HÌNH HỌC TĨM TẮT LÝ THUYẾT I) PHÉP CỘNG – TRỪ CÁC VÉC TƠ 1) Một số quy tắc – Tính chất áp dụng phép cơng trừ véc tơ  Quy tắc ba điểm : với ba điểm A, B, C ta có : *       AB  BC  AC * BC  BA  AC       AB  AD  AC  Quy tắc hình bình hành : ABCD hbh ta có :  Trung điểm đoạn thẳng : I trung điểm đoạn AB , với điểm M tuỳ ý ta ln có : * IA  IB  * MA  MB  IM  Trọng tâm tam giác :        G trọng tâm ABC  GA  GB  GC   G trọng tâm ABC với điểm M tuỳ ý ta ln có :      MA  MB  MC  3MG    2) Tính chất : Cho ba véc tơ a , b c ta có :       a + = + a = a (Tính chất véc tơ – không )      a + b = b + a (Tính chất giao hoán )        ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( tính chất kết hợp ) II) PHÉP NHÂN MỘT VÉC TƠ VỚI MỘT SỐ  1) Định nghĩa : Tích số k với véc tơ a véc tơ số thực  kí hiệu : k a thỏa :   Cùng hướng với véc tơ a k    Ngược hướng với véc tơ a k >   Có độ dài k a   2) Tính chất : Với véc tơ a số thực k l ta có :    k(l a ) = (k.l) a     (k + l) a = k a + l a      k( a + b ) = k a + k b        a = a ; a = ; k =     3) Véc tơ phương : hai véc tơ a b phương ( a  )   có số thực k cho b = k a 4) Ba điểm thẳng hàng : Ba điểm A , B , C thẳng hàng   k : AB  k AC 5) Phân tích véc tơ theo hai véc tơ không phương :   Cho a b khơng phương ln có cặp số thực k , l cho x  k a  lb III) HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐÊCAC VNG GĨC 1) Tọa độ véc tơ :  Định nghĩa:     u = (x ; y)  u = x i + y j    Tính chất: Trong mp(Oxy) cho u = (x ; y) , v = (x’; y’) ta có : x  x'  y  y'  uv    u + v = (x + x’ ; y + y’)    u - v = (x – x’ ; y – y’)   k u = (kx ; ky) 2) Tọa độ điểm :     M(x ; y)  OM = x i + y j  Định nghĩa:  Tính chất: Trong mp(Oxy) cho hai điểm A(xA ; yA) B(xB; yB) ta có :    Véc tơ : AB = (xB– xA ; yB– yA) x  xB  xI  A    Trung điểm I đoạn AB :   y  y A  yB  I  x  x B  xC  xG  A   Toạ độ trọng tâm G ABC :    y  y A  y B  yC  G  IV).GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ 1) ĐỊNH NGHĨA :  sin = y0 y  cos = x0 M(x0 ; y0) B y0 y  tg = ( x0  ) x0  cotg = x0 ( y0  ) y0  A’ x0 O A x 2) TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ GÓC THƯỜNG DÙNG : 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o Sin 2 3 2 2 Cos 2 2 2   -1 Tg 1 Độ HSLG 3   - -1  cotg  1  -1 3) CÁC HỆ THỨC GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC Tỉ số lượng giác hai góc bù : (180o - )   sin(180o - ) = sin  cos(180o - ) = - cos  tg(180o - ) = - tg  cotg(180o - ) = - cotg Bi tập: A Vecto phương, hai vecto nhau: Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ điểm A, B, C , D , O     a) Bằng vectơ AB ; OB   b) Có độ dài  OB  Bài : Cho tam giác ABC Ba điểm M,N P trung điểm AB, AC, BC CMR:       MN  BP ; MA  PN -  Bài 3: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh : MN  QP ; NP  MQ Bài 4: Cho tam giác ABC có trực tâm H O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ điểm đối xứng B qua O Chứng minh : AH  B' C Bài 5: Cho hình bình hành ABCD AM  BA , MN  DA, NP  DC , PQ  BC Chứng minh AQ  O B CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTO: Bài 1: Cho điểm bất ḱ M,N,P,Q Chứng minh đẳng thức sau: a)         PQ  NP  MN  MQ ; c)        MN  PQ  MQ  PN ; b)         NP  MN  QP  MQ ; Bài 2: Cho ngũ giác ABCDE Chứng minh rằng: a)           AD  BA  BC  ED  EC  ; b)          AD  BC  EC  BD  AE Bài 3: Cho điểm M, N, P, Q, R, S Chứng minh: Dựng a) MN  PQ  MQ  PN b) MP  NQ  RS  MS  NP  RQ Bài 4: Cho điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G Chứng minh : a)           AB + CD + EA = CB + ED b)            AD + BE + CF = AE + BF + CD c)       AB + CD + EF + GA = d)     AB - AF +     CD - CB +       CB + ED + GF    EF - ED =         Bài 5: Cho h́nh b́nh hành ABCD, có tâm O CMR: OA  OB  OC  OD  Bài 6: Cho ngũ giác ABCDE tâm O Chứng minh : OA  OB  OC  OD  OE  O Bài 7: Cho lục giác ABCDEF có tâm O CMR :                        a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = b) OA + OC + OE = c) AB + AO + AF = AD         d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý ) Bài 8: Cho tam giác ABC ; vẽ bên ngồi hình bình hành ABIF ; BCPQ ; CARS       RF + IQ + PS = Chứng minh : Bài 9: cho tứ giác ABCD Gọi I, J trung điểm AC BD Gọi E          trung điểm I J CMR: EA  EB  EC  ED  Bài 10: Cho tam giác ABC với M, N, P trung điểm AB, BC, CA CMR:             a) AN  BP  CM  ;      b) AN  AM  AP ; c) AM  BN  CP  Bài 11: Cho h́nh thang ABCD ( đáy lớn DC, đáy nhỏ AB) gọi E trung điểm DB CMR:             EA  EB  EC  ED  DA  BC Bài 12: ( Hệ thức trung điểm) Cho điểm A B       a) Cho M trung điểm AB CMR với điểm I bất ḱ : IA  IB  IM          b) Với N cho NA  2 NB CMR với I bất ḱ : IA  IB  3IN           c) Với P cho PA  3PB CMR với I bất ḱ : IA  3IB  2 IP Bài 13: ( Hệ thức trọng tâm) Cho tam giác ABC có trọng tâm G:             a) CMR: GA  GB  GC  Với I bất ḱ : IA  IB  IC  3IG b) M thuộc đoạn AG MG =      GA CMR 2MA  MB  MC  c) Cho tam giác DEF có trọng tâm G’ CMR:       + AD  BE  CF  + T́m điều kiện để tam giác có trọng tâm Bài 14: ( Hệ thức h́nh b́nh hành) Cho h́nh b́nh hành ABCD tâm O CMR:        a) OA  OB  OC  OD  ;        b) với I bất ḱ : IA  IB  IC  ID  IO C MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI: Bài 1: Cho tam giác ABC tam giác cạnh 2a Tính độ dài vectơ BA  BC , CA  CB Bài 2: cho h́nh thoi ABCD cạnh a BAD  600 , gọi O giao điểm đường chéo Tính:           | AB  AD | ; BA  BC ; OB  DC Bài 3: Cho h́nh vng ABCD cạnh a Tính:    AC  BD ;         AB  BC  CD  DA Bài 4: Cho tứ giác ABCD Gọi I, J trung điểm AC BD Hăy tính :       IB  ID  JA  JC D Chứng minh điểm thẳng hàng: Bài Cho tam giác ABC M, N trung điểm AB, AC a) Gọi P, Q trung điểm MN BC CMR : A, P , Q thẳng hàng        b) Gọi E, F thoả mn : ME  MN , BF  BC CMR : A, E, F thẳng hng Bài Cho tam giác ABC, E trung điểm AB F thuộc thoả mn AF = 2FC a) Gọi M trung điểm BC I điểm thoả mn 4EI = 3FI CMR : A, M, I thẳng hng b) Lấy N thuộc BC cho BN = NC v J thuộc EF cho 2EJ = 3JF CMR A, J, N thẳng hng c) Lấy điểm K trung điểm EF Tìm P thuộc BC cho A, K, P thẳng hng     Bài Cho tam giác ABC M, N, P điểm thoả mn : MB  3MC  O ,   AN  3NC ,       PB  PA  O         CMR   ( MP  CB  CA, MN  CB  CA ) : M, N, P thẳng hng       Bài Cho tam giác ABC L, M, N thoả mn LB  LC, MC  1  MA ,      NB  NA  O CM : L, M, N thẳng hng     Bài Cho tam gic ABC với G l trọng tm I, J thoả mn : IA  3IC  O ,     JA  JB  JC  O a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N trung điểm AB BC b) CMR J trung điểm BI     c) Gọi E điểm thuộc AB thoả mn AE  k AB Xác định k để C, E, J thẳng hng        Bài Cho tam giác ABC I, J thoả mn : IA  IB, JA  JC=O CMR : Đường thẳng IJ qua G Bài 7: Cho tam giác ABC có AM trung tuyến Gọi I trung điểm AM K điểm cạnh AC cho AK = AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng Bài 8: Cho tam giác ABC Hai điểm M, N xác định hệ thức BC  MA  O; AB  NA  AC  O Chứng minh MN // AC E Phân tích vecto theo vecto khác phương Xác định vị trí điểm thoả mn đẳng thức Vectơ: Bài 1: Cho điểm A, B, C Tìm vị trí điểm M cho :      a) MB  MC  AB      b) 2MA  MB  MC  O        c) MA  MB  MC  O            d) MA  MB  MC  O   e) MA  MB  MC  O f) MA  MB  MC  O Bài 2: Cho tam giac ABC có I, J , K trung điểm BC , CA , AB G trọng tâm tam giác ABC D, E xác định : AD = AB AE = Tính DE DG theo AB AC AC Suy điểm D,G,E thẳng hàng F Hệ trục tọa độ 1.Trong mpOxy cho điểm A (1 ;–2) B(0 ; 3) C(–3; 4) D(–1 ; 8) Bộ ba điểm thẳng hàng ĐS: A ; B ;D 2.Trong mpOxy cho điểm A(1 ;–2) B(3 ; –1) C(–3 ; 5) a.Chứng minh ABC l tam gic b.Tìm tọa độ trọng tâm tam gia1cABC c)Gọi I(0 ; 2) Chứng minh A ; G; M thẳng hng d) Gọi D(-5;4) Chứng minh ABCD l hình bình hnh 3.Cho cc vecto a   2; 0 b    1;  c   ;6  Tìm tọa độ vecto    u  2a  4b  5c 2 DS : u  (28;32) 4.Cho tam giác ABC , G trọng tâm tam giác Tính tọa độ vecto u  3GA  2GC  4GB ĐS: (1 ; -14) 5.Cho a   1;  b    ;1 c    ;2 .Phaân vecto a theo vecto b vàc tích ĐS : a  6.Cho a   ;  b   ;1  c    ;7  a.Chứng minh a ; b khơng phương B.Phân tích vecto c theo vecto a ; b ÑS : c  2a  3b 7.Cho điểm A(2;1) B(2;–1) C(–2 ;–3) a.Chứng minh A,B,C khơng thẳng hàng Tìm D cho ABCD hình bình hành ĐS: D(–2;–1) 8.Cho tam giác ABC với A(–1;–2) B(3;2) C(4 ; -1) a.Tìm trung điểm I AC b.Tìm D cho ABCD hình bình hành 3 ĐS: I  ;  D(0;5)   2 2 9.Trong mpOxy cho điểm M(-4 ; 1) N(2;4) P(2 ; –2) trung điểm cạnh BC ; CA AB tam giác ABC a.Tìm A ; B ;C ĐS: A(8;1) B(-4;-5) C(-4;7) b.Chứng minh tam giác ABC MNP có trọng tâm 10.Cho tam giác ABC với A(–3;6) B(9;–10) C(-5;4) a.Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC ĐS: b c 10 b.Tìm D cho BGCD hình bình hành 11.Cho điểm A(-2 ; -3) B(3;7) C(0;3) D(-4 ; -5) a.Chứng minh AB //CD b Tìm giao điểm I AD BC ĐS (-12;-13) Hướng dẫn:  Tính AI ; BI ; AD ; BC - Suy hệ phươngtrình  AI phươngAD BI phươngBC - Giải tìm tọộ hệ I ... A,B,C khơng thẳng hàng Tìm D cho ABCD hình bình hành ĐS: D(–2;–1) 8.Cho tam giác ABC với A(–1;–2) B(3;2) C(4 ; -1) a.Tìm trung điểm I AC b.Tìm D cho ABCD hình bình hành 3 ĐS: I  ;  D(0;5)... H O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ điểm đối xứng B qua O Chứng minh : AH  B'' C Bài 5: Cho hình bình hành ABCD AM  BA , MN  DA, NP  DC , PQ  BC Chứng minh AQ  O B CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC...     d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý ) Bài 8: Cho tam giác ABC ; vẽ bên ngồi hình bình hành ABIF ; BCPQ ; CARS       RF + IQ + PS = Chứng minh : Bài 9: cho tứ giác