Đường thẳng mặt phẳng trong không gian Oxyz docx

21 581 0
Đường thẳng mặt phẳng trong không gian Oxyz docx

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

www.laisac.page.tl  Đ  Ờ  G T  Ẳ  G V  M  T P  Ẳ  G  ĐƯ  N  TH  N  VÀ  MẶ  PH  N  ƯỜN HẲN Ặ HẲN T  O  G K  Ô  G G  A  O  Y  XY IA HÔN RON TR  N  KH  N  GI  N  OX  Z  TS.Trần Phương PHƯƠNG TRÌNH M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN I VÉCTƠ C TRƯNG C A M T PH NG: Hai véctơ u = ( a1 , a , a3 ) ; v = ( b1 ; b2 ; b3 ) m t c p véc tơ ch phương (VTCP) c a m t ph ng (α) ⇔ u , v ≠ ; không phương giá c a chúng song song ho c n m m t ph ng (α) Véctơ n = ( a; b; c ) véc tơ pháp n (VTPT) c a m t ph ng (α) ⇔ (α) ⊥ giá c a n Nh n xét: M t ph ng (α) có vô s c p véctơ ch phương vô s véctơ pháp n ng th i n // [ u , v ] u = ( a1 , a , a )  N u  m t c p VTCP c a mp(α) VTPT là: v = ( b1 ; b2 ; b3 )   a n = [u , v ] =   b2 a3 a ; b3 b3 a1 a ; b1 b1 a2   b2  II CÁC D NG PHƯƠNG TRÌNH C A M T PH NG Phương trình t ng quát: 2.1 Phương trình t c: Ax + By + Cz + D = v i A + B + C > N u D = Ax + By + Cz = ⇔ (α) i qua g c t a N u A = 0, B ≠ 0, C ≠ (α): By + Cz + D = s song song ho c ch a v i tr c x’Ox N u A ≠ 0, B = 0, C ≠ (α): Ax + Cz + D = s song song ho c ch a v i tr c y’Oy N u A ≠ 0, B ≠ 0, C = (α): Ax + By + D = s song song ho c ch a v i tr c z’Oz 2.2 Phương trình t ng quát c a mp(α) i qua M0(x0, y0, z0) v i c p VTCP u = ( a1 , a , a )  a  hay VTPT n = [u , v ] =    b2 v = ( b1 ; b2 ; b3 )  a2 b2 a3 b3 ( x − x0 ) + a3 b3 a1 b1 ( y − y0 ) + a1 b1 a3 a ; b3 b3 a2 b2 a1 a ; b1 b1 a2   là: b2  ( z − z0 ) = 2.3 Phương trình t ng quát c a mp(α) i qua i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) ; C ( x , y , z ) không th ng hàng có VTPT là:  y − y1 n =  AB, AC  =     y − y1 z − z1 z − z1 , z − z1 z − z1 x − x1 x − x1 , x − x1 x − x1 y − y1   y − y1  nên phương trình là: y − y1 z − z1 y3 − y1 z3 − z1 ( x − x1 ) + z − z1 x2 − x1 z3 − z1 x3 − x1 ( y − y1 ) + x2 − x1 x3 − x1 y − y1 y3 − y1 ( z − z1 ) = c bi t: Phương trình m t ph ng i qua A ( a; 0; ) , B ( 0; b; ) , C ( 0; 0; c ) là: x + y + z = ( abc ≠ ) a b c Phương trình chùm m t ph ng: Cho m t ph ng c t ( α ) : a1 x + b1 y + c1 z + d = ; ( α ) : a x + b2 y + c z + d = ( ∆ ) = ( α1 ) ∩ ( α ) v i M t ph ng (α) ch a (∆) p ( a1 x + b1 y + c1 z + d ) + q ( a x + b2 y + c z + d ) = v i p2 + q2 > III V TRÍ TƯƠNG I C A M T PH NG Cho m t ph ng (α1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = có VTPT n1 = ( A1 , B1 , C1 ) (α2): A2 x + B y + C z + D = có VTPT n = ( A2 , B , C ) N u n1 , n khơng phương (α1) c t (α2) N u n1 , n phương (α1 ), (α2) khơng có i m chung (α1) // (α2) N u n1 , n phương (α1 ), (α2) có i m chung (α1) ≡ (α2) IV GĨC GI A HAI M T PH NG Góc gi a m t ph ng (α 1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (α2): A2 x + B y + C z + D = ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) th a mãn: cos ϕ = n1 n2 n1 n2 = A1 A2 + B1 B2 + C1C2 2 A12 + B12 + C12 A2 + B2 + C v i n1 , n VTPT c a (α1), (α2) V KHO NG CÁCH Kho ng cách t M0(x0, y0, z0) d ( M , α) = n m t ph ng (α): Ax + By + Cz + D = là: Ax + By + Cz + D A2 + B + C 2 Kho ng cách gi a m t ph ng song song: d ( α; β ) = d ( M ; β ) ∀M ∈ ( α ) d ( α; β ) = d ( M ; α ) ∀M ∈ ( β ) VI CÁC BÀI T P M U MINH H A Bài L p phương trình t ng quát c a mp(α) i qua A(2; 1; −1) vng góc v i ng th ng xác nh b i i m B(−1; 0; −4), C(0; −2; −1) Mp(α) i qua A nh n BC = (1; −2;3) làm VTPT nên phương trình mp(α) là: ( x − ) − ( y − 1) + ( z + 1) = ⇔ x − y + z + = Bài L p phương trình tham s phương trình t ng quát c a mp(α) i qua A ( 2; −1; ) , B ( 3; 2; −1) vng góc v i ( β ) : x + y + z − = HD: AB = (1; 3; −5 ) , nβ = (1;1; ) Do mp(α) i qua A, B ( α ) ⊥ ( β ) nên (α) nh n AB, n b làm c p VTCP Suy VTPT c a (α) là:  −5 −5 1  n = ; ;  = (11; −7; −2 ) M t khác (α) i qua A ( 2; −1; ) nên 1   phương trình mp(α): 11 ( x − ) − ( y + 1) − ( z − ) = ⇔ 11x − y − z − 21 = Bài L p phương trình mp(α) i qua A(1; 0; 5) // mp(γ): 2x − y + z − 17 = L p phương trình mp(β) i qua i m B(1; −2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0) tính góc nh n ϕ t o b i mp(α) (β) HD: mp(α) // (γ): x − y + z − 17 = có n = ( 2; −1;1) ⇒ (α): x − y + z + c = (α) i qua A(1; 0; 5) ⇒ ⋅ − + + c = ⇔ c = −7 ⇒ PT (α): x − y + z − = mp(β) nh n véc tơ BC = ( 0; 2; −1) , BD = ( −1;3; −1) làm c p VTCP nên có   −1 −1 VTPT là: nβ =  ; ;  = (1;1; )  −1 −1 −1 −1  V y phương trình mp(β): x + ( y − 1) + z = ⇔ x + y + z − = cos ϕ = cos ( n , nβ ) = ⋅1 − 1⋅1 + ⋅ = = ⇒ ϕ = π = 60° +1+1 1+1+ 2 x − 2z =  Bài Vi t PT m t ph ng ch a ng th ng (∆):  3 x − y + z − =  vng góc v i m t ph ng (P): x − y + z + = HD: Phương trình chùm m t ph ng ch a (∆) là: m ( x − z ) + n ( x − y + z − 3) = ( m, n ∈ » ; m + n > ) ⇔ ( m + 3n ) x − 2ny + ( n − 2m ) z − 3n = ⇒ mp(α) ch a (∆) có VTPT u = ( m + 3n; −2n; n − 2m ) M t ph ng (P) có VPPT v = (1; −2;1) nên (α) ⊥ (P) u ⋅ v = ⇔ ⋅ ( m + 3n ) − ⋅ ( −2n ) + ⋅ ( n − 2m ) = ⇔ 8n − m = Cho n = suy m = , ó phương trình mp(α) là: 11x − y − 15 z − = Bài Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a Oz l p v i m t ph ng (α): x + y − z = m t góc 60° HD: M t ph ng (P) ch a Oz ⇒ (P) có d ng: mx + ny = ( m + n > ) ⇒ VTPT u = ( m; n; ) M t ph ng (α) có VTPT v = ( 2;1; − ) suy cos ( u , v ) = cos 60° ⇔ 2.m + 1.n − m2 + n2 = ⇔ ( 2m + n ) = 10 ( m + n ) 2 + 12 + ⇔ ( 4m + 4mn + n ) = 10 ( m + n ) ⇔ ( 3m + 8mn − 3n ) = Cho n = ⇒ 3m + 8m − = ⇔ m = −3 ∨ m = V y ( P ) : x − y = ho c ( P ) : x + y = Bài Vi t phương trình t ng quát c a mp(α) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) t o v i (Oxy) m t góc 60° HD: (α): Ax + By + Cz + D = qua M, N suy ra: C + D = 0; A + D = ⇒ C = A; D = −3 A M t ph ng (Oxy) có VTPT ( 0; 0;1) suy C 2 A +B +C = cos 60° ⇔ 3A = ⇔ 36 A = 10 A + B 2 10 A + B 2 ⇔ 26 A = B ⇔ B = ± 26 A Do A + B + C ≠ ⇒ A ≠ Cho A = suy mp(α): x − 26 y + z − = ho c x + 26 y + z − = Bài Cho A(a; 0; a), B(0; b; 0), C(0; 0; c) v i a, b, c s dương thay i luôn th a mãn a + b + c = Xác nh a, b, c cho kho ng cách t O n m t ph ng (ABC) t Max HD: y (ABC): x + + z − = Suy = 12 + 12 + 12 a b c d ( O; ABC ) a b c  ⇒ 12 = 12 + 12 + 12 ⇒ =  12 + 12 + 12  ( a + b + c ) ≥ ⋅ = 3 a d a b c b c   ⇒ d ≤ ⇒ d ≤ V i a = b = c = Max d = 3 Bài Cho chùm m t ph ng ( Pm ) : x + y + z + + m ( x + y + z + 1) = Ch ng minh r ng: (P m) ln i qua (d) c Tính kho ng cách t O n (d) Tìm m nh ∀m (Pm) ⊥ ( P0 ) : x + y + z + = HD: 2 x + y + z + =  nh (d):  x + y + z + =  V i m i m, (Pm) i qua ng th ng c M t ph ng x + y + z + = có VTPT: u = ( 2;1;1) x + y + z + = có VTPT v = (1;1;1) suy (d) có VTCP là: a = [u ; v ] = ( 0; −1;1) [OM ⋅ a ] M t khác (d) i qua M ( 0; 0; −1) ⇒ d ( O, ( d ) ) = a = 12 + + = +1+1 ( Pm ) : ( m + 2) x + ( m + 1) y + ( m + 1) z + m + = có VTPT n1 = ( m + 2; m + 1; m + 1) ; Trư ng h p c bi t m t ph ng ( P0 ) có VTPT n = ( 2;1;1) (Pm) ⊥ (P0) n1 ⋅ n2 = ⇔ ( m + 2) + 1( m + 1) + 1( m + 1) = ⇔ 4m + = ⇔ m = −3 Bài Cho i m A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2; −1) Vi t phương trình m t ph ng (ABC) CMR: O ∈ (ABC) OABC m t hình ch nh t Cho S(9; 0; 0) Tính th tích chóp S.OABC Vi t phương trình m t ph ng ch a AB i qua trung i m OS HD: AB = ( 2; 2; −1) , AC = ( 2;1; −3) ⇒ VTPT n =  AB, AC  = ( −5; 4; −2 )   Do (ABC) i qua A(0; 1; 2) nên phương trình m t ph ng (ABC) là: −5 ( x − ) + ( y − 1) − ( z − ) = ⇔ x − y + z = O(0; 0; 0) 5.0 − 4.0 + 2.0 = nên O ∈ (ABC) Ta có: OA = ( 0;1; ) , OC = ( 2; 2; −1) ⇒ OC = AB OA ⋅ OC = 0.2 + 1.2 − 2.1 = suy OABC hình ch nh t G i H hình chi u c a S lên (OABC) suy V = S OABC ⋅ SH = ⋅ S ABC ⋅ SH = 2.V SABC = ⋅  AB, AC  ⋅ AS  3    Ta có: AS = ( 9; −1; −2 )  AB, AC  = ( −5; 4; −2 ) ⇒ V = ( −5 ) − ⋅ − ( −2 ) = −45 = 15 3 ( ) ( Trung i m c a OS M ; 0; ⇒ AM = ; −1; −2 2 ) ( ) ⇒ M t ph ng ch a AB i qua M có VTPT là: n = [ AB AM ] = −5; − ; −11 ⇒ Phương trình m t ph ng: 10 x + y + 22 z − 45 = Bài 10 L p phương trình c a m t ph ng ( α ) thu c chùm t o b i hai m t ph ng ( P ) : x − y + z + 36 = 0; ( Q ) :2 x + y − z − 15 = n u bi t kho ng cách t g ct a O n α b ng Gi i M t ph ng ( α ) thu c chùm t o b i (P) (Q) nên có phương trình d ng: m ( x − y + z + 36 ) + n ( x + y − z − 15 ) = ( m + n > ) ⇔ ( m + 2n ) x + ( n − 3m ) y + ( m − n ) z + 36m − 15n = Ta có d ( O, ( α ) ) = ⇔ 36m − 15n ( m + 2n ) + ( n − 3m ) + ( m − n ) =3 ⇔ 12m − 5n = 59m − 16mn + 6n ⇔ 19n − 104mn + 85m = ⇔ ( n − m ) (19n − 85m ) = ⇔ n = m ∨ 19n = 85m + Cho n = m = nh n c ( α ) : 3x − y + z + 21 = + Cho m = 19, n = 85 ta có ( α ) : 189 x + 28 y + 48 z − 591 = Bài 11 L p phương trình m t ph ng ( α ) i qua i m A(2; –1; 0), B(5; 1; 1) kho ng cách t ( i m M 0; 0; ) n m t ph ng ( α ) b ng Gi i G i phương trình m t ph ng ( α ) là: Ax + By + Cz + D = ( A + B + C > ) Ta có A ∈ ( α ) ⇒ A − B + D = (1) ; B ∈ ( α ) ⇒ A + B + C + D = ( ) M t khác: d ( M , ( α ) ) = ⇔ C + D = 6 2 2) ( 3) ⇔ 27 ( C + D ) = 49 ( A + B + C A2 + B + C T (1) (2), ta có C = −3 A − B, D = B − A ( ) Th (4) vào (3), ta c: 27.49 A = 49  A + B + ( A + B )    5B + 12 AB − 17 A = ⇔ B = A ∨ B = − 17 A + Ch n A = B = ⇒ C = –5, D = –1 nh n c ( α ) : x + y − z − = + Ch n A = 5, B = 17 ⇒ C = 19, D = –27 ( α ) : x − 17 y + 19 z − 27 = VII CÁC BÀI T P DÀNH CHO B N Bài Vi t PT mp(α) ch a g c t a C T GI I O vuông góc v i ( P ) : x − y + z − = , ( Q ) : x + y − 12 z + = Bài Vi t PT mp(α) i qua M(1; 2;1) ch a giao n c a ( P ) : x + y + z − = 0, ( Q ) : x − y + z = x − y + z − =  Bài Vi t phương trình m t ph ng ch a ( ∆ ) :  3x + y + z − =  vng góc v i m t ph ng (P): x + y + z − = Bài Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4) Vi t PT mp(ABC) Tính kho ng cách t g c O n (ABC) Vi t PT m t ph ng: a Qua O, A // BC; Qua C, A ⊥ (α): x − y + 3z + = b Qua O ⊥ (α), (ABC); Qua I(−1; 2; 3) ch a giao n c a (α), (ABC) Bài Xác nh tham s m, n m t ph ng x + ny + z + m = thu c chùm m t ph ng có phương trình: α ( x − y + z − 3) + β ( x − y − z + ) = Bài Cho m t ph ng ( α ) : x − y + z + = , ( β ) : x + y − z + = i m M(1; 0; 5) Tính kho ng cách t M n mp(α) Vi t phương trình m t ph ng (P) i qua giao n (d) c a (α) (β) ng th i vng góc v i m t ph ng (Q): 3x − y + = Bài Vi t phương trình m t ph ng (P) i qua i m A(1; 1; 3), B(−1; 3; 2), C(−1; 2; 3) Tính kho ng cách t g c O n (P) Tính di n tích tam giác ABC th tích t di n OABC Bài Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) Các i m M, N l n lư t trung i m c a OA BC; P, Q i m OC AB cho OP = OC ng th ng MN, PQ c t AQ AB Bài Cho A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(a; a; 0), D(0; 0; d) v i a, d > G i A’, B’ hình chi u c a O lên DA, DB Vi t phương trình m t ph ng ch a ng OA’, OB’ Ch ng minh m t ph ng ó vng góc CD Vi t phương trình mp(MNPQ) tìm t s Tính d theo a s o góc A′OB ′ = 45° Bài 10 Tìm Oy i m cách u m t ph ng ( α ) : x + y − z + = 0, ( β ) : x − y + z − = Bài 11 Tính góc gi a m t ph ng (P) (Q) i qua i m I(2; 1; −3) bi t (P) ch a Oy (Q) ch a Oz Tìm t p h p i m cách u m t ph ng (P) (Q) Bài 12 Cho ∆OAB u c nh a n m m t ph ng (Oxy), ng th ng AB // Oy ( ) i m A n m ph n tư th nh t mp(Oxy) Cho i m S 0; 0; a Xác nh A, B trung i m E c a OA Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a SE song song v i Ox Tính d ( O, P ) t ó suy d ( Ox; SE ) Ư NG TH NG TRONG KHƠNG GIAN PHƯƠNG TRÌNH I VÉCTƠ C TRƯNG C A Ư NG TH NG TRONG KHÔNG GIAN: Véctơ a = ( a1 ; a ; a ) véc tơ ch phương (VTCP) c a (∆) ⇔ (∆) // giá c a a Nh n xét: N u a m t VTCP c a (∆) ka (k ≠ 0) VTCP c a (∆) t c (∆) có vơ s VTCP II PHƯƠNG TRÌNH Ư NG TH NG TRONG KHƠNG GIAN Phương trình tham s : Phương trình ng th ng (∆) i qua M0(x 0, y 0, z0)  x = x + a1t   có VTCP a = ( a1 ; a ; a ) :  y = y + a t ( t ∈ » )   z = z + a3t  Phương trình t c: Phương trình ng th ng (∆) i qua M0(x0, y0, z0) x − x0 y − y z − z có VTCP a = ( a1 ; a ; a ) : = = a1 a2 a3 Phương trình t ng quát: Phương trình ng th ng (∆) t ng quát giao  A1 x + B1 y + C1 z + D1 =  v i A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B : C n c a hai m t ph ng   A2 x + B y + C z + D2 =  Phương trình ng th ng (∆) i qua i m M1 (x1, y1, z1), M2(x 2, y2, z2): x − x1 y − y1 z − z1 = = x − x1 y − y1 z − z1 Chuy n d ng phương trình t ng quát sang d ng tham s , t c:  ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ( A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B : C ) Cho (∆):  ( β ) : A2 x + B y + C z + D =  n1 = ( A1 , B1 , C1 )  ⇒VTPT c a hai m t ph ng  ⇒ VTCP a =  n1 , n    n = ( A2 , B , C )  Tìm i m M0(x0, y0, z0) ∈ (α) ∩ (β) ⇒ x − x0 y − y z − z = = a1 a2 a3 t t s b ng t suy d ng tham s III V TRÍ TƯƠNG V trí tương I C A CÁC Ư NG TH NG VÀ M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN i c a ng th ng: Cho (∆ 1) i qua M1(x 1; y , z1) v i VTCP u = ( a1 , a , a ) , (∆2) i qua M2(x 2; y 2, z2) v i VTCP v = ( b1 , b2 , b3 ) N u [u , v ] ⋅ M M ≠ ( ∆ ) , ( ∆ ) chéo N u [u , v ] ⋅ M M = a1 : a : a ≠ b1 : b2 : b3 (∆1), (∆2) c t ( ∆ ) [u , v ] ⋅ M M =   N u  h phương trình c a  vô nghi m ( ∆ )  a1 : a : a = b1 : b2 : b3   (∆1), (∆2) song song ( ∆ ) [u , v ] ⋅ M M =   N u  h phương trình c a  có nghi m  a1 : a : a = b1 : b2 : b3 ( ∆ )   (∆1), (∆2) trùng V trí tương i c a ng th ng m t ph ng: Cho (∆) i qua M0(x0 ; y0, z0) v i VTCP u = ( a, b, c ) mp(α): Ax + By + Cz + D = v i VTPT n = ( A, B, C ) N u n ⋅ u ≠ ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ (∆) c t (α) N u n // u ⇔ a : b : c = A : B : C (∆) ⊥ (α) n ⋅ u =  Aa + Bb + Cc =   N u  ⇔  (∆) // (α)  Ax + By + Cz + D ≠ M ∉ (α )   n ⋅ u =  Aa + Bb + Cc =   N u  ⇔  (∆) ⊂ (α) M ∈ (α )  Ax + By + Cz + D =   IV GÓC GI A CÁC Ư NG TH NG VÀ M T PH NG TRONG KHƠNG GIAN Góc gi a ng th ng: Cho (∆1) i qua M1(x1; y1, z1) v i VTCP u = ( a1 , a , a ) , (∆2) i qua M2(x 2; y2, z2) v i VTCP v = ( b1 , b2 , b3 ) Góc gi a (( ∆ ) , ( ∆ ) ) = ϕ∈ [0, 90°] xác cos ϕ = u ⋅v = u ⋅v nh b i: a b1 + a b + a b 2 a 12 + a + a b12 + b + b 32 Góc gi a ng th ng m t ph ng: Cho (∆) i qua M0(x0 ; y0, z0) v i VTCP u = ( a, b, c ) mp(α): Ax + By + Cz + D = v i VTPT n = ( A, B, C ) Góc gi a ( ( ∆ ) , ( α ) ) = ϕ∈ [ 0, 90°] xác sin ϕ = u ⋅n = u ⋅ n nh b i: aA + bB + cC 2 a + b + c2 A2 + B + C Góc gi a hai m t ph ng: Góc gi a m t ph ng (α 1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (α2): A2 x + B y + C z + D = ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) th a mãn: cos ϕ = n1 n2 n1 n2 = A1 A2 + B1 B2 + C1C2 2 A12 + B12 + C12 A2 + B2 + C2 v i n1 , n VTPT c a (α1), (α2) V KHO NG CÁCH Kho ng cách t i m n ng th ng: Cho (∆) i qua M0(x0 ; y0, z0) v i VTCP u = ( a, b, c ) Kho ng cách t M1(x1; y 1, z1) n ng th ng (∆) là: d ( M , ( ∆ ) ) = u ⋅ M M    u Kho ng cách gi a ng th ng chéo nhau: Cho (∆ 1) i qua M1(x 1; y , z1) v i VTCP u = ( a1 , a , a ) , (∆2) i qua M2(x 2; y2, z2) v i VTCP v = ( b1 , b2 , b3 ) Gi s ( ∆1 ) , ( ∆ ) chéo nhau, ó d ( (∆ ),(∆ ) ) = [ u , v ] ⋅ M 1M [u , v ] i m Kho ng cách t i m n m t ph ng: Kho ng cách t M0(x0, y0 , z0) d ( M , α) = n m t ph ng (α): Ax + By + Cz + D = là: Ax + By + Cz + D A2 + B + C VI CÁC D NG BÀI T P D ng 1: Xác nh v trí tương i c a ng th ng m t ph ng ( ∆ )  Phương pháp: Gi i h PT t o b i  ; ( ∆ )  ( ∆ )  ho c s d ng d u hi u nh n  ( α )  bi t qua h th c c a véctơ Bài Xét v trí tương  x = 9t   ( ∆ ) :  y = 5t   z = −3 + t  x − y + = ( ∆1 ) :   2 x + y =  Bài Xác i b ng cách khác nhau: 2 x − y − 3z − =  (∆ ) :  x − y + z + =  ;  y + 2z − = (∆ ) :   x + z − =   x = + 2t   nh giao i m c a ng th ng ( ∆ ) :  y = − t ( t ∈ » ) v i m t  z = + t  ph ng ( α ) : x + y − z − = Bài Xác x + y + z − =  v im t nh giao i m c a ng th ng ( ∆ ) :  x + y − z − =  ph ng ( α ) : x + y + z − = Bài Cho ng th ng:  x = 3t y+2  − ( ∆1 ) :  y = − t , ( ∆ ) : x 1 = = z − , z = + t  a Xét v trí tương  x − y + 3z − = (∆3 ) :   2 x − y + z + =  i c a c p ng th ng v i b Vi t phương trình ng th ng (∆) song song v i (∆1), c t (∆2) (∆ 3) D ng 2: Xác nh hình chi u vng góc c a i m M lên m t ph ng (α) α Phương pháp: Vi t phương trình tham s c a ng th ng (∆ ) qua M (∆ ) ⊥(α) Giao i m H c a (∆ ) (α) hình chi u vng góc c a M lên (α) Bài Tìm hình chi u vng góc c a M(1; 2;−3) lên ( α ) : x + y − z + = D ng 3: Xác nh i m i x ng v i i m M cho trư c qua m t ph ng (α) α Phương pháp: Tìm hình chi u vng góc H c a M lên (α ) Gi s M(x1, y , z1), H(x0 , y0, z0), ó i m M’ i x ng M qua (α) M ′ ( x − x1 , y − y1 , z − z1 ) Bài Xác nh i m i x ng v i i m M(13; 2; 3) qua m t ph ng (α): x + y – 3z + = D ng 4: Xác nh hình chi u vng góc c a i m M lên ng th ng (∆) ∆ Phương pháp 1: Vi t PT m t ph ng (α) qua M (α ) ⊥ (∆ ) Giao i m H c a (∆) (α ) hình chi u vng góc c a M lên (∆) Phương pháp 2: Vi t PT tham s c a (∆ ) ⇒ T a H theo tham s t MH ⊥ u véctơ ch phương c a (∆) GPT MH ⋅ u = ⇒ tham s t ⇒ T a Bài Xác H nh hình chi u vng góc c a M(−1; −1; 1) lên ng th ng (∆): { x = + t ; y = + t ; z = −3 − 3t} D ng 5: Xác nh i m i x ng v i i m M cho trư c qua ng th ng (∆) ∆ Phương pháp: Tìm hình chi u vng góc H c a M lên (∆ ) Gi s M(x1, y , z1), H(x0 , y0, z0), ó i m M’ i x ng M qua (∆) M ′ ( x − x1 , y − y1 , z − z1 ) Bài Xác nh i m i x ng v i i m M(0; 2; −1) lên ng th ng (∆): { x = + t ; y = + t ; z = − 3t} D ng 6: Xác ∆ α nh hình chi u vng góc c a ng th ng (∆) lên m t ph ng (α) Phương pháp: TH1: (∆ ) ⊥ (α ) ⇒ Hình chi u vng góc c a (∆ ) lên (α ) i m H≡ (∆) ∩ (α ) TH2: (∆ ) ⊂ (α ) ⇒ Hình chi u vng góc c a (∆ ) lên (α ) ng th ng (∆) TH3: (∆ ) không vuông góc v i (α), (∆ ) ⊄ (α ): C1: Vi t phương trình m t ph ng (β ) ch a (∆ ) (β ) ⊥ (α ) Hình chi u vng góc c a (∆) lên (α) ng th ng (∆ ’) = (β ) ∩ (α ) C2: L y i m A, B phân bi t thu c (∆ ) Xác nh hình chi u vng góc c a A, B lên (α ) H1, H2 Hình chi u vng góc c a (∆) lên (α) ng th ng (∆ ’) ≡ H1 H2 C3: N u (∆ ) c t (α ): Xác Xác nh A ≡ (∆ ) ∩ (α ) L y M b t kì ∉ (∆) M ≠ A nh hình chi u vng góc H c a M lên (α) Hình chi u vng góc c a (∆) lên (α) (∆ ’) ≡ AH Bài Xác 5 x − y − z − =  nh hình chi u vng góc c a (∆):  x + 2z − =  lên m t ph ng (α): 2x – y + z – = D ng 7: Xác nh hình chi u song song c a ng th ng (∆1) lên (α) ∆ α ∆ theo phương (∆2) c t (α) α Phương pháp: TH1: (∆1 ) // (∆ 2) ⇒ Hình chi u song song c a (∆1 ) lên (α ) theo phương (∆2 ) i m H≡ ( ∆1 ) ∩ (α ) TH2: (∆1 ) (∆2 ) khơng song song: Vi t phương trình m t ph ng (β ) ch a (∆1 ) // (∆2 ) Hình chi u song song c a (∆1) lên (α) theo phương (∆2) (∆) = (β) ∩ (α) Bài Xác 7 x + y − z − =  nh hình chi u song song c a t (∆1):  lên (α): x + 2y + z +1=   y +1 z + x − y + z − = theo phương (∆ 2): x − = = ∆ D ng 8: VPT ng th ng (∆) qua M c t (∆1), (∆2) v i (∆1), (∆2) chéo ∆ ∆ ∆ ∆ không i qua M Phương pháp 1: Vi t phương trình m t ph ng (α ) qua M ch a (∆ 1) N u cho (∆1) dư i d ng t ng quát nên vi t phương trình (α) dư i d ng chùm N u (∆1 ) d ng tham s l y i m A, B ∈ (∆1 ) ⇒ Phương trình (α ) qua i m A, B, M N u (α ) // (∆2 ) tốn vơ nghi m N u (α) c t (∆2 ) tìm N = (∆ 2) ∩ (α ) N u MN // (∆ 1) tốn vơ nghi m, n u MN c t (∆1 ) suy ng th ng c n tìm (∆) ≡ MN Phương pháp 2: Vi t phương trình m t ph ng (α ) qua M ch a (∆ 1), m t ph ng (β ) qua M ch a (∆2 ) Xét (∆) = (α ) ∩ (β ) N u (∆) c t (∆1 ) (∆2 ) ng th ng (∆ ) ng th ng c n tìm N u (∆ ) // (∆1 ) ho c (∆ 2) tốn vơ nghi m Bài VPT y − =  , T (∆) qua M(1; 3; 0) (∆) c t (∆1):  2 x − z − =  (∆2): { x = + 2t , y = − t , z = + t} ∆ D ng 9: VPT ng th ng (∆) c t (∆1), (∆2) song song v i (∆3) ∆ ∆ ∆ Phương pháp 1: Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a (∆1 ) // (∆3 ), m t ph ng (β ) ch a (∆2 ) // (∆3 ) N u (α ) // (β ) tốn vơ nghi m N u (α ) c t (β ) xét (∆ ) = (α) ∩ (β) N u (∆ ) c t (∆1 ) (∆2 ) ng th ng (∆) ng th ng c n tìm N u (∆ ) // (∆ 1) ho c (∆2 ) tốn vơ nghi m Phương pháp 2: Vi t phương trình tham s c a (∆1 ) theo t1, c a (∆ 2) theo t2 L y M ∉ (∆1 ), N ∉ (∆2 ) ⇒ T a Xác M, N theo t1, t2 ⇒ MN theo t1, t2 nh t1, t2 cho MN // (∆ 3) ⇒ ng th ng (∆ ) c t (∆1 ), (∆ 2) song song v i (∆3 ) (∆ ) ≡ MN Phương pháp 3: G i M(x0, y0, z0) giao i m c a (∆) (∆ 1) (∆) nh n VTCP c a (∆3) làm VTCP ⇒ Phương trình tham s c a (∆) theo x0, y0, z0 ( ∆ )  (∆ ) c t (∆ 2) suy h  có nghi m ⇒ x 0, y0, z0 ⇒ Phương trình (∆ ) ( ∆ )  y − =  Bài VPT ng th ng (∆) c t (∆1):  , (∆2): 2 x − z − =  { x = + 2t , y = − t , z = + t} // v i tr c Oz Bài VPT y + z −1 y −3 z −9 = = T (∆) c t (∆1): x − = , (∆2): x − = 1 y+3 z−2 // (∆3): x + = = −2 ∆ 10 D ng 10: VPT ng th ng (∆) qua M vng góc (∆1), c t (∆2) ∆ ∆ ó M ∉ (∆1), (∆2) ∆ ∆ Phương pháp: Vi t phương trình m t ph ng (α ) qua M ⊥ (∆1 ), m t ph ng (β ) qua M ch a (∆ 2) N u (α ) // (β ) tốn vơ nghi m N u (α ) c t (β ) xét (∆ ) = (α) ∩ (β) N u (∆ ) c t (∆2 ) ng th ng (∆ ) ng th ng c n tìm N u (∆ ) // (∆ 2) tốn vơ nghi m y +1 z + = Bài VPT ng th ng (∆) qua M(1; 2; 0) ⊥ (∆1): x − = , 2 7 x + y − z − =  c t (∆ 2):  x + y + z + =  ∆ 11 D ng 11: VPT ng vng góc chung c a ng th ng (∆1), (∆2) ∆ chéo a TH c bi t: (∆ 1) ⊥ (∆2): Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a (∆1 ) (α) ⊥ (∆2 ) Tìm M = ( ∆ ) ∩ ( α ) , H hình chi u vng góc c a M lên (∆1 ) ⇒ MH ng vuông góc chung c a (∆1 ), (∆2) b Phương pháp 1: Vi t phương trình (∆1 ), (∆ 2) dư i d ng tham s L y M∈ (∆ 1), N∈ (∆ 2) ⇒ T a M, N theo t1 , t ⇒ MN theo t1 , t MN ng vng góc chung c a (∆1 ), (∆ 2) ⇒ MN ⊥ ( ∆ ) , MN ⊥ ( ∆ ) ⇒ t1 , t ⇒ MN c Phương pháp 2: G i a1 , a VTCP c a (∆1 ) (∆ 2) ⇒ ng vng góc chung (∆) có VTCP a = a1 , a2    Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a (∆1 ) // (∆), m t ph ng (β) ch a (∆2 ) // (∆) ⇒ (∆) = (α) ∩ (β) Bài Cho A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1), S(0; 5; 8) Vi t phương trình ng vng góc chung c a SB, OA Bài Vi t phương trình ng vng góc chung c a x + y + z − = ( ∆1 ) :  y + z − =  x − y − 2z + = ( ∆ ) :  y − z +1= Bài Vi t phương trình ng vng góc chung c a x = + t2  x = + 2t1  ( ∆ ) :  y = + t1 ( ∆ ) :  y = −3 + 2t   z = + 3t  z = −3 + 3t   Bài VPT ng vuông góc chung c a 3 x − y − = ( ∆ ) : 5 x + z − 12 = ( ∆ ) : {x = −1 + 3t; y = −3 − 2t; z = − t}  x = + t x + 2z − =  Bài Cho ( ∆ ) :  y = − t ( ∆ ) :  y − =  z = 2t  u (∆ 1) (∆2) Vi t phương trình m t ph ng cách 12 D ng 12: Các toán v kho ng cách 12.1 Tính kho ng cách: Bài Tính kho ng cách t M(1; 2; 3) y +1 z −1 n (∆) : x − = = Bài Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;−1; 1) Tính kho ng cách t A Bài Tính kho ng cách gi a ng th ng x + y = ( ∆ ) :  x − y + z − = ( ∆ ) : { x = + 3t; y = −t; z = + t}  Bài Tính kho ng cách gi a ng th ng − ( ∆1 ) : x 1 = y −2 z −3 = , x + y − z = ( ∆ ) : 2 x − y + 3z − =  Bài Tính kho ng cách gi a ng th ng  x + z + 23 =  x − 2z − =   ( ∆ ) :  y − z + 10 = , ( ∆ ) :  y + z + = Bài Tính kho ng cách gi a m t ph ng (α): 2x + y + z – = (β):2x + y + z + 10 = n BC Bài Cho A(5; 7;−2), B(3;1;1), C(9; 4;−4) Tính kho ng cách t D(−1; 5; 0) n (ABC) 12.2 Tìm i m bi t kho ng cách cho trư c: Bài Cho (α): x + 2y – 2z – = Tìm M∈Oy cho kho ng cách t M n (α) b ng Bài Cho A(1;−2; 0) Tìm M∈Oz cho kho ng cách t M n (α): 3x – 2y + 6z + = b ng MA Bài Cho (α): x + y + z + = 2 x + y + z − = Tìm M∈(∆):  cho d ( M , ( α ) ) = x + y + 2z + = Bài Cho (α): 12x – 16y + 15z + = (β): 2x + 2y – z – = Tìm M∈Ox cách u (α) (β) 12.3 Các toán v t ng, hi u kho ng cách l n nh t, nh nh t: a D ng 1: Cho i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) (MA + MB) Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = Phương pháp: Xác cách tính nh v trí tương i c a A, B i v i m t ph ng (P) b ng i lư ng: t A = ax1 + by + cz1 + d ; t B = ax + by + cz + d N u t A t B < ⇔ A, B khác phía i v i (P) G i M ≡ (AB)∩ (P), ó MA + MB ≥ AB = M 0A + M0 B N u t A t B > ⇔ A, B phía i v i (P) L y A1 i x ng A qua (P) G i M0 ≡ (A1 B)∩ (P) Khi ó MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M B b D ng 2: Cho i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = Phương pháp: Xác cách tính nh v trí tương |MA – MB| max i c a A, B i v i m t ph ng (P) b ng i lư ng: t A = ax1 + by + cz1 + d ; t B = ax + by + cz + d N u t A t B > ⇔ A, B phía i v i (P) G i M ≡ (AB)∩ (P), ó |MA – MB| ≤ AB = | M0 A – M 0B| N u t A t B < ⇔ A, B khác phía i v i (P) L y A1 i x ng A qua (P) G i M0 ≡ (A1B)∩ (P).Khi ó |MA – MB| = |MA1 – MB| ≤ A1B = | M0A1 – M0B| b D ng 3: Cho i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) Tìm M∈(∆) cho trư c cho (MA + MB) Phương pháp: Xác nh t a i m A’, B’ hình chi u tương ng c a i m A, B lên (∆ ) G i M0 i m chia o n A’B’ theo t s k= M A' M 0B' =− AA ' Ta ch ng minh MA + MB ≥ M 0A + M0 B BB ' Th t v y, g i A1 ∈(P) = ((∆), B) cho A khác phía B so v i (∆ ) th a mãn  A1 A ' = AA ' A A′ M A′  ⇒ = ⇒ A1, M ,B th ng hàng  B1 B ′ M B ′  A1 A ' ⊥ ( ∆ )  ⇒ MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M 0B = M0 A + M 0B Bài Cho A(−7; 4; 4), B(−6; 2; 3) Tìm M∈(P): 3x – y – 2z + 19 = (MA + MB) min;|MA – MB| max Bài Cho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5) Tìm M∈ m t ph ng Oxy cho: (MA + MB) min; |MA – MB| max Bài Cho A(1; 0; 2), B(2; −1; 3) Tìm M∈ ( P ) : x − y + z − = (MA + MB) min; |MA – MB| max Bài Cho A(1; 3; −2), B(13; 7; −4) Tìm M∈ ( P ) : x − y + z − = (MA + MB) min; |MA – MB| max Bài Cho A(1; 2;−1), B ( − 2; 2; −3) x + y + z − = Tìm M∈ ( ∆ ) :  cho (MA + MB) y + z − = Bài Cho A(1; 1; 0), B(3;−1; 4) y −1 z + cho (MA + MB) Tìm M∈ ( ∆ ) : x + = = −1 A(1;2; −1) y−2 z −2  Bài Cho  Tìm M∈ ( ∆) : x + = cho (MA + MB) = −2 B ( 7; −2;3)  Bài Cho A(2; 3; 0) B ( 0; − 2; ) x + y + z − = cho (MA + MB) Tìm M∈ ( ∆ ) :  x − y + z − = 13 D ng 13: Các tốn v góc Bài Xác nh góc gi a m t ph ng ( P ) : x + y + 2z + = 0, ( P2 ) : 2x + y + z + = Bài Cho t di n ABCD v i A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(−1; 0;−2), D(−2; 1; 1) Tính góc c a m i c p c nh i c a ABCD; Tính góc ((AB); (BCD)) Bài Cho ( P1 ) : x − y − z + = , ( P2 ) : x + y + z − = , ( P3 ) : − x + y − z + = G i (∆) giao n c a (P1) (P2) Tính góc gi a (∆) v i giao n c a (P1), (P3) v i m t ph ng (P3) x = + t 3 x − y − =  Bài Cho ( ∆ ) :  ( ∆ ) :  y = −1 Tìm m z − 3y − =   z = + mt  a Góc gi a (∆1) (∆2) b ng 45° : b Góc gi a (∆1) (∆2) b ng 60° Khi ó tính góc gi a (P) v i (∆2) bi t r ng (P) ⊥ (∆1) ( ) Bài Cho A(0;−2; −2), B(−1; −1; 0), C(−2; −2; 0), D − ; −1; a Tính góc gi a ((ABC); (ABD)) b Tính góc kho ng cách gi a ng th ng (AD) (BC) 14 Bài m u Trong h Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) ( d ) : x − = −1 Tìm t a y+2 z = i m M thu c ng th ng (d) cho: a) MA + MB nh nh t; b) MA + MB nh nh t; c) MA + MB nh nh t d) Di n tích tam giác AMB nh nh t VPT m t ph ng (P) ch a (d) cho kho ng cách t A n (P) l n nh t VPT m t ph ng (Q) ch a (d) t o v i m t ph ng (xOy) m t góc nh nh t VPT m t ph ng (R) ch a ng th ng (d) t o v i tr c Oy góc l n nh t Trong s ng th ng i qua A c t ng th ng (d), vi t phương trình ng th ng cho kho ng cách t B n l n nh t? nh nh t? Gi i M (1 − t ; − + t ; 2t ) ∈ d ⇒ MA = ( t ; − t ; − 2t ) , MB = ( −2 + t ; − t ; − 2t ) a MA + MB = ( −2 + 2t ; 10 − 2t ; − 4t ) Suy MA + MB = 24 ( t − ) + 44 Do ó MA + MB nh nh t t = lúc ó M ( −1; 0; ) b Ta có MA + MB = 12t − 48t + 76 = 12 ( t − ) + 28 V y MA + MB nh nh t t = ó M ( −1; 0; ) c Ta s xác nh hình chi u A1 , B1 c a hai i m A, B lên ng th ng (d) ) ( − 14t + 18 ) ⇔ t = ⇔ M ≡ B ( − ; ; 14 ) v i BB ⊥ ( d ) 3 3 MA = ( 3t − 10t + 20 ) ⇔ t = ⇔ M ≡ A1 − ; − ; 10 v i AA1 ⊥ ( d ) 3 3 MB = ( 3t AA1 = 210 ; BB1 = 30 3 s k =− AA1 BB1 1 = − nên t a i m M c n tìm i m chia o n A1 B1 theo t  −2 (1 + ) 10 − 14  ; − 1; c a M    (1 + ) 3 (1 + )    d AM ( −t ; − + t ; − + 2t ) ; AB ( −2; − 2; 2) ;  AM ; AB  = ( 6t −16; − 2t + 4; 4t −12)   2 S AMB =  AM ; AB  = ( 6t − 16 ) + ( −2t + ) + ( 4t − 12 ) = 56t − 304t + 416   2 304 = 19 , ó M − 12 ; ; 38 D th y S AMB nh nh t t = 112 7 7 x + y + =  PT t ng quát c a (d)  Vì m t ph ng (P) ch a ng th ng 2 y − z + =  ) ( (d) nên (P) có phương trình a ( x + y + 1) + b ( y − z + ) = v i a + b ≠ • N u a ≠ có th gi s Suy d ( A; ( P ) ) = 5b + 2.4 − + = 10 = 5 + ( −1) a = Khi ó ( P ) : x + (1 + 2b ) y − bz + + 4b = • N u a = (P): y − z + = Khi ó d ( A; ( P ) ) = Xét hàm s f (b) = 2 ( 5b + 3) 5b + 4b + 5b + 4b + 2 Ta có f ′ ( b ) = −50b + 10b + 24 = ⇔ b = ∨ b = − 5 ( 5b + 4b + ) Do f = 35 ; f − = ; lim f ( b ) = nên d ( A; ( P ) ) l n nh t b ng 35 b →∞ 6 () ( ) K t lu n: So sánh hai trư ng h p ta có Max d ( A; ( P ) ) = 35 b = , lúc ó phương trình (P) có d ng x + 13 y − z + 21 = , hay ( P ) : x + 13 y − z + 21 = 5 Do (Q) ch a (d) nên PT (Q): a ( x + y + 1) + b ( y − z + ) = v i a + b ≠ M t ph ng (xOy) có phương trình z = • N u a = (Q): y − z + = ó cos α = • N u a ≠ ta có th gi s a = Khi ó (Q): x + (1 + 2b ) y − bz + + 4b = T b ó cos α = Xét hàm s g (b) = b2 = cos α 5b + 4b + 2 5b + 4b + 4b + 4b = ⇔ b = ∨ b = −1 Ta có g ′ ( b ) = ( 5b + 4b + ) Do g ( ) = 0; g ( −1) = ; lim g ( b ) = nên cos α l n nh t b ng b→∞ b = −1 K t lu n: So sánh hai trư ng h p ta th y cos α l n nh t hay (Q) t o v i m t ph ng (xOy) góc nh nh t b = −1 Lúc ó (Q) x − y + z − = PT (R): a ( x + y + 1) + b ( y − z + ) = Tr c Oz có VTCP v ( 0; 1; ) N u a = (R): y − z + = β = ((Q), Oy) th a mãn sin β = N u a ≠ ta có th gi s a = Khi ó (R): x + (1 + 2b ) y − bz + + 4b = Khi ó sin β = + 2b Xét hàm s h ( b ) = 4b2 + 4b + = sin β 5b + 4b + 5b + 4b + 2 Ta có h ′ ( b ) = −4b + 6b + 42 = ⇔ b = ∨ b = − ( 5b + 4b + ) ( ) Do h ( ) = ; h − = ; lim h ( b ) = nên sin β l n nh t b ng , b = b →±∞ 6 K t lu n: So sánh hai trư ng h p ta th y sin β l n nh t b = Khi ó m t ph ng (R) có phương trình x + y − z + = Gi s d ng th ng b t kì i qua A c t d t i M (1 − t ; − + t ; 2t ) Khi ó d ( B; d ) =  AM ; AB    AM = 56t − 304t + 416 6t − 20t + 40 = 28t − 152t + 208 3t − 10t + 20 16 (11t − 8t − 60 ) = ⇔ t = −2 ; t = 30 Xét u ( t ) = 28t − 152t + 208 Ta có u ′ ( t ) = 11 3t − 10t + 20 ( 3t − 10t + 20 ) ( ) Do u ( −2 ) = 48; u 30 = ; lim u ( t ) = 28 nên kho ng cách t B 11 35 b→∞ nh t b ng 48 t = −2 nh nh t b ng t = 30 Khi ó 35 11 y−4 z−2 y−4 = = d : x − = có phương trình d : x − = −4 −3 15 18 n d2 l n d tương ng z−2 −19 ... song v i Ox Tính d ( O, P ) t ó suy d ( Ox; SE ) Ư NG TH NG TRONG KHƠNG GIAN PHƯƠNG TRÌNH I VÉCTƠ C TRƯNG C A Ư NG TH NG TRONG KHÔNG GIAN: Véctơ a = ( a1 ; a ; a ) véc tơ ch phương (VTCP) c a... t s b ng t suy d ng tham s III V TRÍ TƯƠNG V trí tương I C A CÁC Ư NG TH NG VÀ M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN i c a ng th ng: Cho (∆ 1) i qua M1(x 1; y , z1) v i VTCP u = ( a1 , a , a ) , (∆2) i... m t VTCP c a (∆) ka (k ≠ 0) VTCP c a (∆) t c (∆) có vơ s VTCP II PHƯƠNG TRÌNH Ư NG TH NG TRONG KHƠNG GIAN Phương trình tham s : Phương trình ng th ng (∆) i qua M0(x 0, y 0, z0)  x = x + a1t

Ngày đăng: 18/06/2014, 11:20

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan