Khóa luận tốt nghiệp toán học: Một số vấn đề về dãy nửa khớp và đồng điều

45 1.3K 2
Khóa luận tốt nghiệp toán học: Một số vấn đề về dãy nửa khớp và đồng điều

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

khóa luận tốt nghiệp,bài toán nhận dạng tam giác,khóa luận tốt nghiệp toán học,tốt nghiệp toán học,khóa luận toán học,

LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này, em đã nhận được sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của giảng viên - Thạc sĩ Nguyễn Đình Yên, sự giúp đỡ, tạo điều kiện của các giảng viên trong khoa Toán - Lí - Tin sự ủng hộ, động viên, giúp đỡ của các bạn sinh viên K50 - Đại học sư phạm Toán. Đồng thời việc hoàn thành khóa luận này em cũng đã nhận được sự giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi vềsở vật chất, thời gian các tài liệu tham khảo của Phòng đào tạo, phòng QLKH QHQT, ban chủ nhiệm khoa Toán - Lí - Tin, Thư viện một số phòng, ban trực thuộc trường Đại học Tây Bắc. Nhân dịp này cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô, các bạn sinh viên các đơn vị nói trên đã ủng hộ giúp đỡ em hoàn thành khóa luận trong thời gian qua. Em xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 5 năm 2013 Người thực hiện Phạm Thị Hải Yến 1 Mục lục LỜI MỞ ĐẦU 4 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 6 1.1 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Module con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Module thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Đồng cấu module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Phạm trù module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Tổng trực tiếp -Tích trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.1 Định nghĩa dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.2 Dãy khớp ngắn chẻ ra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.3 Một số bổ đề về dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6 Module tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7 Hàm tử Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.7.1 Cấu trúc nhóm trên Hom(X, Y ) . . . . . . . . . . . . 24 1.7.2 Khái niệm về hàm tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.7.3 Các hàm tử Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DÃY NỬA KHỚP ĐỒNG ĐIỀU 28 2.1 Phức đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.1 Dãy nửa khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.2 Phạm trù các phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3 Đồng luân dây chuyền . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.4 Các hàm tử đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Dãy đồng điều khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1 Dãy khớp các phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2 2.2.2 Dãy đồng điều khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.3 Các ví dụ về dãy đồng điều khớp . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Phép giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.1 Phép giải tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.2 Phép giải xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 3 LỜI MỞ ĐẦU 1.Lí do chọn đề tài Đại số đồng điều ngày nay đang tràn ngập toàn bộ toán học, nó có vị trí đặc biệt quan trọng trong đại số hiện đại. Đồng điều là công cụ dùng để đo mức độ mà một dãy nửa khớp đi chệch so với một dãy khớp. Các hàm tử Hom Tenxơ là các hàm tử nửa khớp. Để đo mức độ mà các hàm tử này đi chệch so với một hàm tử khớp người ta xây dựng hàm tử dẫn xuất tương ứng Ext Tor. Các hàm tử ngày nay đã trở thành những công cụ trụ cột của nhiều lĩnh vực nghiên cứu trong hình học, tôpô, đại số, lý thuyết số Để học tốt những mảng kiến thức này, mỗi sinh viên phải tự trang bị cho mình các kiến thức liên quan phương pháp chủ yếu là tìm đọc các tài liệu, tự nghiên cứu các nội dung liên quan. Là một sinh viên ngành toán muốn trau dồi kiến thức em đã tìm đọc thêm các tài liệu: Giáo trình "Nhập môn đại số đồng điều" - sách dịch "Đại số đồng điều" của Nguyễn Viết Đông - Trần Huyên. Nhưng các vấn đề về dãy nửa khớp đồng điều còn trình bày hết sức đơn giản tóm tắt gây khó khăn cho các bạn muốn tìm hiểu nghiên cứu sâu hơn về nó. Xuất phát từ những lí do trên em đã chọn nghiên cứu đề tài "Một số vấn đề về dãy nửa khớp đồng điều". Nhằm mục đích có điều kiện tìm hiểu sâu hơn trang bị thêm kiến thức mà trong quá trình học chưa có điều kiện để nghiên cứu. 2. Đối tượng, mục đích, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu. 2.1 Đối tượng nghiên cứu. Đối tượng nghiên cứu của khóa luậnmột số vấn đề về dãy nửa khớp đồng điều. 2.2 Mục đích nghiên cứu. Tìm hiểu trình bày một cách có hệ thống chi tiết một số vấn đề về dãy nửa khớp đồng điều. 2.3 Nhiệm vụ nghiên cứu. Với mục đích như trên, em đã đặt nhiệm vụ tìm hiểu trình bày một cách có hệ thống logic, chứng minh lại một cách đầy đủ chặt chẽ các mệnh đề, định lý liên quan đến một số vấn đề về dãy nửa khớp đồng điều. 2.4 Phương pháp nghiên cứu. Do đăt ra nhiệm vụ như trên do đặc thù của môn Toán, em chọn cho mình phương pháp nghiên cứu lí thuyết, sưu tầm, đọc các tài liệu liên quan, 4 ghi chép, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, tổ bộ môn, các bạn sinh viên về các vấn đề liên quan tới dãy nửa khớp đồng điều. Từ đó tổng hợp kiến thức trình bày theo đề cương nghiên cứu, qua đó thực hiện kế hoạch hoàn thành khóa luận. 3 Bố cục của đề tài. Bố cục của đề tài được sắp xếp như sau: ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung của đề tài gồm hai chương: Chương I: Một số kiến thức cơ sở. Chương này trình bày hệ thống lại một số kiến thức, khái niệm cơ bản như: Module, module con, module thương, đồng cấu module, hàm tử Hom, dãy khớp Trong chương này cũng đã trình bày các phép chứng minh một số định lý, tính chất quan trọng cần thiết cho chương sau. Chương II: Một số vấn đề về dãy nửa khớp đồng điều. Đây là chương chính, chứa đựng hầu hết các kết quả quan trọng của đề tài. Toàn bộ chương đã đưa ra một loạt các khái niệm, định lý, mệnh đề của một số vấn đề về dãy nửa khớp đồng điều. 4 Đóng góp. Khóa luận đã trình bày đầy đủ, có hệ thống kèm theo chứng minh chi tiết các định lý các kết quả liên quan. Qua đó phần nào giúp ích được các bạn sinh viên trong việc học tập nghiên cứu lý thuyết đại số. 5 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Module 1.1.1 Module Định nghĩa 1.1. Cho vành R có đơn vị (đơn vị của R kí hiệu là 1). Nhóm cộng aben (X,+) sẽ được gọi là module trái trên vành R nếu trên X ta đã xác định được một tác động trái từ R, tức có ánh xạ: µ : R × X −→ X (r, x) −→ rx Ngoài ra cần thỏa mãn các tiên đề sau: : (rr  )x = r(r  x) r(x + x  ) = rx + rx  (r + r  )x = rx + r  x 1x = x với ∀x, x  ∈ X r, r  ∈ R. Tác động trái từ R vào X cũng còn được gọi là phép nhân ngoài từ R vào X. Vành R cũng được gọi là vành hệ tử hay vành các vô hướng. Các module trái trên R cũng được gọi là các R-module trái. Hơn nữa khi vành hệ tử đã xác định, để đơn giản, ta sẽ gọi các R-module trái là các module. Ví dụ 1.1. (1) Giả sử R = K là trường. Mỗi không gian vectơ trên K là một K-module. (2) Mỗi nhóm cộng giao hoán (A, +) luôn luôn có thể xem là module trên vành các số nguyên Z, trong đó tích của hệ tử n ∈ Z với phần tử a ∈ A là 6 bội nguyên n của a. (3) Nhóm chỉ duy nhất phần tử 0 luôn luôn có thể xem là module trên bất kì vành R nào. Ta gọi đó là module "không" kí hiệu nó là 0. 1.1.2 Module con Định nghĩa 1.2. Giả sử X là một R-module. Tập con A khác rỗng của X được gọi là module con của X nếu A là module trên R với phép cộng phép nhân vô hướng của X hạn chế trên A. Ví dụ 1.2. (1) Mọi nhóm con A của một nhóm Aben cộng X đều là một module con của X xem như một module trên vành Z tất cả các số nguyên. (2) X là một R-module. Khi đó X {0} là hai module con của X gọi là các module con tầm thường. Mệnh đề 1.1. Giả sử X là R-module; A ⊂ X, A = ∅. Khi đó A là module con của X khi chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn: (i) A là nhóm con của nhóm cộng X (ii) ∀a ∈ R, ∀x ∈ A ⇒ ax ∈ A. Chứng minh. +) Giả sử N là module con của M thì hai điều kiện (i) (ii) luôn đúng +) Ngược lại nếu A ⊂ X thỏa mãn hai điều kiện (i) (ii). Khi đó ta có (A, +) là một nhóm Aben. Điều kiện (ii) xác định một ánh xạ: R × A −→ A (a, x) −→ ax là phép nhân với vô hướng của X thu hẹp vào A; bốn điều kiện trong định nghĩa module đúng với tất cả các phần tử của X do đó cũng đúng với các phần tử của A. Vậy A là R-module do đó là module con của X. Mệnh đề 1.2. Nếu A là một module con của một module X trên R thì với mọi phần tử α ∈ R u ∈ X, ta có: {α(u + a)|a ∈ A} ⊂ αu + A. 7 Chứng minh. Vì A là một module con của X, nên ta có αa ∈ A, ∀a ∈ A. Do đó α(u + a) = αu + αa ∈ αu + A, ∀a ∈ A. Mệnh đề 1.3. Giao của họ khác rỗng các module con của module X lại là module của X. Chứng minh. Cho {A α } α∈I là họ không rỗng các module con của X. Khi đó: ∀x, y ∈ ∩A α thì x, y ∈ A α , ∀α ∈ I nên x + y ∈ A α , ∀α ∈ I, tức x + y ∈ ∩A α ∀r ∈ R, ∀x ∈ ∩A α tức x ∈ A α , ∀α nên rx ∈ A α , ∀α, tức rx ∈ ∩A α . Vậy ∩A α là module con của X. Cho X là module tập S ⊂ X. Xét họ τ tất cả các module con của X chứa S. Hiển nhiên họ τ khác rỗng bởi X ∈ τ. Giao của họ τ là một module con của X, chứa S. Ta kí hiệu module con đó là < S >, gọi nó là module con sinh bởi tập S. Ta cũng nói S là tập sinh (hay hệ sinh) của module < S >. Một tổ hợp tuyến tính của S là một tổng hữu hạn dạng r 1 x 1 + r 2 x 2 + · · · + r n x n trong đó r 1 , r 2 , · · · , r n ∈ R x 1 , x 2 , · · · , x n ∈ S. Định lý 1.1. Module con sinh bởi tập S ∈ X là module con gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của S. Chứng minh. Dễ thấy rằng tổng của hai tổ hợp tuyến tính của S là một tổ hợp tuyến tính của S, tích của một hệ tử với một tổ hợp tuyến tính của S lại là một tổ hợp tuyến tính của S. Vậy, tập A tất cả các tổ hợp tuyến tính của S là một bộ phận ổn định của X tức A là module con của X. Hiển nhiên rằng S ⊂ A vì mỗi phần tử x ∈ S có thể xem là một tổ hợp tuyến tính của S. Hơn nữa nếu B là module con của X chứa S thì mọi tổ hợp tuyến tính của S r 1 x 1 + r 2 x 2 + · · · + r n x n ∈ B, nhờ tính ổn định của B. Do đó A ⊂ B, tức A là module con nhỏ nhất chứa S, hay A =< S >. 8 Bổ đề Zorn. Cho A là tập sắp thứ tự. Nếu mỗi tập con sắp thứ tự hoàn toàn trong A có cận trên trong A thì A có phần tử tối đại. 1.1.3 Module thương Giả sử A là một module con của R-module X. Khi đó A là nhóm con của nhóm cộng Aben X. Do đó nhóm thương X/A là một nhóm cộng Aben, các phần tử của nó là các lớp ghép x + A của A trong X phép cộng xác định bởi (x + A) + (y + A) = (x + y) + A Ta xác định một phép nhân vô hướng như sau: a(x + A) = ax + A Phép nhân vô hướng xác định như trên không phụ thuộc vào phần tử đại diện của lớp ghép. Thật vậy: Nếu x + A = x  + A thì x − x  ∈ A ⇒ a(x − x  ) = ax − ax  ∈ A ⇒ ax + A = ax  + A Dễ dàng kiểm tra nhóm cộng Aben X/A cùng với phép nhân vô hướng như trên là một R-module. Module X/A được gọi là module thương của X trên A. 1.2 Đồng cấu module Định nghĩa 1.3. Giả sử X, Y là các R-module. Khi đó ánh xạ f : X −→ Y được gọi là ánh xạ tuyến tính hay đồng cấu R-module nếu f thỏa mãn hai điều kiện sau: f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ), ∀x 1 , x 2 ∈ X f(rx) = rf(x), ∀r ∈ R, ∀x ∈ X. Một đồng cấu R-module còn được gọi đơn giản là đồng cấu nếu không cần thiết phải chỉ rõ vành cơ sở. Đồng cấu f gọi là tự đồng cấu của X nếu X = Y. 9 Đồng cấu f gọi là đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh). Khi f là đẳng cấu thì ta nói X đẳng cấu với Y kí hiêụ X ∼ = Y. Đối với đồng cấu f : X −→ Y ta kí hiệu: Imf = f(X) Kerf = {x ∈ X | f(x) = 0} = f −1 (0) gọi Imf là ảnh của f còn Kerf là hạt nhân của f. Ví dụ 1.3. (1) Ánh xạ đồng nhất id X : X −→ X x −→ x là một tự đồng cấu. Ngoài ra nó còn là một đẳng cấu . (2) Giả sử N là module con của R-module M. Khi đó ánh xạ : p : X −→ X/Y x −→ x + Y là một toàn cấu được gọi là toàn cấu chính tắc. Còn ánh xạ : j : Y −→ X x −→ X là một đơn cấu được gọi là phép nhúng chính tắc. (3) Ánh xạ 0 : X −→ Y x −→ 0 hiển nhiên là đồng cấu. Ta gọi nó là đồng cấu tầm thường. Định lý 1.2. Tích của hai đồng cấu là một đồng cấu. Hơn nữa, tích của hai đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) là một đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu). Chứng minh. Cho f : X −→ Y g : Y −→ Z là các đồng cấu. Khi đó ∀x 1 , x 2 ∈ X ∀r 1 , r 2 ∈ R ta có gf(r 1 x 1 + r 2 x 2 ) = g[r 1 f(x 1 ) + r 2 f(x 2 )] = r 1 gf(x 1 ) + r 2 gf(x 2 ). Vậy gf là đồng cấu. 10 [...]... nếu dãy khớp ngắn 0 / A χ / B 26 σ / C / 0 là chẻ ra thì các dãy sau đâykhớp chẻ ra: / 0 0 / Hom(X, A) χ∗ / Hom(X, B) σ∗ / Hom(X, C) Hom(C, X) σ∗ / Hom(B, X) χ∗ / Hom(A, X) 27 / 0, /0 Chương 2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DÃY NỬA KHỚP ĐỒNG ĐIỀU 2.1 2.1.1 Phức đồng điều Dãy nửa khớp Định nghĩa 2.1 Một dãy hữu hạn hoặc vô hạn / X f / g / Z Y / những đồng cấu của những module trên R gọi là dãy nửa khớp. .. gọi là module dẫn xuất của dãy C tại module Y Mệnh đề 2.1 Một dãy nửa khớp những đồng cấu của những module trên R là khớp nếu chỉ nếu tất cả các module dẫn xuất của nó đều tầm thường 2.1.2 Phạm trù các phức Định nghĩa 2.3 Một phức các đồng cấu là một dãy nửa khớp đánh số theo tập tất cả các số nguyên 28 Nếu phức mà chiều tăng của các chỉ số cùng chiều với các mũi tên đồng cấu trong phức thì được... trực tiếp trong nếu chỉ nếu từ ai1 + ai2 + + ain = 0 ain ∈ Aij 1.5 1.5.1 Dãy khớp Định nghĩa dãy khớp Định nghĩa 1.9 Một dãy (hữu hạn hoặc vô hạn) các đồng cấu module / A f / B g / / C được gọi là khớp tại module B nếu Imf = Kerg Vậy dãykhớp tại module1 B nếu ảnh của đồng cấu vào tại đó bằng hạt nhân của đồng cấu ra Dãy các đồng cấu trên được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mọi module khác... trên R gọi là dãy nửa khớp nếu chỉ nếu ảnh của đồng cấu vào bị chứa trong hạt nhân của đồng cấu ra tại mọi module khác hai đầu (nếu có) của dãy Như vậy, dãy đã cho là nửa khớp nếu chỉ nếu cái hợp thành gf của hai đồng cấu kế tiếp bất kì f g trong dãyđồng cấu tầm thường Định nghĩa 2.2 Trong một dãy nửa khớp tùy ý cho trước C : ··· / X f / Y g / Z /··· những đồng cấu của những module trên... có) của dãy Định nghĩa 1.10 Dãy khớp dạng / 0 A f / B g / C / 0 được gọi là dãy khớp ngắn Ví dụ 1.5 a) Cho h : X −→ Y là đơn cấu mà không là đẳng cấu Khi đó Kerh = 0 do vậy có dãy khớp ngắn: 0 / X h / p/ Y 16 Y /Imh /0 b) Cho module X A là module con của X Khi đó dãy gồm các đồng cấu nhúng i : A −→ X đồng cấu chiếu p : X −→ X/A tạo thành dãy khớp ngắn: p / /A i /X /0 X/A 0 1.5.2 Dãy khớp ngắn... là dãy khớp hiển nhiên Imf là hạng tử trực tiếp của B nên dãy là chẻ ra Theo phép chứng minh iii) ⇒ i) của định lý 1.8 ta có: B = Imf ⊕ B1 trong đó B1 ∼ Img = Vậy B ∼ Imf ⊕ Img = 18 1.5.3 Một số bổ đề về dãy khớp Định lý 1.9 (Bổ đề mạnh về bốn đồng cấu) Cho biểu đồ giao hoán các đồng cấu: A  f α / A f / B  g β / B g / C  h / γ C h / D  δ D hai dòng là khớp, ba hình vuông là giao hoán, α là một. .. các chỉ số trong phức ngược lại với chiều mũi tên đồng cấu thì phức được gọi là phức lùi Vậy các phức lùi có dạng X : ···o Xn−1 o ∂n Xn o ∂n+1 Xn+1 o ··· (1) Chú ý: Khi thực hiện phép biến đổi về chỉ số: Thay n bởi −n ta có thể chuyển một phức lùi thành một phức tiến ngược lại Do đó trong mục này ta chỉ xem xét về các phức lùi để đơn giản ta gọi chúng là các phức Một phức là một dãy nửa khớp tuy... phức X tới phức thương X/K Định nghĩa 2.10 Cho dãy các phức các biến đổi dây chuyền ··· / f X / Y g / Z / ··· (1) Dãy được gọi là khớp tại phức Y nếu với mỗi n : Imfn = Kergn Vậy dãy (1) các phức các biến đổi dây chuyền là khớp khi chỉ khi với mỗi n, dãy: ··· /X fn / n Yn gn / Zn / ··· là dãy khớp Ví dụ 2.1 (1) Dãy 0 /K i /X 34 p / X/K / 0 là dãy khớp các phức.Trong đó i = {in }, p = {pn } là... nhiên một dãy nửa khớp theo cách đánh số khác nhau có thể tạo thành các phức khác nhau Dãy (1) có thể viết là phức X hay phức X = {Xn , ∂n } ∂n được gọi là các đồng cấu vi phân Định nghĩa 2.4 Cho X = {Xn , ∂n } X = {Xn , ∂n } là các phức Ta gọi đồng cấu (hoặc phép biến đổi dây chuyền) f : X −→ X là họ các đồng cấu {fn : Xn −→ Xn } sao cho ∂n fn = fn−1 ∂n , ∀n ∈ Z Điều kiện sau cùng tương đương với điều. .. chu trình thuộc cùng một lớp đồng điều trong Hn (X), tức {c} = {c } khi chỉ khi c − c ∈ Bn (X) = ∂Xn+1 Khi đó ta nói c c đồng điều với nhau ta viết c ∼ c Cho các phức X = {Xn , ∂n } X = {Xn , ∂n } f : X −→ X là một biến đổi dây chuyền Do biểu đồ giao hoán X : ···o f X : ··· ∂n Xn−1 o o  Xn−1 f o ∂n+1 Xn o ∂n  Xn Xn+1 o o f ∂n+1  Xn+1 o nên f (Ker∂n ) ⊂ Ker∂n f (Im∂n+1 ) ⊂ Im∂n+1

Ngày đăng: 06/06/2014, 17:11

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan