Đang tải... (xem toàn văn)
kh aksodjf skdlfj álkdfj lksdj flasdjflsdkj flsd fsdlkfjs;a kh aksodjf skdlfj álkdfj lksdj flasdjflsdkj flsd fsdlkfjs;a kh aksodjf skdlfj álkdfj lksdj flasdjflsdkj flsd fsdlkfjs;a vvkh aksodjf skdlfj álkdfj lksdj flasdjflsdkj flsd fsdlkfjs;akh aksodjf skdlfj álkdfj lksdj flasdjflsdkj flsd fsdlkfjs;akh aksodjf skdlfj álkdfj lksdj flasdjflsdkj flsd fsdlkfjs;akh aksodjf skdlfj álkdfj lksdj flasdjflsdkj flsd fsdlkfjs;akh aksodjf skdlfj álkdfj lksdj flasdjflsdkj flsd fsdlkfjs;akh aksodjf skdlfj álkdfj lksdj flasdjflsdkj flsd fsdlkfjs;a
hi C n o Mục lục Lời nói đầu iii Các ký hiệu khái niệm vii Bài tập Sè thùc 1.1 1.2 3 CËn trªn cận d-ới tập số thực Liên phân số Một số bất đẳng thức sơ cấp 11 D·y số thực 19 2.1 DÃy đơn điệu 23 2.2 Giíi h¹n TÝnh chÊt cđa d·y héi tô 30 2.3 Định lý Toeplitz, định lý Stolz ứng dụng 2.4 Điểm giới hạn Giới hạn giới hạn d-ới 42 2.5 C¸c toán hỗn hợp 48 Chuỗi số thực 37 63 3.1 Tổng chuỗi 67 3.2 Chuỗi d-ơng 75 3.3 DÊu hiƯu tÝch ph©n 90 3.4 Hội tụ tuyệt đối Định lý Leibniz 93 3.5 Tiêu chuẩn Dirichlet tiêu chuÈn Abel 99 i Môc lôc hi ii Tích Cauchy chuỗi vô hạn 3.7 Sắp xếp lại chuỗi Chuỗi kép 104 3.8 Tích vô hạn 111 n oà Đ Lêi gi¶i 102 C 3.6 Số thực 121 1.1 Cận cận d-ới tập số thực Liên phân số 121 1.2 Một số bất đẳng thức sơ cấp 131 D·y sè thùc 145 2.1 DÃy đơn điệu 145 2.2 Giíi h¹n TÝnh chÊt cđa d·y héi tơ 156 2.3 Định lý Toeplitz, định lÝ Stolz vµ øng dơng 173 2.4 Điểm giới hạn Giới hạn giới hạn d-ới 181 2.5 Các toán hỗn hợp 199 Chuỗi số thực 231 3.1 Tổng chuỗi 231 3.2 Chuỗi d-ơng 253 3.3 DÊu hiƯu tÝch ph©n 285 3.4 Héi tụ tuyệt đối Định lý Leibniz 291 3.5 Tiêu chuẩn Dirichlet tiêu chuẩn Abel 304 3.6 Tích Cauchy chuỗi vô hạn 3.7 Sắp xếp lại chuỗi Chuỗi kép 321 3.8 TÝch v« h¹n 338 Tµi liƯu tham kh¶o 313 354 hi C n o Lời nói đầu Bạn có tay tập I sách tập giải tích (theo chúng tôi) hay giới Tr-ớc đây, hầu hết ng-ời làm toán ViƯt Nam th-êng sư dơng hai cn s¸ch nỉi tiÕng sau (bằng tiếng Nga đà đ-ợc dịch tiếng Việt): "Bài tập giải tích toán học" Demidovich (B P Demidovich; 1969, Sbornik Zadach i Uprazhnenii po Matematicheskomu Analizu, Izdatelp1stvo "Nauka", Moskva) "Giải tích toán học, ví dụ tập" Ljaszko, Bojachuk, Gai, Golovach (I I Lyashko, A K Boyachuk, YA G Gai, G P Golobach; 1975, Matematicheski Analiz v Primerakh i Zadachakh, Tom 1, 2, Izdatelp1stvo Vishaya Shkola) để giảng dạy học giải tích Cần ý rằng, thứ có tập đáp số Cuốn thứ hai cho lời giải chi tiết phần lớn tập thứ số toán khác Lần chọn sách (bằng tiếng Ba Lan đà đ-ợc dịch tiếng Anh): "Bài tập giải tích Tập I: Số thực, DÃy số Chuỗi số" (W J Kaczkor, M T Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czesc Pierwsza, Liczby Rzeczywiste, Ciagi i Szeregi Liczbowe, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1996), "Bài tập giải tích Tập II: Liên tục Vi ph©n " (W J Kaczkor, M T Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czesc Druga, Funkcje iii Lời nói đầu hi iv n C Jednej Zmiennej{Rachunek Rozniczowy, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1998) o để biên dịch nhằm cung cấp thêm tài liệu tốt giúp bạn đọc học dạy giải tích Khi biên dịch, ®· tham kh¶o b¶n tiÕng Anh: 3* W J Kaczkor, M T Nowak, Problems in Mathematical Analysis I, Real Numbers, Sequences and Series, AMS, 2000 4* W J Kaczkor, M T Nowak, Problems in Mathematical Analysis II, Continuity and Differentiation, AMS, 2001 Sách có -u điểm sau: ã Các tập đ-ợc xắp xếp từ dễ khó có nhiều tập hay ã Lời giải đầy đủ chi tiết ã Kết hợp đ-ợc ý t-ởng hay toán học sơ cấp toán học đại Nhiều tập đựơc lấy từ tạp chí tiếng nh-, American Mathematical Monthly (tiếng Anh), Mathematics Today (tiÕng Nga), Delta (tiÕng Balan) V× thÕ, sách dùng làm tài liệu cho học sinh phổ thông lớp chuyên nh- cho sinh viên đại học ngành toán Các kiến thức để giải tập sách tìm Nguyễn Duy Tiến, Bài Giảng Giải Tích, Tập I, NXB Đại Học Quốc Gia Hµ Néi, 2000 W Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw -Hil Book Company, New York, 1964 Tuy vËy, tr-íc ch-ơng trình bày tóm tắt lý thuyết để giúp bạn đọc nhớ lại kiến thức cần thiết giải tập ch-ơng t-ơng ứng Tập I II sách bàn đến hàm số biến số (trừ phần không gian metric tập II) Kaczkor, Nowak viết Bài Tập Giải Tích cho hàm nhiều biến phép tính tích phân Chúng biên dịch tập II, tới xuất v hi Lời nói đầu C Chúng biết ơn : o n - Giáo s- Phạm Xuân Yêm (Pháp) đà gửi cho gốc tiếng Anh tập I sách này, - Giáo s- Nguyễn Hữu Việt H-ng (Việt Nam) đà gửi cho gốc tiếng Anh tập II sách này, - Giáo s- Spencer Shaw (Mỹ) đà gửi cho gốc tiếng Anh sách tiếng W Rudin (nói trên), xuất lần thứ ba, 1976, - TS D-ơng Tất Thắng đà cổ vũ tạo điều kiện để biên dịch sách Chúng chân thành cám ơn tập thể sinh viên Toán - Lý K5 Hệ Đào Tạo Cử Nhân Khoa Học Tài Năng, Tr-ờng ĐHKHTN, ĐHQGHN, đà đọc kỹ thảo sửa nhiều lỗi chế đánh máy Chúng hy vọng sách đ-ợc đông đảo bạn đọc đón nhận góp nhiều ý kiến quí báu phần biên dịch trình bày Rất mong nhận đ-ợc giáo quý vị bạn đọc, ý kiến góp ý xin gửi về: Chi đoàn cán bộ, Khoa Toán Cơ Tin học, tr-ờng Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, 334 Nguyễn TrÃi, Thanh Xuân, Hà Nội Xin chân thành cảm ơn Hà Nội, Xuân 2002 Nhóm biên dịch Đoàn Chi n oà Đ hi C hi C n oà Đ Các ký hiệu khái niệm ã R - tập số thực ã R+ - tập số thực d-ơng ã Z - tập số nguyên ã N - tập số nguyên d-ơng hay số tự nhiên ã Q - tập số hữu tỷ ã (a, b) - khoảng mở có hai đầu mút a b ã [a, b] - đoạn (khoảng đóng) có hai đầu mút a b ã [x] - phần nguyên số thực x ã Với x ∈ R, hµm dÊu cđa x lµ 1 sgn x = −1 víi víi víi x > 0, x < 0, x = • Víi x ∈ N, n! = · · · · n, (2n)!! = · · · · (2n − 2) · (2n), (2n − 1)!! = · · · · (2n − 3) · (2n − 1) • Ký hiÖu nk = thøc Newton n! , k!(n−k)! n, k ∈ N, n ≥ k, lµ hƯ sè khai triển nhị vii Các ký hiệu khái niƯm hi viii n C • NÕu A ⊂ R khác rỗng bị chặn ta ký hiệu sup A cận nó, không bị chặn ta quy -ớc sup A = +∞ Đ • NÕu A ⊂ R khác rỗng bị chặn d-ới ta ký hiệu inf A cận d-ới nó, không bị chặn d-ới ta quy -ớc inf A = ã DÃy {an } số thực đ-ợc gọi đơn điệu tăng (t-ơng ứng đơn điệu giảm) an+1 an (t-ơng ứng an+1 an ) víi mäi n ∈ N Líp c¸c d·y đơn điệu chứa dÃy tăng giảm ã Số thực c đ-ợc gọi điểm giới hạn dÃy {an } nÕu tån t¹i mét d·y {ank } cđa {an } héi tơ vỊ c • Cho S tập điểm tụ dÃy {an } Cận d-ới cận dÃy , ký hiệu lần l-ợt lim an lim an đ-ợc xác định n n nh- sau + lim an = −∞ n→∞ sup S −∞ lim an = +∞ n→∞ inf S ã Tích vô hạn Q {an } không bị chặn trên, {an } bị chặn S = , {an } bị chặn S 6= , {an } không bị chặn d-ới, {an } bị chặn d-ới S = , {an } bị chặn d-ới S 6= , an héi tơ nÕu tån t¹i n0 ∈ N cho an 6= víi n=1 n ≥ n0 vµ d·y {an0 an0 +1 · · an0 +n } héi tơ n → ∞ tíi mét giíi h¹n P0 6= Sè P = an0 an0 +1 · à an0 +n à P0 đ-ợc gọi giá trị tích vô hạn ã Trong phần lớn sách toán n-ớc ta từ tr-ớc đến nay, hàm tang côtang nh- hàm ng-ợc chúng đ-ợc ký hiệu tg x, cotg x, arctg x, arccotg x theo c¸ch ký hiƯu cđa c¸c s¸ch có nguồn gốc từ Pháp Nga, nhiên sách toán Mỹ phần lớn n-ớc châu Âu, chúng đ-ợc ký hiệu t-ơng tự tan x, cot x, arctan x, arccot x Trong cuèn s¸ch sử dụng ký hiệu để bạn đọc làm quen với ký hiệu đà đ-ợc chuẩn hoá giới hi C n oà Đ Bµi tËp n oà Đ hi C n ≥ 3, C §Ĩ kÕt thóc, chó ý r»ng víi 169 hi 2.2 Giíi h¹n TÝnh chÊt cđa d·y héi tơ n √ n(n − 1)(n − 2) √ ( n n − 1)3 n = ( n n − + 1)n > 3! V× vËy Đ √ n ≤ n( n − 1) ≤ n Do ®ã, 3! (n − 1)(n − 2) 23 √ lim n( n n − 1)2 = n→∞ 2.2.50 (a) Ta cã arctan(n + 1) arctan(n + k) + ··· + n+1 n+k 2 π π 1 < < + · · · + 2n+1 2n+k 2n+1 |an+k − an | = ε > bÊt kú lÊy n0 = [log2 πε − 1] Khi ®ã víi bÊt kú k ∈ N vµ n > n0 ta cã |an+k − an | < ε VËy {an } lµ mét d·y Cauchy Víi (b) Cã thĨ chØ b»ng qui n¹p r»ng 4n |an+k − an | < > n4 víi mäi n ≥ V× vËy 1 + + ··· + 2 (n + 1) (n + 2) (n + k)2 Hệ là, |an+k an | 1 + + ··· + < n(n + 1) (n + 1)(n + 2) (n + k − 1)(n + k) 1 1 1 + − + ··· + − = − n n+1 n+1 n+2 n+k−1 n+k 1 < 1ε (c) Ta cã |a2n − an | = 1 1 + + ··· + ≥n = 2n 2n n+1 2n Điều chứng tỏ an không dÃy Cauchy Ch-ơng DÃy số thực hi 170 C (d) Ta cã Đ oà n |an+k − an | n+k−1 n+k−2 n (−1) (−1) (−1) + + ··· + = (n + k)(n + k + 1) (n + k − 1)(n + k) (n + 1)(n + 2) 1 ≤ + + ··· + (n + k)(n + k + 1) (n + k − 1)(n + k) (n + 1)(n + 2) 1 1 1 − + − + ··· + − = n+k n+k+1 n+k −1 n+k n+1 n+2 1 − < [ 1ε − 1] (e) Ta cã |an+k − an | ≤ M(|q|n+k + |q|n+k−1 + · · · + |q|n+1 ) n+1 M |q| (1 − |q|k ) ≤ |q|n+1 < ε =M − |q| − |q| (1−|q|)ε ln M víi bÊt kú k ∈ N vµ n > n0 = −1 ln |q| (f) Ta cã 2n 2n − n+1 + + ··· + 2 (2n + 1) (2n) (n + 2)2 2n 2n2 ≥n ≥ = (2n + 1)2 (3n)2 a2n − an = Do {an } không dÃy Cauchy 2.2.51 Tõ ®iỊu kiƯn ®· cho ta cã |an+k − an | = |an+k − an+k−1 + an+k−1 − an+k−2 + · · · + an+1 − an | < λ(|an+k−1 − an+k−2 | + |an+k−2 − an+k−3 | + · · · + |an − an−1 |) < (λk + λk−1 + · · · + λ2 + λ)|an − an−1 | ≤ (λk + λk−1 + · · · + λ2 + λ)λn−2 |a2 − a1 | = λn−1 (1 − λk ) λn−1 |a2 − a1| < |a2 − a1 | 1−λ 1−λ 2.2 Giíi h¹n TÝnh chÊt cđa d·y héi tơ hi ε(1−λ) ) −a1 | ε > cho tr-íc, víi n > + ln( |a vµ víi mäi k∈N n |an+k − an | < ε ln λ oà ta cã C Do đó, với 171 2.2.52 Vì {Sn } hội tụ nên dÃy Cauchy Chúng ta sÏ chøng minh {ln σn } Đ cịng lµ d·y Cauchy Từ bất đẳng thức 2.1.4,1 ta có ln σn+k < víi an+k − ln σn = ln + + ··· + an+1 an+k + · · · + ln + an+1 < k N n đủ lín 2.2.53 Tõ kÕt qu¶ 1.1.23, ta cã Rn+k − Rn = (Rn+k − Rn+k−1 ) + (Rn+k−1 − Rn+k−2 ) + · · · + (Rn+1 − Rn ) (−1)k−2 1 (−1)k−1 n = (−1) + + ··· − + qn+k−1 qn+k qn+k−2 qn+k−1 qn+1 qn+2 qn qn+1 Do đó, dÃy {qn } đơn điệu nên qn n (xem lời giải bµi 1.1.24), ta cã |Rn+k − Rn | ≤ qn+1 qn ≤ n2 2.2.54 Gäi d lµ công sai cấp số cộng đà cho Tr-ớc hết giả sử d 6= Khi 1 1 = − ak ak+1 ak ak+1 d Do ®ã lim n→∞ Víi 1 + + ··· + a1a2 a2 a3 an an+1 = a1d d = 0, cấp số cộng dÃy hằng, 1 = +∞ lim + + ··· + n→∞ a1a2 a2a3 an an+1 2.2.55 Gäi d lµ công sai cấp số cộng đà cho Tr-ớc hết giả sử d 6= Vì √ ak+1 − ak , = √ √ ak + ak+1 d Ch-¬ng D·y sè thùc hi 172 n 1 √ √ +√ √ + ··· + √ √ a1 + a2 a2 + a3 an + an+1 =√ d d = 0, cấp số cộng dÃy hằng, giới h¹n b»ng +∞ Đ Víi lim √ n→∞ n C ta cã 2.2.56 (a) Theo bµi 2.1.38, ta cã 1+ n n vµ n ≥ m ta cã n n