chựng minh cĂc kát quÊ sau nh lỵ 1.10 Cho q (q ≥ 1) gi¡ trà phùc ph¥n bi»t kh¡c khæng a1 , , aq v  q số nguyản dữỡng (hoc +) `1, , `q Cho n l mởt số nguyản khổng Ơm v  cho n1, , nk , t1, , tk l cĂc số nguyản dữỡng (k ≥ 1) Cho F l  mët hå c¡c h m chnh hẳnh xĂc nh trản miÃn D cừa mt phng phùc cho vỵi måi f ∈ F v  vỵi måi m ∈ {1, , q}, måi khæng iºm cõa f n(f n1 )(t1) · · · (f nk )(tk ) am cõ ẵt nhĐt `m Gi£ sû b) n + Pk r¬ng a) nj ≥ tj vỵi måi j k, P Pq qn−1+ kj=1 q(nj −tj ) P b) i=1 `i < n+ k n j=1 j v  `i ≥ vỵi måi i q; k 14 Khi õ hồ F l chuân tưc trản D H» qu£ 1.11 Cho a l  sè phùc kh¡c khæng, cho n l số nguyản khổng Ơm v n1, , nk , t1, , tk l cĂc số nguyản dữỡng Cho F l mởt hồ cĂc hm chnh hẳnh xĂc nh trản D cho måi f ∈ F, f n(f n )(t ) · · · (f n )(t ) −a khỉng ¥u triằt tiảu trản D GiÊ sỷ rơng a) nj tj vỵi måi j k; b) n + Pk j=1 nj ≥2+ k k Pk j=1 tj Khi â hå F l  chu©n t­c tr¶n D Trong H» qu£ 1.11, cho k = 1, n = 0, chúng tổi nhên lÔi kát quÊ cừa Schwick cho hồ cĂc hm chnh hẳnh ngoÔi trứ trữớng hđp n = k + Ti¸p theo, chóng tỉi ữa chựng minh mợi ỡn gian hỡn kát quÊ cõa Schwick tr÷íng hđp n = k + Cho k l mởt số nguyản dữỡng v a hơng sè kh¡c khæng Cho F l  mët hå c¡c h m chnh hẳnh xĂc nh trản miÃn D cừa mt phng phùc cho vỵi måi f ∈ F, (f k+1)(k)(z) 6= a trản D Khi õ hồ F chuân tưc trản D nh lỵ 1.12 Nhữ vêy Hằ quÊ 1.11 v nh lỵ 1.12 l m rởng kát quÊ cừa Schwick cho hồ cĂc hm chnh hẳnh Nhên xt 1.7 nh lỵ 1.8 v nh lỵ 1.10 văn úng thay f n (f n1 )(t1 ) · · · (f nk )(tk ) bi a thực Ôo hm tờng qu¡t n n1 (t1 ) H(f ) = f (f ) nk (tk ) · · · (f ) + X cI f nI (f n1I )(t1I ) · · · (f nkI )(tkI ) , I â cI l cĂc hm chnh hẳnh trản D v nI , njI , tjI l cĂc số nguyản khổng Ơm thọa m¢n Pk t j=1 tj j=1 jI 4m + 9k + 14 Cho P (z) = am z m + am−1 z m−1 + · · · + a1 z + a0 ho°c P (z) ≡ c0 , â a0 6= 0, a1 , , am−1 , am 6= 0, c0 6= l cĂc hơng số phực Náu [f nP (f )](k) v  [gnP (g)](k) chung a(z) − IM th¼ mët c¡c kh¯ng ành sau l  óng: (i) Khi P (z) = am z m + am−1 z m−1 + · · · + a1 z + a0 , mët hai kh¯ng ành sau óng: (i1) f (z) = tg(z) vợi t l hơng số thọa m¢n td = 1, â d = (n + m, , n + m − i, , n), am−i 6= vỵi i ∈ {0, 1, , m}, (i2) f v g thọa mÂn phữỡng trẳnh Ôi số R(f, g) = 0, â R(w1 , w2 ) = w1n (am w1m + am−1 w1m−1 + · · · + a0 ) − w2n (am w2m + am−1 w2m−1 + · · · + a0 ); (ii) Khi P (z) ≡ c0 , f (z) = tg(z) vỵi t (iii) [f n P (f )](k) [g n P (g)](k) = a2 (z) l hơng số thọa mÂn tn = 1; 26 Hỡn nỳa náu max{1, 2} < thẳ (iii) khæng x£y ra, â 2m m+1 2k + m + + +1 n + m − 2k n + m + 2k n + m + k − δk) (0, P (f )) − δk−1) (0, P (f )), 2m m+1 2k + m χ2 = + + +1 n + m − 2k n + m + 2k n + m + k − δk) (0, P (g)) − δk−1) (0, P (g)) χ1 = Trong ph¦n n y chúng tổi xem xt nh lỵ nhĐt cừa Ling - Jie - Zuxing t¼nh hng khỉng câ i·u ki»n max{χ1 , χ2 } < èi vỵi mët lợp a thực P Cử th, chúng tổi nghiản cựu bi toĂn nhĐt cho a thực Ôo hm cõ dÔng [f n P (f )](k) , õ P (z) = (z − b1 )m1 (z − bv )mv Q(z), v, mi , i = 1, , v l cĂc số nguyản dữỡng v Q(z) l mởt a thực nh lỵ 3.10 Cho f (z) v g(z) l hai hm phƠn hẳnh siảu vi»t m  måi khæng iºm v  cüc iºm câ bëi ½t nh§t s v  p, â s v  p l cĂc số nguyản dữỡng Cho (z) Mf (C) T Mg (C), a(z) 6≡ v  n, m, v v k > l bốn số nguyản dữỡng thọa m¢n 4k + 5k + n > k + 1, n > + + 4m p s Cho a thùc P (z) = am z m + am−1 z m−1 + · · · + a1 z + a0 = (z − b1 )m1 (z − bv )mv Q(z), â mi > k +1 vỵi måi i = 1, , v, v > 1+ p1 , m = deg Q+ Pvi=1 mi v  a0 6= 0, a1, , am−1, am 6= l  c¡c h¬ng sè phùc Gi£ sû [f nP (f )](k) v  [gnP (g)](k) chung α(z)−IM, â f (z) ≡ tg(z) vỵi t l  hơng số thọa mÂn td = 1, õ d = (n + m, , n + m − i, , n), am−i 6= vỵi i ∈ {0, 1, , m} hoc f v g thọa mÂn phữỡng trẳnh Ôi sè R(f, g) = 0, â R(w1 , w2 ) = w1n (am w1m + am−1 w1m−1 + · · · + a0 ) − w2n (am w2m + am−1 w2m−1 + · · · + a0 ) 27 Nhªn x²t 3.1 i·u ki»n max{χ1 , χ2 } < câ thº bä qua mët lỵp a thùc P m  k¸t qu£ cõa Ling - Jie - Zuxing văn cỏn úng 3.2 Sỹ nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh vợi a thực q - sai phƠn chung mët h m nhä Trong ph¦n n y, chóng tỉi nghiản cựu phƠn bố giĂ tr cừa a thực q sai phƠn v sỹ nhĐt cừa cĂc hm phƠn hẳnh vợi a thực q - sai phƠn chung mởt hm nhọ Cho f (z) l hm phƠn hẳnh (nguyản) siảu viằt vợi bêc khổng, q v c l c¡c h¬ng sè phùc, q 6= v  cho k l số nguyản dữỡng Cho a thực P (z) = anz n + an−1z n−1 + · · · + a1z + a0 vỵi c¡c h» sè a0 , a1 , , an−1 , an 6= v  m l  sè khỉng iºm ph¥n bi»t cõa P (z) Gi£ sû r¬ng n ≥ m(k + 1) + (n ≥ m(k + 1) + 3), â (P (f (z))f (qz + c))(k) − a(z) câ væ hÔn khổng im, õ a(z) l hm nhọ cừa f nh lỵ 3.14 Nhên xt 3.2 Trong nh lỵ 3.14, m = 1, chúng tổi nhên lÔi kát quÊ cừa Zhao v Zhang Cho k l số nguyản dữỡng, f (z) l hm phƠn hẳnh siảu viằt vợi bêc khổng Cho q, c l cĂc số phùc â q 6= v  a thùc P (z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 vỵi c¡c h» sè a0 , a1 , , an−1 , an 6= Gåi m l  sè c¡c khỉng iºm ph¥n bi»t cõa P (z) Gi£ sû r¬ng n ≥ m + 3, (k) â (P (f (z))f (qz + c)) − câ væ hÔn khổng im nh lỵ 3.15 Nhên xt 3.3 Trong nh lỵ 3.15, m = 1, n 5, chúng tổi nhên ữủc mởt cÊi tián kát quÊ cừa Zhao v  Zhang Hìn núa sè n khỉng phư thc vo k Zhao v Zhang chựng minh nh lỵ 3.15 óng vỵi n > k + m = Cho f (z) v  g(z) l  hai h m ph¥n hẳnh (hm nguyản) siảu viằt vợi bêc khổng, q 6= 0, c l  c¡c sè phùc v  k l  sè nguyản dữỡng Cho nh lỵ 3.16