Đang tải... (xem toàn văn)
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:Có thể nói rằng, hàm số mũ và hàm số logarit cùng với các bài toán liên quan đến hai hàm số này là phần kiến thức khá khó trong phân phối chương trình Toán phổ thông. Khi tìm hiểu phần kiến thức này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng rất nhiều kiến thức có liên quan để giải quyết các dạng toán. Nhiều dạng bài tập, thường gặp phải nhiều sai lầm khi giải toán nhưng mũ và logarit vẫn có những nét đẹp riệng của chúng.Là sinh viên nghành Toán, tôi nhận thức được cái khó của mũ và logarit và thông qua tiểu luận này tôi muốn tìm hiểu thêm để phục vụ cho việc giảng dạy ở trường THPT sau này. Do đó, tôi chọn đề tài “Các vấn đề về Mũ và Logarit”. Trong đề tài này, tôi trình bày sơ lược các kiến thức cơ bản về hàm số mũ và logarit cũng như các dạng toán điển hình của phần này qua đó tích lũy thêm kinh nghiệm cũng như kiến thức phục vụ cho việc giảng dạy sau này.II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:Mục tiêu chính của đề tài mà tôi chọn là có thể tổng hợp tất cả các dạng toán có liên quan về muc và logarit như tìm tập xác định, tính và rút gọn các biểu thức, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình cũng như các bài toán biện luận. Tôi hy vọng trong khuôn khổ hạn hẹp của đề tài, tôi có thể giới thiệu đầy đủ các dạng toán trong phần kiến thức này.III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:Trong đề tài này, tôi xây dựng xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit mà trong đó trọng tâm là phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và logarit. Theo đó, các phương pháp giải các dạng toán trên cũng được tôi đề cập đến trong đề tài của mình.IV. PHẠM VI NGHIÊM CỨU:Phạm vi nghiên cứu của đề tài chỉ xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit đã nêu ở trênV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích và bài tập giải minh họa, tham khảo ý kiến của cán bộ hướng dẫn.PHẦN NỘI DUNG
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit PHẦN MỞ ĐẦU GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 1 SVTH: Phạm Ngọc Tài Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Có thể nói rằng, hàm số mũ và hàm số logarit cùng với các bài toán liên quan đến hai hàm số này là phần kiến thức khá khó trong phân phối chương trình Toán phổ thông. Khi tìm hiểu phần kiến thức này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng rất nhiều kiến thức có liên quan để giải quyết các dạng toán. Nhiều dạng bài tập, thường gặp phải nhiều sai lầm khi giải toán nhưng mũ và logarit vẫn có những nét đẹp riệng của chúng. Là sinh viên nghành Toán, tôi nhận thức được cái khó của mũ và logarit và thông qua tiểu luận này tôi muốn tìm hiểu thêm để phục vụ cho việc giảng dạy ở trường THPT sau này. Do đó, tôi chọn đề tài “Các vấn đề về Mũ và Logarit”. Trong đề tài này, tôi trình bày sơ lược các kiến thức cơ bản về hàm số mũ và logarit cũng như các dạng toán điển hình của phần này qua đó tích lũy thêm kinh nghiệm cũng như kiến thức phục vụ cho việc giảng dạy sau này. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Mục tiêu chính của đề tài mà tôi chọn là có thể tổng hợp tất cả các dạng toán có liên quan về muc và logarit như tìm tập xác định, tính và rút gọn các biểu thức, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình cũng như các bài toán biện luận. Tôi hy vọng trong khuôn khổ hạn hẹp của đề tài, tôi có thể giới thiệu đầy đủ các dạng toán trong phần kiến thức này. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Trong đề tài này, tôi xây dựng xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit mà trong đó trọng tâm là phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và logarit. Theo đó, các phương pháp giải các dạng toán trên cũng được tôi đề cập đến trong đề tài của mình. IV. PHẠM VI NGHIÊM CỨU: Phạm vi nghiên cứu của đề tài chỉ xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit đã nêu ở trên V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích và bài tập giải minh họa, tham khảo ý kiến của cán bộ hướng dẫn. GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 2 SVTH: Phạm Ngọc Tài Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit PHẦN NỘI DUNG GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 3 SVTH: Phạm Ngọc Tài Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit PHẦN I: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT A. Tóm tắt về lũy thừa và hàm số mũ: 1. Các phép tính về lũy thừa với hàm số mũ thực: Định lý: Gọi ,a b l;à những số thực dương; ,x y là những số thực tùy ý. Ta có: ( ) ( ) . x x y x y x y y y x x xy x x x x x a a a a a a a a ab a b a a b b + − = = = = = ÷ Chú ý rằng: 1) 0 1, 0x x= ∀ ≠ 2) Nếu chỉ xác định với mọi 2. Hàm số mũ: a. Định nghĩa: Hàm số mũ cơ số ( ) 0a a ≠ là hàm số được xác định bởi công thức x y a= Ví dụ: 1 2 , , 3 x x y y = = ÷ b. Các tính chất: + Hàm số x y a= liên tục tại mọi điểm x∈ R . + 0 x a > với mọi x∈ R . + Nếu 1a = thì hàm số không đổi trên R : 1y = . + Nếu 1a > thì hàm số đồng biến trên R . + Nếu 0 1a< < thì hàm số nghịch biến trên R . c. Từ các tính chất đơn điệu của hàm số mũ, ta suy ra với mọi 0a > thì: * 1 , 1 M N a M N a a a M N = ∀ = ⇔ ≠ = * 1 0 1 M N a M N a a a M N > > > ⇔ < < < GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 4 SVTH: Phạm Ngọc Tài Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit * 1 0 1 0 1 0 x a x a a x > > > ⇔ < < < * 1 0 0 1 0 1 0 x a x a a x > < < < ⇔ < < > Các tính chất trên thường dùng để giải các phương trình và bất phương trình mũ. d. Công thức đổi cơ số: Từ hàm số mũ cơ số a đổi sang hàm số cơ số b ta có công thức: ( ) log , 1 b x a x a b a b = ≠ Ví dụ: 3 log 2 ln 2 3 ; x x x x a a e= = ,… e. Đồ thị hàm số mũ: x y a= * Với 1a > : Bảng biến thiên: x −∞ 0 +∞ x y a= +∞ 1 0 Đồ thị: * Với 0 1a< < : Bảng biến thiên: x −∞ 0 +∞ x y a= +∞ 1 0 GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 5 SVTH: Phạm Ngọc Tài Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit Đồ thị: Nhận xét rằng: + Đồ thị hàm số x y a= luôn luôn đi qua điểm ( ) 0,1A . + Đồ thị hàm số x y a= luôn luôn nằm phía trên trục hoành. + Các hàm số x y a= và 1 x y a = ÷ có đồ thị đối xứng nhau qua trục tung. B. Tóm tắt về hàm số Logarit: 1. Định nghĩa: Cho số thực 0a > và 0a ≠ , logarit cơ số a của một số dương N là một số M sao cho M N a= . Kí hiệu là log a N . Ta có: log M a N M N a= ⇔ = . Ví dụ: 2 log 32 5= vì 5 2 32= ; 2 1 3 9 − = nên 3 1 log 2 9 = − . 2. Tính chất: + Cơ số 0a > và 1a ≠ . + log a N có nghĩa khi và chỉ khi 0N > . + log 1 0 ; log 1 ; log n a a a a a n= = = . + log log , ; , 0 a N M a a M M a N N= ∀ ∈ = ∀ >R Ví dụ: ( ) 2 2 log 4 x− xác định khi và chỉ khi 2 4 0 2 2x x− > ⇔ − < < GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 6 SVTH: Phạm Ngọc Tài Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit ( ) 1 log 5 x x − − xác định khi và chỉ khi 1 0 1 1 5 1 1 2 2 5 0 5 x x x x x x x x − > > < < − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ − > < 3 4 log 2 3 5 1 1 2 2 1 3 2 ; log 5 3 ; log 16 log 4 2 − − = = − = = − ÷ 3. Các phép tính về logarit: Giả sử 0 1a< ≠ ; , , 0A B N > , ta có các công thức sau: * ( ) log log log a a a AB A B = + Mở rộng: ( ) 1 2 1 2 log . log log log a n a a a n A A A A A A = + + + * log log log a a a A A B B = − ÷ Hệ quả: 1 log log a a N N = − ÷ * ( ) log log a a N N α α α = ∈ R * 1 log log n a a N N n = = 4. Công thức đổi cơ số: Giả sử 0 , 1a b< ≠ ; , 0c x > ta có: * log log .log a a b c b c = Hệ quả: 1 2 2 1 1 2 3 1 log .log log .log log n n a a a n a n a n a a a a a − − − = * log log log b a b x x a = * log log a b a b a = * 1 log log a a x x α α = * log log n a a x n x = * 1 log log a a x x = − * ( ) 1 log 1 1 1 log log ab a b x x x x = ≠ + 5. Hàm số logarit: GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 7 SVTH: Phạm Ngọc Tài Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit a. Định nghĩa: Hàm số logarit cơ số a ( ) 0, 1a a> ≠ là hàm số xác định bởi công thức log a y x= . Ví dụ: 2 logy x= , 1 3 logy x= . b. Các tính chất: * Hàm số log a y x= có tập xác định là ( ) 0;+∞ * Hàm số log a y x= liên tục tại mọi điểm 0x > * Nếu 1a > thì hàm số log a y x= đồng biến trong khoảng ( ) 0;+∞ * Nếu 0 1a< < thì hàm số log a y x= nghịch biến trong khoảng ( ) 0;+∞ * Hàm số log a y x= có tập giá trị là R . c. Từ tính chất đơn điệu của hàm số logarit ta suy ra các đẳng thức và bất đẳng thức sau: * log log 0 0, 1 a a M N M N N a a = = ⇔ > > ≠ * 1 0 log log 0 1 0 a a a M N M N a M N > < < < ⇔ < < > > * 1 1 log 0 0 1 0 1 a a M M a M > > > ⇔ < < < < * 1 0 1 log 0 0 1 1 a a M M a M > < < < ⇔ < < > Các tính chất nầy thường được dùng để giải các phương trình và bất phương trình logarit. 6. Đồ thị của hàm số logarit: * Với 1a > : Bảng biến thiên: x 0 1 a +∞ log a y x= +∞ 1 0 −∞ Đồ thị: GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 8 SVTH: Phạm Ngọc Tài Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit * Với 0 1a < < Bảng biến thiên: x 0 1 a +∞ log a y x= +∞ 0 1 −∞ Đồ thị: Nhận xét: * Đồ thị hàm số log a y x= luôn luôn đi qua điểm ( ) 1,0A . * Đồ thị hàm số log a y x= luôn luôn ở beeb phải trục tung. * Các hàm số log a y x= và 1 log a y x= đối xứng nhau qua trục hoành. * Vì log y a y x x a= ⇔ = nên các hàm số log a y x= và x y a= là những hàm số ngược nên các đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường phân giác y x= . GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 9 SVTH: Phạm Ngọc Tài Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG I: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG. Cơ sở của phương pháp tìm tập xác định của hàm số là cần xác định các giá trị của x để hàm số ( ) y f x= có nghĩa. Để làm tốt dạng bài tập này chúng ta cần lưu ý: 1. Điều kiện có nghĩa của các hàm số cơ bản: * ( ) 2k y f x x= = có nghĩa khi và chỉ khi 0x ≥ ; k ∈ Z * ( ) tany f x x= = có nghĩa khi và chỉ khi ; 2 x k k π π ≠ + ∈ Z * ( ) coty f x x= = có nghĩa khi và chỉ khi ;x k k π ≠ ∈ Z * ( ) log a y f x x= = có nghĩa khi và chỉ khi 0 0; 1 x a a > > ≠ * ( ) x y f x a= = có nghĩa khi và chỉ khi 0a > 2. Điều kiện có nghĩa của đa thức bậc ( ) : n n y P x= là x∀ ∈ R 3. Gọi ( ) ( ) ,P x Q x là các hàm số hợp của các hàm số cơ bản, ta có: * ( ) ( ) P x y Q x = có nghĩa khi và chỉ khi ( ) 0Q x ≠ * ( ) 2k y P x= có nghĩa khi và chỉ khi ( ) 0;P x k≥ ∈ Z * ( ) 2 1k y P x + = có nghĩa khi và chỉ khi ;x k∀ ∈ ∈R Z * ( ) ( ) log P x y Q x= có nghĩa khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) 0 0; 1 P x Q x Q x > > ≠ * ( ) ( ) P x y Q x= có nghĩa khi và chỉ khi ( ) 0Q x > 4. Các hàm số ( ) ( ) y f x g x= ± và hàm số ( ) ( ) .y f x g x= có tập xác định là f g D D D= ∩ . Trong khi đó hàm số ( ) ( ) f x y g x = có tập xác định là ( ) { } \ 0 f g D D D x g x= ∩ ∈ ≠R Ngoài ra muốn tìm tập xác định của hàm số chúng ta cần chú ý: * Tập xác định của hàm số ( ) y f x= là tập các giá trị x ∈ R sao cho tồn tại ( ) f x ∈ R . * Ta chú ý rằng ( ) x y a ϕ = xác định khi 0a > và ( ) x ϕ xác định. Nếu 0a = thì ( ) 0x ϕ ≠ và nếu 0a < thì ( ) x ϕ ∈ Z GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 10 SVTH: Phạm Ngọc Tài [...]... ⇔x=4 Vậy nghiệm của phương trình là x = 4 2 Phương pháp mũ hóa hoặc logarit hóa: Để giải phương trình bằng phương pháp mũ hóa hoặc logarit hóa chúng ta phải nắm vững các tính chất đã nêu ở mục 1 Tuy nhiên trước khi mũ hóa hoặc lgarit hóa, chúng ta cần biến đổi để rút gọn cả hai vế của phương trình về dạng gọn nhất Phương pháp logarit hóa tỏ ra càng hiệu lực khi hai vế của phương trình có dạng tích của... 5 1 2 phương trình thỏa mãn GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 33 SVTH: Phạm Ngọc Tài Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit Với x = 3 , thay vào phương trình ban đầu ta được: 1 3 1 3 3 1.log 5 + 1 = log 5 + log 5 5 3 = log 5 2 5 3 5 53 3 3 > 1 nên log 5 2 > 0 , suy ra phương trình không thỏa mãn 2 Nhận xét: Vì 53 53 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1 Ví dụ 3: Giải phương trình: ... = 1 d y = log 1 2 2 sin 2 x y = log 1 2cos 3 2 x 3 DẠNG IV: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT I PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1 Phương pháp đưa về cùng cơ số: Thường áp dụng các phép tính về lũy thừa hay phép tính về logarit để biến đổi Để đồng hóa cơ số hoặc để khử biểu thức mũ hoặc logarit chứa ẩn số, ta thường lấy mũ hoặc logarit hai vế Ta áp dụng các công thức sau: Với 0 < a ≠ 1 ta có: +... c Hay x = 2 là ngiệm duy nhất của phương trình a x + b x = c x b Đặt t = 2 x Khi đó phương trình đã cho tương đương với: a t + bt = c t GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 34 SVTH: Phạm Ngọc Tài Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit Theo câu a phương trình này có duy nhất một nghiệm là t = 2 Suy ra 2 x = 2 ⇔ x = 1 Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm là x = 1 Ví dụ 5: Giải phương trình: ... y ≤ −3 ⇒ y = − y thay vào (2) ta được: y 2 + 3 y ≤ 0 ⇔ −3 ≤ y ≤ 0 (**) Từ (*) và (**) ta có y = −3 x = −1 x = 3 ∨ Thay vào (1) ta được y = −3 y = − 3 Vậy có hai cặp số thỏa mãn yêu cầu đề bài là ( −1; −3) và ( 3; −3) Ví dụ 7: Giải phương trình: Giải Đặt t = 3 ; t > 0 , khi đó ta nhận được phương trình: x t 2 + 2 ( x − 2) t + 2x − 5 = 0 Ta xem phương trình trên là phương trình bậc hai theo... dụ 9: Giải phương trình: 2 x + 22 x = 20 GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 26 SVTH: Phạm Ngọc Tài Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit Giải Đặt t = 2 x > 0 Khi đó phương trình đã cho tương đương với: t = 4 t 2 + t = 20 ⇔ t = −5 Do t > 0 nên nhận t = 4 Suy ra: 2 x = 4 ⇔ x = 2 Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 Ví dụ 10: Giải phương trình: log x − 2 2 x = 3 Giải Phương trình đã cho... đề về Mũ và Logarit log c b log c a m m + log an b = log a b n 2k + log a b = 2k log a b ; k ∈ Z + log a b = Ví dụ 1: Giải phương trình: 52 x = 625 Giải Ta có: 52 x = 625 ⇔ 52 x = 54 ⇔ 2 x = 4 ⇔ x = 2 Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 Ví dụ 2: Giải phương trình 16 x = 82( 1− x ) Giải 2( 1− x ) 6 1− x x ⇔ 24 x = 2 ( ) ⇔ 4 x = 6 ( 1 − x ) ⇔ 10 x = 6 ⇔ x = Ta có: 16 = 8 Vậy nghiệm của phương trình. .. nghiệm của phương trình là x = 1 Ví dụ 5: Giải phương trình: log 2 x + log 4 x + log8 x = 11 Giải Phương trình đã cho tương đương với: GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 25 SVTH: Phạm Ngọc Tài Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit 1 1 log 2 x + log 22 x + log 23 x = 11 ⇔ log 2 x + log 2 x + log 2 x = 11 2 3 11 ⇔ log 2 x = 11 ⇔ log 2 x = 6 ⇔ x = 64 6 x = 64 Vậy nghiệm của phương trình là 2... trình: 101+ x − 101− x = 99 2 2 Giải 2 x Biến đổi phương trình đã cho về dạng: 10.10 − 10 10 x 2 = 99 Đặt t = 10 x > 0 Khi đó phương trình đã cho tương đương với: 2 10t 2 − 99t − 10 = 0 ⇔ t = 10 2 Suy ra 10 x = 10 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1 Vậy nghiệm của phương trình là x = ±1 Ví dụ 3: Giải phương trình: log 3 ( 2 x + 1) = 2 log ( 2 x +1) 3 + 1 Giải Điều kiện: 2 x + 1 > 0 ⇔ x > − 1 2 1 Biến đổi phương trình. .. 5 Suy ra 3x = −2 x + 5 Nhận thấy rằng x = 1 là nghiệm của phương trình này GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 35 SVTH: Phạm Ngọc Tài Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit Thật vậy: 3x > 3 Nếu x > 1 ta có: nên phương trình vô nghiệm −2 x + 5 < 3 3x < 3 Nếu x < 1 ta có: nên phương trình vô nghiệm −2 x + 5 > 3 Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm là x = 1 Ví dụ 8: Tìm . dựng xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit mà trong đó trọng tâm là phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và logarit. Theo đó, các phương pháp giải các dạng toán. liên quan về muc và logarit như tìm tập xác định, tính và rút gọn các biểu thức, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình cũng. về Mũ và Logarit PHẦN NỘI DUNG GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 3 SVTH: Phạm Ngọc Tài Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit PHẦN I: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT A.