Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SINH BỞI PHƯƠNG TRÌNH Huỳnh Chí Hào Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp A. Một số kiến thức bổ trợ 1) Định lý tồn tại nghiệm của hàm số liên tục: Định lý: Nếu hàm số () f x liên tục trên đoạn   ;ab và ().() 0fa fb thì tồn tại ít nhất một điểm   ;cab sao cho () 0fc 2) Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu: Định lý: Cho hàm số ()yfx có đạo hàm trong khoảng (a;b) a) Nếu '( ) 0fx với mọi  ; x ab thì hàm số ()yfx đồng biến trên khoảng đó b) Nếu '( ) 0fx với mọi  ; x ab thì hàm số ()y fx nghịch biến trên khoảng đó 2) Liên hệ giữa tính đơn điệu và nghiệm của phương trình: Định lý: Nếu hàm số  yfx đồng biến trên   a;b và   ygx làm hàm hằng hoặc là một hàm số nghịch biến trên   a;b thì phương trình    fx gx có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng   a;b Dựa vào tính chất trên ta suy ra: Nếu có  0 xa;b sao cho   00 fx gx thì phương trình     fx gx có nghiệm duy nhất trên   a;b 3) Nguyên lý kẹp: Cho ba dãy số   ,, nn n uvw sao cho: 00 ,, lim lim lim nn n n n nn nn nnnnuvw va uwa                  4) Tiêu chuẩn hội tụ:(Tiêu chuẩn Weierstrass) 1) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ. 2) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ. 3) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. 5) Định lý LAGRANGE: Nếu () f x là hàm số liên tục trên đoạn   ;ab , có đạo hàm trong khoảng   ;ab thì tồn tại   ;cab sao cho () () '( ) f bfa fc ba    hay ( ) ( ) '( )( ) f bfa fcba  2 B. Các bài toán. Bài toán 1. Xét phương trình 22 11 1 11 14 1 1 12xx kx nx       trong đó n là số nguyên dương. 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong   1;   và ký hiệu nghiệm đó là n x . 2) Chứng minh rằng lim 4 n n x   Hướng dẫn tư duy: + Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất. + Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass và định lý Lagrange để tìm giới hạn. Lời giải 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong   1;    Xét phương trình 22 11 1 11 14 1 1 12xx kx nx       với   1;x   (1)  Biến đổi 22 11 1 1 1 (1) ( ) 0 2141 1 1 n fx xx kx nx       (2)  Khảo sát tính đơn điệu của ( ) n f x trên   1;   Dễ thấy rằng f(x) liên tục trên  1;  Do     22 ' 22 2 2 2 14 ( ) 0, 1; 1 141 1 n kn fx x nx xx kx                  nên ( ) n f x nghịch biến trên  1;x  . (3)  Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên   1;   Do ( ) n f x liên tục trên  1;  và 1 lim ( ) 1 lim ( ) 2 n x n x fx fx             nên tồn tại   0 1;x   sao cho 0 ()0 n fx  (4)  Từ (3) và (4) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong  1;  .  2) Ký hiệu nghiệm đó là n x .Chứng minh rằng lim 4 n n x    So sánh ( ) nn f x và (4) n f , ta có     22 22 2 11 1 1 1 (4) 22141 21 21 111111 11 1111 1 1 ( Do ) 233521212121 22121 21 1 0 22 1 n f kn kk nn kk k n                        3 Do ( ) 0 nn fx nên ( ) (4) nn n fx f .  Do ( ) n f x nghịch biến trên  1;  và ( ) (4) nn n fx f nên theo định nghĩa tính đơn điệu suy ra 4 n x   Lại tiếp tục đánh giá n x . Áp dụng định lý Lagrange cho ( ) nn f x trên   ;4 n x , ta suy ra với mỗi số n nguyên dương, tồn tại  ;4 nn cx sao cho   '' 1 4 ( ) ( )(4 ) ( ) 22 1 4 nn nn n nn n ffxfcxfc nx      Mặt khác    22 ' 22 2 2 2 14 1 ( ) 9 1 141 1 nn n nn n kn fc nc cc kc               (Do   2 2 11 14019 9 1 nn n n xc c c      ) nên   11 9 4 22 1 4 9 22 1 n n x nx n         Tóm lại ta luôn có:  9 44 22 1 n x n   với mỗi số nguyên dương n (5)  Từ (5) và theo nguyên lý kẹp ta suy ra được lim 4 n n x   .  Bài toán 2. Xét phương trình 22 11 1 1 1 0 214xx x x k xn        trong đó n là số nguyên dương. 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong   0;1 và ký hiệu nghiệm đó là n x . 2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim n n x  Hướng dẫn tư duy: + Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất + Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn Lời giải 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong   0;1  Xét phương trình 22 11 1 1 1 0 214xx x x k xn        với   0;1x  (1) Đặt 22 11 1 1 1 ( ) 214 n fx x xx xk xn         Khảo sát tính đơn điệu của ( ) n f x trên   0;1 Do      ' 22 2 2 22 21 1 1 ( ) 0, 0;1 21 n fx x xx xk xn                nên ( ) n f x nghịch biến trên  0;1 . (2) 4  Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên   0;1 Do ( ) n f x liên tục trên  0;1 và 0 1 lim ( ) lim ( ) n x n x fx fx              nên tồn tại   0 0;1x  sao cho 0 ()0 n fx  (3)  Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong   0;1 .  2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim n n x   Khảo sát tính đơn điệu và bị chặn của   n x Với mỗi số nguyên dương n ta có:    1 22 22 1 2 11 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 214 11 1 ( ) 0 (do 0 1) 1 nn nn nn n n n nn nn n n fx fx xx x xk xn xn xn fx x xn                   Mặt khác 1 0 lim ( ) n x fx      và 1 () n f x  nghịch biến trên   0; n x nên suy ra phương trình 1 () 0 n fx   có duy nhất nghiệm trên  0; n x , gọi nghiệm duy nhất này là 1n x  . Do    0; 0;1 n x  nên 1 0 nn x x     Dãy  n x là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn lim n n x  .  Bài toán 3. Xét phương trình 2 10 n xxx trong đó n là số nguyên dương và 2n  . 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương 2n  , phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là n x . 2) Tìm lim n n x  Hướng dẫn tư duy: + Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất + Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn Lời giải 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương 2n  , phương trình trên có duy nhất nghiệm trong   0;    Xét phương trình 2 10 n xxx với   1;x   Đặt  2 1 n f xxxx  Khảo sát tính đơn điệu của ( ) f x trên   0;   Do 1 '( ) 2 1 n f xnx x   nên ( ) n f x nghịch biến trên  1;x . (3)  Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên   1;   Do ( ) n f x liên tục trên  1;  và 1 lim ( ) 1 lim ( ) 2 n x n x fx fx             nên tồn tại   0 1;x   sao cho 0 ()0 n fx  (4) 5  Từ (3) và (4) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong  1;  .  2) Ký hiệu nghiệm đó là n x .Chứng minh rằng lim 1 n n x    Do x n là nghiệm của phương trình (1) nên : 22 10 1 n n nnn n nn xxx x xx      Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:   2 2 22 sô 1 1 sô 1 1 1 1 1 1 .1.1 1 nn nnn n n nnn nn n xx x xn xxx xx nn           (5) (Trong (5) không có dấu bằng bởi vì 1 n x  nên 2 11 nn xx   )  Kết hợp với 2 n x  , với mọi 1,2 n  ta được: 2 6 nn xx   (6)  Từ (5) và (6) suy ra: 6 11 n x n   Do 6 lim 1 1 n n      và theo nguyên lý kẹp suy ra lim 1 n n x   Bài toán 4. Xét phương trình 21 1 n x x   trong đó n là số nguyên dương . 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có một nghiệm duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là n x . 2) Tìm lim n n x  Hướng dẫn tư duy: + Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất + Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn Lời giải 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương, phương trình trên có một nghiệm duy nhất  Xét phương trình 21 1 n x x   với x   (1) Ta có:   21 2 111 nn xx xx     (2) + Với 1x  thì 2 1 n x  nên (2) 0VT  , suy ra (2) vô nghiệm trên   ;1   + Với 01 x  thì 2 1 n x  nên (2) 0VT  , suy ra (2) vô nghiệm trên   0;1 + Với 10x  thì 21 01 n x x   nên (2) 1VT  , suy ra (2) vô nghiệm trên   1; 0 Suy ra: (2) vô nghiệm trên  ;1 nên (1) vô nghiệm trên   ;1   (3)  Khảo sát tính đơn điệu của  21 1 n f xx x   trên   1;   Dễ thấy rằng f(x) liên tục trên   1;  Ta lại có:     2 '( ) 2 1 1 0, 1; n fx n x x   nên ( ) f x đồng biến trên   1;x  . (4)  Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên   1;   6 Do ( ) f x liên tục trên   1;  và 21 (1) 1 0 (2) 2 3 0, 1,2, n f fn        nên tồn tại  0 1;x  sao cho 0 ()0fx  (5)  Từ (3), (4), (5) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm .  2) Ký hiệu nghiệm của phương trình (1) là x n . Tìm lim n n x   Do x n là nghiệm của phương trình (1) nên : 1 n x  và 21 21 11 n n nn n n xx x x        Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:       2n sô 1 21 2 sô 1 1 111 1 21 1 .1.1 1 21 21 21 21 21 2 n n n nn n n n n x xn xx nn xn x n n x n                    Kết hợp với 1 n x  , với mọi 1, 2 n  ta được: 21 1 2 n n x n    Do 21 lim 1 2 n n n    và theo nguyên lý kẹp suy ra lim 1 n n x    Vậy lim 1 n n x   Bài toán 5. Xét phương trình 1 1 0 nn xx x   trong đó n là số nguyên dương và 2n  . 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương 2n  , phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là n x . 2) Tìm lim n n x  . Hướng dẫn tư duy: + Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất + Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn Lời giải 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương 2n  , phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất  Xét phương trình: 1 1 0 nn xx x   (1)  Khảo sát tính đơn điệu của 1 ( ) 1 nn n f xxx x    trên   0;   Dễ thấy rằng f(x) liên tục trên   0;  Do  '1 2 ( ) 1 1 0 nn n fx nx n x    với mọi   0;x   và 2n   nên ( ) n f x là hàm số đồng biến trên   0;   (2)  Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên   0;   Do ( ) n f x liên tục trên   0;  và (0) 1 0 (1) 1 0 n n f fn        nên tồn tại   0 0;x   sao cho 0 ()0 n fx  (3) 7  Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương 2n  , phương trình trên có duy nhất nghiệm trong  0;  .  2) Ký hiệu nghiệm đó là n x .Tìm lim n n x   Do n x là nghiệm của phương trình (1) nên: 0 n x  và 2 1 n nn n xx x    (4)  Vì 0 n x  nên từ (4) suy ra ( n x ) là dãy giảm , mặt khác lại bị chặn dưới bởi 0, nên tồn tại giới hạn hữu hạn lim n n x a   (5)  Ta lại có: 2 1 1 1 n n n nn n n n x xx x x x    và lim 0 n n n x   nên kết hợp với (4), (5) suy ra 11 1 12 aa a     Vậy 1 lim 2 n n x   Bài toán 6. Xét phương trình n x xn trong đó n là số nguyên dương 2n  . 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương, phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là n x . 2) Tìm lim n n x  Hướng dẫn tư duy: + Sử dụng tính liên tục và đơn điệu chứng minh nghiệm duy nhất + Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để tìm giới hạn Lời giải 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương 2n  , phương trình trên có một nghiệm dương duy nhất  Xét phương trình: n x xn   (1)  Khảo sát tính đơn điệu của ( ) n f xxxn trên   1;    Do '1 () 1 0 n n fx nx   với mọi   1;x   nên ( ) n f x là hàm số đồng biến trên   1;   (2)  Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên   0;   Do ( ) n f x liên tục trên   0;  và (1) 0 (1) 2 0 n n n fn fnn          nên tồn tại   0 0;x   sao cho 0 ()0 n fx  (3)  Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương 2n  , phương trình trên có duy nhất nghiệm trong  0;  .  2) Ký hiệu nghiệm đó là n x .Tìm lim n n x   Do n x là nghiệm của phương trình (1) nên 11 2 n n n nn n n x xxxnn   Vì lim 2 1 n n n   , theo nguyên lý kẹp ta được lim 1 n n x    Vậy lim 1 n n x   8 Bi toỏn 7. Cho số thực a > 2. Đặt 10 10 () 1 nn n f xax x x (n = 1,2, ). Chứng minh rằng với mỗi n phơng trình () n f xa có đúng một nghiệm (0; ) n x . Chứng minh dãy số () n x có giới hạn hữu hạn khi n . Li gii Với mỗi n, đặt () () nn gx fx a; khi đó () n gx l hm liên tục, tăng trên [0;+ ). Ta có (0) 1 n ga <0; 10 (1) 1 0 n gana nên () 0 n gx có nghiệm duy nhất n x trên (0;+ ). Để chứng minh tồn tại giới hạn lim n n x , ta chứng minh dãy n x tăng v bị chặn. Ta có 1 10 10 1 11 11 11 1 n n n a ga a aa a = 19 1 99 11 1 1111(1)10 nn aa a a aa a . Suy ra n x < 1 1 a n . Mặt khác, từ 10 10 ( ) 1 0 nn nn n n gx ax x a , suy ra 10 11 1 () 0 nn nn n n n n n xg x a x x x ax => 1 () ()1 1 0 nn nnn n n gx xgx axaax a do 1 1 n x a . Do 1n g l hm tăng v 11 1 0()() nn nn gx gx nên 1 . nn x x Vậy dãy n x tăng v bị chặn nên tồn tại lim n n x . Chú ý: Có thể chứng minh 1 lim 1 n n x a bằng cách đánh giá 1 9 111 1(1)11 1 n n aa x aaa . Thật vậy, ta có 10 2 10 10 10 11 1 1 1 1 1 1 nn nn nn n n aax x x a x aa a . Suy ra 10 2 1 10 111 111 1 nn n aa a x aaa , kéo theo 1 9 11 1(1)11 n n xaa aa . 9 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải. Các bài toán về dãy số. NXBGD 2007. [2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh. Giới hạn dãy số & hàm số. NXBGD 2002. [3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến. Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT. NXBGD 2009. [4] Phạm Văn Nhâm. Một số lớp bài toán về dãy số . Luận văn thạc sĩ khoa học 2011. [5] Tuyển tậ p đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009. [6] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XVI – 2010. Trần Nam Dũng – ĐH KHTN Tp HCM Trong bài viết nhỏ này, chúng ta sẽ đề cập đến một tình huống căn bản khác, đó là khảo sát những dãy số xác định bởi dãy các phương trình: “Cho dãy các hàm số f n (x) xác định bởi công thức tường mình hoặc truy hồi thoả mãn điều kiện: các phương trình f n (x) = 0 có nghiệm duy nhất x n  D. Cần khảo sát các tính chất của x n như khảo sát sự hội tụ, tìm giới hạn …” Chúng ta bắt đầu từ một bài toán thi tuyển sinh vào khoa Toán trường Đại học Độc lập Matxcơva năm 2000 Bài toán 1. Ký hiệu x n là nghiệm của phương trình: 1 1 1 0 1 x x x n       thuộc khoảng (0, 1) a) Chứng minh dãy {x n } hội tụ b) Hãy tìm giới hạn đó. Bình luận: x n được xác định duy nhất vì hàm số 1 1 1 ( ) 1 n f x x x x n       liên tục và đơn điệu trên (0, 1). Tuy nhiên, ta không thể xác định được giá trị cụ thể của x n . Rất may mắn, để chứng minh tính hội tụ của x n , ta không cần đến điều đó. Chỉ cần chứng minh tính đơn điệu và bị chặn là đủ. Với tính bị chặn, mọi thứ đều ổn vì 0 < x n < 1. Với tính đơn điệu, ta chú ý một chút đến mối liên hệ giữa f n (x) và f n+1 (x): 1 1 ( ) ( ) 1 n n f x f x x n      . Đây chính là chìa khoá để chứng minh tính đơn điệu của x n . Lời giải: Rõ ràng x n được xác định 1 cách duy nhất, 0 < x n < 1. Ta có f n+1 (x n ) = f n (x n ) + 1/(x n - n-1) = 1/(x n -n-1) < 0, trong khi đó f n+1 (0 + ) > 0. Theo tính chất của hàm liên tục, trên khoảng (0, x n ) có ít nhất 1 nghiệm của f n+1 (x). Nghiệm đó chính là x n+1 . Như thế ta đã chứng minh được x n+1 < x n . Tức là dãy số {x n } giảm. Do dãy này bị chặn dưới bởi 0 nên dãy số có giới hạn. Ta sẽ chứng minh giới hạn nói trên bằng 0. Để chứng minh điều này, ta cần đến kết quả quen thuộc sau: 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n > ln(n) (Có thể chứng minh dễ dàng bằng cách sử dụng đánh giá ln(1+1/n) < 1/n) Thật vậy, giả sử lim x n = a > 0. Khi đó, do dãy số giảm nên ta có x n  a với mọi n. Do 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n   khi n   nên tồn tại N sao cho với mọi n  N ta có 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n > 1/a. Khi đó với n  N ta có : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 n n n n x x x n x n a a                  Mâu thuẫn. Vậy ta phải có lim x n = 0. Bài toán 2. Cho n là một số nguyên dương > 1. Chứng minh rằng phương trình x n = x + 1 có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là x n . Chứng minh rằng x n dần về 1 khi n dần đến vô cùng và tìm )1(lim   n n xn . Lời giải: Rõ ràng x n > 1. Đặt f n (x) = x n – x – 1. Khi đó f n+1 (1) = - 1 < 0 và f n+1 (x n ) = x n n+1 – x n – 1 > x n n – x n – 1= f n (x n ) = 0. Từ đó ta suy ra 1 < x n+1 < x n . Suy ra dãy {x n } có giới hạn hữu hạn a. Ta chứng minh a = 1. Thật vậy, giả sử a > 1. Khi đó x n  a với mọi n và ta tìm được n đủ lớn sao cho: x n n  a n > 3 và x n + 1 < 3, mâu thuẫn ví f n (x n ) = 0. [...]... với c = 2 thì giới hạn đã cho tồn tại, hữu hạn và khác 0 Dễ thấy với c > 2 thì giới hạn đã cho bằng vô cùng và nới c < 2 thì giới hạn đã cho bằng 0 Vậy c = 2 là đáp số duy nhất của bài toán Qua các ví dụ trên, chúng ta thấy công cụ cơ bản để khảo sát các dãy số cho bởi dãy các phương trình là các định lý cơ bản của giải tích (về hàm liên tục, hàm đơn điệu, định lý về sự hội tụ của dãy số đơn điệu và... phần nhận xét ở bài toán 3) chúng ta đã sử dụng định lý Lagrange để đánh giá hiệu số giữa xn và giá trị giới hạn Ở ví dụ cuối cùng của bài viết này, ta tiếp tục nếu ra ứng dụng dụng định lý này trong một tình huống phức tạp hơn Bài toán 5 Cho n là một số nguyên dương > 1 Chứng minh rằng phương trình xn = x2 + x + 1 có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là x n Hãy tìm số thực a sao cho giới hạn lim n a... w Bài toán 4 (VMO 2002) Cho n là một số nguyên dương Chứng minh rằng phương trình 1 1 1 1    2  có một nghiệm duy nhất xn > 1 Chứng minh rằng khi n dần x  1 4x  1 n x 1 2 đến vô cùng, xn dần đến 4 w Bình luận: Việc chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất xn > 1 là hiển nhiên Mối liên hệ fn+1(x) = fn(x) + 1/((n+1)2x-1) cho thấy xn là dãy số tăng (ở đây 1 1 1 1 f n ( x)     2  ) Đề bài. .. fn(x) = a x + x + …+x + 1 a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình fn(x) = a luôn có đúng một nghiệm dương duy nhất b) Gọi nghiệm đó là xn, chứng minh rằng dãy {xn} có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng h s Lời giải Kết quả của câu a) là hiển nhiên vì hàm fn(x) tăng trên (0, +) Dễ dàng nhận thấy 0 < xn < 1 Ta sẽ chứng minh dãy xn tăng, tức là xn+1 > xn Tương tự như ở những lời...Để giải phần cuối của bài toán, ta đặt xn = 1 + yn với lim yn = 0 Thay vào phương trình fn(x n) = 0, ta được (1+yn)n = 2 + yn Lấy logarith hai vế, ta được nln(1+yn) = ln(2+y n) Từ đó suy ra : lim nln(1+yn) = ln2 Nhưng lim ln(1+yn)/y n = 1 nên từ đây ta suy ra lim nyn = ln2, tức là : lim n( xn  1)  ln 2 n  10 n+10 n c o m Bài toán 3 (VMO 2007) Cho số thực a > 2 và fn(x) = a x + x... a  ( a  1)   a a 1  a   a   a  1 a (do a – 1 > 1) Vậy dãy số tăng {xn} tăng và bị chặn bởi 1 nên hội tụ Nhận xét: Một lần nữa mối liên hệ fn+1(x) = xfn(x) + 1 lại giúp chúng ta tìm được mối quan hệ giữa xn và xn+1 Từ lời giải trên, ta có thể chứng minh được rằng lim x n = (a-1)/a Thật vậy, đặt c = (a-1)/a < 1, theo tính toán ở trên thì fn(c) – fn(x n) = kc n (với k = (a-1)((a-1)9 – 1) >... tăng (ở đây 1 1 1 1 f n ( x)     2  ) Đề bài cho sẵn giới hạn của xn là 4 đã làm cho bài x  1 4x  1 n x 1 2 toán trở nên dễ hơn nhiều Tương tự như cách chứng minh lim xn = c ở nhận xét trên, ta sẽ dùng định lý Lagrange để đánh giá khoảng cách giữa xn và 4 Để làm điều này, ta cần tính 1 1 1 1 fn(4), với f n ( x )     2  Rất may mắn, bài tính fn(4) này liên quan x  1 4x  1 n x 1 2 đến... liên tục, hàm đơn điệu, định lý về sự hội tụ của dãy số đơn điệu và bị chặn, định lý Lagrange) và mối liên hệ mang tính truy hồi giữa các phương trình Hy vọng rằng việc phân tích các tình huống ở 5 ví dụ trên đây sẽ giúp chúng ta có một cách nhìn tổng quát cho các bài toán ở dạng này ... 1 1 1 1 fn(4), với f n ( x )     2  Rất may mắn, bài tính fn(4) này liên quan x  1 4x  1 n x 1 2 đến 1 dạng tổng quen thuộc Lời giải: Đặt fn(x) như trên và gọi xn là nghiệm > 1 duy nhất của phương trình fn(x) = 0 Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1    2       4  1 16  1 (2n  1)(2n  1) 2 4n  1 2 1.3 3.5 1 1 1 1 1 1 1  1 1           2 1 3 3 5 2n  1 2n  2 4n Áp dụng định lý... phương trình xn = x2 + x + 1 có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là x n Hãy tìm số thực a sao cho giới hạn lim n a ( x n  x n 1 ) tồn tại, hữu hạn và khác 0 n  s c o m f n (4)  m a t h Bình luận Dễ thấy giá trị a, nếu tồn tại, là duy nhất Tương tự như ở bài toán 2, có thể chứng minh được rằng xn ~ 1 + ln(3)/n Từ đó có dự đoán là a = 2 Định lý Lagrange sẽ giúp chúng ta đánh giá hiệu xn – xn+1 và chứng . Chuyên đề BDHSG: Giới hạn của dãy số 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SINH BỞI PHƯƠNG TRÌNH Huỳnh Chí Hào Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp A. Một số kiến thức bổ. Huy Khải. Các bài toán về dãy số. NXBGD 2007. [2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh. Giới hạn dãy số & hàm số. NXBGD 2002. [3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến. Một số chuyên đề giải. Trong bài viết nhỏ này, chúng ta sẽ đề cập đến một tình huống căn bản khác, đó là khảo sát những dãy số xác định bởi dãy các phương trình: “Cho dãy các hàm số f n (x) xác định bởi công thức