Đang tải... (xem toàn văn)
luận văn thạc sĩ toán học tìm hiểu lý thuyết điều khiển tối ưu , giúp người học có hiểu biết mới về điều khiển tối ưu đa mục tiêu
LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quang Huy. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Hà Nội, ngày 13 tháng 9 năm 2009 Tác giả Phạm Thị Diệu Thùy i LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quang Huy. Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác. Hà Nội, ngày 13 tháng 9 năm 2009 Tác giả Phạm Thị Diệu Thùy ii BẢNG KÝ HIỆU R n không gian Euclid n-chiều C[a, b] không gian các hàm liên tục trên [a, b] C ⊕ [a, b] tập các độ đo Radon dương trên C[a, b] W 1,1 ([a, b]; R n ) không gian các hàm liên tục tuyệt đối x : [a, b] → R n L 1 [a, b] không gian các hàm khả tích trên [a, b] F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y domF tập xác định của F gphF đồ thị của F x chuẩn của véc tơ x B hình cầu đơn vị đóng B ρ (x), B(x, ρ) hình cầu đóng tâm x, bán kính ρ Limsup giới hạn trên theo nghĩa Painlevé - Kuratowski N(¯x; Ω) nón pháp tuyến Mordukhovich của Ω tại ¯x N(¯x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại ¯x ∂f(x) dưới vi phân Mordukhovich của f tại x ∂ ∞ f(x) dưới vi phân suy biến của f tại x ˆ ∂f(x) dưới vi phân Fréchet của f tại x x Ω −→ ¯x x → ¯x, x ∈ Ω x f −→ ¯x x → ¯x, f(x) → f(¯x) α ↓ ¯α α → ¯α, α ¯α x k W 1,1 −−→ x hội tụ trong W 1,1 ([a, b]; R n ) x k L 1 −→ x hội tụ trong L 1 [a, b] h.k.n. hầu khắp nơi iii Mục lục Mở đầu 1 1 Nón pháp tuyến và dưới vi phân 4 1.1. Nón pháp tuyến qua giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Dưới vi phân qua giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Điều kiện cần tối ưu 22 2.1. Điều khiển tối ưu một mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Điều khiển tối ưu đa mục tiêu . . . . . . . . . . . . . . . 25 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 38 iv MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Xét bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu có ràng trạng thái (V OP ) Min x∈W 1,1 ([a,b],R n ) g(x(a), x(b)) với ràng buộc ˙x(t) ∈ F(t, x(t)) h.k.n. t ∈ [a, b], (x(a), x(b)) ∈ C, h(t, x(t)) ≤ 0 ∀t ∈ [a, b], ở đó g : R n × R n → R m là một hàm đã cho, F : [a, b] × R n ⇒ R n là một ánh xạ đa trị, C tập đóng trong R n × R n và W 1,1 ([a, b], R n ) không gian các hàm liên tục tuyệt đối x : [a, b] → R n với chuẩn x 1,1 := |x(a)| + b a | ˙x(t)|dt, | · | kí hiệu chuẩn Euclid trong R n . Như chúng ta đã biết rằng một trong những vấn đề nghiên cứu quan trọng trong Lý thuyết điều khiển tối ưu được quan tâm nghiên cứu sâu sắc là các điều kiện cần tối ưu. Đã có nhiều ấn phẩm khoa học được xuất bản trong sự phát triển nghiên cứu các điều kiện cần tối ưu cho các bài toán điều khiển tối ưu (xem, chẳng hạn, [3-24] và các tài liệu tham khảo đã được trích dẫn trong đó); tuy nhiên trong số đó có rất ít các nghiên cứu cho lớp các bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu [3, 8, 9, 24]. Với bài toán tối ưu một mục tiêu (hàm mục tiêu là hàm số), Ioffe [5] đã đưa ra các điều kiện cần dạng Euler-Lagrange và Hamilton cho bài toán điều khiển tối ưu không có ràng buộc trạng thái. Trong bài báo này [5, p. 2878], Ioffe đã đưa ra ba bài toán mở mà hai trong ba bài toán đó có thể phát biểu như sau: kết luận về các điều kiện cần điều khiển tối ưu của Định lý 1 (Theorem 1) trong [5] có còn đúng hay không 2 nếu ta thay tính dưới Lipschitz khả tích (integrable sub-Lipschitzness) bởi tính dưới Lipschitz (sub-Lipschitzness) hoặc tính giả Lipschitz (pseudo- Lipschitzness)? Với bài toán tối ưu đa mục tiêu (hàm mục tiêu là hàm vector), Zhu [24] lần đầu tiên thiết lập được các điều kiện cần tối ưu cho các bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu với nón thứ tự thỏa mãn một số điều kiện chính quy thích hợp. Trên cơ sở phân tích lược đồ chứng minh của Ioffe trong [5], Bellaassali và Jourani [3] đã mở rộng các kết quả tương ứng trong bài báo vừa nhắc đến ở trên của Zhu dưới các điều kiện chính quy nhẹ hơn đặt trên nón thứ tự. Gần đây, Kien, Wong và Yao [8, 9] đã đưa ra các điều kiện cần tối ưu cho các bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc trạng thái; các kết quả này mở rộng các kết quả tương ứng trong [3, 24]. Lưu ý rằng các kết về các điều kiện cần tối ưu đã đạt được trong các bài báo vừa nêu ở trên luôn đòi hỏi giả thiết về tính dưới Lipschitz khả tích của F và các điều kiện chính quy thích hợp trên nón thứ tự (dưới các điều kiện chính quy đó thì nón thứ tự thường là lồi và nhọn). Trong [16], Mordukhovich [16, Definition 5.55] đã đề xuất một quan hệ thứ tự tối ưu tổng quát mà nó không đòi hỏi phải lồi, đóng, nhọn hay có phần trong khác rỗng. Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh rằng: có thể thiết lập được hay không các điều kiện cần tối ưu cho bài toán đều khiển tối ưu đa mục tiêu (VOP) với thứ tự tổng quát đã được đề xuất bởi Mordukhovich ? Đề tài “Điều kiện cần tối ưu cho bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu” nhằm mục đích tìm hiểu lý thuyết điều khiển tối ưu và tìm hiểu câu trả lời cho hai câu hỏi vừa nêu ở trên. 3 2. Mục đích nghiên cứu Đưa ra các điều kiện cần tối ưu cho bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc trạng thái. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính các bài toán điều khiển tối ưu, tối ưu đa mục tiêu, bao hàm thức vi phân, điều kiện cần tối ưu, các phép tính dưới vi phân và nguyên lý cực đại. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Điều khiển tối ưu, tối ưu đa mục tiêu, bao hàm thức vi phân và các nguyên lí biến phân. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích không trơn, giải tích biến phân và lý thuyết tối ưu. 6. Giả thiết khoa học (hay những đóng góp mới) Nếu giải đáp được các câu hỏi đã nêu trong Mục 1 thì đây sẽ là đóng góp giúp ta có hiểu biết mới về điều khiển tối ưu đa mục tiêu. Chương 1 Nón pháp tuyến và dưới vi phân Trong chương này chúng ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản nhất về nón pháp tuyến và dưới vi phân giới hạn. Nguyên lý biến phân Ekeland và một số kết quả về các dạng biểu diễn của nón pháp tuyến trong không gian hữu hạn chiều, biểu diễn nón pháp tuyến qua dưới vi phân của hàm khoảng cách hay quy tắc tổng của dưới vi phân được sử dụng để thiết lập điều kiện cần tối ưu trong Chương 2 cũng được nhắc lại với chứng minh chi tiết. 1.1. Nón pháp tuyến qua giới hạn Trong luận văn chúng ta sẽ sử dụng các khái niệm, kí hiệu của giải tích biến phân, đạo hàm suy rộng và lý thuyết tối ưu. Chi tiết đọc giả có thể tham khảo bộ sách của Mordukhovich [15, 16] và Vinter [20]. Một không gian Banach bất kì X với chuẩn · ta xét không gian đối ngẫu của nó X ∗ với tôpô yếu ∗ được kí hiệu bởi w ∗ . Như thường lệ, B X và B X ∗ kí hiệu tương ứng là hình cầu đơn vị đóng trong không gian Banach X và không gian đối ngẫu của nó. Kí hiệu A ∗ toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính liên tục A. Hình cầu đóng tâm x bán kính ρ được kí hiệu bởi B ρ (x). 5 Với mỗi tập Ω ⊂ X, cl Ω, int Ω, co Ω và cone Ω kí hiệu tương ứng là bao đóng, phần trong, bao lồi và nón lồi sinh của Ω. Ta nhắc lại rằng Ω ∈ X là đóng địa phương tại ¯x ∈ Ω nếu có một lân cận U của ¯x sao cho Ω ∩ clU là tập đóng. Cho F : X ⇒ X ∗ ánh xạ đa trị giữa một không gian Banach X và không gian đối ngẫu X ∗ của nó. Giới hạn trên theo dãy theo nghĩa Painlevé - Kuratowski đối với tôpô chuẩn của X và tôpô yếu* của X ∗ tại ¯x được xác định bởi Lim sup x→¯x F (x) := {x ∗ ∈ X ∗ : ∃ x k → ¯x, x ∗ k w ∗ −→ x ∗ , x ∗ k ∈ F(x k ), ∀k ∈ N}. (1.1) Định nghĩa 1.1. (Nón pháp tuyến) Cho Ω là tập con khác rỗng trong không gian Banach X, ¯x ∈ Ω và ε 0. (i) Tập các ε - véctơ pháp tuyến Fréchet của Ω tại ¯x được xác định bởi N ε (¯x; Ω) := x ∗ ∈ X ∗ : lim sup x Ω →¯x x ∗ , x − ¯x x − ¯x ε , (1.2) ở đó x Ω −→ ¯x nghĩa là x → ¯x và x ∈ Ω. Khi ε = 0, ta có N(¯x; Ω) := N 0 (¯x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại ¯x. (ii) Nón pháp tuyến Mordukhovich hay nón pháp tuyến qua giới hạn của Ω tại ¯x là tập N(¯x; Ω) := Lim sup x Ω →¯x ε↓0 N ε (x; Ω) (1.3) hay N(¯x; Ω) := x ∗ ∈ X ∗ : ∃ε k → 0, x k Ω → ¯x, x ∗ k w ∗ → x ∗ , x ∗ k ∈ N ε k (x k ; Ω) ∀k , ở đó có thể đặt ε = 0 khi Ω là tập đóng trong lân cận của ¯x và X là không gian Asplund. 6 Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày hai dạng biểu diễn tương đương khác của nón pháp tuyến Mordukhovich trong không gian hữu hạn chiều X = R n (trong trường hợp này X ∗ = X = R n ) mà chúng hữu ích trong việc thiết lập điều kiện cần tối ưu ở Chương 2. Do tất cả các chuẩn trong không gian hữu hạn chiều là tương đương nên ta có thể chọn chuẩn Euclid x = x 2 1 + + x 2 n , x ∈ R n . Cho một tập không rỗng Ω ⊂ R n . Khoảng cách được xác định bởi d Ω (x) = dist(x; Ω) := inf u∈Ω x − u , x ∈ R và hình chiếu Euclid của x trên Ω Π(x; Ω) := {¯x ∈ Ω| x − ¯x = dist(x; Ω)} . Nếu Ω là đóng thì tập Π(x; Ω) luôn khác rỗng đối với mỗi x ∈ R n . Định lý 1.1. (Nón pháp tuyến trong không gian hữu hạn chiều) [15, Theorem 1.6] Cho Ω ⊂ R n tập đóng địa phương tại ¯x ∈ Ω. Khi đó các khẳng định sau là đúng: N(¯x; Ω) = Lim sup x→¯x N(x; Ω); (1.4) N(¯x; Ω) = Lim sup x→¯x [cone (x − Π (x; Ω))] . (1.5) Chứng minh. Bao hàm thức “⊃” trong (1.4) là hiển nhiên. Để chứng minh bao hàm thức “⊂”, ta lấy tùy ý x ∗ ∈ N(¯x; Ω). Từ Định nghĩa 1.1 ta suy ra rằng có dãy ε k ↓ 0, x k → ¯x và x ∗ k → x ∗ sao cho x k ∈ Ω và x ∗ k ∈ ˆ N ε k (x k ; Ω) với mọi k ∈ N. Lấy X = X ∗ = R n và Ω là tập đóng địa phương của ¯x, cho mỗi k = 1, 2, ta xét x k + αx ∗ k với α > 0 và chọn ω k ∈ Π(x k + αx ∗ k ; Ω) từ hình chiếu Euclid. Do cách chọn ω k ta có bất đẳng thức x k + αx ∗ k − ω k 2 α 2 x ∗ k 2 [...]... (t, x∗ (t) với mọi t và tồn tại các hằng số kh và ε > 0 sao cho |h(t, x) − h(t, x )| ≤ kh |x − x | với mọi t ∈ [a, b] và x, x ∈ x∗ (t) + εB Ta có điều kiện cần tối ưu cho bài toán điều khiển tối ưu một mục tiêu mà chúng là chìa khóa để thiết lập các điều kiện cần tối ưu cho bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu Định lý 2.1 [21, Theorem 3] Cho x∗ là một W 1,1 -nghiệm địa phương của (P0 ) với J(x∗ )... x)} Ta có điều kiện cần tối ưu sau cho bài toán tối ưu đa mục tiêu (VOP) Định lý 2.2 Với bài toán tối ưu đa mục tiêu (V OP ), giả sử rằng (H1)-(H4) được thỏa mãn Nếu Θ là đóng địa phương tại 0 ∈ Θ và x∗ là Θ-nghiệm tối ưu địa phương của (V OP ) thì tồn tại một cung p ∈ W 1,1 , một hằng số không âm λ, một độ đo Radon dương µ, một hàm µ-khả tích γ : [a, b] → Rn và w ∈ N (0; Θ) với w = 1 sao cho (a) λ... fi bất kỳ Điều này dễ dàng có được từ biểu diễn (1.17) khi ε = 0 Nếu tất cả fi là chính quy dưới tại x thì (1.22) và (1.36) đảm bảo rằng tổng f1 + + fn cũng là ¯ chính quy dưới tại điểm này và bao hàm thức trong (1.22) trở thành đẳng thức Định lý được chứng minh Chương 2 Điều kiện cần tối ưu Mục đích của chương này là thiết lập các điều kiện cần tối ưu cho bai toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu (V... := co{limi ξi : ∃ti → t, xi → x sao cho h(ti , xi ) > 0 và ξi ∈ ∂x h(ti , xi )} 25 2.2 Điều khiển tối ưu đa mục tiêu Một cung x ∈ W 1,1 ([a, b], Rn ) là một quỹ đạo chấp nhận được của bài toán tối ưu đa mục tiêu (V OP ) nếu nó thỏa mãn (2.1)–(2.3) Ta nhắc lại một khái niệm tối ưu trừu tượng được đề xuất bởi Mordukhovich [16] Định nghĩa 2.1 [16, Definition 5.53] Cho một ánh xạ đơn trị g : Rn × Rn →... h(t, x(t)) ≤ 0 ∀t ∈ [a, b], (2.3) ở đó g : Rn × Rn → Rm là một hàm đã cho, F : [a, b] × Rn Rn là một ánh xạ đa trị, C tập đóng trong Rn × Rn và W 1,1 ([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục tuyệt đối x : [a, b] → Rn với chuẩn x |x(a)| + 2.1 b ˙ a |x(t)|dt, 1,1 := | · | kí hiệu chuẩn Euclid trong Rn Điều khiển tối ưu một mục tiêu Cho C[a, b] là không gian các hàm liên tục trên [a, b] Một hàm tuyến... là Θ-nghiệm tối ưu địa phương của (V OP ) nếu tồn tại một W 1,1 -lân cận U của x∗ và một dãy {zk } ⊂ Rm với z → 0 khi k → ∞ sao cho g(x(a), x(b)) − g(x∗ (a), x∗ (b)) ∈ Θ − zk , k = 1, 2, với mọi quỹ đạo chấp nhận được x ∈ U Lấy tùy ý cố đinh một quỹ đạo chấp nhận được x∗ ∈ W 1,1 và từ nay về sau ta xét các giả thiết sau trên các thành phần của bài toán (V OP ) (H1) Tồn tại ε > 0 sao cho g là Lipschitz... thị của nó là SNC tại x x (¯, ϕ(¯)) x x Ta có quy tắc tổng sau đây cho dưới vi phân Mordukhovich Định lý 1.4 (Quy tắc tính tổng cho dưới vi phân) [15, Theo¯ rem 3.36] Cho X là một không gian Asplund, fi : X → R, i = 1, 2, , n là các hàm nửa liên tục dưới trong một lân cận của x và có ít nhất một ¯ hàm số là SNEC tại x Giả sử rằng điều kiện sau được thỏa mãn ¯ [x∗ ∈ ∂ ∞ fi (¯) , i = 1, , n, x∗ + + x∗... có một hằng số M > 0 sao cho µk ≤ M với mọi k Khi đó tồn tại một dãy con {µkj } của {µk } hội tụ yếu∗ tới một độ đo Radon dương µ Để đơn giản các ký hiệu, ta viết W 1,1 thay cho W 1,1 ([a, b]; Rn ) và W 1,1 L1 → − L1 thay cho L1 [a, b] Ký hiệu xk − → x và yk − y tương ứng có nghĩa là xk hội tụ tới x trong W 1,1 ([a, b]; Rn ) và yk hội tụ tới y trong L1 [a, b] Ta nhắc lại bài toán Bolza b (P0 ) minx∈W... (t)) = 0}, ở đó > ∂x h(t, x) := co{limi ξi : ∃ti → t, xi → x sao cho h(ti , xi ) > 0 và ξi ∈ ∂x h(ti , xi )} Chứng minh Cho x∗ là Θ-nghiệm tối ưu địa phương của (V OP ) Lấy tùy ý ε > 0 Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng các giả thiết (H1)-(H4) được thỏa mãn với ε vủa chọn và tồn tại một dãy {zi } ⊂ Rm với zi → 0 khi i → ∞ sao cho g(x(a), x(b)) − g(x∗ (a), x∗ (b)) ∈ Θ − zi , i = 1, 2, 27... k+1 ) ∈ M k sao cho γ và γk y γk + y k 2 k+1 (1.11) (điều này luôn thực hiện được bởi vì nếu γk = y k thì đặt (xk+1 , y k+1 ) = (xk , y k ) Giả sử γk < y k , do γk < γk y < γk +y 2 k γk +y k 2 , tồn tại (x, y) ∈ M sao cho Đặt (xk+1 , y k+1 ) = (x, y) ta thấy rằng (1.9) nghiệm đúng) Quan sát rằng nếu (x, y) ∈ M k+1 thì (xk , y k ) α (xk+1 , y k+1 ) α (x, y), và do đó (x, y) ∈ M k Điều này suy ra rằng . điều khiển tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc trạng thái. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính các bài toán điều khiển tối ưu, tối ưu đa mục tiêu, bao hàm thức vi phân, điều kiện cần tối ưu, các phép. toán tối ưu đa mục tiêu (hàm mục tiêu là hàm vector ), Zhu [24] lần đầu tiên thiết lập được các điều kiện cần tối ưu cho các bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu với nón thứ tự thỏa mãn một số điều kiện. toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu [ 3, 8, 9, 24]. Với bài toán tối ưu một mục tiêu (hàm mục tiêu là hàm số ), Ioffe [5] đã đưa ra các điều kiện cần dạng Euler-Lagrange và Hamilton cho bài toán điều