MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN  !"#"$%&'"(%&)*& +,"$& ''/.'"0'(1""*(10"*2 Bài toán 1:/3405''678'" 9 )n + $:6:8 9 9n n+ !&&&%&$;,"&;21<+,"%&)=><+," %&8+8'" ? Bài toán 2:/3405''678'" 9 @)5&:,"A2 (Đề thi chọn đội tuyển của Inđônêxia dự thi Toán Quốc tế năm 2009) . Lời giải của bài toán 2: !B?405''67@)( ∈ # C * /?DEF&G4;'67@)( ∈ # C *H-$F ≠ I0JK ∈ F2D+'LF&GM2DE N & L:;,"F ⇒  N  ≥ K2 D+'L ) H 9 O  &;+'6P8 N 2 Q 9 9 9 N )  222 ) n a p p p= + R" ∈ # C H"S)2D+'LT&:6,"" ⇒ T ≠   H ∀  ∈ UNH)H9OHV2WQ(9 N  ) O  * 9 @) ≡ N(7T* ⇒ X)&'Y8(7T*0&TZ2 [" q q q q ⇒ − ⇒=−⇒=         − − 9? 9 ) )*)() ) 9 )  ⇒≡ *(7) T$7@)( ∈ # C *2WQTS N 2\B&  ]0:E N 2^G405''67@)( ∈ # C *2  /_  "  =  '"  0`  +  %&    92  D+  'L    &  '  6    7    @  )  (  ∈ # C *   ⇒ ))*)( ) 9 ) −⇒=−=         − −p p &'Y8(7* ⇒  ∃    ∈ UNH)H9O2HX)V'" 9 p n ⇒−≡ *(7) p 9 p n @)?0&  A5" →   A5"  9 p n @)2"$? 9 p n @) ≥  ⇒    ≥  )−p 2^J405''67@)( ∈ # C *64 05''678'" 9 @)5&:,"A Bài toán 3:/3405''678'":6:;," 9 @) :89 (Tạp chí Animath của Pháp năm 2006) Lời giải của bài toán 3: D+'L&'67@)( ∈ # C * [" ))*)( ) 9 ) −⇒=−=         − −p p &'Y8(7* ⇒  ∃ a ∈ UNH)H9HOHX)V'"a 9  ≡ X)(7*2 "$?T 9  ≡ (XT* 9 (7*(T ∈ b* ⇒  ∃ T ∈ UNH)H9HOH 9 )−p V'"T 9  ≡ X)(7*2 G0G+'L 9 )−p cac ⇒ a ≥  9 )+p 2\QTdeaH"$? T 9 d(ea* 9  ≡ a 9  ≡ X)(7*0&NcT ≤ 9 )−p 2"$?T 9 @)  0&  ≥ 9T@)S9T2[":6:;,"T 9 @):89T2^J$05''67@)( ∈ # C * 6405''678'" 9 @)$:6:892 Sau đây là các lời giải của bài toán 1 Lời giải thứ nhất của bài toán 1:fg'67@)( ∈ # C * ⇒ ))*)( ) 9 ) −⇒=−=         − −p p &'Y8(7* ⇒  ∃ a ∈ UNH)H9HOX)V'"a 9  ≡ X)(7*2 ^Ja 9  ≡ (Xa* 9 (7*(a ∈ b* ⇒  ∃ a ∈ UNH)H9OH 9 )−p V'" a 9  ≡ X)(7*2 ⇒ ∃ α  ∈ UNH)H9HOH 9 )−p V'"       − − α 9 )p 9  ≡ X)(7* \Qd       − − α 9 )p  ⇒  ∈ UNH)H9HOH 9 )−p V0& 9  ≡ X)(7* D+'LS9N2#RN ≤  α ≤  ⇒ −+  h) p Nc9 α @) ≤ ⇒ −+ 9 )) p (9 α @)* 9 cX^J 9 ≡ X)(7*6 9  ≡ X(7* WQ 9 d(e)X9 α * 9  ≡ (9 α @)* 9 (7* ⇒ (9 α @)* 9  ≡ X(7* \B$&B05i0JNc(9 α @)* 9 ce ^G α S ⇒ −+  h) p S9@ m9 2^J 9 @)  6 9  ≥ X) ⇒  ≥  )−p 2^J405'' 67@)( ∈ # C *6405''678'":6:;," 9 @) :8 9 9n n+ 2 Lời giải thứ 2 của bài toán 1:D+'L&'6H ≥ 92D+'L&:6,"(A* 9 @)2j= 6S2D+'La ∈ (NH 9 p *&'7g"AQeA2-RNcaceac2"Ra 9 @) "2G0G4 ∈ b'"Ad@aQeAd@a2+"<"B$ (A* 9 @)d(@a* 9 @) ⇒ a 9 @)d(A* 9 @)e 9  9 e9a ⇒ a 9 @)  2>$'"&:," 9 X9a@a 9 @ d(e9a* 9 @ ⇒  ≤ (e9a* 9 @ ⇒  ≥ 9a@ −p ⇒ X ≥ 9a@ −p X ≥ 9a@ 9N eS9a ⇒  ≥ 9a@ −p S9a@ x9 > '"B+ Bài toán sau là bài toán tổng quát của bài toán 1 Bài toán 4:/3405''678'" 9 @)$:6:89@ 9 n Bài toán 5:/30:I'6 ≥ hH4Q'678Z(a  H  *'" n nn yx 9k 99 =+ (Đề thi Olympic Toán của Bungari năm 1996) Lời giải:^:dhHEa h d h d) D+'L0: ≥ hH4Q'678Z(a  H  *'" n nn yx 9k 99 =+ 2"3I Q2 (fd 9 k H 9 nn nn yx Y yx − = + *H(fd 9 k H 9 nn nn yx Y yx + = − *+l )99 9k + =+ n YX G0G 99 9 k 9 k       +       ± nnnn yxyx  d9( 99 k nn yx + *d929  d9 @) ^Ja  H  Z6a  d9@)H  d9@)(H ∈ b* ) 9 ++= + ⇒ lk yx nn 0& lk yx nn −= − 9 2\B$P3m' 9 H 9 nn nn yx yx − + &Z2^J0G0:@)4 'n6Za @) 0& @) +l n nn yx 9k 9 ) 9 ) =+ ++ @) Bài toán 6 : /30:I'678H8Ja 9 @)K 9 d  $Y;` n6(aH* (Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Quốc gia năm học 2009 – 2010) Lời giải: :"30:I'6 ≥ 94Q'678Z(a  H  *'" '" n nn yx )K 99 =+ G0G0:d9HEa 9 d)H 9 d) D+'L0: ≥ 94Q'678Z(a  H  *'"'" n nn yx )K 99 =+ 2" 3IQ (fd 9 H 9 )K nn nn yx Y xy + = − *H(fd 9 H 9 )K nn nn xy Y xy − = + *+l )99 )K + =+ n YX G0G 99 9 )K 9 )K       ± +       nnnn xyxy  d( 99 )K nn yx + *d2  d @) ^&a  H  Z6a  d9@)H  d9@)(H ∈ b* ) 9 ++= + ⇒ lk yx nn 0& kl klxy nn −= +−+ = − 9 *)9(*)9( 9 2\B$P3m' 9 H 9 nn nn xy yx − + &Z2^J 0G0:@)4'n6Za @) 0& @) +l )9 ) 9 ) )K + ++ =+ n nn yx Trở lại bài toán 6: ^:d)H8o n yx )K 99 =+ $)`n6&(aH*d(9HN* ^:d9H8o n yx )K 99 =+ $9`n6&(aH*d(HN*p()H)* D+'L0: ≥ 9H8o n yx )K 99 =+ $`n6&(a ) H ) *H(a 9 H 9 *HOH(a  H  *$(aH*d (9a  H9  *() ≤  ≤ *&`n6,"8J n yx )K 99 =+ @) 2.68 J n yx )K 99 =+ @) $)`n6Z2^G8o  n yx )K 99 =+ @) $Y;@)`n 62!&ql+T2 Bài toán 7:J;+Q'678(aH*'" yx yx − + 99 &'60&&:,")K2 (Đề thi Olympic toán Bungari năm 1995) Lời giải ::" !B?/'6dT@h(T ∈ #*2D+'LaH&'6'"a 9 @ 9 "H- $a0&"2G0Ga  J  2 D+'La5" ⇒ 5" .riPs.""$a X)  ≡ )(7* ⇒ a T@9  ≡ )(7*28n T@9  ≡ )(7*2"$a 9 @  9   ⇒ a 9  ≡ X 9 (7* ⇒ (a 9 * 9T@)  ≡ (X 9 * 9T@) (7* ⇒ a T@9  ≡ X T@9 (7* ⇒ ) ≡ X)(7* ⇒ d9(05Y*2!Bt 2 u7v%B0&%&k?D+'L4'678aH'"aSH yx yx − + 99 &'6 0& yx yx − + 99 &:,")K2\Qd yx yx − + 99 Ja 9 @ 9 d(ae*0&&:,")Kdh2K2k2)2#R  h w dh ) ( )  ∈ # C *( ) 5"h* ⇒ a 9 @ 9   h ⇒ a  h0&  h ⇒ adha ) Hdh ) (a ) H )  ∈ # C Ha ) S ) * ⇒  *( ))) 9 ) 9 ) yxkyx −=+ 2#Rd)Ja 9 @ 9 dae2\$&B05Y0Ja 9 @ 9  ≥ a@Sae(0JaH ≥ )* #dKJa 9 @ 9 dK(ae* ⇒ (9aXK* 9 @(9@K* 9 dKN ⇒ adhHd)Qad9Hd) #dkH8n6H4 9 ∈ # C '"dk 9 ( 9 5"k*adka 9 Hdk 9 (a 9 H  9  ∈ # C Ha 9 S 9 *0& *( 999 9 9 9 9 yxkyx −=+ #  )J4 h  ∈ # C '"d) h ( h 5")*Had)a h Hd) h (a h H h  ∈ # C H a h S h *0& *( hhh 9 h 9 h yxkyx −=+ ^G;+Q'678(aH*J$7(hH*H(9H*H(H9*H(Hh*$  ∈ U)HhHkH)H9)HKkH)hhHhV2 Bài toán 8:J;+Q'678(aH*'"'Fd yx yx − + 99 &'60&&:," 9N)N2 (Đề thi Olympic Toán khu vực duyên hải đồng bằng Bắc Bộ năm học 2009 – 2010) Lời giải: 68'x<+,"%&k"yJ`678,"8J? *( 99 yxkyx −=+ 0: ∈ U9HKH)NV2s8oa 9 @ 9 d9(aX*5$`6782G0G +'LaH ∈ # C HaS0&a 9 @ 9 d9(aX* ⇒ a 9 @ 9  ≥ 9a@ 9 S9(ae*2\$&B05i2s8Ja 9 @ 9 dK(aX*$`678&(aH*d(hH)*H(9H)*2s8Ja 9 @ 9 d)N(aX* ⇔ (aXK* 9 @(@K* 9 dKN$`678&(aH*d(qH9*p(H9*2 ^G;+Q'678(aH*+lB%&&(hH*H(9H*H(H9*H(Hh*H(qH9*H(H 9*H(9Hq*H(9H*$  ∈ U)HhHqHkH9N)V /z&m'%&7&=`G Bài toán 9:/30:I'678H8o ka 9 @ 9 d9 @9 5$`6782 Bài toán 10:/30:I'678H8Ja 9 @)K 9 d  $_` n62 Bài toán 11:/'6782DE[  &%J8,"`',""{(a*d ()@a*  2 /3[ 9 @)5"h (Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam dự thi Olympic Toán Quốc tế năm 2010) Bài toán 12:/3405''678'" 9  @9"2 Bài toán 13:/3405''678'";+:6," 9 @ @)5:8 n 2 (Đề thi chọn đội tuyển Ukraina dự thi Olympic toán quốc tế năm 2007) Bài toán 14:^:I'678S)HY`(*&:6:;,"2/ 3405''6S)'"? (*c(@)*c(@9*2 Bài toán 15:/'6"H%+l"S%SN2/3405''678 '""  @%  "2 Bài toán 16:/3405''6$Y;'"?405'678 '"e)5"0&A@)"2 (Đề thi chọn đội tuyển của Mônđôva dự thi Olympic toán Quốc tế năm 2007). Bài toán 17:/3405''678'"K X9 e)"2 (Đề thi Olympic toán của Braxin năm 2008) . '"B+ Bài toán sau là bài toán tổng quát của bài toán 1 Bài toán 4:/3405''678'" 9 @)$:6:89@ 9 n Bài toán. MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN  !"#"$%&'"(%&)*& +,"$&. 9k 9 ) 9 ) =+ ++ @) Bài toán 6 : /30:I'678H8Ja 9 @)K 9 d  $Y;` n6(aH* (Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Quốc gia năm học 2009