Algebraic Inequalities Vasile Cirtoaje Chapter 1: Warm-Up Problem Set 1.1 Applications 1. Cho ,,,abcdR∈ thỏa : 2222 4abcd+++=. CMR : 3333 8abcd+++≤ 2. Cho ,,0abc≥ . CMR : 3 333 32 2 bc abcabca +  ++−≥−   3. Cho ,,0abc> thỏa 1abc =. CMR : 222 5 33 abcabc++++ ≥ 4. Cho ,,0abc≥ thỏa 333 3abc++=. CMR : 444444 3abbcca++≤ 5. Cho ,,0abc≥ . CMR : ( ) 222 212abcabcabbcca++++≥++ 6. Cho ,,abcR∈ khác nhau đôi một . CMR : 222 2 abc bccaab  ++≥  −−−  7. Cho ,,0abc≥ . CMR : ( ) ( ) ( ) 222 0abcbcbcacacabab−++−++−+≥ 8. Cho ,,,0abcd≥ . CMR : 0 2222 abbccdda abcbcdcdadab −−−− +++≥ ++++++++ 9. Cho ,,0abc≥ thỏa 222 abcabc++=++. CMR : 222222 abbccaabbcca++≤++ 10. Cho ,,0abc≥ và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . CMR : 222 222222 1 abc aabbbbccccaa ++≥ ++++++ 11. Cho ,,0abc≥ . CMR : () () () 333 333 333 1 abc abcbcacab ++≥ ++++++ 12. Đặt : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,, Eabcaabacbbcbaccacb =−−+−−+−− CMR : a) ()()()()() 222 ,, abcEabcababbcbccaca ++≥−+−+− b) ()()()() 222 111 2,, Eabcabbcca abc  ++≥−+−+−   13. Cho ,,,,, abcxyzR ∈ thỏa : 0 axbycz +≥+≥+≥ và abcxyz ++=++ . CMR : aybxacxz +≥+ 14. Cho 1 ,,,3 3 abc  ∈   . CMR : 7 5 abc abbcca ++≥ +++ 15. Cho ,,,,,0 abcxyz ≥ thỏa abcxyz ++=++ . CMR : ( ) ( ) ( ) ( ) 3 axaxbybyczczabcxyz +++++≥+ 16. Cho ,,0 abc ≥ . CMR : () ( ) 3 222 427 abcabbccaabc ++≥+++ 17. Cho ,,0 abc ≥ thỏa 3 abc ++= . CMR : 222 111 1 212121 abbcca ++≥ +++ 18. Cho ,,,0 abcd > . CMR : 2222 11114 aabbbcccdddaacbd +++≥ +++++ 19. Cho 1 ,,,2 2 abc  ∈   . CMR : 333222 222 abbccaabbcca ++≥++ ++++++ 20. Cho ,,0 abc ≥ thỏa 3 abbcca ++= . CMR : 222 111 1 222 abc ++≤ +++ 21. Cho ,,0 abc ≥ thỏa 3 abbcca ++= . CMR : 222 1113 1112 abc ++≥ +++ 22. Cho ,,0 abc ≥ thỏa 222 3 abc ++= . CMR : 1 222 abc abc ++≤ +++ 23. Cho ,,0 abc > thỏa 1 abc = . CMR : a) 111 0 abc bca −−− ++≥ b) 111 0 abc bccaab −−− ++≥ +++ 24. Cho ,,,0 abcd ≥ thỏa 2222 aabbccdd −+=−+ . CMR : ( ) ( ) ( ) 2 abcdabcd ++≥+ 25. Cho 12 ,, ,0 n aaa > thỏa 12 1 n aaa = . CMR : () () () 12 111 1 111111 n nanana +++≥ +−+−+− 26. Cho ,,,0 abcd ≥ thỏa 2222 1 abcd +++= . CMR : ( ) ( ) ( ) ( ) 1111 abcdabcd −−−−≥ 27. Cho ,,0 abc > . CMR : 222 3 abc abbcca ++≤ +++ 28. Cho ,,,0 abcd ≥ . CMR : 2222 1 abcd abbccada  +++≥  ++++  29. Cho ,,0 abc > thỏa 111 abc abc ++=++ . Nếu abc ≤≤ thì : 23 1 abc ≥ 30. Cho ,,0 abc ≥ và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . CMR : 222 222222 abcabc bccaabbccaab ++≥++ ++++++ 31. Cho ,,0 abc ≥ . CMR : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 21111111 abcabcabc +++≥++++ 32. Cho ,,0 abc ≥ . CMR : ( ) ( ) ( ) 222222 31111 aabbccabcabc −+−+−+≥++ 33. Cho ,,,0 abcd ≥ . CMR : ()()()() 2 2222 1 1111 2 abcd aabbccdd +  −+−+−+−+≥   34. Cho ,,0 abc ≥ . CMR : ( ) ( ) ( ) () 3 222222 aabbbbccccaaabbcca ++++++≥++ 35. Cho ,,,0 abcd > thỏa 1 abcd = . CMR : 1111 1 1111 abbccabccddbcddaacdaabbd +++≤ ++++++++++++ 36. Cho ,,,,, abcxyzR ∈ . CMR : ( ) ( ) ( ) () 2 222222 43 axbyczbcxcayabz +++≥++ 37. Nếu abcde ≥≥≥≥ thì ()() 2 8 abcdeacbdce ++++≥++ Cho 0 e ≥ . Xác định dấu "" = xảy ra ? 38. Cho ,,, abcdR ∈ . CMR : ( ) ()() 2 2222 612 abcdabcdabbccd +++++++≥++ 39. Cho ,,0 abc > . CMR : () () 222 222 111111 11abcabc abcabc  ++++≥++++++   40. Cho ,,0 abc > . CMR : () () 222 222 111111 522abcabc abcabc  +++++−≥++++   41. Cho ,,,0 abcd > . CMR : 0 abbccdda bccddaab −−−− +++≥ ++++ 42. Nếu ,,1 abc >− thì : 222 222 111 2 111 abc bccaab +++ ++≥ ++++++ 43. Cho ,,,,,0 abcxyz > thỏa ( ) ( ) ( ) ( ) 222222 4 abcxyzabcxyz ++++=++++= . CMR : 1 36 abcxyz < 44. Cho ,,0 abc > thỏa 222 3 abc ++= . CMR : 222222 3 abbcca abbcca +++ ++≥ +++ 45. Cho ,,0 abc ≥ và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . CMR : 222 1113 abcbcacababbcca ++≥ +++++ 46. Cho ,,0 abc ≥ và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . CMR : 222222 1113 bbccccaaaabbabbcca ++≥ −+−+−+++ 47. Cho ,,0 abc > thỏa 3 abc ++= . CMR : 12 5 abc abbcca +≥ ++ 48. Cho ,,0 abc ≥ thỏa 222 3 abc ++= . CMR : ( ) 1297 abcabbcca +≥++ 49. Cho ,,0 abc ≥ thỏa 3 abbcca ++= . CMR : 333 710 abcabc +++≥ 50. Cho ,,0 abc > thỏa 1 abc = . CMR : ( ) ( ) ( ) ( ) 75 abbccaabc ++++≥++ 51. Cho ,,0 abc ≥ và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . CMR : ()()()()()() 333 222222222222 1 222222 abc abc abacbcbacaca ++≤ ++ ++++++ 52. Cho ,,0 abc ≥ thỏa 3 abc ++≥ . CMR : 222 111 1 abcabcabc ++≤ ++++++ 53. Cho ,,0 abc ≥ thỏa 3 abbcca ++= . Nếu 1 r ≥ thì : 222222 1113 2 rabrbcrcar ++≤ +++++++ 54. Cho ,,0 abc > thỏa 1 abc = . CMR : ()()() ()()() 333 1115 1 111 111 abc abc +++≥ +++ +++ 55. Cho ,,0 abc > thỏa 1 abc = . CMR : 213 3 abcabbcca +≥ ++++ 56. Cho ,, abcR ∈ . CMR : () ( ) ( ) ( ) ()()() 222 212111111 abcabcabc +++++≥+++ 57. Cho ,,0 abc ≥ và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . CMR : ( ) ( ) ( ) 222 2 abcbcacab abcbcacab +++ ++≥ +++ 58. Cho ,,0 abc ≥ và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . CMR : () () () 222 2 abcbcacab abcbcacab +++ ++≥ +++ 59. Cho ,,0 abc ≥ và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . CMR : 222 111 abc bccaababcbcacab ++≥++ ++++++ 60. Cho ,,0 abc ≥ và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . CMR : 222 111222 333 abc bccaababcbcacab ++≥++ ++++++ 61. Cho ,,0 abc > thỏa 222 3 abc ++= . CMR : () 3 518 abc abc +++≥ 62. Cho ,,0 abc ≥ thỏa 3 abc ++= . CMR : 1113 6665 abbcca ++≤ −−− 63. Cho 12 ,, ,,4 n aaaRn ∈≥ thỏa 12 n aaan +++≥ và 2222 12 n aaan +++≥ . CMR : { } 12 axa,, ,2 n maa ≥ 64. Cho ,,0 abc ≥ và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . CMR : ( ) () 222 2 13 6 3 abbcca abc bccaab abc ++ ++≥− +++ ++ 65. Cho ,,0 abc ≥ và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . CMR : ( ) ( ) ( ) 222 222222 abcbcacab abc bccaab +++ ++≥++ +++ 66. Cho ,,0 abc ≥ thỏa ( ) ( ) ( ) 2 abbcca +++= . CMR : ( ) ( ) ( ) 222 1 abcbcacab +++≤ Chapter 2: Starting From Some Special Fourth Degree Inequalities 2.1 Main results 1. Cho ,, xyzR ∈ . CMR : ( ) ( ) 2 222333 3 xyzxyyzzx ++≥++ 2. Cho ,,, xyzrR ∈ . CMR : ( ) ( ) 42223 31313 xrxyrrxyzxrxy +−+−≥ ∑∑∑∑ 3. Cho ,, xyzR ∈ . CMR : ( ) 444333333 2 xyzxyyzzxxyyzzx +++++≥++ 4. Cho ,,0 xyz ≥ . CMR : ( ) 444222222333333 2 xyzxyyzzxxyyzzxxyyzzx ++−−−≥++−−− 5. Cho ,,, xyzrR ∈ . CMR : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 xryxrzxyxz −−−−≥ ∑ , ( với xxyz =++ ∑ ) 6. Cho ,,0 xyz ≥ . Đặt : ( ) ( ) i i Sxxyxz =−− ∑ . Với mọi ,:0 pqRpq ∈> : CMR : 0 pqpq SSSS + ≥ 7. Cho ,,0 xyz ≥ thỏa 3 xyz ++= . Nếu ln3 1,355 ln9ln4 m=≈ − và 0 rm <≤ thì : 3 rrrrrr xyyzzx ++≤ 8. Cho ,,0 xyz ≥ thỏa 2 xyz ++= . Nếu 23 r ≤≤ thì : ( ) ( ) ( ) 2 rrr xyzyzxzxy +++++≤ 9. Cho ,,0 xyz ≥ thỏa 1 xyz ++= . Nếu 0 p < và ( ) ( ) 121 4 pp q −+ ≤ thì : 19 13 yzqzxqxyqq xpypzpp ++++ ++≤ ++++ 10. Cho ,,0 xyz > . Nếu 13 r ≤≤ thì : () 2 444222 1 3 rrrrrr xyyzzxxyz −−− ++≤++ 11. Cho ,,0 xyz > a) Nếu 3 xyz ++= và 1 0 2 r <≤ thì : 111 3 rrrrrr xyyzzx +++ ++≤ b) Nếu 12 xyzr ++=+ và 1 r ≥ thì : () 1 111 1 r rrrrrrr xyyzzxrr + +++ ++≤+ 12. Cho ,,0 xyz > a) Nếu 3 xyz ++= và 3 0 2 r <≤ thì : 3 rrr xyyzzx ++≤ b) Nếu 1 xyzr ++=+ và 2 r ≥ thì : rrrr xyyzzxr ++≤ 13. Cho ,,0 xyz > thỏa 3 mnmnmn xyz +++ ++= , với 0 mn >> . CMR : 3 mmm nnn xyz yzx ++≥ 14. Cho ,,,0 abcd ≥ . Nếu 0 p > thì : () 2 11111 abcd ppppp bccddaab  ++++≥+  ++++  15. Cho ,,0 abc > . CMR : 111111111 3 444333 abcabbccaabbcca  +++++≥++  ++++++  16. Cho ,,0 xyz ≥ thỏa 3 xyz ++= . CMR : 3 1332 xyz xyyzzx ++≥ +++ 17. Cho ,,0 xyz ≥ thỏa 3 xyz ++= . CMR : 222 3 3334 xyz yzx ++≥ +++ 18. Cho ,,0 abc > thỏa 1 abc = . CMR : 1 888 abc bca ++≥ +++ 19. Cho ,, abc là độ dài 3 cạnh của tam giác . a) ( ) ( ) ( ) 333222 3 abbccaabbccaabc ++≥++++ b) () ( ) () 4 222 9 abbccaabcabc ++++≥++ 20. Cho ,, abc là độ dài 3 cạnh của tam giác . Nếu 2 r ≥ thì : ( ) ( ) ( ) 111 3 rrrrrr abbccaabcabbcca −−− ++≥++++ 21. Cho ,, abc là độ dài 3 cạnh của tam giác . Nếu 2 r ≥ thì : ( ) ( ) ( ) 0 rrr ababbcbccaca −+−+−≥ 22. Cho ,, abc là độ dài 3 cạnh của tam giác . Nếu 01 r <≤ thì : ( ) ( ) ( ) 222 0 rrrrrr ababbcbccaca −+−+−≥ 23. Cho ,, abc là độ dài 3 cạnh của tam giác và ,, xyzR ∈ . CMR : ( ) ( ) ( ) ( ) 222222222222 yazbxczaxbycxyyzzxabbcca ++++≥++++ Chapter 2: Starting From Some Special Fourth Degree Inequalities 2.3 Another related inequalities 1. Cho ,,0 xyz ≥ . Với 02 r≤≤ . CMR : () 444222222333 1 xyzrxyyzzxrxyyzzx +++++≥+++ 2. Cho ,, xyzR ∈ . Với 12 r −≤≤ . CMR : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 0 xxyxryyyzyrzzzxzrx −−+−−+−−≥ 3. Cho ,,0 xyz ≥ . Với 22 r −≤≤ . CMR : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222222 0 xxyxryyyzyrzzzxzrx −−+−−+−−≥ 4. Cho ,, xyzR ∈ . CMR : ()()()()()() 333 2220 xyxyyzyzzxzx −++−++−+≥ 5. Cho 12 ,, , n xxxR ∈ . CMR : ()()()()()() 333 1212232311 23 30 nn xxxxxxxxxxxx −++−+++−+≥ 6. Cho ,,0 xyz ≥ . CMR : ()()()()()() 333 3232320 xyxyyzyzzxzx −++−++−+≥ 7. Cho 12 ,, ,0 n xxx ≥ . Với 3 1 1,7024 41 r≥≈ − CMR : ()()()()()() 333 1212232311 0 nn xxrxxxxrxxxxrxx −++−+++−+≥ 8. Cho ,, xyzR ∈ . CMR : ( ) ( ) ( ) 3 33 2220 xyxyyzyzzxzx −++−++−+≥ 9. Cho ,, xyzR ∈ . CMR : ()()()()()() 333 2220 xyxzyzyxzxzy −++−++−+≥ 10. Cho ,, xyzR ∈ . CMR : ( ) ( ) ( ) 3 33 2220 xyxzyzyxzxzy −++−++−+≥ 11. Cho 12 ,, , n xxxR ∈ . Với 31 0 2 r − ≤≤ CMR : ( ) ( ) ( ) 444333333 121223112231 1 nnn xxxrxxxxxxrxxxxxx +++++++≥++++ 12. Cho 12 ,, ,0 n xxx ≥ . CMR : ()() 444333333 121223112231 13 22 nnn xxxxxxxxxxxxxxx +++++++≥+++ 13. Cho ,, xyzR ∈ . CMR : ()()() 333 0 xxyyyzzzx +++++≥ 14. Cho ,,0 abc > . CMR : 111111111111 4 222333333 abcabbccaabbccaabbcca  ++−−−≥++−−−  +++++++++  15. Cho 1 ,,,2 2 xyz  ∈   . CMR : 859 xyzyzx yzxxyz  ++≥+++   16. Cho 1 ,,,,432 xyzpp p  ∈=+   . CMR : () ( ) () 4 222 9 xyyzzxxyzxyz ++++≥++ 17. Cho 2 ,, 3 xyz ≥ thỏa 3 xyz ++= . CMR : 222222 xyyzzxxyyzzx ++≥++ 18. Cho ,, xyzR ∈ . CMR : ( ) ()()() 222 4443332 3 xyzxyyzzxxyzyzxzxy ++−−−≥−+−+− 19. Cho ,, xyzR ∈ . CMR : ( ) ( ) 444333333 22 xyzxyzxyzxyyzzxxyyzzx ++−++≥++−−− 20. Cho ,,0 xyz ≥ . CMR : ( ) ( ) ( ) 444222222222 176 xyzxyyzzxxyzxyyzzx +++++≥++++ 21. Cho ,,0 xyz ≥ . CMR : ( ) () 2 2 2 6 xyzxyzx −≥− ∑∑ ( với xxyz =++ ∑ ) 22. Cho ,,0 xyz ≥ . CMR : ( ) ( ) 444333222222 56 xyzxyyzzxxyyzzx +++++≥++ 23. Cho ,,0 xyz ≥ và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 . CMR : 222 0 xyzyzxzxy xyyzzx −−− ++≥ +++ 24. Cho ,, xyzR ∈ . CMR : ( ) ( ) 444333 340 xyzxyyzzx +++++≥ 25. Cho ,,0 xyz > thỏa 3 xyz ++= . CMR : 333 3 1112 xyz yzx ++≥ +++ 26. Cho ,,,0 abcd ≥ thỏa 4 abcd +++= . CMR : ( ) 2222 3416 abcdabcd ++++≥ 27. Cho ,,,0 abcd > thỏa 4 abcd +++= . CMR : 2222 2 1111 abcd bcda +++≥ ++++ 28. Cho ,,0 abc ≥ thỏa 1 abc ++= . CMR : 23232315 1112 bccaab abc +++ ++≤ +++ 29. Cho ,, abc là độ dài 3 cạnh của tam giác . CMR : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 0 aabbcbbccaccaab +−++−++−≥ 30. Cho ,, abc là độ dài 3 cạnh của tam giác không đều CMR : {} 333222222 333 min,, 3 abbccaabbcca bcacababc abcabc ++−−− ≥+−+−+− ++− 31. Cho ,, abc là độ dài 3 cạnh của tam giác và ,,,1 xyzRxyz ∈++= . CMR : ( ) ( ) ( ) 0 yzabcazxbcabxycabc +−++−++−≤ 32. Cho ,, abc là độ dài 3 cạnh của tam giác . CMR : ( ) () ( ) () ( ) () 222 222 2220 abcbcbcacacabab −−+−−+−−≥ 33. Cho ,,0 xyz ≥ . Với 01,558 rm <≤≈ là nghiệm của phương trình ()() 1 13 mm mm + += . CMR : 1 33 r rrr xyyzzxxyz + ++++  ≤   Chapter 3: Inequalities With Right Convex And Left Concave Functions 3.4 Applications 1. Cho 12 ,, ,0 n xxx ≥ thỏa 12 n xxxn +++= CMR : ( ) ( ) ( ) ( ) 3332222 1212 1 21 nn nxxxnnxxx −++++≥−+++ 2. Cho 12 ,, ,0 n xxx ≥ thỏa 12 n xxxn +++= CMR : ( ) ( ) 3332222 1212 1 nn xxxnnxxx ++++≤++++ 3. Cho 12 ,, ,0 n xxx ≥ thỏa 12 1 n xxx n r nn +++ − =≥ CMR : 2222 12 111 1111 n n xxxr +++≥ ++++ 4. Cho 12 ,, ,0 n xxx ≥ thỏa 12 2 1 1 n xxx n r nnn +++ − =≤ −+ CMR : 2222 12 111 1111 n n xxxr +++≤ ++++ 5. Cho 12 ,, ,0 n xxx > thỏa 12 1 n xxx +++= CMR : ()() () 2 222 12 12 111 241 n n nnnxxx xxx +++≥−+−+++ 6. Cho 12 ,, ,0 n xxx ≥ thỏa () 12 2 1 1 n xxx n r n nn +++ − =≤ +− CMR : 12 111 1111 n n xxxr +++≤ −−−− [...]... n + + ≤ 2 2 (1 + an ) (1 + p ) Chapter 7: Symmetric Inequalities With Three Variables Involving Fractions E1 = a ( b + c ) + pbc + b ( c + a ) + pca c ( a + b ) + pab + b + rbc + c c + rca + a a 2 + rab + b 2 a 2 + qbc b 2 + qca c 2 + qab E2 = 2 + 2 + 2 b + rbc + c 2 c + rca + a 2 a + rab + b 2 Ở đây : a, b, c ≥ 0, r > −2, p, q ∈ R 2 2 2 2 7.1 Inequalities Involving E1 1 Cho a, b, c ≥ 0 và 2 trong... 1≤ k ≤ n  k −1  i =1 1 − xi xi x j 2 1 Cho x1 , x2 , , xn ≥ 0 thỏa x1 + x2 + + xn = CMR : ∑ ≤ 3 4 1≤i < j ≤ n (1 − xi ) (1 − x j ) n 10 ≥ k Cho x1 , x2 , , xn ≥ 0 thỏa x1 + x2 + + xn = 1 và n − 1 số trong chúng không đồng thời bằng 0 CMR : xi x j n ∑ (1 − x ) (1 − x ) ≥ 2 ( n − 1) 1≤i < j ≤ n i j 13 Cho a, b, c, d ≥ 0 thỏa a + b + c + d = 4 CMR : (1 + 3a )(1 + 3b )(1 + 3c )(1 + 3d ) ≤ 125 + 131abcd... xn ) + n n x12 x2 xn ≥ ( x1 + x2 + + xn ) 10 Cho a, b, c, d > 0 thỏa ab + bc + cd + da = 4   a  b  c  d     CMR : 1 +  1 + 1 +  1 +  ≥ ( a + b + c + d ) b c d a 2 Chapter 5: Inequalities Involving EV-Theorem 5.2 Applications 1 Cho a, b, c ≥ 0 CMR : x 4 ( y + z ) + y 4 ( z + x ) + z 4 ( x + y ) ≤ 2 Cho x, y, z ≥ 0 thỏa xy + yz + zx = 1 CMR : x + y + z + 3 2 3 − 3 xyz ≥ 2... E = ∑ ab + pbc + ca b 2 + rbc + c 2 a) CMR : E ( a, b, c ) ≥ 3( p + 2) r+2 , p ≤ r −1 p 2 + 2, r − 1 ≤ p ≤ ( r + 2 ) r+2 2 c) CMR : E ( a, b, c ) ≥ 2 p − r , p ≥ ( r + 2 ) b) CMR : E ( a, b, c ) ≥ 7.3 Inequalities Involving E2 1 Cho a, b, c ≥ 0 và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 CMR : 2 Cho a, b, c ≥ 0 và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 CMR : 3 2a 2 + bc 2b 2 + ca 2c 2 + ab 9 + 2 + 2 ≥ b2... rbc + c 2 3( q + 2) 2r + 1 r+2 2 q 2r + 1 2 b) CMR : E ( a, b, c ) ≥ + 2, ≤ q ≤ 4 ( r + 2) r+2 2 2 2 c) CMR : E ( a, b, c ) ≥ 4kr + 12k − 2, q = 4k ( r + 2k ) , k ≥ 1 a) CMR : E ( a, b, c ) ≥ ,q ≤ 7.5 Inequalities Involving E1 and E2 1 Cho a, b, c ≥ 0 và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 Với r > −2, α ≥ 0, α (1 − r ) + β = CMR : 2 ∑ a 2 + α a ( b + c ) + β bc b + rbc + c 2 2 ≥ 3 (1 + 2α + β ) r+2... và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 2r + 1 2 + α (1 − r ) ≤ β ≤ 4 ( r + 2 ) + α ( r − 1) 2 2 a + α a ( b + c ) + β bc β CMR : ∑ ≥ 2 + 2α + 2 2 b + rbc + c r+2 Với r > −2, α ≥ 0, 7.7 Other Related Inequalities 1 Cho a, b, c ≥ 0 và 2 trong chúng không đồng thời bằng 0 CMR : 2 a2 (b + c ) 2 b2 + c2 + b2 ( c + a ) c2 + a2 2 + c2 ( a + b) 2 a2 + b2 Cho a, b, c ≥ 0 thỏa ab + bc + ca = 1 CMR : ≥ 2 (... c2 Cho a, b, c > 0 CMR : + + ≥ b + c c + a a + b 2 a 2 + b2 + c2 2 2 ( ( ( ) ) ) ) + c (a 2 + b2 c + ab 2 ) ≥3 ax by cz + + , với mọi x, y, z > 0 y+z z + x x + y 66 Cho a, b, c ≥ 0 Tìm GTNN của biểu thức E ( a, b, c ) = 67 Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 3 CMR : 68 Cho a, b, c ≥ 0 thỏa a + b + c = 3 CMR : ( a 2 − ab + b 2 )( b 2 − bc + c 2 )( c 2 − ca + a 2 ) ≤ 12 69 Cho a, b, c ≥ 0 thỏa a + b . Algebraic Inequalities Vasile Cirtoaje Chapter 1: Warm-Up Problem Set 1.1 Applications 1. Cho ,,,abcdR∈. ( ) ( ) ( ) ( ) 222222222222 yazbxczaxbycxyyzzxabbcca ++++≥++++ Chapter 2: Starting From Some Special Fourth Degree Inequalities 2.3 Another related inequalities 1. Cho ,,0 xyz ≥ . Với 02 r≤≤ . CMR : () 444222222333 1 xyzrxyyzzxrxyyzzx +++++≥+++. CMR : ( ) ( ) ( ) 222 1 abcbcacab +++≤ Chapter 2: Starting From Some Special Fourth Degree Inequalities 2.1 Main results 1. Cho ,, xyzR ∈ . CMR : ( ) ( ) 2 222333 3 xyzxyyzzx ++≥++