Bài giảng toán 2 - bộ môn toán đại học

151 763 0
Bài giảng toán 2  - bộ môn toán đại học

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Bài giảng Toán 2 Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG Học kì I, năm học 2007 - 2008 Mục lục Trang Chương 1. Thuật toán, Số nguyên, Trường hữu hạn, Đa thức 1 1.1 Khái niệm Thuật toán theo nghĩa trực giác . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Khái niệm Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Các đặc trưng của Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Một số ví dụ về thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Số nguyên và phép chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Tính chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Số nguyên tố và Định lí cơ bản của số học . . . . . . . . 16 1.2.3 Ước số chung lớn nhất và Bội số chung nhỏ nhất . . . . 18 1.2.4 Số học đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.2.5 Biểu diễn số tự nhiên theo các hệ cơ số khác nhau . . . . 36 1.2.6 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.3 Đa thức và Trường hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.3.1 Trường và Trường hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.3.2 Đa thức trên một trường . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Chương 2. Nguyên lí bù trừ, Đệ qui và Hệ thức truy hồi 65 2.1 Nguyên lí bù trừ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.2 Định nghĩa bằng đệ qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.2.1 Định nghĩa hàm bằng đệ qui . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.2 Định nghĩa tập hợp bằng đệ qui . . . . . . . . . . . . . 71 2.3 Hệ thức truy hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.3.1 Mô hình hóa bằng hệ thức truy hồi . . . . . . . . . . . . 75 2.4 Giải Hệ thức truy hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.4.1 Hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng . . . . 80 i Mục lục 2.4.2 Giải hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng . 81 2.5 Hệ thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng . . . . 89 2.6 Độ phức tạp của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.6.1 Khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.6.2 Thứ bậc trong tập các hàm số . . . . . . . . . . . . . . 98 2.6.3 Định lí cơ bản cho phân tích thuật toán . . . . . . . . . 99 Chương 3. Đại số Boole 112 3.1 Đại số boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.1.1 Định nghĩa trừu tượng của đại số boole . . . . . . . . . 112 3.1.2 Biểu thức boole và hàm boole . . . . . . . . . . . . . . 115 3.1.3 Tính đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.2 Biểu diễn các hàm Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.2.1 Khai triển tổng các tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.2.2 Tính đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.3 Các cổng logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.3.1 Tổ hợp các cổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.4 Cực tiểu hóa các mạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.4.1 Phương pháp biến đổi đại số . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.4.2 Phương pháp bảng Karnaugh . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.4.3 Phương pháp Quine - McCluskey . . . . . . . . . . . . 131 Tài liệu tham khảo 144 Chỉ mục 145 ii Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG Chương 1 Thuật toán, Số nguyên, Trường hữu hạn, Đa thức M ục đích chính của chúng ta ở chương này là tìm hiểu khái niệm thuật toán theo nghĩa trực giác và một số đặc trưng. Sau đó, chúng ta sẽ lần lượt xem xét một số thuật toán trên nền những khái niệm cơ bản như số nguyên, phép chia, số học đồng dư, trường hữu hạn, đa thức, . . . . 1.1 Khái niệm Thuật toán theo nghĩa trực giác Khái niệm Thuật toán Khái niệm 1.1.1 Thuật toán là một hệ thống chặt chẽ và rõ ràng những qui tắc nhằm xác định một dãy thao tác trên những đối tượng, sao cho sau một số hữu hạn bước thực hiện dãy thao tác đó, ta đạt được mục tiêu định trước. Nhận xét 1.1.2 Từ khái niệm thuật toán ở trên, ta chú ý rằng nếu cho trước một thuật toán thì hệ thống những qui tắc của nó, mang cho bất cứ đối tượng nào (người / máy) thực hiện, trong cùng một điều kiện cho trước, ta cũng phải thu được kết quả như nhau dù cho đối tượng thực hiện thuật toán có thể không hiểu gì về bản chất cũng như ý nghĩa của vấn đề. Ví dụ 1.1.3 Mô tả thuật toán tìm phần tử lớn nhất trong một dãy hữu hạn a 1 , a 2 , . . . , a n cho trước. Khi gặp bài toán này, cách giải quyết thông thường nhất mà chúng ta hay làm với n cụ thể là duyệt lần lượt n số trong dãy đã cho, so sánh để chỉ ra số lớn nhất. Nhưng khi cần chỉ ra các bước thực hiện về mặt nguyên tắc để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hình thức hóa chúng dưới dạng ngôn ngữ thông Chương 1. Thuật toán, Số nguyên, Trường hữu hạn, Đa thức thường sao cho các bước của chúng ta đã chỉ ra có thể áp dụng cho mọi dãy n số a 1 , a 2 , . . . , a n bất kì. Các bước thực hiện được mô tả như sau: B1 Giá trị cực đại tạm thời sẽ nhận giá trị đầu tiên (a 1 ) của dãy. Phần tử đang duyệt cũng chính là a 1 . Ta hiểu rằng giá trị cực đại tạm thời là giá trị lớn nhất trong những giá trị kể từ đầu dãy đến phần tử đang xét. B2 Xét phần tử có thứ tự kế tiếp thứ tự của phần tử đang xét ở bước trước (nếu bước trước đang xét phần tử a k thì ta sẽ xét phần tử a k 1 ). So sánh phần tử này với giá trị cực đại tạm thời. Giá trị cực đại tạm thời sẽ giữ nguyên giá trị nếu nó không nhỏ thua phần tử đang xét. Trái lại, nó sẽ nhận giá trị của phần tử đang xét. B3 Lặp lại bước B2 chừng nào phần tử đang xét không phải phần tử cuối cùng trong dãy. B4 Kết thúc và ta có giá trị lớn nhất cần tìm chính là giá trị cực đại tạm thời cuối cùng. Sử dụng ngôn ngữ thông thường để mô tả thuật toán như trên rất thuận tiện trong việc suy nghĩ, trao đổi thuật toán giữa người với người. Cách thức này đã tồn tại hàng ngàn năm cùng với những thuật toán cổ xưa nhất của loài người. Nhưng cùng với sự ra đời của máy tính điện tử, nội dung của các thuật toán dần được thể hiện thông qua giả mã một dạng ngôn ngữ hình thức hơn (có thể rắc rối khó hiểu hơn với con người, nhưng thuận tiện hơn khi làm việc với máy tính điện tử). Dưới đây là mô tả giả mã của thuật toán trên: Thuật toán 1 Thuật toán tìm phần tử lớn nhất trong một dãy hữu hạn a 1 , a 2 , . . . , a n . Đầu vào: Dãy hữu hạn a 1 , a 2 , . . . , a n . Đầu ra: Giá trị lớn nhất M max a 1 , a 2 , . . . , a n . 1: max : a 1 . 2: Duyệt tất cả k sao cho 2 k n Thực hiện 3: Nếu max a k thì 4: max : a k . 5: Kết thúc Nếu 6: Kết thúc Duyệt 7: M : max. Trong dạng giả mã trên, ở dòng đánh số 1, ta thấy kí hiệu “:=”. Đây là kí hiệu để chỉ giá trị đứng sau nó được gán cho “biến” đứng trước nó. Dòng số 2 và dòng số 6 để chỉ phép duyệt hay một vòng lặp, duyệt các phần tử trong dãy: 2 Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG 1.1. Khái niệm Thuật toán theo nghĩa trực giác a k với k nhận các giá trị từ 2 đến n. Mỗi bước duyệt sẽ thực hiện công việc được chỉ ra từ dòng số 3 đến dòng số 5. Công việc này là một phép thử điều kiện: nếu biểu thức logic thỏa mãn thì công việc ở dòng số 4 sẽ được thực hiện, trái lại thì thôi. Các đặc trưng của Thuật toán Trong thực tiễn, hay gặp một vài thuật ngữ khá gần với thuật ngữ “thuật toán”, như: kịch bản, cách dùng, quá trình, tiến trình, chương trình hành động, luật lệ, phương pháp, thủ tục,. . . . Ta cần đưa ra những tính chất đặc trưng của khái niệm “thuật toán” để phân biệt khái niệm đó với những khái niệm khác. Thuật toán có sáu đặc trưng cơ bản: tính dừng sau hữu hạn bước, tính xác định, tính phổ dụng, đầu vào, đầu ra, tính đúng đắn hay tính hiệu quả. Sẽ rất hữu ích khi mô tả các thuật toán nếu ta ghi nhớ các tính chất đó trong đầu. Tính kết thúc (tính dừng) Thuật toán bao giờ cũng phải dừng sau một số hữu hạn bước thực hiện. Khi nói đến tính kết thúc của thuật toán, chúng ta cần chú ý rằng mô tả các bước trông có vẻ là hữu hạn nhưng chưa chắc đã dừng sau hữu hạn bước. Ví dụ 1.1.4 Đoạn qui tắc sau không dừng sau hữu hạn bước mặc dù mô tả của nó dường như chỉ có ba bước nên nó không phải là thuật toán: B1 Xóa bảng. B2 Viết số 1 lên bảng. B3 Thực hiện B1. Khi xây dựng thuật toán, phải chứng minh tính kết thúc cho nó. Cụ thể là nêu bật được ý sau: với những dữ liệu tùy ý nằm trong miền thao tác của thuật toán thì thuật toán sẽ dừng sau hữu hạn bước. Ngoài ra ta thường sẽ cố gắng chỉ rõ thuật toán dừng ở đâu, bước nào, lập công thức đánh giá tổng số bước thực hiện. Tính dừng của thuật toán thường được chứng minh bằng cách dựa trên tiến độ của thuật toán, xây dựng một dãy số nguyên đơn điệu và bị chặn. Khi đó hai tính chất đơn điệu và bị chặn của dãy số nguyên sẽ đảm bảo cho tính kết thúc của thuật toán. Tính xác định Ở mỗi bước, các thao tác phải hết sức rõ ràng, không được phép gây nên sự nhập nhằng, lẫn lộn, tùy tiện. Trong cùng một điều kiện, hai “bộ xử lý” Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG 3 Chương 1. Thuật toán, Số nguyên, Trường hữu hạn, Đa thức (người hoặc máy) thực hiện cùng một bước của thuật toán thì phải cho cùng một kết quả. Chẳng hạn thuật toán 1 tìm số lớn nhất, dù cho máy tính hay bất cứ người nào thực hiện, kết quả trả về vẫn đảm bảo là số lớn nhất trong dãy a 1 , a 2 , . . . , a n . Tính phổ dụng Thuật toán phải có tính năng có thể giải bất kì bài toán nào trong một lớp bài toán. Cụ thể là thuật toán có thể làm việc với các dữ liệu khác nhau trong một miền xác định và luôn luôn dẫn đến kết quả mong muốn. Trong ví dụ thuật toán 1 tìm số lớn nhất ở trên, ta sẽ luôn có số lớn nhất của dãy a 1 , a 2 , . . . , a n cho dù n và bản thân các giá trị a 1 , a 2 , . . . , a n có thay đổi. Đầu vào và Đầu ra Một thuật toán có thể có nhiều đại lượng vào mà chúng ta gọi là dữ liệu đầu vào. Sau khi dừng thuật toán, tùy theo chức năng mà thuật toán đảm nhiệm, chúng ta có thể thu được một số đại lượng ra xác định. Tuy nhiên vẫn có những thuật toán không có dữ liệu vào và cũng có thể không có dữ liệu ra. Tính đúng đắn (tính hiệu quả) Yêu cầu quan trọng nhất của thuật toán ngoài tính dừng sau hữu hạn bước là tính đúng đắn, cụ thể là: với dữ liệu vào cho trước, sau một số hữu hạn bước thuật toán phải dừng và cho kết quả mong muốn. Ta chú ý rằng bằng phép chạy thử thuật toán với một số bộ dữ liệu nào đó chỉ có thể phát hiện tính sai của thuật toán chứ không khẳng định được tính đúng đắn của thật toán. Muốn khẳng định tính đúng đắn của thuật toán thì ta phải tiến hành chứng minh. Có thể và nên chứng minh tính đúng đắn của thuật toán bằng cách dựa trên chính văn bản của thuật toán. Ta sẽ xem xét cách chứng minh tính đúng đắn của một số thuật toán ở những phần nội dung tiếp theo của cuốn sách này. Một số ví dụ về thuật toán Những thuật toán tìm kiếm Những bài toán xác định vị trí của một phần tử nào đó trong một bảng liệt kê tuyến tính là những bài toán thường gặp trong nhiều trường hợp khác nhau. Những bài toán như vậy được gọi là những bài toán tìm kiếm. Trong phần này ta sẽ xem xét một số thuật toán tìm kiếm. 4 Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG 1.1. Khái niệm Thuật toán theo nghĩa trực giác Bài toán tìm kiếm tổng quát được mô tả như sau: xác định vị trí của phần tử x trong một bảng liệt kê các phần tử phân biệt a 1 , a 2 , . . . , a n hoặc chỉ ra rằng nó không có mặt trong bảng liệt kê đó. Lời giải của bài toán trên là vị trí i của số hạng a i trong bảng liệt kê nếu a i x, và là 0 nếu x không có mặt trong bảng liệt kê. Thuật toán để giải bài toán trên rất đơn giản. Nó có tên là thuật toán tìm kiếm tuyến tính hay tìm kiếm tuần tự. Đầu tiên ta so sánh x với a 1 . Nếu x a 1 thì kết quả trả về là vị trí 1. Khi x a 1 thì ta so sánh x với a 2 . Nếu x a 2 thì kết quả trả về là vị trí 2. Khi x a 2 thì ta so sánh x với a 3 . Tiếp tục quá trình này bằng cách so sánh x với từng số hạng a i của bảng liệt kê cho tới khi x xuất hiện tại một vị trí nào đó ta gặp hoặc tất cả các phần tử của bảng đã được so sánh mà vẫn không gặp x. Giả mã của thuật toán này được trình bày như trong thuật toán 2. Thuật toán 2 Tìm kiếm tuyến tính. Đầu vào: Số x, dãy n số phân biệt a 1 , a 2 , . . . , a n . Đầu ra: Vị trí vitri i của x trong dãy hoặc vitri 0 nếu x không xuất hiện. 1: i : 1. 2: Trong khi i n và x a i Thực hiện 3: i : i 1. 4: Kết thúc Trong khi 5: Nếu i n thì 6: vitri : i. 7: không thì 8: vitri : 0. 9: Kết thúc Nếu 10: Kết quả trả về là vitri. Thuật toán trên hoàn toàn có thể được áp dụng cho mọi dãy gồm n số phân biệt a 1 , a 2 , . . . , a n . Nhưng nhược điểm của nó là ứng với mọi dãy cụ thể, trong trường hợp xấu nhất, số phép so sánh đúng bằng độ lớn n của dãy số dữ liệu đầu vào. Bây giờ ta xem xét một thuật toán tìm kiếm khác, có số phép so sánh trong trường hợp xấu nhất ít hơn, nhưng chỉ áp dụng cho các dãy gồm n số phân biệt được sắp tăng dần hoặc giảm dần. Thuật toán thứ hai này được gọi là thuật toán tìm kiếm nhị phân. Đầu tiên ta so sánh x với phần tử nằm ở “điểm giữa” (phần tử ở vị trí 1 n 2 ) của bảng liệt kê. Nếu x bằng phần tử này thì vị trí của x trong bảng đã được xác định. Nếu không, do bảng đã được sắp tăng dần hoặc giảm dần nên x chỉ có thể rơi vào một trong hai nửa của bảng (bảng con). Miền tìm kiếm đã được hạn chế chỉ còn một nửa. Tiếp tục so sánh x với phần tử ở giữa và cứ như vậy, ta sẽ có được vị trí của x hoặc biết được x không nằm trong bảng đã cho. Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG 5 Chương 1. Thuật toán, Số nguyên, Trường hữu hạn, Đa thức Ví dụ 1.1.5 Tìm số 19 trong bảng liệt kê 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 21, 23. Lời giải: B1 Ta so sánh 19 với “điểm giữa” của dãy đã cho: a 8 10. Vì 19 a 8 10 nên ta chỉ quan tâm đến dãy con thứ hai: 12, 13, 15, 16, 18, 19, 21, 23. B2 Ta so sánh 19 với “điểm giữa” của dãy con chỉ ra ở B1: a 12 16. Vì 19 a 12 16 nên ta chỉ quan tâm đến dãy con: 18, 19, 21, 23. B3 Ta so sánh 19 với “điểm giữa” của dãy con chỉ ra ở B2: a 14 19. Vì 19 a 14 19 nên vị trí xuất hiện của 19 là 14. Giả mã của thuật toán tìm kiếm nhị phân được trình bày trong thuật toán 3. Thuật toán 3 Tìm kiếm nhị phân. Đầu vào: Số x, dãy n số phân biệt tăng dần a 1 , a 2 , . . . , a n . Đầu ra: Vị trí vitri i của x trong dãy hoặc vitri 0 nếu x không xuất hiện. 1: i : 1, j : n. 2: Trong khi i j Thực hiện 3: m : i j 2 . 4: Nếu x a m thì 5: i : m 1. 6: không thì 7: j : m. 8: Kết thúc Nếu 9: Kết thúc Trong khi 10: Nếu x a i thì 11: vitri : i. 12: không thì 13: vitri : 0. 14: Kết thúc Nếu 15: Kết quả trả về là vitri. Thuật toán sinh cấu hình tổ hợp Như chúng ta đã biết, trong quá trình giải bài toán đếm, thông thường chúng ta sẽ sử dụng một số công cụ để đếm các “cấu hình tổ hợp” (hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, . . . ) thỏa mãn yêu cầu đầu bài. Thế nhưng có nhiều loại bài toán mà để giải nó, chỉ áp dụng các công cụ đếm thôi chưa đủ. Chúng ta còn cần phải có 6 Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG 1.1. Khái niệm Thuật toán theo nghĩa trực giác khả năng liệt kê các cấu hình tổ hợp theo thứ tự mà chúng ta mong muốn để rồi qua đó, ta xây dựng được lời giải của bài toán đặt ra. Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu một số thuật toán liệt kê cấu hình tổ hợp theo thứ tự mong muốn dựa trên phương pháp sinh. Phương pháp sinh có thể áp dụng để giải bài toán liệt kê cấu hình tổ hợp nếu như hai điều kiện sau được thực hiện: a) Có thể xác định được một thứ tự trên tập các cấu hình tổ hợp cần liệt kê. Từ đó có thể xác định được cấu hình đầu tiên và cấu hình cuối cùng trong thứ tự đã xác định. b) Xây dựng được thuật toán từ cấu hình chưa phải là cuối cùng đang có, đưa ra cấu hình kế tiếp nó. Ta sẽ gọi thuật toán nói trong điều kiện b) là thuật toán sinh kế tiếp. Rõ ràng là thứ tự trong điều kiện a) cần được lựa chọn sao cho có thể xây dựng được thuật toán sinh kế tiếp. Giả thiết rằng hai điều kiện nêu trên đã được thực hiện, khi đó thuật toán sinh để giải bài toán liệt kê cấu hình tổ hợp đặt ra được mô tả bằng thuật toán 4 (trong đó Sinh kế tiếp là thuật toán con sinh cấu hình kế tiếp). Thuật toán 4 Sinh cấu hình tổ hợp. 1: Xây dựng cấu hình đầu tiên. 2: Trong khi Cấu hình hiện tại chưa phải là cấu hình cuối cùng Thực hiện 3: Kết xuất cấu hình hiện tại. 4: Sinh kế tiếp. 5: Kết thúc Trong khi Trong nội dung tiếp ngay đây, ta sẽ xem xét một số ví dụ sinh cấu hình tổ hợp. Tất cả đều có cùng dạng thuật toán chính như thuật toán 4. Ta sẽ chỉ tìm và nêu ra những thuật toán sinh kế tiếp tương ứng. Định nghĩa 1.1.6 Bộ số a 1 , a 2 , . . . , a k a i x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n được gọi là đi trước (nhỏ hơn) bộ số b 1 , b 2 , . . . , b k b i x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n theo thứ tự từ điển nếu có số m 1 m k để a 1 b 1 , a 2 b 2 , . . . , a m 1 b m 1 , a m b m . Ví dụ 1.1.7 Liệt kê tất cả các hoán vị của tập 1, 2, 3, . . . , n theo thứ tự từ điển. Lời giải: Ta đi xây dựng thuật toán sinh hoán vị kế tiếp theo thứ tự từ điển. Hoán vị đầu tiên của ta là 1, 2, . . . , n. Hoán vị cuối cùng là n, n 1 , . . . , 1. Giả sử ta đã có hoán vị cho trước a 1 , a 2 , . . . , a n (không phải là hoán vị cuối Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG 7 [...]... a2 , , an Mặt khác, giả sử ν là một bội chung nào đó của a1 , a2 , , an thì ν phải có dạng ν  pγ1 p 2 pγk với 0 ¤ αij ¤ 1 2 k γj , @i  1, n, j  1, k, nghĩa là γj ¥ ρj hay ν là bội của m Vậy ta có điều phải chứng minh l Ví dụ 1 .2. 44 Với ba số 1960 22 7.11.13 thì ta có  BCNNp1960, 23 52, 4004q Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG 23 5. 72 , 23 52  24 3. 72 , 4004   24 .3.5. 72. 11.13  1681680 29 ... 1 .2. 33 Với ba số 1960  23 5. 72 , 23 52  24 3. 72 , 4004 22 7.11.13 thì ta có UCLNp1960, 23 52, 4004q  22 7  28  Bội số chung nhỏ nhất Định nghĩa 1 .2. 34 Ta gọi bội chung của những số nguyên a1 , a2 , , an một số nguyên là bội đồng thời của mỗi số đó Định nghĩa 1 .2. 35 Số m nhỏ nhất trong tập hợp các bội chung dương của những số nguyên a1 , a2 , , an được gọi là bội chung nhỏ nhất của a1 , a2... nghĩa là d  dn Ví dụ 1 .2. 32 Hãy tìm UCLNp 924 , 360, 726 q d Lời giải: Ta có: UCLNp 924 , 360, 726 q 24  UCLNpUCLNp 924 , 360q, 726 q  UCLNp 12, 726 q  6 l Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG 1 .2 Số nguyên và phép chia Nếu ta biết dạng phân tích tiêu chuẩn của những số a1 , a2 , , an thì ta cũng có qui tắc để tính ước chung lớn nhất của a1 , a2 , , an như sau: Định lý 1 .2. 4 Cho a1 , a2 , , an là những... được: 924 360 20 4 156 48  360 .2  20 4.1  156.1  48.3  12. 4 20 4, 156, 48, 12, Số dư khác không cuối cùng ở đây là 12 Vậy UCLNp 924 , 360q 22  12 l Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG 1 .2 Số nguyên và phép chia Thuật toán 12 Thuật toán Euclid tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên không âm Đầu vào: Hai số nguyên không âm a và b Đầu ra: UCLNpa, bq 1: Trong khi b  0 Thực hiện 2: r : a mod b 3: a : b 4:... chung bất kì của a1 , a2 , , an Vậy d  UCLNpa1 , a2 , , an q Và ta cũng có luôn: c là ước chung của a1 , a2 , , an khi và chỉ khi nó là ước của d  UCLNpa1 , a2 , , an q l Hệ quả 1 .2. 21 Nếu d  UCLNpa1 , a2 , , an q thì tồn tại những số nguyên u1 , u2 , , un sao cho d  a1 u1 a2 u2 an un 20 Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG 1 .2 Số nguyên và phép chia Hệ quả 1 .2. 22 Điều kiện cần và... , ka2 , , kan q 26  k BCNNpa1, a2, , anq Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG 1 .2 Số nguyên và phép chia Chứng minh: Ta dễ thấy k lần bội chung của a1 , a2 , , an luôn chia hết cho kai với mọi i  1, n Vậy k lần bội chung của a1 , a2 , , an luôn là bội chung của ka1 , ka2 , , kan Ngược lại, nếu α là bội chung của α α ka1 , ka2 , , kan thì sẽ là bội của ai với mọi i  1, n nên là bội... BCNNpa1 , a2 , , an q Nhận xét 1 .2. 36 Khi ta nói đến bội chung của những số a1 , a2 , , an thì đương nhiên ta đã giả thiết các số đó đã khác không Định lý 1 .2. 5 Nếu m  BCNNpa1 , a2 , , an q thì mọi bội chung của a1 , a2 , , an đều là bội của m Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG 25 Chương 1 Thuật toán, Số nguyên, Trường hữu hạn, Đa thức Chứng minh: Giả sử µ là một bội chung của a1 , a2 , ,...  m2 nên tập hợp các bội chung của a1 , a2 , , an trùng với tập hợp các bội chung của m2 , a3 , , an Vậy ta có BCNNpa1 , a2 , , an q  BCNNpm2, a3, , anq Lặp lại lí luận này nhiều lần, ta có: m  BCNNpa1, a2, , anq  BCNNpm2, a3, , anq  BCNNpm3, a4, , anq   BCNNpmn1, anq  mn Ví dụ 1 .2. 41 Tìm BCNNp84, 90, 165q 28 Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG 1 .2 Số nguyên và phép chia... , a2 , , an q  1 là tồn tại những số nguyên u1 , u2 , , un sao cho 1  a1 u1 a2 u2 an un Hệ quả 1 .2. 23 Với mọi số nguyên dương k ta có UCLNpk.a1 , k.a2 , , k.an q  k UCLNpa1, a2, , anq Hệ quả 1 .2. 24 Nếu c là ước chung của a1 , a2 , , an thì ta có UCLNp a1 a2 an , , , q c c c  UCLNpa1,ca2, , anq Hệ quả 1 .2. 25 Cần và đủ để một ước chung dương d của a1 , a2 , , an là a1 a2... đi từ a1 , a2 , , an những số 0 Do đó ta có thể giả thiết ai  0 với i  1, 2, , n Định lý 1 .2. 3 Giả sử c là một ước chung của a1 , a2 , , an Khi đó c chia hết UCLNpa1 , a2 , , an q Ngược lại, nếu c là ước của UCLNpa1 , a2 , , an q thì c là ước chung của a1 , a2 , , an Chứng minh: Xét tập hợp M  ta1x1 a2 x2 Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG an xn | xi P Z , @i  1, 2, , nu 19 . Bài giảng Toán 2 Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG Học kì I, năm học 20 07 - 20 08 Mục lục Trang Chương 1. Thuật toán, Số nguyên, Trường hữu hạn, Đa thức 1 1.1 Khái niệm Thuật toán theo. bài toán như vậy được gọi là những bài toán tìm kiếm. Trong phần này ta sẽ xem xét một số thuật toán tìm kiếm. 4 Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG 1.1. Khái niệm Thuật toán theo nghĩa trực giác Bài. 0. Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG 11 Chương 1. Thuật toán, Số nguyên, Trường hữu hạn, Đa thức Hoán vị 2, 5, 1, 3, 4 của tập 1, 2, 3, 4, 5 cho ta a 1 1 (có số 1 nhỏ hơn 2 mà đứng sau 2) , a 2 0

Ngày đăng: 11/06/2014, 10:11

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Thuật toán, Số nguyên, Trường hữu hạn, Đa thức

    • Khái niệm Thuật toán theo nghĩa trực giác

      • Khái niệm Thuật toán

      • Các đặc trưng của Thuật toán

      • Một số ví dụ về thuật toán

      • Số nguyên và phép chia

        • Tính chia hết

        • Số nguyên tố và Định lí cơ bản của số học

        • Ước số chung lớn nhất và Bội số chung nhỏ nhất

        • Số học đồng dư

        • Biểu diễn số tự nhiên theo các hệ cơ số khác nhau

        • Một số ứng dụng

        • Đa thức và Trường hữu hạn

          • Trường và Trường hữu hạn

          • Đa thức trên một trường

          • Nguyên lí bù trừ, Đệ qui và Hệ thức truy hồi

            • Nguyên lí bù trừ

            • Định nghĩa bằng đệ qui

              • Định nghĩa hàm bằng đệ qui

              • Định nghĩa tập hợp bằng đệ qui

              • Hệ thức truy hồi

                • Mô hình hóa bằng hệ thức truy hồi

                • Giải Hệ thức truy hồi

                  • Hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng

                  • Giải hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng

                  • Hệ thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng

                  • Độ phức tạp của thuật toán

                    • Khái niệm cơ bản

                    • Thứ bậc trong tập các hàm số

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan