Đang tải... (xem toàn văn)
Động lực học vật rắn
Chương 8: ĐỘNG HỌC CỦA VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG §8.3. Vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định Phân tích chuyển động Vận tốc và gia tốc của một điểm nằm trên vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định có thể xác định theo các bước sau: Chuyển động góc • Quy định chiều dương có hướng dọc theo trục quay và chỉ rõ bên cạnh các phương trình động học được áp dụng. • Nếu mối quan h ệ giữa hai trong số 4 biến ,, α ωθ và t đã biết thì biến thứ ba có thể được xác định bằng cách sử dụng một trong các công thức động học thể hiện mối quan hệ giữa các biến này d dt θ ω = , d dt ω α = , dd α θωω = • Nếu gia tốc góc của vật rắn không đổi thì các phương trình sau có thể được sử dụng 0 c t ω ωα =+ 2 00 1 2 c tt θ θω α =+ + ) 22 00 2( c t ω ωαθθ =+ − • Khi lời giải đã thu được, thì hướng của ,, α ωθ được xác định bằng dấu đại số giá trị số của chúng. Chuyển động của điểm P • Trong hầu hết các trường hơp, vận tốc và hai thành phần gia tốc của P có thể xác định từ các phương trình vô hướng vr ω = t ar α = 2 n ar ω = • Nếu việc hình dung bằng hình học của bài toán gặp khó khăn thì có thể sử dụng các phương trình véctơ để tính toán. p =× =×v ω r ω r tp =× =×a α r α r 2 () np ω =× × =−a ωωrr BÀI TẬP 16-3. Vận tốc góc của một đĩa xác định bởi , t tính bằng giây. Xác định độ lớn vận tốc và gia tốc của điểm A trên đĩa khi t=0.5 s 2 (5 2) /t rad s ω =+ Bài giải: 2 (5 2) /trad ω =+ s Từ CT: d dt ω α = Y t 10= α Thay t = 0,5s tính được: ω = 3,25 rad/s 2 /5 srad= α Vận tốc của điểm A: vr ω = = ⇒ A v 3,25.0,8 = 2,6 (m/s) t ar α = )/(48,0.5 2 sma t = = ⇒ 2 n ar ω = )/(45,88,0.25,3 22 sma n = =⇒ () () )/(35,9 2 22 smaaa ntA =+= 16-13. Một môtơ truyền cho đĩa A một gia tốc góc ; với t tính bằng giây. Nếu vận tốc góc ban đầu của đĩa là 22 (0.6 0.75) / A trad α =+ s 0 6/rad s ω = , hãy xác định độ lớn vận tốc và gia tốc của khối B khi t =2s. Bài giải: 22 (0.6 0.75) / A trad α =+ s Cttdt ++ ∫ == 75,02,0 3 α ω Đk đầu: t = 0, ω o = 6 (rad/s) Y C = 6 ω = 0,2t 3 + 0,75t + 6 thay t = 2s tính được ω = 9,1(rad/s), = α 3,15(rad/s 2 ) Do khối B chuyển động tịnh tiến thẳng v B = ωr = 9,1.0,15= 1,365 (m/s) )/(472,015,0.15,3 2 smra B === α 16-17. Cánh quạt trên cối xay gió có trục nằm ngang đang quay với vận tốc góc 0 2/rad s ω = . Nếu cho trước gia tốc góc , hãy xác định vận tốc góc và độ lớn gia tốc của điểm P trên đầu mút của cánh quạt khi t =3s. 2 0.6 / C rad s α = Bài giải: 16-19. Bắt đầu từ trạng thái đứng yên khi s=0, Puli A quay với gia tốc góc không đổi . Hãy xác định vận tốc của khối nặng B khi nó được nâng lên một đoạn s = 6 m. Puli có trục D được gắn cố định với C và quay cùng với C. 2 6/rad s α = Bài giải: 240 075,0 6 05,0 15,0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = A θ TừCT: dd α θωω = )/(67,53240.6.2 srad A == ω 16-22. Một môtơ tạo cho bánh răng A một gia tốc góc trong đó 32 (0.25 0.5) / A rad s αθ =+ θ được tính bằng rad. Nếu bánh răng A ban đầu quay với vận tốc góc 0 ( ) 20 / A rad s ω = , hãy xác định vận tốc góc của bánh răng B khi bánh răng A quay được 10 vòng. Bài giải: TừCT: dd α θωω = () θθωω θω ω dd A A ∫ += ∫ 1 0 0 3 5,025,0 8,62 0 42 0 2 )5,0 4 25,0 ( 2 1 2 1 θθωω +=− AA §8.4 Chuyển động phẳng tổng quát của vật rắn 8.4.1 Phân tích sự liên hệ chuyển động: Vận tốc Hình 8-5a Phân tích vận tốc Sơ đồ động học • Xác định (thiết lập) các hướng của các tọa độ cố định x, y và vẽ sơ đồ động học của vật thể. Chỉ rõ trên vật thể các vận tốc v A , v B của các điểm A, B, vận tốc góc ω và véc tơ định vị tương đối r B/A . • Nếu các độ lớn của v A , v B hoặc ω chưa biết, hãy phán đoán và giả thiết hướng của các véc tơ đó. Phương trình vận tốc • Để áp dụng , ta biểu diễn các véc tơ trong tọa độ Đề các rồi thay các véc tơ này vào phương trình. Tính tích hữu hướng rồi cân bằng các thành phần i, j để nhận được hai phương trình vô hướng. /BA B =+×vvω r A • Nếu nghiệm nhận được mang dấu âm đối với các biến chưa biết, điều này chỉ sự phán đoán về hướng là sai và chiều thực sự của nó phải ngược với chiều ta chọn ban đầu. BÀI TẬP 16-50. Nếu đã biết h và θ và vận tốc của A và B là v A = v B = v, xác định vận tốc góc ω của vật và hướng φ của v B . Bài giải Áp dụng CT liên hệ vận tốc / B A =+×vvω r BA (1) Trong đó: jvivv B r r r φ φ sincos +−= jvivv A r r r θ θ sincos += ( ) () ihjhkr AB r r r r r / ωωω −=−×−=× Thay vào CT (1), ta được: ihjvivjviv r r r rr .sincossincos ω θ θ φ φ − + = + − Do , , i r j r k r là các véc tơ độc lập tuyến tính, đồng nhất các hệ thức theo i r , , j r k r được Từ phương trình (2) tìm được θ φ = thay vào phương trình (1) được θω cos 2 h v = 16-54. Một máy tiện được thiết kế để các chu kỳ cắt chậm hơn và nhanh chóng quay trở về lưỡi tiện được gắn vào con trượt tại C. Xác định vận tốc của con trượt tại C khi θ = 60 0 , nếu thanh AB quay với vận tốc góc 4 rad/s. Bài giải: • Phân tích véc tơ • Sơ đồ động học: Thanh AB chuyển động quay xung quanh trục cố định tại A. Do đó, vận tốc tại điểm B ∈ thanh AB sẽ có phương vuông góc với thanh AB chiều theochiều quay của ω. Con chạy C chuyển động tịnh tiến dọc theo rãnh nên v C có phương theo phương nằm ngang chiều từ phải sang trái * Áp dụng CT liên hệ vận tốc BCBC vvv / rrr += (1) Trong đó: ivv CC r r .= () () jik rv o ABBAB rr r r r r 0 / 60sin3,060cos3,04 +×= =×= ω { } ij rr 36,06,0 −= BCBCBC rv /// r r r ×= ω ( ) () jikv oo CBBC r r r r 45sin125,045cos125,0 / +−×= ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−= jiv CBCBBC rr r 2 2 125,0. 2 2 125,0. / ωω Thay các số hạng trên vào (1) được () ( ) jiiv CBCBC r r r ω ω 0884,06,00884,004,1 − + − −= Đồng nhất các số hạng theo , i r j r , k r được: CBC v ω 0884,004,1 −−= CB ω 0884,06,00 −= )/(79,6 0884,0 6,0 srad CB =⇒ ω Thay vào trên tính được: v C = - 1,64 (m/s) 16-58. Nếu thanh CD quay với vận tốc góc ω DC = 8 rad/s, xác định vận tốc góc của thanh AB và CB tại vị trí như trong hình 16-58. Bài giải: Sơ đồ động học: Thanh AB chuuyển động quay xung quanh trục cố định qua A. Điểm B ∈ AB, vận tốc điểm B có phương vuông góc với AB chiều theochiều quay của ω AB . Thanh CD chuyển động quay xung quanh trục cố định qua D. Điểm C ∈ CD, vận tốc điểm C có phương vuông góc với CD chiều theo chiều quay của ω DC Thanh BC chuyển động song phẳng Áp dụng CT liên hệ vận tốc CBCB vvv / rrr += ABAB vvv / rrr += Trong đó: v = 0 A ( ) ( ) jikv oo DCC r r r r 30sin2,030cos2,0 −−×= ω ( ) ( ) jikv ABB r r r r 00 45sin15,045cos15,0 +×= ω ( ) () jikv BCCB r r r r θθω sin4,0cos4,0 / +−×= Từ hình vẽ: ABsin45 o + CDsin30 o = BCsinθ Giải hệ 3 pt θ = 31 o 16-60. Thanh AB có vận tốc góc là 2 rad/s. Xác định vận tốc của khối C khi θ = 45 0 . Vẽ vị trí của thanh BC khi θ = 60 0 , 45 0 và 30 0 để chứng tỏ chuyển động phẳng tổng quát của nó. Bài giải: Sơ đồ độnghọc: Thanh AB chuyển động quay xung quanh trục cố định qua A, v B có phương vuông góc với AB chiều trên hình vẽ. Con chạy C chuyển động tịnh tiến dọc theo rãnh, v C có phương chiều trên hình vẽ. Thanh BC chuyển động song phẳng, v CB có phương vuông góc với BC Từ CT liên hệ vận tốc BCBC vvv / rrr += (1) Chiếu (1) lên phương BC o CB vv 45cos= )/(3015.2. sinrv ABABB === ω 2 2 30 C v= )/(43,42 sinv C = ⇒ *16-68. Nếu nút C của dây thừng bị kéo xuống dưới với vận tốc v C = 120 mm/s, hãy xác định vận tốc góc ròng rọc A và B và vận tốc của khối D. Giả sử rằng dây thừng không trượt trên các ròng rọc. Bài giải: L = 2s B + s C 02 =+ CB vv ↑=−=⇒ )/(60 2 smm v v C B v D = v B = 60(mm/s) ròng rọc A chuyển động quay xung quanh trục A cố định AAC rv ω = )/(4 30 120 srad r v A c A ===⇒ ω Gọi I là điểm tiếp xúc giữa ròng rọc B và dây cố định. Do I ∈ dây cố định nên v I = 0. Áp dụng CT liên hệ vận tốc IBIB vvv / rrr += Do ↑↑ . Nên ta có: I v r B v r v B = v B/I 60 = ω B .r Y )/(1 60 60 srad B == ω 16-75. Khối trụ B lăn không trượt trên một khối trụ A cố định . Nếu thanh nối CD quay với vận tốc góc ω CD = 5 rad/s, hãy xác định vận tốc góc của khối trụ B. Bài giải: Gọi I là điểm tiếp xúc giữa bxe A và bxe B I ∈ bxe A cố định nên v I = 0 D ∈ tay quay CD. CD chuyển động quay xung quanh trục cố định qua A nên v D = ω CD .AD hay v D = 5.0,4 = 2(m/s) và DAv D ⊥ v Áp dụng CT liên hệ vận tốc IDID vvv / rrr += Do ↑↑ . Nên ta có: I v r D v r v D = v D/I 2 = ω B .r Y )/(67,6 3,0 2 srad B == ω [...]... góc ω của vật bằng cách sử dụng phương pháp phân tích vectơ như đã thảo luận trong phần 16.5 hoặc 16.6 Đồng thời xác định vận tốc vA và vB của các điểm A và B nếu các điểm này chuyển động trên các quỹ đạo cong Phân tích vectơ Sơ đồ động học • Thiết lập hướng cho các toạ độ x, y cố định và vẽ sơ đồ động học của vật Biểu diễn các thành phần aA, aB, ω , α , và rB/A • Nếu các điểm A và B chuyển động theo... hoặc các trục x, y, z Các vectơ đơn vị ta chọn tuỳ ý, nhất quán • Chuyển động của hệ toạ độ động được biểu diễn bằng các thành phần vA, aA, & Ω , và Ω ; và chuyển động của điểm B trong hệ toạ độ động được biểu diễn bằng các thành phần rB/A, (vB/A)xyz và (aB/A)xyz BÀI TẬP 16-131 Khối A gắn với một dây thừng nhỏ chuyển động dọc theo một rãnh của thanh hình chữ U nằm ngang Tại thời điểm khảo sát, dây thừng... qua một lỗ tại O với gia tốc 4 m/s2 và vận tốc của nó là 2 m/s Hãy xác định gia tốc của khối A tại thời điểm này Thanh quay quanh O với vận tốc góc không đổi ω = 4 rad/s Bài làm: *Các trục toạ độ: Gốc toạ độ của các hệ toạ độ đặt tại O Chuyển động của khối A trong rãnh là chuyển động tương đối Hệ toạ độ động ox được gắn với thanh * Các phương trình động học vA = vO + Ω × rA/O + (vA/O)xyz (1) & aA =... vận tốc bằng không ( Tâm vận tốc tức thời) Vận tốc của một điểm trên vật chịu ràng buộc chuyển động phẳng tổng quát, có thể được xác định bằng cách xác định vị trí của tâm quay tức thời có vận tốc bằng không, miễn là vị trí của IC được xác định đầu tiên bằng cách sử dụng một trong ba phương pháp đã nêu trên • Khi vẽ trên sơ đồ động học trong hình 16-19, vật được hình dung là “kéo dài và chốt” tại IC sao... thì ta phải đổi hướng của vectơ trong sơ đồ động học Phân tích vô hướng Sơ đồ động học • Nếu muốn áp dụng phương trình aB = aA + (aB/A )t + (aB/A)n thì cần phải thiết lập độ lớn và hướng của các thành phần gia tốc tương đối (aB/A )t và (aB/A)n Để làm được điều này, ta phải vẽ sơ đồ động học như trong hình 16-23c Do vật được coi là bị chốt tức thời tại điểm cơ sở A, nên độ lớn của các thành phần gia... cố định X, Y, Z và hệ động x, y, z chọn như trên hình vẽ Các phương trình động học vB = vO + Ω × rB/O + (vB/O)xyz & aB = aO + Ω × rB/O + Ω × ( Ω × rB/O) + 2 Ω × (vB/O)xyz + (aB/O)xyz (1) (2) Tất cả các vectơ được biểu diễn dưới dạng các thành phần i, j, k Chuyển động của hệ toạ Chuyển động của C so độ di động với hệ toạ độ di động vo = 0 2 rB/O = { i+2j} m ao = 0 3 Ω = {5k} rad/s (vB/O)xyz = {-2 i }m/s... Hướng của chúng được thiết lập từ sơ đồ động học đó là, (aB/A )t có phương vuông góc với rB/A, tuân theo chuyển động quay α của vật, và (aB/A)n có hướng từ B đến A.* Phương trình gia tốc • Biểu diễn các vectơ trong phương trình aB = aA + (aB/A )t + (aB/A)n dưới dạng đồ thị bằng cách biểu diễn hướng và độ lớn của chúng dưới mỗi số hạng Các phương trình vô hướng được xác định từ các thành phần x và y của. .. thích hợp của gốc toạ độ và hướng hợp lý của các trục đối với cả hệ toạ độ X, Y, Z và hệ toạ độ động x, y, z • Thông thường lời giải có được dễ dàng nhất nếu chú ý các điểm sau: (1) Các gốc toạ độ trùng nhau (2) Các trục tương ứng cùng nằm trên một đường thẳng (3) Các trục tương ứng song song với nhau • Hệ toạ độ động nên chọn cố định với vật rắn hoặc các thiết bị mà dọc theo đó xảy ra chuyển động tương... × rA/O + (vA/O)xyz (1) & aA = aO + Ω × rA/O + Ω × ( Ω × rA/O) + 2 Ω × (vA/O)xyz + (aA/O)xyz (2) Xác định các thành phần trong biểu thức (2) Chuyển động của hệ toạ độ di động vO = 0 aO = 0 2 Ω = {4 k} rad/s 2 & Ω = {0} rad/s Chuyển động của A so với hệ toạ độ di động rA/O = {0,1i} m (vA/O)xyz = {- 2i} m/s (aA/O)xyz = {-4i} m/s2 Từ phương trình 2, gia tốc Coriolit được xác định như sau: aCor = 2 Ω × (vA/O)xyz... giải: Sơ đồ động học b c = sin 75o sin 45o ⇒ c = 256,2mm b d = sin 75o sin 60o ⇒ d = 313,8mm a = 500mm 16-102 Nếu con trượt A chuyển động sang phải với vận tốc vA = 8 ft/s, hãy xác định vận tốc của con trượt B và C tại vị trí như trong hình Bài giải: 8.4.3 Phân tích mối liên hệ chuyển động: Gia tốc Trình tự phân tích Phương trình liên hệ gia tốc có thể áp dụng cho hai điểm A và B trên một vật bằng cách . quay quanh tr c cố định c thể x c định theo c c bư c sau: Chuyển động g c • Quy định chiều dương c hướng d c theo tr c quay và chỉ rõ bên c nh c c phương trình động h c đư c áp dụng. •. g c với AB chiều theochiều quay c a ω AB . Thanh CD chuyển động quay xung quanh tr c cố định qua D. Điểm C ∈ CD, vận t c điểm C có phương vuông g c với CD chiều theo chiều quay c a ω DC . CBC v ω 088 4,004,1 −−= CB ω 088 4,06,00 −= )/(79,6 088 4,0 6,0 srad CB =⇒ ω Thay vào trên tính đư c: v C = - 1,64 (m/s) 16- 58. Nếu thanh CD quay với vận t c g c ω DC = 8 rad/s,