Động học chất lưu 1 ĐỘNG HỌC CHẤT LƯU Biên soạn: Lê Quang Nguyên 1. HẠT CHẤT LƯU Trong cơ học chất lưu khái niệm chất điểm vẫn được dùng, dưới tên gọi khác đi là hạt chất lưu. Cũng như chất điểm hay điện tích điểm, hạt chất lưu phải có kích thước rất nhỏ so với các khoảng cách đặc trưng của bài toán đang xét, nhưng không nhỏ đến mức độ nguyên tử, phân tử. Mỗi hạt chất lưu phải chứa một số lớn các nguyên tử, phân tử vật chất, để cho chất lưu vẫn có thể coi như một môi trường liên tục. Chẳng hạn, khi xét dòng nước chảy trong một ống nước thì kích thước của hạt chất lưu phải nhỏ hơn nhiều so với đường kính của ống nước, nhưng lại lớn hơn nhiều so với khoảng cách trung bình giữa các phân tử nước. Nếu đường kính ống nước là cỡ 10 -1 m, và biết rằng khoảng cách trung bình giữa các phân tử nước là 10 -10 m, người ta có thể chọn hạt chất lưu có kích thước khoảng 10 -6 m. Một hạt nước như thế vẫn còn chứa đến 10 10 phân tử nước! Để mô tả chuyển động của các hạt chất lưu trong một dòng chảy, người ta có thể chọn khảo sát quỹ đạo của từng hạt chất lưu một (phương pháp Lagrange) hay dùng khái niệm trường vận tốc (phương pháp Euler). 2. PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE Như đã nói ở trên, cách mô tả Lagrange đòi hỏi phải biết quỹ đạo của các hạt chất lưu, đó cũng chính là cách mô tả quen thuộc trong cơ học, dựa vào các vectơ vị trí ( ) r t  , vận tốc ( ( ), ) v r t t   và gia tốc ( ( ), ) a r t t   của từng hạt. Nói một cách hình tượng, thì phương pháp Lagrange tương đương với việc đánh dấu các hạt chất lưu trong một dòng chảy, bằng cách nhuộm màu chúng chẳng hạn, rồi chụp ảnh dòng chảy với thời gian mở ống kính thật dài để có thể thấy được đường đi của các hạt đánh dấu. Hình 2.1 cho thấy một ảnh chụp như thế của một dòng chảy quanh một ống trụ. Do số lượng hạt quá lớn nên phương pháp Lagrange gặp nhiều trở ngại trong các tính toán thực tế. Trong các ứng dụng người ta hầu như chỉ dùng cách mô tả dòng chảy bằng trường vận tốc do Euler đề ra. 3. PHƯƠNG PHÁP EULER Chúng ta hẳn đã rất quen thuộc với cách mô tả tính chất điện và từ của một môi trường bằng các khái niệm điện trường và từ trường. Theo đó các vectơ điện trường và từ trường được xác định tại mọi điểm của không gian cần khảo sát. Đối với điện trường và từ trường tĩnh thì E  và B  chỉ là các hàm của vị trí, còn khi điện từ trường biến thiên thì chúng là hàm của cả vị trí lẫn thời gian. 3.1 TRƯỜNG VẬN TỐC Theo phương pháp Euler người ta cũng làm tương tự như vậy đối với dòng chảy. Vận tốc tức thời của dòng chảy tại các điểm Hình 2.1 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Động học chất lưu 2 khác nhau trong dòng chảy, tức là biểu thức ( , ) v r t   , phải được xác định. Như vậy dòng chảy tương ứng với một trường vận tốc. Lưu ý là ở đây r  là vị trí của các điểm trong dòng chảy, chứ không phải là vị trí của các hạt chất lưu, vì thế r  và t là các biến số độc lập. Một cách hình tượng thì cách mô tả Euler tương ứng với việc chụp hình nhanh dòng chảy ở các thời điểm khác nhau. Hình 3.1.1 cho ta thấy một ví dụ về trường vận tốc; đó là kết quả mô phỏng trên máy tính cho trường vận tốc tại tâm một cơn lốc. 3.2 ĐƯỜNG DÒNG Để mô tả điện từ trường người ta thường dùng các đường sức, là các đường tiếp tuyến tại mọi điểm với vectơ điện trường hay từ trường. Tương tự như vậy người ta dùng khái niệm đường dòng để mô tả trường vận tốc của một dòng chảy: đường dòng là đường sức của trường vận tốc. Nói chung thì đường dòng không trùng với quỹ đạo, chúng chỉ trùng nhau khi trường vận tốc là dừng (không thay đổi theo thời gian, vận tốc tại mỗi điểm luôn có một giá trị duy nhất). 3.3 GIA TỐC CỦA HẠT CHẤT LƯU Theo cách mô tả Euler, mặc dù không dùng biểu thức tường minh của vận tốc hạt, người ta vẫn có thể xác định được gia tốc hạt chất lưu. Thật vậy, xét một hạt chất lưu ở vị trí r  vào thời điểm t, tới lúc t+dt thì hạt di chuyển tới vị trí r dr    . Vậy vận tốc của hạt lúc t và t+dt là ( , ) v r t   và ( , ) v r dr t dt      . Độ biến thiên vận tốc của hạt sẽ là: ( , ) ( , ) ( . ) v dv v r dr t dt v r t dt dr v t                    (3.3.1) Chia biểu thức trên cho dt ta thu được gia tốc của hạt chất lưu: ( . ) v a v v t           (3.3.2) Về mặt hình thức, biểu thức trên cũng giống như đạo hàm toàn phần của vận tốc theo thời gian, nếu coi vị trí là hàm của thời gian. Nhưng sự thật là chúng ta đã không lấy đạo hàm toàn phần của vận tốc, vì vị trí ở đây không phụ thuộc vào thời gian. Để chỉ rõ rằng đấy không phải là đạo hàm toàn phần theo thời gian, một số tác giả đã dùng khái niệm đạo hàm theo hạt, định nghĩa như sau: ( . ) D v Dt t        (3.3.3) Như vậy theo cách mô tả của Euler thì gia tốc của hạt chất lưu ở một vị trí nào đó là đạo hàm theo hạt của trường vận tốc tại vị trí đó: Hình 3.1.1. Trường vận tốc tại tâm lốc xoáy. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Động học chất lưu 3 Dv a Dt    (3.3.4) Có tên gọi đạo hàm theo hạt là vì, như trình bày trên đây, chúng ta đã đi theo hạt chất lưu trong quá trình tính toán độ biến thiên của vận tốc. Trong cách mô tả của Euler, nếu muốn tính tốc độ biến thiên của một đại lượng nào đó dọc theo đường đi của một hạt, thì nhất thiết phải dùng đạo hàm theo hạt. 4. SỰ BẢO TOÀN KHỐI LƯỢNG 4.1 MẬT ĐỘ DÒNG Xét một dòng chảy đều có khối lượng riêng  chuyển động với vận tốc v  . Vectơ mật độ dòng j  được định nghĩa như sau: j v     (4.1.1) Giả sử có một hình phẳng, diện tích bằng đơn vị, vuông góc với dòng chảy (hình 4.1.1). Khối lượng nước đi qua hình phẳng ấy trong một đơn vị thời gian chính bằng khối lượng nằm trong hình hộp có đáy là hình phẳng và chiều cao bằng vận tốc dòng chảy. Khối lượng đó bằng khối lượng riêng nhân với thể tích của hình hộp: 1 v v      (4.1.2) Vậy j  có độ lớn bằng khối lượng nước đi qua một đơn vị diện tích vuông góc với dòng chảy trong một đơn vị thời gian, và lưu lượng nước đi qua một diện tích phẳng S vuông góc với dòng chảy là jS   . Nếu S không vuông góc với dòng chảy (hình 4.1.2) thì ta lập luận như sau: Lưu lượng qua S = lưu lượng qua S ’ = jS ’ = jScos  Vậy: Snj    (4.1.3) Lưu ý rằng lưu lượng là một số đại số, lưu lượng là dương nếu các hạt đi theo chiều dương của bề mặt (chiều của vectơ đơn vị pháp tuyến n  ), và âm trong trường hợp ngược lại. Nếu dòng chảy có khối lượng riêng thay đổi và bề mặt S cũng có hình dạng bất kỳ (hình 4.1.3) thì ta chia bề mặt ra làm nhiều phần nhỏ dS, mỗi phần nhỏ như vậy có thể coi như phẳng và mật độ dòng tại đó cũng có thể coi là không đổi. Như vậy thông lượng hạt qua dS là: dSnjd    (4.1.4) Lưu lượng qua S là tổng các lưu lượng sơ cấp qua các phần nhỏ dS trên mặt S:   SS dSnjd   (4.1.5) dS S j Hình 4.1.3 Hình 4.1.1 v S ’ S n j  Hình 4.1.2 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Động học chất lưu 4 Trong trường hợp S là một mặt khép kín, người ta quy ước chọn n  hướng ra ngoài, như thế lưu lượng ra khỏi mặt là dương, còn lưu lượng vào mặt là âm 4.2 PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC Xét một mặt kín S trong một dòng chảy (hình 4.2.1). Vì khối lượng được bảo toàn, nên nếu trong thời gian dt bên trong mặt S khối lượng chất lưu giảm đi dm, thì cũng phải có một khối lượng tương ứng đi ra khỏi mặt S trong cùng thời gian ấy. Hay nếu tính trong một đơn vị thời gian, thì tốc độ giảm khối lượng bên trong S phải bằng lưu lượng ra khỏi S. Như thế: S dm j ndS dt        (4.2.1) Có dấu trừ trong hệ thức trên vì dm < 0, còn lưu lượng ra khỏi mặt S lại là một số dương. Hệ thức trên cũng đúng trong trường hợp khối lượng trong S tăng lên, tức là dm > 0, khi đó lưu lượng qua S sẽ âm, tương ứng với dòng chảy đi vào trong mặt S. Gọi V là thể tích giới hạn bởi mặt S, ta có: V V dm d dV dV dt dt t         (4.2.2) Mặt khác, theo định lý Ostrogradsky-Gauss, lưu lượng qua mặt kín S có thể biến đổi thành tích phân theo thể tích V của jdiv  :    S V dVjdSnj     (4.2.3) Thay (4.2.2) và (4.2.3) vào (4.2.1) rồi chuyển vế, ta thu được: 0 V j dV t                 (4.2.4) Hệ thức trên đúng với một thể tích V bất kỳ, nên hàm dưới dấu tích phân phải bằng không tại mọi điểm: 0 j t          (4.2.5) Tương tự như phương trình (4.2.1), phương trình (4.2.5) cũng mô tả sự bảo toàn của khối lượng. Chỉ có điểm khác biệt là nó diễn tả sự bảo toàn khối lượng trong một thể ích nhỏ dV bao quanh một vị trí xác định, bởi vì j    chính là lưu lượng qua bề mặt bao quanh dV chia cho dV (lưu lượng hạt trên một đơn vị thể tích). Phương trình bảo toàn khối lượng định xứ (4.2.5) còn được gọi là phương trình liên tục. Nếu dùng hệ thức: . ( ) ( . ) . j v v v                   (4.2.6) dm < 0 Hình 4.2.1. Khối lượng ra bằng khối lượng giảm đi trong mặt S. Dòng ra Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Động học chất lưu 5 và nhớ lại định nghĩa của đạo hàm theo hạt (3.3.3) thì phương trình liên tục còn có thể viết dưới dạng: . 0 D v Dt        (4.2.7) Khi dòng chảy là dừng thì khối lượng riêng của chất lưu ở từng vị trí không phụ thuộc vào thời gian ( 0 t     ), phương trình liên tục trở thành: . 0 j     (4.2.8) Nghĩa là: lưu lượng khối lượng của một dòng chảy dừng qua một mặt kín luôn luôn bằng không  khối lượng vào bằng khối lượng ra trong cùng một khoảng thời gian. Khi dòng chảy là không nén được (thể tích của hạt chất lưu khi nó chuyển động là không đổi, 0 D Dt   ), phương trình liên tục dưới dạng (4.2.7) biến đổi thành: . 0 v     (4.2.9) Nghĩa là: lưu lượng thể tích của một dòng chảy không nén được qua một mặt kín luôn luôn bằng không  thể tích chất lưu đi vào bằng thể tích chất lưu đi ra trong cùng một thời gian. 5. CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA MỘT HẠT CHẤT LƯU Xét một hạt chất lưu có khối tâm C, có vận tốc là vận tốc của khối tâm. Gọi M là một điểm bất kỳ trong hạt chất lưu. Do kích thước của hạt là rất nhỏ nên ta có thể viết vận tốc tại M như sau:   ( ) ( ) . v M v C CM v         (5.1) Ta có hệ thức:           . . . a b b a a b b a a b                            (5.2) Với a CM    và b v    ta có:       . . CM v CM v CM v                (5.3) Dùng (5.3), ta có thể viết lại hệ thức (5.1) dưới dạng: ( ) ( ) 2 v M v C CM D          (5.4) Trong đó ta đã định nghĩa vectơ xoáy   : 1 2 v       (5.5) Và vectơ biến dạng D  : Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Động học chất lưu 6   . D CM v       (5.6) Biểu thức (5.4) cho thấy chuyển động của hạt chất lưu bao gồm:  Chuyển động tịnh tiến của khối tâm;  Chuyển động quay quanh khối tâm;  Chuyển động biến dạng đặc trưng bởi vectơ D  . Hình 5.1 là kết quả mô phỏng một cơn lốc trên máy tính. Do trường vận tốc có 0 rotv   nên các hạt chất lưu quay quanh khối tâm của chúng. Ngoài ra chúng ta cũng quan sát thấy sự biến dạng của chúng. 6. DÒNG CHẢY KHÔNG XOÁY Dòng chảy không xoáy là dòng chảy có 0 rotv   . Khi đó vận tốc của dòng chảy có thể viết dưới dạng gradient của một hàm vô hướng : v grad    (6.1) Trong cơ học các trường lực có thể viết dưới dạng gradient của một hàm vô hướng có tên gọi chung là các trường thế. Vì vậy dòng chảy không xoáy còn được gọi là dòng chảy thế, còn hàm  được gọi là thế của dòng chảy. Ngoài ra nếu dòng chảy là không nén được thì div 0 v   , do đó: ( ) 0 div grad     (6.2) Vậy thế của một dòng chảy không xoáy, không nén được là một hàm điều hoà (tức là thoả phương trình Laplace (6.2)). HÀM DÒNG Xét một dòng chảy không xoáy phẳng (trường vận tốc chỉ phụ thuộc vào hai biến không gian, chẳng hạn x và y). Phương trình của một đường dòng được cho bởi: x y dx dy v v  (6.3) Do tính chất thế của dòng chảy nên các thành phần của vận tốc có thể biểu diễn qua hàm thế , ta suy ra: dx dy x y      (6.4) Người ta định nghĩa hàm dòng  như sau: , y x x y            (6.5) Hình 5.1. Sự quay và biến dạng của các hạt chất lưu. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Động học chất lưu 7 Như vậy phương trình của một đường dòng còn có dạng: 0 dx dy d x y         (6.6) Điều đó có nghĩa là trên mỗi đường dòng thì hàm dòng có một giá trị không đổi, giá trị đó được gọi là chỉ số của đường dòng tương ứng. 7. DÒNG CHẢY XOÁY Dòng chảy được gọi là xoáy khi trường vận tốc có 0 rotv   . Khi đó, như đã giới thiệu trong phần 5, người ta định nghĩa vectơ xoáy : 1 2 rotv     (7.1) Để mô tả một dòng chảy xoáy chúng ta có thể dùng các đường xoáy, là các đường tiếp tuyến tại mọi điểm với vectơ xoáy. Hình 7.1 cho thấy các đường xoáy của một vòng khói tròn mà ta thường thấy xuất hiện trên miệng núi lửa. Do div(rot) = 0 nên: 0 div    (7.2) Vậy thông lượng của vectơ xoáy qua một mặt kín luôn luôn bằng không. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Mécanique des fluides, 2 de année PC-PC * PSI-PSI * , J. M. Brébec et al, Hachette Supérieur (1998). [2] Mécanique des fluides-Précis de physique, J L. Queyrel, J. Mesplède, Bréal (1997). [3] Cơ học chất lỏng ứng dụng, Phạm văn Vĩnh, Nhà xuất bản Giáo Dục (2000). Đường xoáy Đường dòng Vòng khói Hình 7.1 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. . Động học chất lưu 1 ĐỘNG HỌC CHẤT LƯU Biên soạn: Lê Quang Nguyên 1. HẠT CHẤT LƯU Trong cơ học chất lưu khái niệm chất điểm vẫn được dùng, dưới tên gọi khác đi là hạt chất lưu. Cũng. luôn bằng không  thể tích chất lưu đi vào bằng thể tích chất lưu đi ra trong cùng một thời gian. 5. CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA MỘT HẠT CHẤT LƯU Xét một hạt chất lưu có khối tâm C, có vận. evaluation only. Động học chất lưu 6   . D CM v       (5.6) Biểu thức (5.4) cho thấy chuyển động của hạt chất lưu bao gồm:  Chuyển động tịnh tiến của khối tâm;  Chuyển động quay