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2013 | ISBN-10: 3834806307 | 338 pages | PDF | 3,3 MBUbersichtlich und verstandlich gelingt es dem Autor, den Leser von den mathematischen und physikalischen Grundlagen der Quantenmechanik hin zu einem grundlegenden Verstandnis der Molekuleigenschaften zu fuhren.Zahlreiche Beispiele machen die Darstellung anschaulich und helfen dem Leser bei der Einubung des Stoffes.
Studienbücher Chemie H erausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. Christoph Elschenbroich Prof.Dr.rer.nat.Dr.h.c.FriedrichHensel Prof. Dr. phil. Henning Hopf Die Studienbücher der Reihe Chemie sollen in Form einzelner Bausteine grundlegende und weiterführende emen aus allen Gebieten der Chemie umfassen. Sie streben nicht die Breite eines Lehrbuchs oder einer umfangreichen Monographie an, sondern sollen den Studierenden der Chemie – aber auch den bereits im Berufsleben stehenden Chemiker – kompetent in aktuelle und sich in rascher Entwicklung befindende Gebiete der Che- mie einführen. Die Bücher sind zum Gebrauch neben der Vorlesung, aber auch anstelle von Vorlesungen geeignet. Es wird angestrebt, im Laufe der Zeit alle Bereiche der Chemie in derartigen Lehrbüchern vorzustellen. Die Reihe richtet sich auch an Studierende ande- rer Naturwissenschaen, die an einer exemplarischen Darstellung der Chemie interessiert sind. Joachim Reinhold Quantentheorie Eine Einführung 4., überarbeitete und erweiterte Auage der Moleküle Joachim Reinhold Leipzig, Deutschland ISBN 978-3-8348-0630-7 ISBN 978-3-8348-2037-2 (eBook) DOI 10.1007/978-3-8348-2037-2 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; de- taillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer Fachmedien Wiesbaden 1994, 2004, 2006, 2013 Dieses Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht aus- drücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen ZustimmungdesVerlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspei- cherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk be- rechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden düren. Lektorat: Kerstin Hoffmann Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media www.springer-spektrum.de Vorwort zur ersten Auflage Das vorliegende Buch ist aus Vorlesungen entstanden, die ich seit vielen Jahren an der Uni- versit ¨ at Leipzig f ¨ ur Anf ¨ anger und etwas Fortgeschrittene auf dem Gebiet der Theoretischen Chemie halte. Wohl existieren zu diesem Gebiet eine Reihe umfassender Darstellungen, und es gibt eine Vielzahl von Lehrb ¨ uchern bzw. Monographien, die sich ausf ¨ uhrlich und mehr oder weniger tiefgr ¨ undig mit speziellen Problemen befassen. Von den Studenten wurde aber immer wieder beklagt, daß kaum eine das einf ¨ uhrende Studium begleitende komprimierte und handliche Einf ¨ uhrung in die Theoretische Chemie zur Verf ¨ ugung steht. Dieses Buch versucht, dem genannten Anspruch gerecht zu werden, zumindest f ¨ ur ein Teil- gebiet der Theoretischen Chemie, die Quantentheorie der Molek ¨ ule. Es wendet sich an Che- miestudenten mittlerer Semester, unabh ¨ angig von ihrer sp ¨ ateren Spezialisierungsrichtung. Auch Publikationen zur Synthesechemie und zur Analytischen Chemie enthalten heute oft Bez ¨ uge zur Theorie; ohne Kenntnisse ¨ uber mikroskopische Molek ¨ uleigenschaften ist die mo- derne ” experimentelle“ Fachliteratur kaum und zunehmend weniger zu verstehen. Anderer- seits sind Teile des Buchs so angelegt, dass sie bei interessierten Studenten Appetit wecken sollen, sich intensiver mit der Thematik zu besch ¨ aftigen. Aus diesen beiden Anspr ¨ uchen resultiert eine gewisse Inhomogenit ¨ at im theoretischen Niveau der Darstellung. Die Darstellung enth ¨ alt nicht mehr, aber auch nicht weniger ” Mathematik“ als nach meiner Auffassung f ¨ ur die beabsichtigten Ziele erforderlich ist. Auf Beweise wird im allgemeinen verzichtet. Die mathematische Formulierung der Sachverhalte wird aber nicht umgangen. Darstellungen, die fast g ¨ anzlich ” ohne Mathematik“ auskommen wollen, f ¨ uhren kaum zu ei- nem tieferen Verst ¨ andnis der Zusammenh ¨ ange. Vom Leser des vorliegenden Buchs wird also erwartet, daß er Formeln nicht ¨ uberliest, sondern ein Mindestmaß an Bereitschaft zeigt, sich mit ihnen ” auseinanderzusetzen“. Vorkenntnisse werden aus der Differential- und Integral- rechnung sowie im Umgang mit Vektoren, Determinanten und Matrizen ben ¨ otigt. In wei- tere mathematische Teildisziplinen (L ¨ osung spezieller Differentialgleichungen, Umgang mit speziellen Funktionen, lineare R ¨ aume und lineare Operatoren, Variationsrechnung, Grup- pentheorie) wird der Leser eingef ¨ uhrt. ¨ Ubungsaufgaben habe ich nicht aufgenommen. Erfahrungsgem ¨ aß werden sie von der Mehr- heit der Leser ignoriert. An ihrer Stelle werden Beispiele ausf ¨ uhrlicher im Text behandelt. Ich danke dem Verlag B.G. Teubner f ¨ ur die unkomplizierte Zusammenarbeit. Meiner Frau danke ich f ¨ ur ihr Verst ¨ andnis und ihre Geduld. Leipzig, im M ¨ arz 1994 J.Reinhold 6 Vorwort zur vierten, ¨ uberarbeiteten und erweiterten Auflage Die ” Quantentheorie der Molek ¨ ule“ sollte eine ” das einf ¨ uhrende Studium begleitende kom- primierte und handliche Einf ¨ uhrung“ sein. Dieses Ziel wurde offenbar erreicht, denn das Buch ist von Studenten und Kollegen freundlich aufgenommen worden, und auch ein Nach- druck der dritten Auflage ist vergriffen. Eine vergleichbare Darstellung der Thematik in deutscher Sprache ist nicht auf den Markt gekommen. Deshalb erscheint jetzt eine ¨ uberar- beitete und erweiterte Auflage der ” Quantentheorie der Molek ¨ ule“. Das Buch wurde an verschiedenen Stellen ¨ uberarbeitet und umgeordnet. Neu aufgenommen wurden grundlegende Aspekte der zeitabh ¨ angigen Dichtefunktionaltheorie und der ab-initio- Molek ¨ uldynamik. Die Behandlung der π-Elektronensysteme und der Allvalenzelektronen- systeme wurde gek ¨ urzt, so daß sich der Umfang des Buches nicht erh ¨ oht hat. Kapitel 1 umfaßt Grundlagen: eine kurze allgemeine Einf ¨ uhrung in die Quantentheorie, die L ¨ osung der zeitfreien Schr ¨ odinger-Gleichung f ¨ ur einfache Systeme, insbesondere Einelektro- nenatome, qualitative Aspekte der Theorie der Mehrelektronenatome und das Ph ¨ anomen der kovalenten chemischen Bindung sowie Modelle und Methoden zu deren Beschreibung. Kapitel 2 f ¨ uhrt etwas tiefgr ¨ undiger in die Quantenmechanik ein und behandelt die grund- legenden N ¨ aherungsmethoden; das erfordert eine abstraktere Darstellungsweise. Kapitel 3 umfaßt die qualitative MO-Theorie typischer Verbindungsklassen: π-Elektronensysteme, allgemeine Allvalenzelektronensysteme, Koordinationsverbindungen sowie unendlich aus- gedehnte Systeme. In Kapitel 4 wird die Theorie der Mehrelektronensysteme ausf ¨ uhrlich dargestellt und die quantitative Behandlung solcher Systeme skizziert und kommentiert. Der beabsichtigten ersten Einf ¨ uhrung in das Gebiet entsprechen die Kapitel 1 und 3. Kapitel 2 wird daf ¨ ur nicht ben ¨ otigt; es wird f ¨ ur ein vertieftes Studium empfohlen und ist Vorausset- zung f ¨ ur Kapitel 4. In Kapitel 3 wird die Darstellungstheorie der Symmetriepunktgruppen extensiv genutzt; eine (unabh ¨ angig lesbare) Einf ¨ uhrung in diese Thematik ist im Anhang enthalten. Bei den Literaturempfehlungen, die am Beginn jedes Kapitels auf weiterf ¨ uhrende und ver- tiefende Literatur hinweisen, wurde der Schwerpunkt auf jetzt aktuelle Lehrb ¨ ucher gelegt. Es wurden aber weiterhin auch empfehlenswerte ¨ altere und insbesondere deutschsprachige Darstellungen aufgenommen, da diese in vielen Universit ¨ atsbibliotheken verf ¨ ugbar sind. Leipzig, im Juli 2012 J. Reinhold Vorwort Inhalt 1 Grundlagen 13 1.1 Einf ¨ uhrung 13 1.1.1 Notwendigkeit der Quantentheorie 13 1.1.2 Historie I 16 1.1.3 Klassisches Eigenwertproblem – Die schwingende Saite 18 1.1.4 Die zeitunabh ¨ angige Schr ¨ odinger-Gleichung 20 1.1.5 Historie II 22 1.2 Einfache Systeme 24 1.2.1 Das Elektron im Potentialkasten 24 1.2.2 Der harmonische Oszillator 27 1.3 Operatoren und Eigenwertgleichungen 31 1.3.1 Operatoren 31 1.3.2 Eigenwertgleichungen 33 1.3.3 Das Eigenwertproblem f ¨ ur l z 34 1.3.4 Das Eigenwertproblem f ¨ ur l 2 36 1.3.5 Der starre Rotator . 38 1.4 Einelektronenatome 40 1.4.1 Das Zentralfeldproblem 40 1.4.2 Das Coulomb-Potential 42 1.4.3 Das Wasserstoffatom 44 1.4.4 Wasserstoff ¨ ahnliche Atome 49 1.4.5 Der Elektronenspin 50 1.5 Mehrelektronenatome 51 1.5.1 Die Schr ¨ odinger-Gleichung f ¨ ur Atome 51 1.5.2 Das allgemeine Zentralfeld 52 1.5.3 Mehrere Elektronen, Aufbauprinzip 53 1.5.4 Mehrelektronenzust ¨ ande, Atomterme 55 1.5.5 Kopplung von Drehimpulsen 58 1.6 Chemische Bindung 59 1.6.1 Die Schr ¨ odinger-Gleichung f ¨ ur Molek ¨ ule 59 1.6.2 Qualitative Aspekte der chemischen Bindung 60 1.6.3 Physikalische Ursachen der Bindung 62 1.6.4 Das Wasserstoffmolek ¨ ulion 63 8 Inhalt 1.6.5 Die LCAO-MO-Methode 70 1.6.6 Hybridisierung 73 2 Elemente der Quantenmechanik 79 2.1 Quantenmechanische Zust ¨ ande und Operatoren 79 2.1.1 Quantenmechanische Zust ¨ ande 79 2.1.2 Der n-dimensionale Vektorraum 80 2.1.3 Der Hilbert-Raum 82 2.1.4 Realisierungen des Hilbert-Raums 83 2.1.5 Orthonormalbasen 84 2.1.6 Lineare Operatoren 86 2.1.7 Die Operatoren f ¨ ur die Observablen . . 88 2.1.8 Adjungierter Operator, hermitesche Operatoren 90 2.1.9 Inverser Operator, unit ¨ are Operatoren 92 2.1.10 Projektionsoperatoren 93 2.2 Messung von Observablen 94 2.2.1 Messung einer Observablen 94 2.2.2 Mittelwerte 95 2.2.3 Impulsmessung und Ortsmessung . 97 2.2.4 Messung mehrerer Observabler 100 2.2.5 Die Unsch ¨ arferelation 101 2.2.6 Vollst ¨ andige S ¨ atze kommutierender Operatoren 103 2.2.7 Messung als Projektion 104 2.3 St ¨ orungstheorie 105 2.3.1 Der Grundgedanke 105 2.3.2 St ¨ orungstheorie ohne Entartung 105 2.3.3 Ein Beispiel 109 2.3.4 St ¨ orungstheorie bei Entartung 110 2.3.5 Ein Beispiel 112 2.4 Variationsrechnung 114 2.4.1 Der Grundgedanke 114 2.4.2 Das Variationsverfahren 115 2.4.3 Ein Beispiel 116 2.4.4 Der lineare Variationsansatz 117 2.5 Zeitabh ¨ angige Theorie 119 2.5.1 Die zeitabh ¨ angige Schr ¨ odinger-Gleichung 119 2.5.2 Station ¨ are Zust ¨ ande 120 2.5.3 Zeitabh ¨ angige St ¨ orungstheorie 122 2.5.4 ¨ Ubergangsmomente und Auswahlregeln 124 3 Qualitative MO-Theorie 127 3.1 π-Elektronensysteme 128 3.1.1 Beschr ¨ ankung auf π-Elektronen 128 Inhalt 9 3.1.2 Die HMO-Methode 129 3.1.3 Informationen aus Eigenvektoren und Eigenwerten 134 3.1.4 Symmetriekennzeichnung der Molek ¨ ulorbitale 138 3.1.5 Symmetriekennzeichnung der Mehrelektronenzust ¨ ande 141 3.1.6 Unverzweigte lineare π-Elektronensysteme 142 3.1.7 Unverzweigte zyklische π-Elektronensysteme 143 3.1.8 Erhaltung der Orbitalsymmetrie . 146 3.1.9 Elektronenanregung 148 3.2 Allvalenzelektronensysteme 151 3.2.1 Beschr ¨ ankung auf Valenzelektronen 151 3.2.2 Die EHT-Methode 152 3.2.3 Ein Beispiel 156 3.2.4 Typen der Orbitalwechselwirkung . 160 3.2.5 Zweiatomige Molek ¨ ule 162 3.2.6 Lokalisierte Orbitale 165 3.2.7 Fragmentorbitale 168 3.2.8 Elektronenanregung 170 3.2.9 Elektronenmangel- und - ¨ uberschußverbindungen 173 3.2.10 Walsh-Diagramme 175 3.3 Koordinationsverbindungen 177 3.3.1 Der Grundgedanke der Ligandenfeldtheorie 177 3.3.2 Qualitative Aufspaltung der Orbitale 178 3.3.3 Das Ligandenfeldpotential 181 3.3.4 Quantitative Aufspaltung der d-Orbitale 184 3.3.5 Ein d-Elektron im Ligandenfeld 186 3.3.6 Mehrere d-Elektronen im Ligandenfeld 188 3.3.7 Elektronenanregung 194 3.3.8 high-spin- und low-spin-Komplexe 196 3.3.9 Symmetrieerniedrigung 198 3.3.10 Einbeziehung von σ-bindenden Ligandorbitalen 200 3.3.11 Einbeziehung von π-bindenden Ligandorbitalen 206 3.3.12 Komplexfragmente, Isolobalit ¨ at 208 3.4 Vom Molek ¨ ul zum Festk ¨ orper 211 3.4.1 Von Molek ¨ ulorbitalen zu Kristallorbitalen 211 3.4.2 Vom diskreten Energieniveauschema zum Energieband 213 3.4.3 Zustandsdichten 216 3.4.4 Ein Beispiel 217 3.4.5 Mehrere Dimensionen 219 4 Quantitative Theorie der Mehrelektronensysteme 223 4.1 Allgemeine Mehrteilchensysteme . . 223 4.1.1 Die Schr ¨ odinger-Gleichung f ¨ ur Mehrteilchensysteme 223 4.1.2 Systeme unabh ¨ angiger Teilchen 225 4.1.3 Systeme identischer Teilchen 227 10 Inhalt 4.1.4 Antisymmetrische Zustandsfunktionen 228 4.1.5 Entwicklung nach Slater-Determinanten 230 4.2 Der Hartree-Fock-Formalismus 233 4.2.1 Das Modell der unabh ¨ angigen Teilchen 233 4.2.2 Der Energiemittelwert f ¨ ur eine Slater-Determinante 234 4.2.3 Ableitung der Hartree-Fock-Gleichung 238 4.2.4 Energiegr ¨ oßen im Hartree-Fock-Formalismus 241 4.2.5 Der Hartree-Formalismus 243 4.2.6 Systeme mit abgeschlossenen Schalen 244 4.2.7 Beschr ¨ ankte und unbeschr ¨ ankte Hartree-Fock-Theorie 246 4.2.8 Die Korrelationsenergie 247 4.3 Atome und Molek ¨ ule 250 4.3.1 Atome 250 4.3.2 Der Roothaan-Hall-Formalismus 252 4.3.3 Zur L ¨ osung der Roothaan-Hall-Gleichungen 254 4.3.4 Effektive Rumpfpotentiale 258 4.3.5 Ber ¨ ucksichtigung der Korrelationsenergie 260 4.3.6 Semiempirische Methoden 262 4.4 Dichtefunktionaltheorie 264 4.4.1 Der Grundgedanke 264 4.4.2 Das Thomas-Fermi-Energiefunktional 266 4.4.3 Die Hohenberg-Kohn-Theoreme 268 4.4.4 Der Kohn-Sham-Formalismus 269 4.4.5 Zur L ¨ osung der Kohn-Sham-Gleichungen 271 4.4.6 Zeitabh ¨ angige Dichtefunktionaltheorie 273 4.5 Ber ¨ ucksichtigung der Kernbewegung 276 4.5.1 Trennung von Kern- und Elektronenbewegung 276 4.5.2 Potentialfl ¨ achen, Geometrieoptimierung 279 4.5.3 Molek ¨ uldynamik 282 A Molek ¨ ulsymmetrie 285 A.1 Symmetriepunktgruppen 285 A.1.1 Symmetrieelemente und Symmetrieoperationen 285 A.1.2 Produkte von Symmetrieoperationen 289 A.1.3 Die Punktgruppen 290 A.1.4 Systematische Bestimmung der Punktgruppe 293 A.2 Elemente der Gruppentheorie 296 A.2.1 Allgemeine Definitionen, Rechenregeln 296 A.2.2 Beispiele 297 A.2.3 Die Gruppenmultiplikationstafel 298 A.2.4 Untergruppen 299 A.2.5 Konjugierte Elemente, Klassen konjugierter Elemente 300 A.2.6 Isomorphie, Homomorphie 302 [...]... 3 04 3 04 308 309 310 312 315 316 A .4 A .4. 1 A .4. 2 A .4. 3 A .4. 4 Anwendungen Symmetriekennzeichnung molekularer Elektronenzust¨nde a Bestimmung der Symmetrie aller MOs eines Molek¨ls u Bestimmung der Symmetrie aller Schwingungen eines Molek¨ls u Auswahlregeln 318 318 320 322 3 24 B Charaktertafeln... x=ξ h ¯ und 2E =ε h ¯ω (1 .40 ) substituiert Das ergibt nach etwas Umformung d2 ψ(ξ) + (ε − ξ 2 ) ψ(ξ) = 0 dξ 2 (1 .41 ) Mit dem Ansatz ψ(ξ) = e−ξ 2 /2 ϕ(ξ) (1 .42 ) l¨ßt sich (1 .41 ) in eine Differentialgleichung f¨r ϕ(ξ) umformen: a u dϕ(ξ) d2 ϕ(ξ) + (ε − 1) ϕ(ξ) = 0 − 2ξ dξ 2 dξ (1 .43 ) Das ist eine Differentialgleichung vom Typ ϕ (ξ) − 2ξ ϕ (ξ) + 2α ϕ(ξ) = 0 (1 .44 ) (1 .44 ) ist die in der Mathematik wohlbekannte... existiert eine L¨sung ϕn (ξ) der Gleichung (1 .43 ) Sie hat die u Form ϕn (ξ) = Hn (ξ) = (−1)n eξ dn −ξ2 e dξ n 2 (n = 0, 1, 2, ) (1 .46 ) Hn (ξ) bezeichnet die Hermiteschen Polynome Sie sind Polynome vom Grad n, d.h., sie haben n Nullstellen Die Polynome zu den niedrigsten n-Werten sind26 H0 = 1, H1 = 2ξ, 3 H3 = 8ξ − 12ξ, H2 = 4 2 − 2, H4 = 16ξ 4 − 48 ξ 2 + 12, (1 .47 ) Man sieht, daß die Hn (ξ) gerade oder... kurz mit einem Punkt uber der Gr¨ße Die qi o o ¨ und qi k¨nnen gew¨hnliche, aber auch verallgemeinerte Koordinaten und Geschwindigkeiten sein ˙ o o 2 S hat die Dimension einer Wirkung (Energie · Zeit) 3 S muß einen extremalen Wert haben, nicht unbedingt einen minimalen Entscheidend ist, daß die Variation verschwindet 4 In der Mechanik heißen sie Lagrangesche Gleichungen (zweiter Art), in der Variationsrechnung... relativistisch verallgemeinerter Form, g¨ltig:7 u K= dp dt (1 .4) Ihre L¨sung liefert Bahnkurven f¨r die Teilchen, und f¨r die Observablen sind weiterhin o u u innerhalb gewisser Grenzen alle reellen Werte m¨glich o Zu einer anderen Verallgemeinerung der klassischen Mechanik kam Planck in dem Bem¨hen, u eine konsistente Theorie f¨r die Strahlung eines schwarzen K¨rpers zu entwickeln Die sich u o in der Folge daraus... , erhalten wir also den u Hamilton-Operator H in der uns aus Abschnitt 1.1 .4 bereits bekannten Form: H → H=T+V =− h ¯2 Δ + V (x, y, z) 2m In dieser Form wird er in die Schr¨dinger-Gleichung eingesetzt (vgl (1.33) und (1.39)) o Neben der Energie ist der Drehimpuls eine wichtige Observable in der Quantentheorie Der klassische Drehimpuls ist ebenfalls eine Funktion von Ort und Impuls: l = r × p F¨r die... entwickelte Quantentheorie auf das Rutherfordsche Planetenmodell der Atome an (19 14) Er postulierte, daß – wie ein harmonischer Oszillator – auch die Elektronen in Atomen nur diskrete Energiewerte annehmen k¨nnen Sie laufen – ohne o Energie abzustrahlen – auf station¨ren Bahnen“, denen eine bestimmte Energie zugeorda ” net werden kann, um.11 Bei einem Elektronensprung“ von einer Bahn auf eine andere wird... Vψ = Eψ (1.27) a schreiben V ist der Operator der potentiellen Energie, −e2 /r ist n¨mlich die potentielle Energie eines Elektrons mit der Ladung −e im Feld des Protons mit der Ladung +e Man faßt also auch die bloße Multiplikation von ψ mit −e2 /r als Wirkung eines Operators auf (multiplikativer Operator ) T ist wegen (1.25) ein Differentialoperator T ist der Operator der kinetischen Energie, wir behandeln... K=m d2 r dt2 J Reinhold, Quantentheorie der Moleküle, DOI 10.1007/978-3-8 348 -2037-2_1, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2013 (1.1) 14 1 Grundlagen Der Ortsvektor r beschreibt die Lage des betrachteten K¨rpers, etwa eines Massenpunko tes, K die Kraft, die auf diesen Massenpunkt wirkt, und m seine Masse (1.1) steht f¨r drei u Differentialgleichungen zweiter Ordnung, jeweils eine f¨r die drei Komponenten... nach Multiplikation mit exp (−ξ 2 /2) (vgl (1 .42 )) im Intervall −∞ < ξ < ∞ quadratisch integrierbar sind (d.h die Randbedingungen (1.22) erf¨llen), existieren nur u dann, wenn der Parameter α eine nichtnegative ganze Zahl ist, das heißt f¨r (1 .43 ), wenn ε u einen der Werte εn = 2n + 1 (n = 0, 1, 2, ) (1 .45 ) 25 Man erh¨lt es als negatives Wegintegral der Kraft; im vorliegenden Fall verifiziert man . LCAO-MO-Methode 70 1.6.6 Hybridisierung 73 2 Elemente der Quantenmechanik 79 2.1 Quantenmechanische Zust ¨ ande und Operatoren 79 2.1.1 Quantenmechanische Zust ¨ ande 79 2.1.2 Der n-dimensionale. genannten Anspruch gerecht zu werden, zumindest f ¨ ur ein Teil- gebiet der Theoretischen Chemie, die Quantentheorie der Molek ¨ ule. Es wendet sich an Che- miestudenten mittlerer Semester, unabh ¨ angig. im M ¨ arz 1994 J.Reinhold 6 Vorwort zur vierten, ¨ uberarbeiteten und erweiterten Auflage Die ” Quantentheorie der Molek ¨ ule“ sollte eine ” das einf ¨ uhrende Studium begleitende kom- primierte