MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ KHÔNG GIAN OXYZ TRONG CÁC ĐỀ THI Bài Câu VI.a 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt trục tọa độ I, J, K mà A trực tâm tam giác IJK Câu VI.b 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0); D(3;0;0) Chứng minh đường thẳng AB CD chéo Viết phương trình đường thẳng (D) vng góc với mặt phẳng Oxy cắt đường thẳng AB, CD Hướng dẫn: x y z Câu VI.a: 2) Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) ⇒ ( P ) : + + = a b c  77 a = 4 ur u ur u   + + =1   IAr= (4 − a;5;6), ur = (4;5 − b;6) JA 77 u u u ⇒ a b c ⇒ b = JK = (0; − b; c), IK = (− a;0; c)   −5b + 6c =  − a + 6c = c = 77    Câu VI.b: 2) Gọi (P) mặt phẳng qua AB (P) ⊥ (Oxy) ⇒ (P): 5x – 4y = (Q) mặt phẳng qua CD (Q) ⊥ (Oxy) ⇒ (Q): 2x + 3y – = Ta có (D) = (P)∩(Q) ⇒ Phương trình (D) ………………………………………………………………………………… Bài Câu VI.a Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : x − y − z − = điểm A(2;3; −1) Tìm toạ độ điểm B đối xứng với A qua mặt phẳng (α ) x +1 y −1 z − mặt phẳng = = P : x − y − z − = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A(1;1; −2) , song song với mặt phẳng (P ) vng góc với đường thẳng d Hướng dẫn: Câu VI.a: 2) B(4;2; −2) Câu VI.b Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : ur ur u u r x −1 y −1 z + r 2) u = ud ; nP  = (2;5; −3) ∆ nhận u làm VTCP ⇒ ∆ : = =   −3 …………………………………………………………………… Câu VI.b: Bài 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;4;1),B(–1;1;3) mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng (P) Câu VI.a: Câu VI.b: 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) đường 6x − 3y + 2z = Viết phương trình đường thẳng ∆ // (d) cắt đường thẳng AB, OC 6x + 3y + 2z − 24 = thẳng (d)  Hướng dẫn: Câu VI.a: ur u u u ur r r 2) (Q) qua A, B vng góc với (P) ⇒ (Q) có VTPT n =  n p , AB  = ( 0; −8; −12 ) ≠   ⇒ (Q) : y + 3z − 11 = Câu VI.b: 2) Phương trình mặt phẳng (α) chứa AB song song d: (α): 6x + 3y + 2z – 12 = Phương trình mặt phẳng (β) chứa OC song song d: (β): 3x – 3y + z = 6x + 3y + 2z − 12 = ∆ giao tuyến (α) (β) ⇒ ∆:  3x − 3y + z = Bài Câu VI.a (2.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm B(−1; 3; 0), C (1; 3; 0), M (0; 0; a) với a > Trên trục Oz lấy điểm N cho mặt phẳng (NBC) vng góc với mặt phẳng (MBC) Cho a = Tìm góc α mặt phẳng (NBC) mặt phẳng (OBC) Tìm a để thể tích khối chóp BCMN nhỏ Câu VI.b (2.0 điểm) Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (–1; 3; –2), B (–3; 7; –18) mặt phẳng (P): 2x – y +z+1=0 Viết phương trình mặt phẳng chứa AB vng góc với mp (P) Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) cho MA + MB nhỏ Hướng dẫn: Câu VI.a: 1) B, C ∈ (Oxy) Gọi I trung điểm BC ⇒ I(0; 3; 0) ·MIO = 450 ⇒ α = ·NIO = 450 3 3 2) VBCMN = VMOBC + VNOBC =  a + ÷ đạt nhỏ ⇔ a = ⇔ a = a  a Câu VI.b: 1) 2x + 5y + z − 11 = 2) A, B nằm phía (P) Gọi A′ điểm đối xứng với A qua (P) ⇒ A '(3;1; 0) Để M ∈ (P) có MA + MB nhỏ M giao điểm (P) với A′B ⇒ M(2;2; −3) ………………………………………………………… Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d1 ) (d2 ) có phương trình: Câu VI.a x - y −1 z − = = Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d ) (d2 ) (d1 ); x −1 y +1 z - = = ; Câu VI.b (d ) : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (∆) (∆′) có phương trình: x = + t  (∆) :  y = −1 + 2t z =   x = −2 + t ' ′ ) : y = t ' ; (∆   z = + 4t '  Viết phương trình đường vng góc chung (∆) (∆′) Hướng dẫn: Câu VI.a: Câu VI.b: 2) Chứng tỏ (d1) // (d2) (P): x + y – 5z +10 = 2 x – y + 10 z – 47 = 2)   x + 3y – 2z + = Bài Câu 6a 2) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – = mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 14 = Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính Câu 6b 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: { (d1) : x = 2t; y = t; z = ; (d2) : { x = − t ; y = t ; z = Chứng minh (d1) (d2) chéo Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính đoạn vng góc chung (d1) (d2) Hướng dẫn: Câu VI.a: 2) (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = (Q) chứa Ox ⇒ (Q): ay + bz = Mặt khác đường trịn thiết diện có bán kính (Q) qua tâm I Suy ra: –2a – b = ⇔ b = –2a (a ≠ 0) ⇒ (Q): y – 2z = Câu VI.b: 2) Gọi MN đường vng góc chung (d1) (d2) ⇒ M (2; 1; 4); N (2; 1; 0) ⇒ Phương trình mặt cầu (S): ( x − 2) + ( y − 1) + ( z − 2) = …………………………… Bài Câu VIa 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) đường thẳng d có phương x −1 y z −1 = = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn Câu VIb 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) giao tuyến mặt phẳng (P): 2x – 2y – z + = 0, (Q): x + 2y – 2z – = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = Tìm m để (S) cắt (d) điểm M, N cho độ dài MN = trình: Hướng dẫn: Câu VI.a: Câu VI.b: 2) Gọi H hình chiếu A d ⇒ d(d, (P)) = d(H, (P)) Giả sử điểm I hình chiếu H lên (P), ta có AH ≥ HI uu ur A ≡ I Vậy (P) cần tìm mặt phẳng qua A nhận AH làm VTPT ⇒ (P): x + y − 5z − 77 = 2) (S) tâm I(–2;3;0), bán kính R= 13 − m = IM (m < 13) Gọi H trung điểm MN ⇒ MH= ⇒ IH = d(I; d) = => HI lớn −m − r ur u r  u; AI    (d) qua A(0;1;-1), VTCP u = (2;1;2) ⇒ d(I; d) = =3 r u Vậy : − m − =3 ⇔ m = –12 ……………………………………………………………… Bài Câu VI.a: 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) qua M(1;1;1), cắt đường thẳng ( d1 ) : t ∈ R ) Câu VI.b: x + y z −1 = = vng góc với đường thẳng ( d ) : x = −2 + 2t ; y = −5t ; z = + t ( −2 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng (P): x + y + z − = đồng thời cắt hai đường thẳng ( d1 ) : x −1 y +1 z = = −1 ( d ) : x = −1 + t; y = −1; z = −t , với t ∈ R Hướng dẫn: 2) Phương trình mp(P) qua M vng góc với d2: x − y + z + = x −1 y −1 z −1 = = Toạ độ giao điểm A d1 mp(P) là: A ( −5; −1;3) ⇒ d: −1 Câu VI.b: 2) Lấy M ∈ ( d1 ) ⇒ M ( + 2t1 ; −1 − t1 ; t1 ) ; N ∈ ( d ) ⇒ N ( −1 + t ; −1; −t ) uu uu r Suy MN = ( t − 2t1 − 2; t1 ; −t − t1 ) Câu VI.a:   t=5 uu uu r r  1 2 ( d ) ⊥ mp ( P ) ⇔ MN = k n; k ∈ R* ⇔ t − 2t1 − = t1 = −t − t1 ⇔  −2 ⇒ M =  ; − ; − ÷ 5 5 t = 1  = y+ =z+ 5 …………………………………………………………… ⇒ d: x − Bài Câu VI.a 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α): 3x + 2y – z + = hai điểm A(4;0;0) , B(0;4;0) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Xác định tọa độ điểm K cho KI vng góc với mặt phẳng (α), đồng thời K cách gốc tọa độ O (α) Câu VI.b 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x – 3y + 11z = hai đường thẳng d1: x y − z +1 x − y z−3 = = , = = Chứng minh d1 d2 chéo Viết phương −1 1 trình đường thẳng ∆ nằm (P), đồng thời ∆ cắt d1 d2 Hướng dẫn: Câu VI.a: 2) I(2;2;0) Phương trình đường thẳng KI: x−2 y −2 z = = Gọi H hình chiếu I (P): −1 H(–1;0;1) Giả sử K(xo;yo;zo) x0 − y0 − z0  = =  1 3 −1 Ta có: KH = KO ⇔  ⇒ K(– ; ; ) 4  ( x + 1) + y + ( z − 1) = x + y + z 0 0 0  Câu VI.b: 2) Toạ độ giao điểm d1 (P): A(–2;7;5) Toạ độ giao điểm d2 (P): B(3;–1;1) Phương trình đường thẳng ∆: x+2 y −7 z −5 = = −8 −4 ……………………………………… Bài 10 Câu VIa 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A ≡ O, B(3;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;1) Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’ Câu VIb 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(0;1;1) đường thẳng (d1), (d2) với: (d1): x −1 y + z = = ; (d2) giao tuyến mặt phẳng (P): x + = (Q): x + y − z + = Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc (d1) cắt (d2) Hướng dẫn: 2) Kẻ CH ⊥ AB’, CK ⊥ DC’ ⇒ CK ⊥ (ADC’B’) nên ∆CKH vuông K 49 49 ⇒ CH = CK + HK = Vậy phương trình mặt cầu: ( x − 3) + ( y − 2) + z = 10 10 3x + y + z − = Câu VI.b: 2) Phương trình mặt phẳng (α) qua M(0;1;1) vng góc với (d1): Câu VI.a: 3 x + y + z − =  x = −1   ⇔ y = / Toạ độ giao điểm A (d2) (α) nghiệm hệ  x + = x + y − z + = z = /   Đường thẳng cần tìm AM có phương trình: x y −1 z −1 = = …………………………………………………………… Bài 11 Câu VI.a: 1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình: { x = −t ; y = −1 + 2t ; z = + t ( t ∈ R ) mặt phẳng (P): x − y − z − = Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ nằm (P), cắt vng góc với (d) Câu VI.b: 1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3), D(2;2;–1) Tìm tọa độ điểm M để MA2 + MB2 + MC2 + MD2 đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn Câu VI.a: 1) Gọi A = d ∩ (P) ⇒ A(1; −3;1) Phương trình mp(Q) qua A vng góc với d: − x + y + z + = ∆ giao tuyến (P) (Q) ⇒ ∆: { x = + t ; y = −3; z = + t  14  ;0 ÷ 3  Câu VI.b: 1) Gọi G trọng tâm ABCD ta có: G  ; Ta có: MA2 + MB + MC + MD = 4MG + GA2 + GB + GC + GD  ≥ GA2 + GB + GC + GD Dấu xảy M ≡ G  ; 14  ;0 ÷ 3  …………………………………………………………… Bài 12 Câu VI.a 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) B(3;4;1) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x − y + z − = để ∆MAB tam giác Câu VI.b: 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (∆1 ) có phương trình { x = 2t ; y = t; z = ; (∆2 ) giao tuyến mặt phẳng (α ) : x + y − = ( β ) : x + y + z − 12 = Chứng tỏ hai đường thẳng ∆1 , ∆2 chéo viết phương trình mặt cầu nhận đoạn vng góc chung ∆1 , ∆2 làm đường kính Hướng dẫn Câu VI.a: 2) Gọi (Q) mặt phẳng trung trực đoạn AB ⇒ (Q): x + y − z − = d giao tuyến (P) (Q) ⇒ d: { x = 2; y = t + 1; z = t M ∈ d ⇒ M (2; t + 1; t ) ⇒ AM = 2t − 8t + 11 Vì AB = 12 nên ∆ MAB MA = MB = AB ⇔ 2t − 8t − = ⇔ t = ± 18  ± 18 ± 18  ⇒ M  2; ; ÷  2  Câu VI.b: 2) Gọi AB đường vng góc chung ∆1 , ∆2 : A(2t; t; 4) ∈ ∆1 , B (3 + s; − s;0) ∈ ∆2 AB ⊥ ∆1, AB ⊥ ∆2 ⇒ A(2;1; 4), B(2;1;0) 2 ⇒ Phương trình mặt cầu là: ( x − 2) + ( y − 1) + ( z − 2) = …………………………………………………………………… Bài 13 Câu VI.a 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, A(1; 2; 4), B thuộc trục Ox có hồnh độ dương, C thuộc Oy có tung độ dương Mặt phẳng (ABC) vng góc với mặt phẳng (OBC), tan·OBC = Viết phương trình tham số đường thẳng BC Câu VI.b 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0; 0; 4).Tìm tọa độ điểm B mp(Oxy) cho tứ giác OABC hình chữ nhật Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm O, B, C, S Hướng dẫn Câu VI.b: 2) OABC hình chữ nhật ⇒ B(2; 4; 0) ⇒ Tọa độ trung điểm H OB H(1; 2; 0), H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vuông OCB + Đường thẳng vuông góc với mp(OCB) H cắt mặt phẳng trung trực đoạn OS (mp có phương trình z = ) I ⇒ I tâm mặt cầu qua điểm O, B, C, S + Tâm I(1; 2; 2) bán kính R = OI = + 22 + 22 = ⇒ (S): ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 2) = Bài 14 Câu VI.a 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 –2x + 2y + 4z – x = hai đường thẳng ∆1 : = y −1 z x −1 y z = , ∆2 : = = Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S), −1 −1 −1 biết tiếp diện song song với hai đường thẳng ∆1 ∆1 Câu VI.b 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) đường thẳng ∆ có phương trình tham số { x = −1 + 2t ; y = − t ; z = 2t Một điểm M thay đổi đường thẳng ∆ , xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn Câu VI.a: 2) (P): y + z + + = (P): y + z + − = Câu VI.b: 2) Gọi P chu vi tam giác MAB P = AB + AM + BM Vì AB khơng đổi nên P nhỏ AM + BM nhỏ Điểm M ∈ ∆ nên M ( −1 + 2t ;1 − t ;2t ) AM + BM = (3t )2 + (2 5) + (3t − 6) + (2 5) r ( r ) ( ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u = 3t ;2 v = −3t + 6;2 r | u |=  Ta có  r | v |=   ( 3t ) ( + ( 3t − ) ( ) r ) r r r ( r ) r ⇒ AM + BM =| u | + | v | u + v = 6;4 ⇒| u + v |= 29 + r r r r Mặt khác, ta ln có | u | + | v |≥| u + v | Như AM + BM ≥ 29 r r Đẳng thức xảy u, v hướng ⇔ 3t = ⇔ t =1 −3t + ⇒ M ( 1;0;2 ) ( AM + BM ) = 29 Vậy M(1;0;2) minP = ( 11 + 29 ) Bài 15 Câu VI.a 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;–2) Gọi H hình chiếu vng góc O mặt phẳng (ABC), tìm tọa độ điểm H Câu VI.b 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ∆ ABC với tọa độ đỉnh C(3; 2; 3) phương trình đường cao AH, phương trình đường phân giác BD là: x−2 y −3 z −3 x −1 y − z − = = = = , d2 : 1 −2 −2 Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC ∆ ABC tính diện tích ∆ ABC d1 : Hướng dẫn 2 1 2) Phương trình mp(ABC): 2x + y – z – = H  ; ; − ÷  3 3 2) Gọi mp(P) qua C vng góc với AH ⇒ ( P ) ⊥ d1 ⇒ ( P) : x + y − z + = Câu VI.a: Câu VI B = ( P ) ∩ d ⇒ B (1; 4;3) ⇒ phương trình BC : { x = + 2t ; y = − 2t ; z = Gọi mp(Q) qua C, vng góc với d2, (Q) cắt d2 AB K M Ta có: (Q) : x − y + z − = ⇒ K (2;2;4) ⇒ M (1;2;5) (K trung điểm CM) ⇒ ptAB : ur ur x −1 y − z − uu uu = = , A = AB ∩ d1 ⇒ A(1;2;5) ⇒ S ∆ ABC =  AB, AC  =   −2 Bài 16 Câu VI.a: 2) Trong không gian với hệ toạ Oxyz, tìm Ox điểm A cách đường thẳng (d) : x −1 y z + = = mặt phẳng (P) : 2x – y – 2z = 2 Câu VI.b: 2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d): x−2 y z−4 = = −2 hai điểm A(1;2; –1), B(7; –2;3) Tìm (d) điểm M cho khoảng cách từ đến A B nhỏ Hướng dẫn 2) Gọi A(a; 0; 0) ∈ Ox ⇒ d ( A; ( P)) = Câu VI.a: 2a 22 + 12 + 22 = 2a ; 8a − 24a + 36 d ( A; d ) = d(A; (P)) = d(A; d) ⇔ 2a = 8a − 24a + 36 ⇔ 4a = 8a − 24a + 36 ⇔ 4a − 24a + 36 = ⇔ 4(a − 3) = ⇔ a = Vậy có điểm A(3; 0; 0) uu ur Câu VI.b: 2) Ta có AB = (6; −4; 4) ⇒ AB//(d) Gọi H hình chiếu A (d) Gọi (P) mặt phẳng qua A (P) ⊥ (d) ⇒ (P): 3x – 2y + 2z + = H = (d)∩ (P) ⇒ H(–1;2;2) Gọi A′ điểm đối xứng A qua (d) ⇒ H trung điểm AA′ ⇒ A′(– 3;2;5) Ta có A, A′, B, (d) nằm mặt phẳng Gọi M = A′B∩(d) Lập phương trình đường thẳng A′B ⇒ M(2;0;4) Bài 17 Câu VI.a: 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x + y + z − x + y − z − 11 = mặt phẳng (α) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với (α) cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có chu vi 6π Câu VI.b: 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–1; –1; 0), B(1; –1; 2), C(2; –2; 1), D(–1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua D cắt ba trục tọa độ điểm M, N, P khác gốc O cho D trực tâm tam giác MNP Hướng dẫn Câu VI.a: 2) Do (β) // (α) nên (β) có phương trình 2x + 2y – z + D = (D ≠ 17) Mặt cầu (S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = Đường trịn có chu vi 6π nên có bán kính r = Khoảng cách từ I tới (β) h = R − r = 52 − 32 = Do 2.1 + 2(−2) − + D 22 + 22 + (−1)2  D = −7 = ⇔ −5 + D = 12 ⇔   D = 17 (loại) Vậy (β) có phương trình 2x + 2y – z – = Câu VI.b: 2) Theo giả thiết ta có M(m; 0; 0) ∈Ox , N(0; n; 0) ∈Oy , P(0; 0; p) ∈ Oz uu ur u ur uu u u u ur ur u u  DP = ( 1; −1; p − 1) ; NM = ( m; − n;0 )    DP.NM = m + n ⇒ u u u u ur uu uu r ur uu r Ta có :  u u DN = ( 1; n − 1; −1) ; PM = ( m;0; − p )  DN PM = m + p    x y −1 z Phương trình mặt phẳng (α): m + n + p = Vì D ∈(α) nên: m + n + p =  m+n=0 u u u ur ur uu u u u ur ur u u  m + p = ⇔  m = −3  DP ⊥ NM  DP.NM =     ur uu r ur u u r D trực tâm ∆MNP ⇔  u u u u ⇔  u u u u ⇔ n = p =  DN ⊥ PM  DN PM =  −1 + + =   m n p  Kết luận, phương trình mặt phẳng (α): x y z + + =1 −3 3 Bài 18 Câu VIa 2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A( 1; –1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; –1; 2) mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z − = Gọi A’ hình chiếu A lên mặt phẳng Oxy Gọi ( S) mặt cầu qua điểm A′, B, C, D Xác định toạ độ tâm bán kính đường tròn (C) giao (P) (S) Câu VIb 2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ( P ) : x + y − z + = đường thẳng (d ) : x+3 = y + = z − , điểm A( –2; 3; 4) Gọi ∆ đường thẳng nằm (P) qua giao điểm (d) (P) đồng thời vng góc với d Tìm ∆ điểm M cho khoảng cách AM ngắn Hướng dẫn Câu VI.a: 2) Dễ thấy A′( 1; –1; 0) Phương trình mặt cầu ( S): x + y + z − x − y − z + = 5  29 ⇒ (S) có tâm I  ;1;1÷ , bán kính R =   +) Gọi H hình chiếu I lên (P) H tâm đường tròn ( C) +) Phương trình đường thẳng (d) qua I vng góc với (P) x = / + t  5 1 d:  y = + t ⇒ H  ; ; ÷ 3 6 z = 1+ t  IH = 75 29 75 31 186 = − = = , (C) có bán kính r = R − IH = 36 36 6 Câu VI.b:  x = 2t −  2) Chuyển phương trình d dạng tham số ta được:  y = t − z = t +  Gọi I giao điểm (d) (P) ⇒ I ( −1;0;4 ) r r * (d) có vectơ phương a (2;1;1) , mp( P) có vectơ pháp tuyến n ( 1;2; −1) r r r r ⇒  a, n  = ( −3;3;3) Gọi u vectơ phương ∆ ⇒ u ( −1;1;1)   x = 1− u u ur uu  ⇒ ∆ : y = u Vì M ∈ ∆ ⇒ M ( −1 − u; u;4 + u ) , ⇒ AM ( − u; u − 3; u ) z = + u  u ur r uu AM ngắn ⇔ AM ⊥ ∆ ⇔ AM u = ⇔ −1(1 − u ) + 1(u − 3) + 1.u = ⇔u=  −7 16  Vậy M  ; ; ÷  3 3 Bài 19 Câu VI.a 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (D) có phương trình { x = −2 + t; y = −2t; z = + 2t Gọi ∆ đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với tham số (D) I(–2;0;2) hình chiếu vng góc A (D) Viết phương trình mặt phẳng chứa  có khoảng cách đến (D) lớn Câu VI.b 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) mặt phẳng (P): x – y – z – = Gọi M điểm thay đổi mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ biểu thức MA2 + MB + MC Hướng dẫn Câu VI.a: 2) Gọi (P) mặt phẳng chứa ∆, ( P ) P ( D) ( P ) ⊃ ( D) Gọi H hình chiếu vng góc I (P) Ta ln có IH ≤ IA IH ⊥ AH d ( ( D ) , ( P ) ) = d ( I , ( P ) ) = IH  H ∈ ( P )  Mặt khác  Trong (P), IH ≤ IA ; maxIH = IA ⇔ H ≡ A Lúc (P) vị trí (P0) ⊥ IA A r ur u r Vectơ pháp tuyến (P0) n = IA = ( 6;0; −3) , phương với v = ( 2;0; −1) Phương trình mặt phẳng (P0) là: 2( x − 4) − 1.( z + 1) = x − z − = 7  3  u u uu u u u u u u u u ur u r u r ur u r ur Ta có F = MA2 + MB + MC = ( MG + GA ) + ( MG + GB ) + ( MG + GC ) u u u u u u u ur ur u r ur u u = 3MG + GA2 + GB + GC + MG (GA + GB + GC ) = 3MG + GA2 + GB + GC Câu VI.b: 2) Gọi G trọng tâm ∆ABC ⇒ G  ; ;3 ÷ F nhỏ ⇔ MG2 nhỏ ⇔ M hình chiếu G lên (P) − −3−3 19 ⇔ MG = d (G,( P )) = 3 = +1 +1 3 GA2 + GB + GC = 56 32 104 64 + + = 9  19  64 553 Vậy F nhỏ 3. ÷ + = M hình chiếu G lên (P) 3 3 Bài 20 Câu VI.a 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm 2 x + y + 11 = M ( −4; −5;3 ) cắt hai đường thẳng: d ' :   y − 2z + = Câu VI.b d '' : x − y + z −1 = = −5 2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vng góc x − 2z = mặt phẳng P : x − y + z + = 3 x − y + z − = đường thẳng d :  Hướng dẫn Câu VI.a: 2) Mặt phẳng P’ qua đường thẳng d’ có phương trình dạng: m ( x + y + 11) + n ( y − z + ) = ⇔ 2mx + ( 3m + n ) y − 2nz + 11m + n = Để mặt phẳng qua M, phải có: m( −8 −15 +11) + n( −5 − + 7) = ⇔ n = −3m Chọn m = 1, n = −3 , ta phương trình P’: x + z −10 = u r Đường thẳng d” qua A ( 2; −1;1) VTCP m = (2;3; −5) Mặt phẳng P” qua M d” có hai VTCP u r uu ur r m MA ( 6;4; −2 ) n ( 3; 2; −1) Vectơ pháp tuyến P” là: u  3; −5 −5; 2;3  r p = , , ÷ = ( 7; −13; −5 )  2; −1 −1;3 3;2  Phương trình P”: 7( x + 4) −13( y + 5) − 5( z − 3) = ⇔ x −13 y − z − 29 = Đường thẳng d phải giao tuyến P’ P” nên có phương trình: 2 x + z − 10 =  7 x − 13 y − z − 29 = 2) Mặt phẳng Q qua d có phương trình dạng: m ( x − z ) + n ( 3x − y + z + ) = Câu VI.b: ⇔ ( m + 3n ) x − 2ny + ( −2m + n ) z + 5n = (Q) ⊥ (P) ⇔ 1.(m + 3n) − 2(−2n) +1.(−2m + n) = ⇔−m + 8n = Chọn m = 8, n = 1, ta phương trình Q: 11x − y −15 z + = Vì hình chiếu d’ d P giao tuyến P Q nên phương trình d’ là: x − y + z + =  11x − y − 15 z + = Bài 21 Câu VI.a 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) đường thẳng d có x +1 y − z + = = Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d Viết phương trình −1 mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d Câu VI.b 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng: phương trình x = t  (d1) :  y = + t ;  z = + 2t  x = t '  (d2) :  y = 3t ' − z = t '−  Gọi K hình chiếu vng góc điểm I(1; –1; 1) (d2) Tìm phương trình tham số đường thẳng qua K vng góc với (d1) cắt (d1) Hướng dẫn r Câu VI.b Giả sử n( a; b; c) vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = r Đường thẳng ∆ qua điểm A(1; 3; 0) có vectơ phương u = (1;1; 4) Từ giả thiết ta có rr  n.u = a + b + 4c = (1)  ∆ / /( P )  ⇔  | a + 5b | Thế b = - a - 4c vào (2) ta có  =4 (2)  d ( A; ( P )) =  2  a +b +c ( a + 5c ) = (2a + 17c + 8ac) ⇔ a - 2ac − 8c = a a =4 v = −2 c c a Với = chọn a = 4, c = ⇒ b = - Phương trình mặt phẳng (P): 4x - 8y + z - 16 = c a Với = −2 chọn a = 2, c = - ⇒ b = Phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + = c ⇔ …………………………………… Bài 83 x − 13 y + z = = −1 2 mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z − 67 = Lập phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng (d ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) Câu IV :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d ) : r r Hướng dẫn: Mặt cầu (S) tâm I (1;2;3) R = Gọi mp ( P) có vtpt n( A; B; C ) ≠ r Đường thẳng d có vtcp u = (−1;1;4) M (13; −1;0) ∈ d Vì d ⊂ ( P ) ⇒ M ∈ ( P) ⇒ pt ( P) : A( x − 13) + B( y + 1) + Cz = (1) Mặt khác ur ur u u nP ud = ⇔ − A + B + 4C = ⇔ A = B + 4C Thay vào (1) ta có pt x( B + 4C ) + By + Cz − 12 B − 52C = Do ( P) tếp xúc với (S) nên d ( I ;( P)) =  B = 4C ⇔ B + 5C = B + 8BC + 17C ⇔   B = −2C TH1: B = 4C , Nếu C = => B = => A = (loại) r Nếu C ≠ , chọn C = ⇒ B = ⇒ n (8;4;1) TH2: B = −2C , Nếu C = => B = => A = (loại) r Nếu C ≠ , chọn C = ⇒ B = −2 ⇒ n (2;1;1) Khi phương trình (P) x + y + z − 100 = x − y + z − 28 = …………………………………… Bài 84 Cõu VII.a (1 im) Trong không gian toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x y + 2z + = hai đờng thẳng: d : x +1 y − z +1 ; = = d ': x + y +1 z +1 = = ViÕt phơng trình đờng thẳng chứa (P), cắt d vµ d ' Câu VII.b (1 điểm) Trong không gian toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + = vµ hai ®êng th¼ng: d : x +1 y − z +1 ; = = d ': x + y +1 z +1 = = Viết phơng trình đờng thẳng chứa (P), vuông góc với d cắt d ' Hng dn: Cõu VII.a Tìm giao điểm d với (P) A(1; 5; 0) uu ur Tìm giao điểm cđa d’ víi (P) lµ B(-1; 3; 1) => AB( 2; 2;1) uu ur đờng thẳng qua A cã vtcp AB (−2; −2;1) nªn cã pt x −1 y − z = = −2 −2 Câu VII.b Tìm giao điểm d với (P) B(-1; 3; 1) r r Đờng thẳng d có vtcp u (2;3;1) , mặt phẳng (P) có vtpt n(2; 1; 2) r u r u r ru ∆ chøa (P), vuông góc với d nên có vtcp u ' = [u, n] = (7; −2; −8) x + y − z −1 = = −2 −8 …………………………………… Bi 85 Cõu VIa cắt d B nên cã pt Trong không gian tọa độ (Oxyz) cho A(3;5;4), B(3;1;4) Hãy tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P): x − y − z − = cho tam giác ABC cân C có diện tích 17 Câu VIb Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định toạ độ tâm bán kính đường trịn ngoại tếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3) Hướng dẫn: Câu VIa C thuộc mặt phẳng (P) nên C( a ; b ;a-b-1) Tam giác ABC cân C => AC = BC ⇒ (a − 3) + (b − 5) + (5 − a + b) = (a − 3)2 + (b − 1) + (5 − a + b) ⇒ b = (1) Ta có AB = 4, trung điểm AB I (3;3; 4) S ∆ABC = CI AB = 17 ⇒ CI = 17 => a = a =   b = b = ( − a) + ( − a ) = 17 (2) Từ (1) ; (2) ta có Vậy có hai điểm C(4 ; ;0) , C(7;3;3) uu ur uu ur Câu VIb: Ta có: AB = (2; 2; −2), AC = (0; 2; 2) Suy phương trình mặt phẳng trung trực AB, AC là: r uu uu ur ur x + y − z − = 0, y + z − = Vectơ pháp tuyến mp(ABC) n =  AB, AC  = (8; −4; 4) Suy (ABC):    x + y − z −1 = x =   x − y + z + = Giải hệ:  y + z − = ⇒  y = Suy tâm đường tròn I (0; 2;1) 2 x − y + z + =  z =   Bán kính R = IA = (−1 − 0) + (0 − 2) + (1 − 1) = …………………………………… Bài 86 Câu VI.a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết r uu u r B ( −1; 0; ) , C ( −1;1;0 ) , D ( 2;1; −2 ) , vectơ OA phương với vectơ u = ( 0;1;1) thể tích tứ diện ABCD Lâp phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD x y −1 z = Câu VI.b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = mặt −1 −3 phẳng (P): x + y + z − = cắt Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P), vng góc với d cách d khoảng 42 uu r ur Hướng dẫn: Câu VI.a Từ giả thiết có OA = t.u = (0; t ; t ) ; uu ur uu ur uu u r A(0; t ; t ).BC = (0;1; −2), BD = (3;1; 4), BA = (1; t ; t − 2) uu uu ur ur u u u u uu ur ur u r ⇒  BC , BD  = (2; −6; −3) Suy  BC , BD  BA = −9t +     Ta có VABCD = ur ur u r u u u u uu 1  BC , BD  BA ⇔ = −9t + ⇔ t = 1; t = −   6 Với t = ⇒ A(0;1;1) 2 Mặt cầu cần tìm có phương trình là: ( S ) : x + y + z − 29 46 x+ y+ z− =0 5 5 Với t = − < , tương tự ta tìm phương trình mặt cầu Câu VI.b ur u ur u Đường thẳng d có vectơ phương ud (2; −1; −3) mp(P) có vectơ pháp tuyến nP (7;9; 2) Gọi M giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P) H hình chiếu M ∆ r r r  M (4; −1; −6) Đường thẳng ∆ có vectơ phương u ∆ = n P , u d  = (1; −1;1) 25  Ta thấy ∆ , d hai đường thẳng chéo có khoảng cách 42 r r u ur uu u ∆ , u d  MH 3t 3   = ⇔ = ⇔ t = t = −1 nên r r 42 42 42 u ∆ , u d     x = −7 + t  x = 15 + t '   Vậy có hai đường thẳng cần tìm ∆1 :  y = − t (t ∈ R ); ∆ :  y = −6 − t '( t ∈ R )  z = 10 + t  z = −22 + t '   …………………………………… Bài 87 Câu 7a: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 hai đường thẳng :  x = + 2t  3− y z+2 = (d1) x + = ; (d2)  y = + t (t ∈ ¡ ) Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ nằm 1 z = + t  mp(P) cắt đường thẳng (d1) , (d2) Câu 7b: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) giao tuyến mặt phẳng: (P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0 Tìm tất giá trị m để (S) cắt (d) điểm MN cho MN= Hướng dẫn:  x = − 2t  Câu 7a: (P) ∩ (d1) = A(1;1;2); (P) ∩ (d2) = B(3;3;2)→ (∆)  y = − 2t (t ∈ ¡ ) z =  Câu 7b: (S) tâm I(-2;3;0), bán kính R= 13 − m = IM (m < 13) Gọi H trung điểm MN ⇒ MH= ⇒ IH = d(I; d) = −m − r ur u  u; AI  r  r  =3 (d) qua A(0;1;-1), VTCP u = (2;1;2) ⇒ d(I; d) = u Vậy : − m − =3 ⇔ m = –12( thỏa đk) …………………………………… Bài 88 Câu VIa Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình vng MNPQ có M (5; 3; − 1), P ( 2; 3; − 4) Tìm toạ độ đỉnh Q biết đỉnh N nằm mặt phẳng (γ ) : x + y − z − = Câu VIb Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B (0;1; 0), C (0; 3; 2) mặt phẳn (α ) : x + y + = Tìm toạ độ điểm M biết M cách điểm A, B, C mặt phẳng (α ) Hướng dẫn: Câu VIa Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vng MNPQ có M (5; 3; − 1), P ( 2; 3; − 4) Tìm toạ độ đỉnh Q biết đỉnh N nằm mặt phẳng (γ ) : x + y − z − = - Gi¶ sư N ( x0 ; y0 ; z ) V× N ∈ (γ ) ⇒ x0 + y0 − z − = (1)  MN = PN MN PN = - MNPQ hình vuông MNP vuông cân N 2 2 2  ( x0 − 5) + ( y0 − 3) + ( z0 + 1) = ( x0 − 2) + ( y0 − 3) + ( z0 + 4) ⇔ ( x0 − 5)( x0 − 2) + ( y0 − 3) + ( z0 + 1)( z0 + 4) =   x0 + z0 − = ⇔ ( x0 − 5)( x0 − 2) + ( y0 − 3) + ( z0 + 1)( z0 + 4) = ( 2) (3)  y = −2 x + Thay vào (3) ta đợc x0 − x0 + =  z = − x0 + - Tõ (1) vµ (2) suy   x0 = 2, y = 3, z = −1  N (2; 3; − 1) hay  ⇒  N (3; 1; − 2)  x0 = 3, y = 1, z = −2 - Gäi I tâm hình vuông I trung điểm MP vµ NQ ⇒ I ( ; 3; − ) NÕu N (2; − 1) th× Q(5; 3; − 4) NÕu N (3;1; − 2) th× Q (4; 5; − 3) Câu VIb Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B (0;1; 0), C (0; 3; 2) mặt phẳn (α ) : x + y + = Tìm toạ độ điểm M biết M cách điểm A, B, C mặt phẳng (α ) Gi¶ sư M ( x0 ; y0 ; z0 ) Khi từ giả thiết suy 2 2 ( x0 − 1) + y0 + z0 = x0 + ( y0 − 1) + z0 = x0 + ( y0 − 3) + ( z0 − 2) =  2 2 ( x0 − 1) + y0 + z0 = x0 + ( y0 − 1) + z0   2 ⇔  x0 + ( y0 − 1) + z0 = x0 + ( y0 − 3) + ( z0 − 2)  2 ( x0 − 1) + y0 + z0 = ( x0 + y0 + 2)   x0 + y0 + (1) (2) (3)  y0 = x0 z0 = − x0  Tõ (1) vµ (2) suy  Thay vµo (3) ta ®ỵc 5(3 x0 − x0 + 10) = (3 x0 + 2)  x0 =  M (1; 1; 2)  ⇔ ⇒  23 23 14  x0 = 23  M ( ; ; − ) 3 3   …………………………………… Bài 89 Câu VI a 2/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz tạo với mặt phẳng (Q): 2x + y - z = góc 600 Câu VI b 2/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0 ; ; c) với a, b, c số dương thay đổi cho a2 + b2 + c2 = Xác định a, b, c để khỏang cách từ O đến mp(ABC) lớn Hướng dẫn: 2/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz,viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz tạo với mặt phẳng (Q): 2x + y - z = góc 600 → → Mp(P) chứa trục Oz nên có dạng Ax + By = 0, ⇒ n p = ( A ; B ; 0) nQ = (2 ; ;− ) → 2A + B → Theo gt: cos( n p , nQ ) = cos 60 ⇔ A + B +1+ 2 = ⇔ 2 A + B = 10 A + B 2 ⇔ A + 16 AB − B = Chọn B = ta có : 6A2 + 16A – = suy ra: A = -3 , A = 1/3 Vậy có hai mặt phẳng (P) cần tìm là: x + 3y = -3x + y = 2/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0 ; ; c) với a, b, c số dương thay đổi cho a2 + b2 + c2 = Xác định a, b, c để khỏang cách từ O đến mp(ABC) lớn x y z + + = ⇒ d ( O; ( ABC )) = Pt mp(ABC): a b c Theo bất đẳng thức Côsi : Ta có : −1 1 + + 2 a b c 1 1 + + ≥ 33 2 2 a b c a b c 1 + + ≥3⇔ a b c = a2 + b2 + c2 ≥ 33 a b c 1 1 + + ≥ ⇒ d ≤ a b c Dấu = xảy a2 = b2 = c2 hay a = b = c = Vậy d lớn bắng a = b = c = …………………………………… Bài 90 C©u VI.a d: 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; ; 0) đường thẳng d víi x −1 y +1 z = = Viết phương trình tắc đường thẳng qua điểm M, −1 cắt vng góc với đường thẳng d vµ tìm toạ độ điểm M đối xứng với M qua d C©u VI.b 2) Trong kg Oxyz cho đường thảng ( ∆ ): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 mp(P):2x – y -2z - 2=0 Viết PT mặt cầu(S) có tâm I ∈ ∆ khoảng cách từ I đến mp(P) mặt cầu(S) cắt mp(P )theo giao tuyến đường trịn (C)có bán kính r=3 Hướng dẫn: 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; ; 0) đường thẳng d víi d: x −1 y +1 z = = Viết phương trình tắc đường thẳng qua điểm M, −1 cắt vng góc vi ng thng d tìm toạ độ điểm M’ ®èi xøng víi M qua d Gọi H hình chiếu vng góc M d, ta có MH đường thẳng qua M, cắt vuông góc với d  x = + 2t  d có phương trình tham số là:  y = −1 + t z = −t  u ur uu Vì H ∈ d nên tọa độ H (1 + 2t ; − + t ; − t).Suy : MH = (2t − ; − + t ; − t) r Vì MH ⊥ d d có vectơ phương u = (2 ; ; −1), nên : 2.(2t – 1) + 1.(− + t) + (− 1).(−t) = ⇔ t = u ur   uu Vì thế, MH =  ; − ; − ÷ 3 3 uu uu u ur r uu uMH = 3MH = (1; −4; −2) Suy ra, phương trình tắc đường thẳng MH là: 3 x − y −1 z = = −4 − 2 Theo trªn cã H ( ; ; ) mà H trung điểm MM nên toạ độ M ( ; ; ) 2) Trong kg Oxyz cho đường thảng ( ∆ ): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 mp(P):2x – y -2z - 2=0 Viết PT mặt cầu(S) có tâm I ∈ ∆ khoảng cách từ I đến mp(P) mặt cầu(S) cắt mp(P )theo giao tuyến đường trịn (C)có bán kính r=3 m cầu(S) có tâm I ∈ ∆ g sửI(a;b;c ) =>(a;b;c) thoả mản PT ∆ (1) ( ) * d I;( P) = (2)  a − b − 2c − =    11 14   1 7 a=t ⇒ ⇒ heconghiem  ; − ; ÷; va  − ; − ; ÷ Từ (1) và(2) ta có hệ PT:  b = 2t − 6 6  3 3  c =t+2   Do r = R − = ⇔ R = 13 Vậy có mặt cầu theo ycbt : 2 14   1  11   ( S1 ) :  x − ÷ +  y + ÷ +  z − ÷ = 13 6  3  6  2 1 ( S2 ) :  x +  +  y +  +  z −  = 13  ÷  ÷  ÷ 3  3  3  …………………………………… Bài 91 Câu VI.a Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1; 3; -2), B (-3; 7; -18) mặt phẳng (P): 2x - y + z + = a Viết phương trình mặt phẳng chứa AB vng góc với mp (P) b Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) cho MA + MB nhỏ Hướng dẫn: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A (-1; 3; -2), B (-3; 7; -18) mặt phẳng (P): 2x - y + z + = a Viết phương trình mặt phẳng chứa AB vng góc với mp (P) uu ur r Ta có AB = (−2, 4, −16) phương với a = (−1,2, −8) u u r mp(P) có VTPT n = (2, −1,1) u r u r Ta có [ n ,a] = (6 ;15 ;3) phương với (2;5;1) Phương trình mp(Q) chứa AB vng góc với (P) : 2(x + 1) + 5(y − 3) + 1(z + 2) = ⇔ 2x + 5y + z − 11 = b Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) cho MA + MB nhỏ Vì khoảng cách đại số A B dấu nên A, B phía với Mp (P) Gọi A' điểm đối xứng với A qua (P) ; Pt AA' : x +1 y − z + = = −1 2x − y + z + =   x + y − z + ⇒ H(1,2, −1)  = −1 =  AA' cắt (P) H, tọa độ H nghiệm ; 2x H = x A + x A '  2y H = y A + y A ' ⇒ A '(3,1,0) 2z = z + z A A'  H Vì H trung điểm AA' nên ta có : u ur uu Ta có A ' B = (−6,6, −18) (cùng phương với (1;-1;3) ) Vậy tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình Pt đường thẳng A'B : x − y −1 z = = −1 2x − y + z + =   x − y − z ⇒ M(2,2, −3)  = −1 =  …………………………………… Bài 92 Câu VIa 2/ Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (P) qua M(2; -1; 2) , song song với Oy vng góc với mặt phẳng (Q): 2x – y + 3z + = Hướng dẫn: Cách r r + Mặt phẳng (Q) : 2x – y + 3z + = có VTPT n Q = ( 2; −1;3) trục Oy có VTĐV j = ( ; ; ) Hai vectơ r r n Q j không phương với r r r + Gọi n P VTPT mặt phẳng (P) Vì (P) song song với Oy vng góc với mặt phẳng (Q) nên n P ⊥ n Q r rr r r n P ⊥ j , chọn n P =  j, n Q  = (3;0; −2) Mp qua M có VTPT (3; 0; −2)   3(x - 2) + 0(y+1) -2(z - 2) = , : 3x - 2z - = // Oy Vậy (P) : 3x - 2z - = Cách + Mặt phẳng (P) song song trục Oy qua M( 2; -1; 2) nên có phương trình dạng : a( x – ) + c(z – 2) = ⇔ ax + cz − 2a − 2c = , với a + c ≠ −2a − 2c ≠ + Mặt phẳng (P) vng góc với mặt phẳng (Q) : 2x – y + 3z + = nên có 2a + 3c = : chọn a = c = -2 , -2a – 2c = −2 ≠ , PT mp(P) : 3x – 2z – = …………………………………… Bài 93 ( ) ( Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x + + y + Bài Va ( ) + ( z + 3) 2 = 14 ) điểm M −1; −3; −2 Lập phương trình mặt phẳng (P) qua cho (P) cắt (S) theo mợt giao tún đường trịn có bán kính nhỏ nhất Hướng dẫn: ( ) Ta thấy M thuộc miền của (S) (S) có tâm I −1; −2; −3 , R = 14 Do đó, (P) qua M cắt (S) theo một giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ nhất ⇔ R − IH nhỏ nhất (H hình chiếu vng góc của I mặt phẳng (P)) ⇔ IH lớn nhất uu ur ⇔ M ≡ H ⇔ IM = ( 0;1; −1) VTPT của (P) Vậy (P) có phương trình y-z+1=0 …………………………………… Bài 94 Câu VI.a: 2) Trong khơng gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có A ≡ O, B(3;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;1) Viết phương trình mặt cầu tâm C tếp xúc với AB’ Câu VI.b: Trong không gian Oxyz cho điểm M(0;1;1) đường thẳng: (d1): x −1 y + z = = ; (d2) giao tuyến mp có PT: x + = x + y − z + = 1) Chứng tỏ đường thẳng d1, d2 chéo tính khoảng cách chúng 2) Viết PT đường thẳng (d) qua M vng góc (d1) cắt (d2) Hướng dẫn: Câu VI.a: 2) Trong khơng gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có A ≡ O, B(3;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;1) Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’ Kẻ CH ⊥ AB’, CK ⊥ DC’ Ta chứng minh CK ⊥ (ADC’B’) nên tam giác CKH vuông K ⇒ CH = CK + HK = 49 10 Vậy PT mặt cầu là: B’ C’ H 49 ( x − 3) + ( y − 2) + z = 10 D’ A’ K A B D C Câu VI.b: Trong không gian Oxyz cho điểm M(0;1;1) thẳng: (d1): đường x −1 y + z = = ; (d2) giao tuyến mp có PT: x + = x + y − z + = 1) Chứng tỏ đường thẳng d1, d2 chéo tính khoảng cách chúng u u r Ta có: ∆1 qua M1 = (1;-2;0), có vectơ phương u1 = (3; 2;1) ur u Ta tìm ∆ qua M2 = (-1;-1;0), có vectơ phương u2 = (0;1;1) u ur u u r u ur u u u r u u uuu r ⇒ u1, u2  = (1; −3;3); u1, u2  M1M = ≠ ⇒ ∆1 , ∆ chéo     u ur u u u r u u uuu r u1, u2  M1M u ur u u r  ⇒ u1, u2  = 19 ⇒ d (d1 , d ) =  = u ur u u r   19 u1 , u2    2) Viết PT đường thẳng (d) qua M vng góc (d1) cắt (d2) Mp(P) qua M(0;1;1) vng góc với d1 có PT: x + y + z − = 3 x + y + z − =  x = −1   ⇔ y = 5/3 Giao điểm A d2 (P) nghiệm hệ  x + = x + y − z + = z = /   ĐT cần tìm AM có PT: x y −1 z −1 = = …………………………………… Bài 95 Câu VIa: 2) Cho hình lập phương ABCDA 1B1C1D1 có điểm A(0;0;0); B(2;0;0); D(0;2;0); A1(0;0;2) M trung điểm AB; N tâm hình vng ADD 1A1 Tính bán kính đường trịn giao tuyến mặt cầu qua C ; D1 ; M ; N với mặt phẳng MNC1 Câu VIa 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : ( d1 ) : x −1 y z + = = −2 1 (d ) : x y − z +1 = = Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1) hợp với (d2) góc 300 −1 Hướng dẫn: 2).Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có điểm A(0;0;0); B(2;0;0); D(0;2;0); A1(0;0;2) M trung điểm AB; N tâm hình vng ADD1A1 Tính bán kính đường trịn giao tuyến mặt cầu qua C ; D1 ; M ; N với mặt phẳng MNC1 +Mặt cầu qua C(2; 2; 0);D1(0; 2; 2);M(1; 0; 0);N(0; 1; 1) có phương trình: x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0 nên  4a + 4b + d + =  4b + 4c + d + =  ⇔ a = c = − ;b = − ; d =  2  2a + d + =  2b + 2c + d + =  Suy tâm mặt cầu bán kính mặt cầu là: I(5/2;1/2;5/2); R = 35 u ur u ur uu uu +(MNC1) qua M(1;0;0) nhận  MC1 ; NC1  = (0;3; −3) làm véc tơ pháp tuyến có   PT: y – z = + h = d(I;(MNC1)) = + Bán kính đường trịn giao tuyến R − h2 = 3 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : ( d1 ) : (d ) : x −1 y z +1 = = −2 1 x y − z +1 = = Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1) hợp với (d2) góc 300 −1 Giả sử mặt phẳng cần tìm là: (α ) : ax + by + cz + d = (a + b + c > 0) Trên đường thẳng (d1) lấy điểm: A(1; 0; -1), B(-1; 1; 0)  a−c+d = c = 2a − b ⇔ nên −a + b + d =  d = a−b Do (α ) qua A, B nên:  (α ) : ax + by + (2a − b) z + a − b = Yêu cầu toán cho ta: 1.a − 1.b + 1.(2a − b) = sin 300 = 12 + (−1) + 12 a + b2 + (2a − b) ⇔ 3a − 2b = 3(5a − 4ab + 2b ) ⇔ 21a − 36ab + 10b =  18 − 114 a = 21 Dễ thấy b ≠ nên chọn b=1, suy ra:   18 + 114 a =  21 KL: Vậy có mặt phẳng thỏa mãn: 18 + 114 15 + 114 − 114 x+ y+ z− =0 21 21 21 18 − 114 15 − 114 + 114 x+ y+ z− = 21 21 21 …………………………………… Bài 96 Câu 6a: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + = hai điểm A(1;7; - 1), B(4;2;0) Lập phương trình đường thẳng (D) hình chiếu vng góc đường thẳng AB (P) Câu 7a: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , ch ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) Tìm toạ độ trưc tâm tam giác ABC Hướng dẫn: Câu 6a: 2.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + = hai điểm A(1;7; 1), B(4;2;0) Lập phương trình đường thẳng (D) hình chiếu vng góc đường thẳng AB (P) Gọi (Q) mặt phẳng qua A,B vng góc với (P) ta suy (Q): 8x + 7x + 11z – 46 = (D) = (P) ∩ (Q) suy phương trình (D) Câu 7a: 2.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , ch ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) Tìm toạ độ trưc tâm tam giác ABC Lập phương trình mp(ABC)- ptmp(P) qua A (P) ⊥ BC – pt mp(Q) qua B (Q) ⊥ AC  36 18 12  ; ; ÷  49 49 49  Giải hệ gồm ba phương trình ba mặt phẳng ta trực tâm H  …………………………………… Bài 97 Câu VIa  x = + 2t  2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 3; 4) đường thẳng d:  y = + 6t z = − t  Lập phương trình mặt cầu tâm A cắt đường thẳng d hai điểm M, N cho MN = Câu VIb 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) đường thẳng d có phương trình x −1 y z −1 = = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn Hướng dẫn:  x = + 2t  Câu VIa 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 3; 4) đường thẳng d:  y = + 6t z = − t  Lập phương trình mặt cầu tâm A cắt đường thẳng d hai điểm M, N cho MN = Gọi H hình chiếu A lên d => H(3 + 2t; + 6t; – t), u (2; 6; -1) véc tơ phương d Khi AH u = ⇒ H (3;2;2) Xét tam giác vng HAM, có HM = 4, AH = nên AM = = R, với R bán kính mặt cầu thỏa mãn tốn Vậy phương trình mặt cầu cần lập (x – 1)2 + (y – 3)2 + (z – 4)2 = 25 Câu VIb 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) đường thẳng d có phương trình x −1 y z −1 = = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn Gọi H hình chiếu A d, mặt phẳng (P) qua A (P)//d, khoảng cách d (P) khoảng cách từ H đến (P) Giả sử điểm I hình chiếu H lên (P), ta có AH ≥ HI => HI lớn A ≡ I Vậy (P) cần tìm mặt phẳng qua A nhận AH làm véc tơ pháp tuyến H ∈ d ⇒ H (1 + 2t ; t ;1 + 3t ) H hình chiếu A d nên AH ⊥ d ⇒ AH u = (u = ( 2;1;3) véc tơ phương d) ⇒ H (3;1;4) ⇒ AH ( −7;−1;5) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) =  7x + y -5z -77 = …………………………………… Bài 98 Câu 4: Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phơng trình: 2 x − y − = x + y + z = đờng thẳng ( d) có phơng trình: y + 2z + = 1, Tìm toạ độ giao ®iĨm A cđa ( d) vµ (P) TÝnh sè ®o góc tạo ( d) (P) 2, Viết phơng trình đờng thẳng ( ) qua A, ( ∆ ) n»m (P) cho gãc t¹o bëi hai đờng thẳng ( ) ( d) 450 Hng dn: Câu 4: Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phơng trình: x + y + z = đờng x y =  y + 2z + = thẳng ( d) có phơng trình: 1, Tìm toạ ®é giao ®iĨm A cđa ( d) vµ (P) TÝnh số đo góc tạo ( d) (P) Đáp sè 1) A(1;0;−1) ; ∠( d , ( P ) ) = 30 2, Viết phơng trình đờng thẳng ( ) qua A, ( ) nằm (P) cho góc tạo hai đờng thẳng ( ) ( d) 450 Hai đờng thẳng thoả mÃn đề có phơng trình: ( ∆1 ) : x −1 −2+ = y −1+ = z +1 5−3 ;(∆2 ) : x −1 −2− = y −1− = z +1 5+3 …………………………………… Bài 99 Câu VI.a 2.Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ Hướng dẫn: 2.Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ uu ur Ta có AB = ( −1; −4; −3) ; x = 1− t  Phương trình đường thẳng AB:  y = − 4t  z = − 3t  Để độ dài đoạn CD ngắn nhất=> D hình chiếu vng góc C cạnh AB, gọi tọa độ điểm D(1-a;5-4a;4- uu ur 3a) ⇒ DC = (a; 4a − 3;3a − 3) uu ur uu ur Vì AB ⊥ DC =>-a-16a+12-9a+9=0 a = 21 26  49 41  ; ; ÷  26 26 26  Tọa độ điểm D  …………………………………… Bài 100 Câu VI: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1;2) , B (2;0;2) a Tìm quỹ tích điểm M cho MA − MB = b Tìm quỹ tích điểm cách hai mặt phẳng (OAB) (Oxy ) ... Bài 29 Câu VI.a 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC Câu VI.b 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, ... Bài 31 Câu VI.a 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tìm Ox điểm A cách đường thẳng (d) : x −1 y z + = = mặt phẳng (P) : 2x – y – 2z = 2 Câu VI.b 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, ... Bài 16 Câu VI.a: 2) Trong khơng gian với hệ toạ Oxyz, tìm Ox điểm A cách đường thẳng (d) : x −1 y z + = = mặt phẳng (P) : 2x – y – 2z = 2 Câu VI.b: 2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,