BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ Vũ Chí Cường MỘT LỚP THUẬT TỐN PHỎNG TIẾN HĨA SINH HỌC Tai Lieu Chat Luong DỰA TRÊN THƠNG TIN ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TỐN ĐA CỰC TRỊ LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Cơ sở toán học tin học Mã số: 62.46.01.10 Hà Nội - Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ Vũ Chí Cường MỘT LỚP THUẬT TỐN PHỎNG TIẾN HĨA SINH HỌC DỰA TRÊN THƠNG TIN ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TỐN ĐA CỰC TRỊ Chun ngành: Cơ sở tốn học tin học Mã số: 62.46.01.10 LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI THU LÂM Hà Nội - Năm 2016 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tác giả hướng dẫn khoa học PGS.TS Bùi Thu Lâm Các kết công bố với tác giả khác đồng ý đồng tác giả trước đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Hà Nội, tháng năm 2016 Nghiên cứu sinh Vũ Chí Cường LỜI CẢM ƠN Luận án thực Bộ môn Công nghệ phần mềm, Khoa Công nghệ thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự hướng dẫn khoa học PGS.TS Bùi Thu Lâm Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ kính trọng cảm ơn chân thành đến thầy giáo hướng dẫn: PGS.TS Bùi Thu Lâm, người định hướng để tác giả tiếp cận lĩnh vực nghiên cứu mẻ, khó khăn đầy tiềm Thầy cung cấp đầy đủ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học vô quý báu, thầy người động viên, khích lệ tác giả suốt q trình nghiên cứu để tác giả hồn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn tập thể cán bộ, giảng viên Bộ môn Công nghệ phần mềm, Khoa Cơng nghệ thơng tin Phịng Đào tạo Sau đại học, Học viện Kỹ thuật Quân tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Học viện Tác giả xin cảm ơn tập thể cán bộ, giảng viên Khoa Công nghệ thông tin Trung tâm Công nghệ thông tin, Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thời gian để tác giả thực kế hoạch nghiên cứu hoàn thành luận án tiến độ Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến bậc sinh thành kính mến người thân gia đình, đặc biệt người vợ thủy chung hai thân thương dành tình cảm nồng ấm, sẻ chia ủng hộ tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu xa nhà Luận án quà quý giá tác giả xin đáp lại ân tình bạn bè, đồng nghiệp niềm tin tưởng, yêu thương tất người Một lần xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2016 Nghiên cứu sinh Vũ Chí Cường Mục lục Trang Danh sách ký hiệu, chữ viết tắt Danh sách bảng Danh sách hình vẽ 10 Lời mở đầu 11 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 15 1.1 Mở đầu 15 1.2 Tối ưu hóa 15 1.3 Thuật tốn tiến hóa 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 Cách biểu diễn di truyền lời giải toán Cách khởi tạo quần thể ban đầu Cách đánh giá cá thể Các phép tốn tiến hóa Điều kiện dừng thuật toán 19 20 21 22 22 23 1.4 Kết luận 25 NHỮNG NỘI DUNG NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN 27 2.1 Mở đầu 27 2.2 Các thuật tốn tìm kiếm dựa thơng 2.2.1 Thuật tốn tìm kiếm đơn hình (Simplex Search) 2.2.2 Thuật tốn tìm kiếm phân tán (Scatter Search) 2.2.3 Tối ưu bầy đàn (Particle Swarm Optimization) 2.2.4 Tiến hóa vi phân (Differential Evolution) tin định hướng 28 28 30 32 34 2.3 Phương pháp niching 38 2.3.1 Phương pháp chia sẻ giá trị đánh giá (Fitness sharing) 38 2.3.2 2.3.3 2.3.4 40 Phương pháp dựa vào loài (Species-based) 42 Phương pháp phân cụm (Clustering-based) 44 Phương pháp đám đông (Crowding) 2.4 Kỹ thuật song song 2.4.1 Mơ hình master/slave 2.4.2 Mơ hình island 2.4.3 Mơ hình tế bào (cellular) 2.4.4 Mơ hình lai (hybrid) 2.4.5 hóa thuật tốn tiến hóa Kỹ thuật đồng tiến hóa hợp tác (cooperation co-evolution) 47 47 48 49 50 51 2.5 Kết luận 52 THUẬT TOÁN TIẾN HĨA DỰA TRÊN THƠNG TIN ĐỊNH HƯỚNG 54 3.1 Mở đầu 54 3.2 Thuật toán DEAL 3.2.1 Độ phức tạp tính tốn 3.2.2 Các tùy chọn bước nhảy định hướng 3.2.3 Các chiến lược lai ghép 3.3 Song song DEAL với kỹ thuật đồng 3.3.1 Mơ hình song song 3.3.2 Thuật toán song song 3.3.3 Thời gian thực thi hệ số tăng tốc tiến 56 59 60 60 hóa hợp tác 61 61 63 65 3.4 Đánh giá thực nghiệm 69 3.4.1 Thực nghiệm DEAL MDEAL 69 3.4.2 Thực nghiệm DEAL song song 76 3.5 Kết luận 81 THUẬT TỐN TIẾN HĨA DỰA TRÊN THƠNG TIN ĐỊNH HƯỚNG VỚI BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA CỰC TRỊ 83 4.1 Mở đầu 83 4.2 DEAL với phương pháp Fitness Sharing 84 4.3 DEAL với phương pháp Crowding 85 4.4 DEAL với phương pháp Species-based 86 4.5 DEAL với phương pháp Clustering-based 88 4.6 Thực nghiệm 4.6.1 Môi trường thực nghiệm 4.6.2 Thực nghiệm 1: Hiệu SharingDEAL 4.6.3 Thực nghiệm 2: Hiệu CrowdingDEAL 4.6.4 Thực nghiệm 3: Hiệu SpeciesDEAL 4.6.5 Thực nghiệm 4: Hiệu NBCDEAL 4.6.6 So sánh thuật toán đề xuât 91 91 93 96 101 106 111 4.7 Kết luận 116 Kết luận 117 Danh sách cơng trình tác giả 119 Tài liệu tham khảo 120 Phụ lục 131 A CÁC SƠ ĐỒ THUẬT TỐN 131 A.1Thuật tốn Simplex Search 132 A.2Thuật toán Scatter Search 133 A.3Thuật toán Particle Swarm Optimization 134 B CÁC BÀI TỐN THỰC NGHIỆM MẪU 135 B.1Các tốn tối ưu 135 B.2Các toán tối ưu đa cực trị 139 Danh sách ký hiệu, chữ viết tắt Ký hiệu Diễn giải ACO Thuật tốn tối ưu hóa đàn kiến AIS Hệ miễn nhiễm nhân tạo CC Kỹ thuật đồng tiến hóa hợp tác (Cooperative Coevolution) CF Tham số Crowding Factor phương pháp Crowding CrowdingDEAL Thuật toán DEAL với phương pháp Crowding D Số chiều hàm mục tiêu (hàm đánh giá) DE Thuật tốn tiến hóa vi phân DEAL Thuật tốn tiến hóa dựa thơng tin định hướng Thuật tốn tiến hóa (Evolutionary Algorithm) EA EDA Thuật toán ước lượng thuật toán phân phối EP Quy hoạch tiến hóa (Evolutionary Programming) Chiến lược tiến hóa (Evolution Strategies) ES ETS Tập cá thể ưu tú (Elite Set) GA Giải thuật di truyền (Genetic Algorithm) GP Lập trình di truyền (Genetic Programming) M axGens Số hệ tối đa M axF Es Số lần tính giá trị hàm đánh giá tối đa (Maximum Fitness Evaluations) Thuật toán DEAL theo chiến lược lai ghép cải tiến MDEAL N , P opSize Kích thước quần thể NBC Kỹ thuật phân cụm Nearest-better Clustering NBCDEAL Thuật toán DEAL với phương pháp Clustering-based PCCDEAL Thuật tốn song song hóa DEAL theo kỹ thuật CC PSO Thuật toán tối ưu bầy đàn SharingDEAL Thuật toán DEAL với phương pháp Fitness Sharing SpeciesDEAL Thuật toán DEAL với phương pháp Species-based SSS Tập cá thể hạt giống (Species Seed Set) Danh sách bảng 3.1 3.2 3.3 Danh sách toán thực nghiệm cho DEAL Thời gian thực thi thuật tốn DEAL (Đơn vị tính: giây) So sánh giá trị tối ưu trung bình theo tùy chọn bước nhảy định hướng 3.4 So sánh hai chiến lược lai ghép 3.5 So sánh DEAL với thuật toán khác 3.6 Danh sách toán thực nghiệm cho DEAL song song 3.7 Thời gian thực thi với Evolution_Cycle = (ĐVT: giây) 3.8 Thời gian thực thi với Evolution_Cycle = (ĐVT: giây) 3.9 Thời gian thực thi với Evolution_Cycle = 10 (ĐVT: giây) 3.10 Giá trị tối ưu trung bình PCCDEAL 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 70 70 Danh sách toán thực nghiệm Kết thực nghiệm SharingDEAL So sánh SharingDEAL với thuật toán khác Kết thực nghiệm CrowdingDE Kết thực nghiệm CDE Kết thực nghiệm CrowdingDEAL Thống kê số trường hợp xếp hạng theo độ đo PR SR Kết thực nghiệm SpeciesDEAL_Op1 Kết thực nghiệm SpeciesDEAL_Op2 Kết thực nghiệm SpeciesDEAL_Op3 Kết thực nghiệm SpeciesDEAL_Op4 So sánh độ đo PR SpeciesDEAL thuật toán khác Kết thực nghiệm NBCDEAL_Op1 Kết thực nghiệm NBCDEAL_Op2 Kết thực nghiệm NBCDEAL_Op3 Kết thực nghiệm NBCDEAL_Op4 74 74 76 77 78 79 79 81 92 94 95 98 98 99 99 102 102 103 103 105 106 107 107 108 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 4.26 4.27 Tổng hợp xếp hạng theo tùy chọn NBCDEAL 108 So sánh độ đo PR NBCDEAL điều chỉnh φ 110 So sánh độ đo PR NBCDEAL thuật toán khác 111 Giá trị độ đo PR độ xác  = 1.0E − 01 thuật tốn112 Giá trị độ đo PR độ xác  = 1.0E − 02 thuật toán113 Giá trị độ đo PR độ xác  = 1.0E − 03 thuật toán113 Giá trị độ đo PR độ xác  = 1.0E − 04 thuật toán114 Giá trị độ đo PR độ xác  = 1.0E − 05 thuật toán114 Kiểm định Friedman thuật toán 115 Thứ hạng thuật toán theo kiểm định Friedman 115 Kiểm định Wilcoxon thuật toán 116 [69] Parrott, D and Li, X (2004) A particle swarm model for tracking multiple peaks in a dynamic environment using speciation In IEEE Congress on Evolutionary Computation [70] Potter, M (1997) The Design and Analysis of a Computational Model of Cooperative Coevolution PhD thesis, George Mason University, Faiffax, Virginia, USA [71] Potter, M and Jong, K D (1994) A cooperative coevolutionary approach to function optimization In Proceedings of the third parallel problem solving from nature, PPSN, pages 249–257, Jerusalem, Israel Springer Verlag [72] Preuss, M (2010) Niching the CMA-ES via nearest-better clustering In Pelikan, M and Branke, J., editors, Genetic and Evolutionary Computation Conference, GECCO 2010, Proceedings, Portland, Oregon, USA, July 7-11, 2010, Companion Material, pages 1711–1718 ACM [73] Preuss, M (2012) Improved topological niching for real-valued global optimization In EvoApplications, pages 386–395 [74] Preuss, M., Schăonemann, L., and Emmerich, M (2005) Counteracting genetic drift and disruptive recombination in (µ+, λ)-EA on multimodal fitness landscapes In Proceedings of the 7th Annual Conference on Genetic and Evolutionary Computation, GECCO ’05, pages 865–872, New York, NY, USA ACM [75] Price, K., Storn, R., and Lampinen, J (2005) Differential Evolution - A Practical Approach to Global Optimization Springer, Berlin, Germany [76] Pétrowski, A (1996) A clearing procedure as a niching method for genetic algorithms In International Conference on Evolutionary Computation, pages 798–803 [77] Qin, A., Tang, K., Pan, H., and Xia, S (2014) Self-adaptive differential evolution with local search chains for real-parameter singleobjective optimization In IEEE Congress on Evolutionary Computation (CEC’2014), pages 467–474 [78] Qin, A K., Huang, V L., and Suganthan, P N (2009) Differential evolution algorithm with strategy adaptation for global numerical optimization Evolutionary Computation, 13(2):398–417 126 [79] Rahnamayan, S., Tizhoosh, H R., and Salama, M M (2008) Opposition-based differential evolution Evolutionary Computation, 12(1):64–79 [80] Rechenberg, I (1973) Evolutions Strategie: Optimierung technischer Systeme nach Prinzipien der biologischen Evolution FrommannHolzboog, Stuttgart [81] Rechenberg, I (1994) Evolutions Strategie, volume of Werkstatt Bionik und Evolutionstechnik Frommann-Holzboog, Stuttgart [82] Said, S and Nakamura, M (2012a) Asynchronous strategy of parallel hybrid approach of ga and eda for function optimization In Procedings of the Third International Conference on Networking and Computing (ICNC’2012), pages 420–428 [83] Said, S and Nakamura, M (2012b) Parallel enhanced hybrid evolutionary algorithm for continuous function optimization In Procedings of the Seventh International Conference on P2P, Parallel, Grid, Cloud and Internet Computing (3PGCIC’2012), pages 125–131 [84] Sarker, R., Elsayed, S., and Ray, T (2014) Differential evolution with dynamic parameters selection for optimization problems IEEE Transactions on Evolutionary Computation (CEC’2014), 18(5):689– 707 [85] Sarker, R., Mohammadian, M., and Yao, X (2002) Evolutionary Optimization International Series in Operations Research & Management Science Springer [86] Schwefel, H.-P P (1993) Evolution and Optimum Seeking: The Sixth Generation John Wiley & Sons, Inc., New York, NY, USA [87] Shen, D and Li, Y (2013) Multimodal optimization using crowding differential evolution with spatially neighbors best search JSW, 8(4):932–938 [88] Shi, Y.-j., Teng, H.-f., and Li, Z.-q (2005) Cooperative coevolutionary differential evolution for function optimization In Proceedings of the First International Conference on Advances in Natural Computation - Volume Part II, ICNC’05, pages 1080–1088, Berlin, Heidelberg Springer-Verlag [89] Sofge, D., Jong, K D., and Schultz, A (2002) A blended population approach to cooperative coevolution fordecomposition of com127 plex problems In Proceedings of the 2002 Congress on Evolutionary Computation (CEC ’02), pages 413–418 [90] Sokolov, A., Whitley, D., and Motta Salles Barreto, A (2007) A note on the variance of rank-based selection strategies for genetic algorithms and genetic programming Genetic Programming and Evolvable Machines, 8(3):221–237 [91] Stoean, C., Preuss, M., Bartz-Beielstein, T., and Stoean, R (2009) A New Clustering-Based Evolutionary Algorithm for Real-Valued Multimodal Optimization Technical Report TR09-2-007, Chair of Algorithm Engineering, TU Dortmund, Dortmund, Germany [92] Subbu, R and Sanderson, A (2004a) Modeling and convergence analysis of distributed coevolutionary algorithms IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part B: Cybernetics, 34(2):806– 822 [93] Subbu, R and Sanderson, A C (2004b) Network-based distributed planning using coevolutionary agents: architecture and evaluation IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part A, 34(2):257–269 [94] Suganthan, P N., Hansen, N., Liang, J J., Deb, K., Chen, Y P., Auger, A., and Tiwari, S (2005) Problem definitions and evaluation criteria for the CEC 2005 special session on real-parameter optimization Technical report, Nanyang Technological University, Singapore [95] Sugihara, K (1997) Measures for performance evaluation of genetic algorithms In Proceedings of the 3rd Joint Conference on Information Sciences (JCIS’97), pages 172–175 [96] Tang, K., Li, X., Suganthan, P N., Yang, Z., and Weise, T (2009) Benchmark functions for the cec’2010 special session and competition on large-scale global optimization Technical report, Nature Inspired Computation and Applications Laboratory [97] Tang, K., Yao, X., Suganthan, P N., MacNish, C., Chen, Y P., Chen, C M., and Yang, Z (2007) Benchmark functions for the CEC 2008 special session and competition on large scale global optimization Technical report, Nature Inspired Computation and Applications Laboratory, USTC, China [98] Tasgetiren, M., Suganthan, P., Ozcan, S., and Kizilay, D (2015) A differential evolution algorithm with a variable neighborhood search for 128 constrained function optimization In Adaptation and Hybridization in Computational Intelligence, pages 171–184 Springer International Publishing [99] Thomsen, R (2004) Multimodal optimization using crowding-based differential evolution In Proceedings of the 2004 IEEE Congress on Evolutionary Computation, pages 1382–1389, Portland, Oregon IEEE Press [100] Torn, A and Zilinskas, A (1989) Global Optimization SpringerVerlag [101] Tsutsui, S., Yamamura, M., and Higuchi, T (1999) Multi-parent recombination with simplex crossover in real coded genetic algorithms In Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference, volume 1, pages 657–664 Morgan Kaufmann [102] Weber, M., Neri, F., and Tirronen, V (2011) Shuffle or update parallel differential evolution for large-scale optimization Soft ComputingA Fusion of Foundations, Methodologies and Applications, 15:2089– 2107 [103] Wright, M H (1996) Direct search methods: Once scorned, now respectable In Griffiths, D F and Watson, G A., editors, Numerical Analysis 1995 (Proceedings of the 1995 Dundee Biennial Conference in Numerical Analysis), volume 344 of Pitman Research Notes in Mathematics, pages 191–208, Boca Raton, Florida CRC Press [104] Xu, L and Zhang, F (2007) Parallel particle swarm optimization for attribute reduction In Procedings of the Eighth ACIS International Conference on Software Engineering, Artificial Intelligence, Networking, and Parallel/Distributed Computing (SNPD’2007), volume 1, pages 770–775 [105] Yang, Z., Tang, K., and Yao, X (2007) Differential evolution for high-dimensional function optimization IEEE Congress on Evolutionary Computation, pages 3523–3530 [106] Yang, Z., Tang, K., and Yao, X (2008) Large scale evolutionary optimization using cooperative coevolution Information Sciences, 178(15):2985–2999 [107] Yao, X., Liu, Y., and Lin, G (1999) Evolutionary programming made faster IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 3(2):82–102 129 [108] Yin, X and Germay, N (1993) A fast genetic algorithm with sharing scheme using cluster analysis methods in multimodal function optimization In Proceedings of the International Conference on Artificial Neural Networks and Genetic Algorithms (ANNGA’93), pages 450– 457 Springer-Verlag [109] Yu, X and Gen, M (2010) Introduction to Evolutionary Algorithms Springer-Verlag London [110] Zhang, W.-J and Xie, X.-F (2003) DEPSO: hybrid particle swarm with differential evolution operator In IEEE International Conference on Systems, Man and Cybernetics, volume 4, pages 3816–3821 130 131 Phụ lục A CÁC SƠ ĐỒ THUẬT TỐN A.1 Thuật tốn Simplex Search Simplex Search [66] Input: Hàm đánh giá f : Rn −→ R, khối đơn hình khởi tạo {xi }ni=0 , α, β, γ Output: x∗ phương án tối ưu Algorithm A.1 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14: 15: 16: 17: 18: 19: 20: 21: t ←− 0; while (t < tmax ) h ←− argmaxi f (xi ); l ←− argmini f (xi ); x ←− (1 + α)x − αxl ; where α > is the reflection coefficient if f (x ) > f (xh ) then x” ←− (1 + γ)x0 − γx; where γ > is the expansion coefficient if f (x” ) > f (xh ) then xl ←− x” ; expansion else xl ←− x ; reflection end if else if f (x ) < f (xi ), ∀i 6= l then if f (x) ≥ f (xl ) then xl ←− x ; reflection end if x” ←− βxl + (1 − β)x; where < β < is the contraction coefficient 132 if f (x” ) < f (xl ) then h xi ←− xi +x ; ∀i ∈ [0, n] else xl ←− x” ; end if 22: 23: 24: 25: 26: 27: multiple contraction contraction else xl ←− x ; end if end if t ←− t + 1; end while return x∗ = best(x); reflection 28: 29: 30: 31: 32: A.2 Thuật toán Scatter Search Scatter Search [30, 47] Input: P Size - Kích thước tập thử nghiệm, b - kích thước tập Ref Set Output: x∗ phương án tối ưu Algorithm A.1 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14: 15: 16: 17: 18: 19: 20: 21: 22: Khởi tạo P = ∅; while | P |< P Size x ←− Diversif icationGeneration();) Improvement(x); if x 6= P then P =P ∪x end if end while Ref erenceSetU pdate(Ref Set); Sort(Ref Set); N ewSolutions = T RU E; while N ewSolutions N ewSubsets ←− SubsetGeneration; N ewSolutions = F ALS; while N ewSubset 6= ∅ s ←− N ewSubsets; x ←− SolutionCombination(s); Improvement(x); Ref erenceSetU pdate(Ref Set); if Ref Set has changed then N ewSolutions = T RU E; end if 133 Delete s from N ewSubsets; end while end while return x∗ = best(); 23: 24: 25: A.3 Thuật toán Particle Swarm Optimization Particle Swarm Optimization [43] Input: N, D, w, c1 , c2 Output: x∗ phương án tối ưu Algorithm A.1 t ←− 0; 2: P (t) ←− initialize(N ); 3: while (t < maxgen) 4: for each xi in P (t) 5: F (xi ) ←− evaluate(xi ); 6: if F (xi ) > P best then 7: P best = F (xi ); 8: end if 9: end for 10: if P best > Gbest then 11: Gbest = P best; 12: end if 13: for each xi in P (t) 14: vi ←− recalc; 15: xi ←− recalc; 16: end for 17: t ←− t + 1; 18: end while return x∗ = Gbest; 1: 134 Phụ lục B CÁC BÀI TOÁN THỰC NGHIỆM MẪU B.1 Các toán tối ưu Đây toán tối ưu thường sử dụng nghiên cứu thuật tốn tiến hóa Các tốn giới thiệu [107, 94, 97, 96, 54] tốn cực tiểu hóa với nhiều đặc trưng khác đơn cực trị (uni-modal) đa cực trị (multi-modal), dịch chuyển (shifted) không dịch chuyển (non-shifted), khả tách (separable) không khả tách (non-separable), linh hoạt (scalable) không linh hoạt (non-scalable) Phương án tối ưu giá trị tối ưu toán xác định Nhiệm vụ thuật tốn tiến hóa tìm cách xác định lại giá trị từ quần thể khởi tạo cách ngẫu nhiên không gian tìm kiếm (tập ràng buộc) tốn Tất nhiên tham số thực nghiệm, đặc biệt hạn ngạch điều kiện dừng thuật toán phải lựa chọn phù hợp tương tự Sphere Problem f (~x) = D X i=1 135 x2i • Uni-modal • Shifted • Separable • Scalable • xi ∈ [−100, 100], i = {1, 2, , D} • min(f ) = f (0, 0, , 0) = Schwefel’s Problem 2.21 f (~x) = maxi {|xi |, ≤ i ≤ D} • Uni-modal • Shifted • Non-separable • Scalable • xi ∈ [−100, 100], i = {1, 2, , D} • min(f ) = f (0, 0, , 0) = Rosenbrock’s Function f (~x) = D−1 X 100(x2i − xi+1 )2 + (xi − 1)2 i=1 • Multi-modal • Shifted • Non-separable • Scalable • xi ∈ [−100, 100], i = {1, , D} • min(f ) = f (1, 1, , 1) = 136
Generalized Schwefel 2.26 f (~x) = − D X q (xi sin( |xi |)) i=1 • Multi-modal • Shifted • Rotated • Non-separable • Scalable • xi ∈ [−500, 500], i = {1, , D} • min(f ) = f (420.9687, , 420.9687) = −12569.5 Rastrigin’s Problem f (~x) = D X x2i − 10 cos(2πxi ) + 10
i=1 • Multi-modal • Shifted • Separable • Scalable • xi ∈ [−5.12, 5.12], i = {1, , D} • min(f ) = f ((0, 0, , 0) = Ackley’s Problem v  u D u1 X f (~x) = −20 exp −0.2t x2i  − exp D i=1  137 ! D X cos(2πxi ) + 20 + e D i=1 • Multi-modal • Shifted • Rotated • Non-separable • Scalable • xi ∈ [−32, 32], i = {1, , D} • min(f ) = f (0, 0, , 0) = Griewank’s Problem D D X Y xi f (~x) = xi − cos √ + 4000 i=1 i i • Multi-modal • Shifted • Rotated • Non-separable • Scalable • xi ∈ [−600, 600], i = {1, , D} • min(f ) = f (0, 0, , 0) = Penalized Problem f (~x) = + π D ( n X 10 sin2 (πy1 ) + D−1 X ) (yi − 1)2 [1 + 10 sin2 (πyi+1 )] + (yD − 1)2 i=1 u(xi , 10, 100, 4) i=1 138 đó: yi = + 41 (xi + 1)  xi > a  k(xi − a)m , otherwise u(xi , a, k, m) = 0,  m k(−xi − a) , xi < −a xi ∈ [−50, 50], i = {1, , D} min(f ) = f (1, 1, , 1) = • Multi-modal • Shifted • Rotated • Non-separable • Scalable Penalized Problem ( f (~x) = 0.1 sin2 (3πx1 ) + ) D−1 X (xi − 1)2 [1 + sin2 (3πxi+1 )] + (xD − 1)2 [1 + sin2 (2πxD )] i=1 + D X u(xi , 5, 100, 4) i=1 • Multi-modal • Shifted • Rotated • Non-separable • Scalable B.2 đó: yi = + 41 (xi + 1)  xi > a  k(xi − a)m , otherwise u(xi , a, k, m) = 0,  m k(−xi − a) , xi < −a xi ∈ [−50, 50], i = {1, , D} min(f ) = f (1, 1, , 1) = Các toán tối ưu đa cực trị Gồm 12 tốn cực đại hóa giới thiệu [54] Các tốn có nhiều phương án tối ưu (toàn cục địa phương), phương án tối ưu tồn cục xác định có giá trị tối ưu Nhiệm vụ thuật tốn tiến hóa tìm cách xác định lại nhiều tốt phương án tối ưu toàn cục từ quần thể cá thể khởi tạo ngẫu nhiên khơng gian tìm kiếm toán Điều kiện dừng thuật toán sử dụng tổng số lần tính giá trị đánh giá lớn cho phép (MaxFEs) 139 Five-Uneven-Peak Trap f (x) =          80(2.5 − x) 64(x − 2.5) 64(7.5 − x) 28(x − 7.5) 28(17.5 − x) 32(x − 17.5) 32(27.5 − x) 80(x − 27.5) ≤ x < 2.5, 2.5 ≤ x < 5.0, 5.0 ≤ x < 7.5, 7.5 ≤ x < 12.5, 12.5 ≤ x < 17.5, 17.5 ≤ x < 22.5, 22.5 ≤ x < 27.5, 27.5 ≤ x < 30 Đặc điểm • Số chiều: • Tập ràng buộc: x ∈ [0, 30] • Số phương án tối ưu tồn cục: • Số phương án tối ưu địa phương: Equal Maxima f (x) = sin6 (5πx) Đặc điểm • Số chiều: • Tập ràng buộc: x ∈ [0, 1] • Số phương án tối ưu tồn cục: • Số phương án tối ưu địa phương: Uneven Decreasing Maxima x − 0.08 f (x) = exp −2 log(2) 0.854  Đặc điểm • Số chiều: • Tập ràng buộc: x ∈ [0, 1] • Số phương án tối ưu tồn cục: • Số phương án tối ưu địa phương: 140 2 ! sin6 (5π(x3/4 − 0.05))